Die mathematischen Formulierungen der Quant-Mechanik sind jene mathematischen Formalismen, die eine strenge Beschreibung der Quant-Mechanik erlauben. Solcher sind von mathematischen Formalismen für Theorien bemerkenswert, die vor dem Anfang der 1900er Jahre durch den Gebrauch von abstrakten mathematischen Strukturen, wie unendlich-dimensionale Räume von Hilbert und Maschinenbediener auf diesen Räumen entwickelt sind. Viele dieser Strukturen werden von der Funktionsanalyse, einem Forschungsgebiet innerhalb der reinen Mathematik gezogen, die teilweise durch die Bedürfnisse nach der Quant-Mechanik beeinflusst wurde. Kurz gesagt Werte von physischem observables wie Energie und Schwung wurden als Werte von Funktionen auf dem Phase-Raum, aber als eigenvalues nicht mehr betrachtet; genauer: Als geisterhafte Werte (spitzen Spektrum plus der absolute an, der plus das einzigartige dauernde Spektrum dauernd ist), geradliniger Maschinenbediener im Raum von Hilbert.

Diese Formulierungen der Quant-Mechanik setzen fort, heute verwendet zu werden. Am Herzen der Beschreibung sind Ideen vom Quant-Staat und erkennbaren Quant, die von denjenigen radikal verschieden sind, die in vorherigen Modellen der physischen Wirklichkeit verwendet sind. Während die Mathematik Berechnung von vielen Mengen erlaubt, die experimentell gemessen werden können, gibt es eine bestimmte theoretische Grenze zu Werten, die gleichzeitig gemessen werden können. Diese Beschränkung wurde zuerst von Heisenberg durch ein Gedanke-Experiment aufgehellt, und wird mathematisch im neuen Formalismus durch den non-commutativity des Quants observables vertreten.

Vor dem Erscheinen der Quant-Mechanik als eine getrennte Theorie hat die in der Physik verwendete Mathematik hauptsächlich aus der formellen mathematischen Analyse bestanden, mit der Rechnung beginnend; und, in der Kompliziertheit bis zur Differenzialgeometrie und den teilweisen Differenzialgleichungen zunehmend. Wahrscheinlichkeitstheorie wurde in der statistischen Mechanik verwendet. Geometrische Intuition hat klar eine starke Rolle in den ersten zwei und entsprechend gespielt, Relativitätstheorien wurden völlig in Bezug auf geometrische Konzepte formuliert. Die Phänomenologie der Quant-Physik ist grob zwischen 1895 und 1915 entstanden, und seit den 10 bis 15 Jahren vor dem Erscheinen der Quant-Theorie (1925) haben Physiker fortgesetzt, an Quant-Theorie innerhalb der Grenzen dessen zu denken, was jetzt klassische Physik, und insbesondere innerhalb derselben mathematischen Strukturen genannt wird. Das hoch entwickelteste Beispiel davon ist der Sommerfeld-Wilson-Ishiwara quantization Regel, die völlig auf dem klassischen Phase-Raum formuliert wurde.

Geschichte des Formalismus

Die "alte Quant-Theorie" und das Bedürfnis nach der neuen Mathematik

In den 1890er Jahren ist Planck im Stande gewesen, das blackbody Spektrum abzuleiten, das später verwendet wurde, um die klassische ultraviolette Katastrophe durch das Bilden der unorthodoxen Annahme zu vermeiden, dass, in der Wechselwirkung der Radiation mit der Sache, Energie nur in getrennten Einheiten ausgetauscht werden konnte, die er Quanten genannt hat. Planck hat eine direkte Proportionalität zwischen der Frequenz der Radiation und dem Quant der Energie an dieser Frequenz verlangt. Die Proportionalität unveränderlich, h, wird jetzt die Konstante von Planck in seiner Ehre genannt.

1905 hat Einstein bestimmte Eigenschaften der fotoelektrischen Wirkung erklärt, indem er angenommen hat, dass die Energiequanten von Planck wirkliche Partikeln waren, die später synchronisierte Fotonen waren.

Alle diese Entwicklungen waren phänomenologisch und sind angesichts der theoretischen Physik der Zeit geflogen. Bohr und Sommerfeld haben fortgesetzt, klassische Mechanik in einem Versuch zu modifizieren, das Modell von Bohr von den ersten Grundsätzen abzuleiten. Sie haben vorgeschlagen, dass, aller geschlossenen klassischen Bahnen, die durch ein mechanisches System in seinem Phase-Raum verfolgt sind, nur denjenigen, die ein Gebiet eingeschlossen haben, das ein Vielfache der Konstante von Planck war, wirklich erlaubt wurde. Die hoch entwickelteste Version dieses Formalismus war der so genannte Sommerfeld-Wilson-Ishiwara quantization. Obwohl das Modell von Bohr des Wasserstoffatoms auf diese Weise erklärt werden konnte, konnte das Spektrum des Helium-Atoms (klassisch ein unlösbares 3-Körper-Problem) nicht vorausgesagt werden. Der mathematische Status der Quant-Theorie ist unsicher für einige Zeit geblieben.

1923 hat de Broglie vorgeschlagen, dass Dualität der Welle-Partikel nicht nur für Fotonen, aber für Elektronen und jedes andere physische System gegolten hat.

Die Situation hat sich schnell in den Jahren 1925-1930 geändert, als sie gearbeitet hat, mathematische Fundamente wurden durch die groundbreaking Arbeit von Erwin Schrödinger, Werner Heisenberg, Max Born, Pascual Jordan und der foundational Arbeit von John von Neumann, Hermann Weyl und Paul Dirac gefunden, und es ist möglich geworden, mehrere verschiedene Annäherungen in Bezug auf einen frischen Satz von Ideen zu vereinigen. Die physische Interpretation der Theorie wurde auch in diesen Jahren geklärt, nachdem Werner Heisenberg die Unklarheitsbeziehungen entdeckt hat und Niels Bohr die Idee von complementarity eingeführt hat.

Die "neue Quant-Theorie"

Die Welle-Mechanik von Erwin Schrödinger war ursprünglich der erste erfolgreiche Versuch des Wiederholens des beobachteten quantization von Atomspektren mit der Hilfe einer genauen mathematischen Verwirklichung der Dualität der Welle-Partikel von de Broglie. Die Welle-Mechanik von Schrödinger wurde unabhängig geschaffen, einzigartig auf den Konzepten von de Broglie gestützt, weniger formell und leichter, zu verstehen, sich zu vergegenwärtigen und auszunutzen. Innerhalb eines Jahres wurde es gezeigt, dass die zwei Theorien gleichwertig waren. Schrödinger selbst hat am Anfang die grundsätzliche probabilistic Natur der Quant-Mechanik nicht verstanden, weil er gedacht hat, dass das absolute Quadrat der Welle-Funktion eines Elektrons als die Anklage-Dichte eines Gegenstands geschmiert über einen verlängerten, vielleicht unendlich interpretiert werden sollte, hat Volumen des Raums, aber Max Born die Interpretation des absoluten Quadrats der Welle-Funktion als der Wahrscheinlichkeitsvertrieb der Position eines punktmäßigen Gegenstands eingeführt. Die Idee von Born wurde bald von Niels Bohr in Kopenhagen übernommen, der dann der "Vater" der Kopenhagener Interpretation der Quant-Mechanik geworden ist. Wie man sehen kann, ist die Welle-Funktion von Schrödinger nah mit der klassischen Gleichung von Hamilton-Jacobi verbunden. Die Ähnlichkeit zur klassischen Mechanik, war obwohl etwas mehr formell, in der Matrixmechanik von Heisenberg noch ausführlicher. D. h. die Gleichung für die Maschinenbediener in der Darstellung von Heisenberg, wie es jetzt genannt wird, übersetzt nah zu klassischen Gleichungen für die Dynamik von bestimmten Mengen im Formalismus von Hamiltonian der klassischen Mechanik, wo man Klammern von Poisson verwendet.

Genauer zu sein: Bereits vor Schrödinger hat der junge Student Werner Heisenberg seine Matrixmechanik erfunden, die die erste richtige Quant-Mechanik, d. h. der wesentliche Durchbruch war. Die Matrixmechanik-Formulierung von Heisenberg hat auf Algebra von unendlichem matrices basiert, im Licht der Mathematik der klassischen Physik sicher sehr radikal seiend, obwohl er von der Index-Fachsprache des experimentalists dieser Zeit angefangen hat, nicht sogar wissend, dass seine "Index-Schemas" matrices waren. Tatsächlich in diesen frühen Jahren war geradlinige Algebra Physikern in seiner gegenwärtigen Form nicht allgemein bekannt.

Obwohl Schrödinger selbst nach einem Jahr die Gleichwertigkeit seiner Welle-Mechanik und der Matrixmechanik von Heisenberg bewiesen hat, wird die Versöhnung der zwei Annäherungen allgemein Paul Dirac zugeschrieben, der eine klare Rechnung in seinen 1930 klassischen Grundsätzen der Quant-Mechanik geschrieben hat, das dritte, und vielleicht am wichtigsten, Person seiend, die unabhängig in diesem Feld arbeitet (er war bald der einzige, wer eine relativistische Generalisation der Theorie gefunden hat). In seiner oben erwähnten Rechnung hat er die Notation des Büstenhalters-ket zusammen mit einer abstrakten Formulierung in Bezug auf den in der Funktionsanalyse verwendeten Raum von Hilbert eingeführt; er hat gezeigt, dass die Annäherungen von Schrödinger und Heisenbergs zwei verschiedene Darstellungen derselben Theorie waren und eine dritte, allgemeinste gefunden haben, die die Dynamik des Systems vertreten hat. Seine Arbeit war in der ganzen Art von Generalisationen des Feldes besonders fruchtbar. Bezüglich der Quant-Mechanik wird die Methode von Dirac jetzt kanonischen quantization genannt.

Die erste ganze mathematische Formulierung dieser Annäherung wird allgemein Mathematischen Fundamenten des Buches von 1932 von John von Neumann der Quant-Mechanik kreditiert, obwohl sich Hermann Weyl bereits auf Räume von Hilbert bezogen hatte (den er einheitliche Räume genannt hat) in seinem 1927-Buch des Klassikers. Es wurde in der Parallele mit einer neuen Annäherung an die mathematische geisterhafte Theorie entwickelt, die auf geradlinigen Maschinenbedienern aber nicht den quadratischen Formen gestützt ist, die die Annäherung von David Hilbert eine Generation früher waren. Obwohl Theorien der Quant-Mechanik fortsetzen, sich bis jetzt zu entwickeln, gibt es ein grundlegendes Fachwerk für die mathematische Formulierung der Quant-Mechanik, die den meisten Annäherungen unterliegt und zurück zur mathematischen Arbeit von John von Neumann verfolgt werden kann. Mit anderen Worten werden Diskussionen über die Interpretation der Theorie und Erweiterungen darauf, jetzt größtenteils auf der Grundlage von geteilten Annahmen über die mathematischen Fundamente geführt.

Spätere Entwicklungen

Die Anwendung der neuen Quant-Theorie zum Elektromagnetismus ist auf Quant-Feldtheorie hinausgelaufen, die entwickelt wurde, 1930 anfangend. Quant-Feldtheorie hat die Entwicklung von hoch entwickelteren Formulierungen der Quant-Mechanik gesteuert, deren derjenige präsentiert hier ein einfacher spezieller Fall ist. Tatsächlich, wie man sagen kann, sind die Schwierigkeiten, die am Einführen von einigen der folgenden Formulierungen noch beteiligt sind, auf eine befriedigende Mode abgesehen von der gewöhnlichen Quant-Mechanik nicht gelöst worden.

• Pfad-Integrale von Feynman
• axiomatische, algebraische und konstruktive Quant-Feldtheorie
• Weyl quantization & geometrischer quantization
• Quant-Feldtheorie in der gekrümmten Raum-Zeit
• C* Algebra-Formalismus
• Verallgemeinertes statistisches Modell der Quant-Mechanik

Auf einer verschiedenen Vorderseite hat von Neumann ursprünglich Quant-Maß mit seinem berüchtigten Postulat auf dem Zusammenbruch des wavefunction entsandt, einen Gastgeber von philosophischen Problemen erziehend. Über den Eingriff 70 Jahre ist das Problem des Maßes ein aktives Forschungsgebiet geworden, und es hat einige neue Formulierungen der Quant-Mechanik erzeugt.

• State/Many-worlds Verhältnisinterpretation der Quant-Mechanik
• Decoherence
• Konsequente Geschichtsformulierung der Quant-Mechanik
• Quant-Logikformulierung der Quant-Mechanik

Ein zusammenhängendes Thema ist die Beziehung zur klassischen Mechanik. Jede neue physische Theorie soll zu erfolgreichen alten Theorien in etwas Annäherung abnehmen. Für die Quant-Mechanik übersetzt das ins Bedürfnis, die so genannte klassische Grenze der Quant-Mechanik zu studieren. Außerdem, wie Bohr betont hat, werden menschliche kognitive geistige Anlagen und Sprache mit dem klassischen Bereich unentwirrbar verbunden, und so sind klassische Beschreibungen intuitiv zugänglicher als Quant. Insbesondere quantization wird nämlich der Aufbau einer Quant-Theorie, deren klassische Grenze eine gegebene und bekannte klassische Theorie ist, ein wichtiges Gebiet der Quant-Physik an sich.

Schließlich waren einige der Schöpfer der Quant-Theorie (namentlich Einstein und Schrödinger) damit unglücklich, was sie gedacht haben, waren die philosophischen Implikationen der Quant-Mechanik. Insbesondere Einstein hat die Position genommen, dass Quant-Mechanik unvollständig sein muss, der Forschung in den so genannten verborgen - variable Theorien motiviert hat. Das Problem von verborgenen Variablen ist teilweise ein experimentelles Problem mit der Hilfe der Quant-Optik geworden.

• Pilot von de Broglie-Bohm-Bell Welle-Formulierung der Quant-Mechanik
• Die Ungleichheit der Glocke
• Kochen-Specker Lehrsatz

Mathematische Struktur der Quant-Mechanik

Ein physisches System wird allgemein durch drei grundlegende Zutaten beschrieben: Staaten; observables; und Dynamik (oder Gesetz der Zeitevolution) oder, mehr allgemein, eine Gruppe von physischem symmetries. Eine klassische Beschreibung kann auf eine ziemlich direkte Weise durch ein Phase-Raummodell der Mechanik gegeben werden: Staaten sind Punkte in einem symplectic Phase-Raum, observables sind reellwertige Funktionen darauf, Zeitevolution wird von einer Ein-Parameter-Gruppe von symplectic Transformationen des Phase-Raums gegeben, und physische symmetries werden durch symplectic Transformationen begriffen. Eine Quant-Beschreibung besteht aus einem Raum von Hilbert von Staaten, observables sind selbst adjoint Maschinenbediener auf dem Raum von Staaten, Zeitevolution wird von einer Ein-Parameter-Gruppe von einheitlichen Transformationen auf dem Raum von Hilbert von Staaten gegeben, und physische symmetries werden durch einheitliche Transformationen begriffen.

Postulate der Quant-Mechanik

Die folgende Zusammenfassung des mathematischen Fachwerks der Quant-Mechanik kann zurück zu den Postulaten von von Neumann teilweise verfolgt werden.

• Jedes physische System wird mit einem (topologisch) trennbaren komplizierten Raum von Hilbert H mit dem Skalarprodukt vereinigt. Strahlen (eindimensionale Subräume) in H werden mit Staaten des Systems vereinigt. Mit anderen Worten können physische Staaten mit Gleichwertigkeitsklassen von Vektoren der Länge 1 in H identifiziert werden, wo zwei Vektoren denselben Staat vertreten, wenn sie sich nur durch einen Phase-Faktor unterscheiden. Trennbarkeit ist eine mathematisch günstige Hypothese mit der physischen Interpretation, dass zählbar viele Beobachtungen genug sind, um den Staat einzigartig zu bestimmen.
• Der Hilbert Raum eines zerlegbaren Systems ist das Raumtensor-Produkt von Hilbert der Zustandräume, die mit den Teilsystemen (zum Beispiel, J.M. Jauch, Fundamente der Quant-Mechanik, des Abschnitts 11-7) vereinigt sind. Für ein nichtrelativistisches System, das aus einer begrenzten Zahl von unterscheidbaren Partikeln besteht, sind die Teilsysteme die individuellen Partikeln.
• Physische symmetries folgen dem Raum von Hilbert von Quant-Staaten unitarily, oder antiunitarily wegen des Lehrsatzes von Wigner (ist Supersymmetrie eine andere Sache völlig).
• Physische observables werden von dicht definierten selbst adjungierten Maschinenbedienern auf H. vertreten

:The erwarteter Wert (im Sinne der Wahrscheinlichkeitstheorie) des erkennbaren für das System im Staat, der durch den Einheitsvektor H vertreten ist, ist

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: Durch die geisterhafte Theorie können wir ein Wahrscheinlichkeitsmaß zu den Werten in jedem Staat ψ vereinigen. Wir können auch zeigen, dass die möglichen Werte des erkennbaren in jedem Staat dem Spektrum von A gehören müssen. Im speziellen Fall hat A nur getrenntes Spektrum, die möglichen Ergebnisse, A zu messen, sind sein eigenvalues.

:More allgemein, ein Staat kann von einem so genannten Dichte-Maschinenbediener vertreten werden, der eine Spur-Klasse, nichtnegativer selbst adjungierter Maschinenbediener ist, der normalisiert ist, um von der Spur 1 zu sein. Der erwartete Wert im Staat ist

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:If ist der orthogonale Kinoprojektor auf den eindimensionalen Subraum von H, der durch, dann abgemessen ist

::

:Density-Maschinenbediener sind diejenigen, die im Verschluss des konvexen Rumpfs der eindimensionalen orthogonalen Kinoprojektoren sind. Umgekehrt sind eindimensionale orthogonale Kinoprojektoren äußerste Punkte des Satzes von Dichte-Maschinenbedienern. Physiker nennen auch eindimensionale orthogonale Kinoprojektoren reine Staaten und andere Dichte-Maschinenbediener haben Staaten gemischt.

Man kann in diesem Formalismus-Unklarheitsgrundsatz des Staates Heisenberg und es als ein Lehrsatz beweisen, obwohl die genaue historische Folge von Ereignissen, bezüglich, wer abgeleitet hat, was und unter der Fachwerk, das Thema von historischen Untersuchungen außerhalb des Spielraums dieses Artikels ist.

Außerdem zu den Postulaten der Quant-Mechanik sollte man auch grundlegende Behauptungen auf den Eigenschaften der Drehung und des Ausschluss-Grundsatzes von Pauli hinzufügen, unten zu sehen.

Superauswahl-Sektoren. Die Ähnlichkeit zwischen Staaten und Strahlen muss etwas raffiniert werden, um so genannte Superauswahl-Sektoren in Betracht zu ziehen. Staaten in verschiedenen Superauswahl-Sektoren können einander nicht beeinflussen, und die Verhältnisphasen zwischen ihnen sind unbeobachtbar.

Bilder der Dynamik

• Im so genannten Bild von Schrödinger der Quant-Mechanik wird die Dynamik wie folgt gegeben:

Die Zeitevolution des Staates wird durch eine Differentiable-Funktion von den reellen Zahlen R gegeben, Momente der Zeit zum Raum von Hilbert von Systemstaaten vertretend. Diese Karte wird durch eine Differenzialgleichung wie folgt charakterisiert:

Wenn den Staat des Systems zu irgendeiner Zeit t anzeigt, hält die folgende Gleichung von Schrödinger:

:

wo H ein dicht definierter selbst adjungierter Maschinenbediener, genannt das System Hamiltonian ist, bin ich die imaginäre Einheit und bin der reduzierte unveränderliche Planck. Als ein erkennbarer entspricht H der Gesamtenergie des Systems.

Wechselweise durch den Lehrsatz des Steins kann man feststellen, dass es eine stark dauernde einheitliche Ein-Parameter-Gruppe U (t) gibt: H  H solch dass

:

seit allen Zeiten s, t. Die Existenz eines selbst adjungierten Hamiltonian H solch dass

:

ist eine Folge des Lehrsatzes des Steins auf einheitlichen Ein-Parameter-Gruppen. (Es wird angenommen, dass H rechtzeitig nicht abhängt, und dass die Unruhe daran anfängt; sonst muss man die Reihe von Dyson, formell geschrieben als verwenden

:

wo das zeitbestellende Symbol von Dyson ist.

(Dieses Symbol permutiert ein Produkt von nichtpendelnden Maschinenbedienern der Form

:

in den einzigartig entschlossenen wiederbestellten Ausdruck

: mit

Das Ergebnis ist eine kausale Kette, die primäre Ursache in der Vergangenheit auf dem am meisten äußersten r.h.s. und schließlich die gegenwärtige Wirkung auf den am meisten äußersten l.h.s..)

• Das Heisenberg Bild der Quant-Mechanik konzentriert sich auf observables und anstatt Staaten als ändernd rechtzeitig zu betrachten, es betrachtet die Staaten so fest und der observables wie das Ändern. Um vom Schrödinger zum Bild von Heisenberg zu gehen, muss man unabhängige Staaten des Zeit- und zeitabhängige Maschinenbediener so definieren:

::

Es wird dann leicht überprüft, dass die erwarteten Werte des ganzen observables dasselbe in beiden Bildern sind

:

und dass die zeitabhängigen Maschinenbediener von Heisenberg befriedigen

:

Das nimmt an, dass A im Bild von Schrödinger nicht zeitabhängig ist. Bemerken Sie, dass der Umschalter-Ausdruck rein formell ist, wenn einer der Maschinenbediener unbegrenzt ist. Man würde eine Darstellung für den Ausdruck angeben, um es zu verstehen.

• Das so genannte Bild von Dirac oder Wechselwirkungsbild haben zeitabhängige Staaten und observables, sich in Bezug auf verschiedenen Hamiltonians entwickelnd. Dieses Bild ist am nützlichsten, wenn die Evolution des observables genau gelöst werden kann, irgendwelche Komplikationen auf die Evolution der Staaten beschränkend. Deshalb wird Hamiltonian für den observables "freien Hamiltonian" genannt, und Hamiltonian für die Staaten wird "Wechselwirkung Hamiltonian" genannt. In Symbolen:

::

Das Wechselwirkungsbild besteht nicht immer, dennoch. In aufeinander wirkenden Quant-Feldtheorien stellt der Lehrsatz von Haag fest, dass das Wechselwirkungsbild nicht besteht. Das ist, weil Hamiltonian in einen freien und einen aufeinander wirkenden Teil innerhalb eines Superauswahl-Sektors nicht gespalten werden kann. Außerdem, selbst wenn im Bild von Schrödinger Hamiltonian rechtzeitig z.B im Wechselwirkungsbild nicht abhängt, tut es mindestens, wenn V mit, seitdem nicht pendelt

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