Multiplikation (häufig angezeigt durch das böse Symbol"") ist die mathematische Operation, eine Zahl durch einen anderen zu erklettern. Es ist eine der vier grundlegenden Operationen in der elementaren Arithmetik (andere, die Hinzufügung, Subtraktion und Abteilung sind).

Weil vom Ergebnis des Schuppens durch ganze Zahlen gedacht werden kann, weil, aus einer Zahl von Kopien der ursprünglichen Produkte der ganzen Zahl bestehend, die größer sind als 1, durch die wiederholte Hinzufügung geschätzt werden kann; zum Beispiel können 3 multiplizierte durch 4 (hat häufig als "3mal 4" gesagt), durch das Hinzufügen von 4 Kopien 3 zusammen berechnet werden:

:

Hier 3 und 4 sind die "Faktoren", und 12 ist das "Produkt".

Pädagogen unterscheiden sich, betreffs dessen Zahl normalerweise als die Zahl von Kopien betrachtet werden sollte, und ob Multiplikation sogar als wiederholte Hinzufügung eingeführt werden sollte. Zum Beispiel können 3 multiplizierte durch 4 auch durch das Hinzufügen von 3 Kopien 4 zusammen berechnet werden:

:

Die Multiplikation von rationalen Zahlen (Bruchteile) und reelle Zahlen wird durch die systematische Generalisation dieser Grundidee definiert.

Multiplikation kann auch als zählende Gegenstände vergegenwärtigt werden, die in einem Rechteck (für ganze Zahlen) oder als Entdeckung des Gebiets eines Rechtecks eingeordnet sind, dessen Seiten Längen (für Zahlen allgemein) gegeben haben. Das Gebiet eines Rechtecks hängt nicht ab, welche Seite Sie zuerst messen, der illustriert, dass die Bestellnummern zusammen darin multipliziert werden, ist egal.

Im Allgemeinen gibt das Ergebnis, zwei Maße zu multiplizieren, ein Ergebnis eines neuen Typs abhängig von den Maßen. Zum Beispiel:

::

Der inverse Betrieb der Multiplikation ist Abteilung. Zum Beispiel sind 4 multiplizierte durch 3 12 gleich. Dann sind 12 geteilte durch 3 4 gleich. Multiplikation durch 3, gefolgt von der Abteilung durch 3, gibt die ursprüngliche Zahl nach.

Multiplikation wird auch für andere Typen von Zahlen (wie komplexe Zahlen), und für abstraktere Konstruktionen wie matrices definiert. Für diese abstrakteren Konstruktionen ist die Ordnung, in der die operands manchmal multipliziert werden, von Bedeutung.

Notation und Fachsprache

Multiplikation wird häufig mit dem Multiplikationszeichen-"×" zwischen den Begriffen geschrieben; d. h. in der klammerlosen Darstellung. Das Ergebnis wird mit einem Gleichheitszeichen ausgedrückt. Zum Beispiel,

: (wörtlich, "zweimal drei ist sechs" gleich)

:::

Es gibt mehrere andere allgemeine Notationen für die Multiplikation. Viele von diesen sind beabsichtigt, um abzunehmen, Verwirrung zwischen der Multiplikation unterzeichnen × und die allgemein verwendete Variable x:

• Multiplikation wird manchmal entweder durch einen mittleren Punkt oder durch eine Periode angezeigt:

:

:The-Mitte-Punkt ist in den Vereinigten Staaten, dem Vereinigten Königreich und den anderen Ländern normal, wo die Periode als ein dezimaler Punkt verwendet wird. In anderen Ländern, die ein Komma als ein dezimaler Punkt verwenden, entweder werden die Periode oder ein mittlerer Punkt für die Multiplikation verwendet.

• Das Sternchen (als in) wird häufig auf Programmiersprachen verwendet, weil es auf jeder Tastatur erscheint. Dieser Gebrauch ist auf der FORTRAN Programmiersprache entstanden.
• In der Algebra wird Multiplikation, die mit Variablen verbunden ist, häufig als (z.B xy seit x Zeiten y oder 5x seit fünfmal x) geschrieben. Diese Notation kann auch für Mengen verwendet werden, die durch Parenthesen (z.B 5 (2) oder (5) (2) seit fünfmal zwei) umgeben werden.
• In der Matrixmultiplikation gibt es wirklich eine Unterscheidung zwischen dem Kreuz und den Punktsymbolen. Das böse Symbol zeigt allgemein eine Vektor-Multiplikation an, während der Punkt eine Skalarmultiplikation anzeigt. Eine ähnliche Tagung unterscheidet zwischen dem Kreuzprodukt und dem Punktprodukt von zwei Vektoren.

Die zu multiplizierenden Zahlen werden allgemein die "Faktoren" oder "multiplicands" genannt. Wenn man an Multiplikation als wiederholte Hinzufügung denkt, wird die zu multiplizierende Zahl den "multiplicand" genannt, während die Zahl von Vielfachen den "Vermehrer" genannt wird. In der Algebra wird eine Zahl, die der Vermehrer einer Variable oder Ausdrucks ist (z.B die 3 in 3xy) einen Koeffizienten genannt.

Das Ergebnis einer Multiplikation wird ein Produkt genannt, und ist ein Vielfache jedes Faktors, wenn der andere Faktor eine ganze Zahl ist. Zum Beispiel, 15 ist das Produkt 3 und 5, und ist sowohl ein Vielfache 3 als auch ein Vielfache 5.

Berechnung

Die übliche Methodik, um Zahlen mit dem Bleistift und Papier zu multiplizieren, verlangt eine Multiplikationstabelle von eingeprägten oder befragten Produkten von kleinen Zahlen (normalerweise irgendwelche zwei Zahlen von 0 bis 9), jedoch tut eine Methode, der Bauer-Multiplikationsalgorithmus, nicht.

Das Multiplizieren von Zahlen zu mehr als einigen dezimalen Plätzen ist mit der Hand langweilig und anfälliger Fehler. Allgemeine Logarithmen wurden erfunden, um solche Berechnungen zu vereinfachen. Der Rechenschieber hat Zahlen erlaubt, zu ungefähr drei Plätzen der Genauigkeit schnell multipliziert zu werden. Am Anfang des zwanzigsten Jahrhunderts beginnend, haben mechanische Rechenmaschinen wie Marchant, Multiplikation von bis zu 10 Ziffer-Zahlen automatisiert. Moderne elektronische Computer und Rechenmaschinen haben das Bedürfnis nach der Multiplikation mit der Hand außerordentlich reduziert.

Historische Algorithmen

Methoden der Multiplikation wurden in den ägyptischen, griechischen, chinesischen und Indianerzivilisationen dokumentiert.

Der Ishango Knochen, der zu ungefähr 18,000 bis 20,000 v. Chr. datiert ist, deutet von Kenntnissen der Multiplikation im Oberen Paläolithischen Zeitalter in Zentralafrika an.

Ägypter

Die ägyptische Methode der Multiplikation von ganzen Zahlen und Bruchteilen, die im Ahmes Papyrus dokumentiert sind, war durch aufeinander folgende Hinzufügungen und Verdoppelung. Zum Beispiel, um das Produkt 13 und 21 zu finden, musste man sich 21 dreimal verdoppeln, 1 × 21 = 21, 2 × 21 = 42, 4 × 21 = 84, 8 × 21 = 168 erhaltend. Das volle Produkt konnte dann durch das Hinzufügen der passenden in der sich verdoppelnden Folge gefundenen Begriffe gefunden werden:

:13 × 21 = (1 + 4 + 8) × 21 = (1 × 21) + (4 × 21) + (8 × 21) = 21 + 84 + 168 = 273.

Babylonier

Die Babylonier haben ein sexagesimal Stellungszahl-System verwendet, das dem modernen Tagesdezimalzahl-System analog ist. So war babylonische Multiplikation der modernen dezimalen Multiplikation sehr ähnlich. Wegen der Verhältnisschwierigkeit, sich an 60 × 60 verschiedene Produkte zu erinnern, haben babylonische Mathematiker Multiplikationstabellen verwendet. Diese Tische haben aus einer Liste der ersten zwanzig Vielfachen einer bestimmten hauptsächlichen Nummer n bestanden: n, 2n..., 20n; gefolgt von den Vielfachen 10n: 30n 40n, und 50n. Um dann jedes sexagesimal Produkt zu schätzen, sagen Sie 53n, ein einziger musste 50n und 3n geschätzt vom Tisch beitragen.

Chinesisch

Im mathematischen Text wurde Zhou Bi Suan Jing, der vor 300 v. Chr., und die Neun Kapitel über die Mathematische Kunst, Multiplikationsberechnungen datiert ist, in Wörtern ausgeschrieben, obwohl die frühen chinesischen Mathematiker Rechnung von Rod verwendet haben, die Platz-Werthinzufügung, Subtraktion, Multiplikation und Abteilung einschließt. Diese legen Wertdezimalzahl arithmetische Algorithmen wurden von Al Khwarizmi in arabische Länder am Anfang des 9. Jahrhunderts eingeführt.

Moderne Methode

Die moderne Methode der auf dem System der Hinduistischen Arabischen Ziffer gestützten Multiplikation wurde zuerst von Brahmagupta beschrieben. Brahmagupta hat Regeln für Hinzufügung, Subtraktion, Multiplikation und Abteilung gegeben. Henry Burchard Fine, dann Professor der Mathematik an der Universität von Princeton, hat den folgenden geschrieben:

:The-Inder sind die Erfinder nicht nur des dezimalen Stellungssystems selbst, aber von den meisten Prozessen, die am elementaren Rechnen mit dem System beteiligt sind. Hinzufügung und Subtraktion, die sie ganz durchgeführt haben, wie sie heutzutage durchgeführt werden; Multiplikation, die sie auf viele Weisen, unsere unter ihnen bewirkt haben, aber Abteilung haben sie lästig getan.

Computeralgorithmen

Die Standardmethode, zwei n-digit Zahlen zu multiplizieren, verlangt n einfache Multiplikationen. Multiplikationsalgorithmen sind entworfen worden, die die Berechnungszeit beträchtlich reduzieren, wenn sie große Anzahl multiplizieren. Insbesondere für auf dem Getrennten Fourier gestützte Methoden der sehr großen Anzahl verwandeln Sich kann die Anzahl von einfachen Multiplikationen zur Ordnung des N-Klotzes (n) vermindern.

Produkte von Maßen

Wenn zwei Maße zusammen multipliziert werden, ist das Produkt von einem Typ abhängig von den Typen der Maße. Die allgemeine Theorie wird durch die dimensionale Analyse gegeben. Diese Analyse wird in der Physik alltäglich angewandt, aber hat auch Anwendungen in der Finanz gefunden. Man kann nur bedeutungsvoll hinzufügen oder Mengen desselben Typs abziehen, aber kann multiplizieren oder Mengen von verschiedenen Typen teilen.

Ein allgemeines Beispiel multipliziert die Geschwindigkeit vor der Zeit gibt Entfernung, so

:50 Kilometer pro Stunde × 3 Stunden = 150 Kilometer.

Produkte von Folgen

Kapitalpi-Notation

Das Produkt einer Folge von Begriffen kann mit dem Produktsymbol geschrieben werden, das auf den Großbuchstaben Π (Pi) im griechischen Alphabet zurückzuführen ist. Position von Unicode U+220F () enthält einen glyph, um solch ein Produkt anzuzeigen, das von U+03A0 (Π), dem Brief verschieden ist. Durch die Bedeutung dieser Notation wird gegeben:

:

Die Subschrift gibt das Symbol für eine Platzhaltervariable (ich in diesem Fall), genannt den "Index der Multiplikation" zusammen mit sein tiefer bestimmt (m), wohingegen der Exponent (hier n) sein gebundenes oberes gibt. Das niedrigere und gebundene obere sind Ausdrücke, die ganze Zahlen anzeigen. Die Faktoren des Produktes werden durch die Einnahme des Ausdrucks im Anschluss an den Produktmaschinenbediener, mit aufeinander folgenden den Index der Multiplikation ausgewechselten Werten der ganzen Zahl, das Starten von tiefer bestimmt und erhöht durch 1 bis zu und einschließlich des gebundenen oberen erhalten. Also, zum Beispiel:

:

Im Falle dass M = n, der Wert des Produktes dasselbe als dieser des einzelnen Faktors x ist. Wenn m> n, das Produkt das leere Produkt, mit dem Wert 1 ist.

Unendliche Produkte

Man kann auch Produkte von ungeheuer vielen Begriffen denken; diese werden unendliche Produkte genannt. Notationally, wir würden n oben durch den lemniscate  ersetzen. Das Produkt solch einer Reihe wird als die Grenze des Produktes der ersten N-Begriffe definiert, als n ohne bestimmten wächst. D. h. definitionsgemäß,

:

Man kann M durch die negative Unendlichkeit ähnlich ersetzen und definieren:

:

vorausgesetzt dass beide Grenzen bestehen.

Eigenschaften

Für die natürlichen Zahlen, ganzen Zahlen, Bruchteile, und reellen Zahlen und komplexen Zahlen, hat Multiplikation bestimmte Eigenschaften:

Ersatzeigentum

: Die Ordnung, in der zwei Zahlen multipliziert werden, ist nicht von Bedeutung:

::.

Assoziatives Eigentum

: Ausdrücke, die allein Multiplikation einschließen, sind invariant in Bezug auf die Ordnung von Operationen:

::

Verteilendes Eigentum

: Hält in Bezug auf die Multiplikation über die Hinzufügung. Diese Identität ist von Hauptwichtigkeit in der Vereinfachung algebraischer Ausdrücke:

::

Identitätselement

: Die multiplicative Identität ist 1; irgendetwas Multipliziertes mit ist man selbst. Das ist als das Identitätseigentum bekannt:

::

Nullelement

: Jede mit der Null multiplizierte Zahl ist Null. Das ist als das Nulleigentum der Multiplikation bekannt:

::

:Zero wird manchmal unter den natürlichen Zahlen nicht eingeschlossen.

Es gibt mehrere weitere Eigenschaften der durch alle Typen von Zahlen nicht zufriedenen Multiplikation.

Ablehnung

:Negative Zeiten jede Zahl ist dem Gegenteil dieser Zahl gleich.

::

: Negativ Zeiten ist negative positive.

::Natürliche

:The-Zahlen schließen negative Zahlen nicht ein.

Umgekehrtes Element

:Every Nummer x, außer der Null, hat ein multiplicative Gegenteil, solch dass.

Natürliche

:The-Zahlen und ganze Zahlen haben Gegenteile nicht.

Ordnungsbewahrung

: Die Multiplikation durch eine positive Zahl bewahrt Ordnung: wenn a> 0, dann wenn b> c dann ab> ac. Die Multiplikation durch eine negative Zahl kehrt Ordnung um: wenn a

::

Hier S vertritt (y) den Nachfolger von y oder die natürliche Zahl, die y folgt. Die verschiedenen Eigenschaften wie associativity können von diesen und den anderen Axiomen der Arithmetik von Peano einschließlich der Induktion bewiesen werden. Zum Beispiel S (0). angezeigt durch 1, ist eine multiplicative Identität weil

:

Die Axiome für ganze Zahlen definieren sie normalerweise als Gleichwertigkeitsklassen von befohlenen Paaren von natürlichen Zahlen. Das Modell basiert auf dem Behandeln (x, y) als gleichwertig zu xy, wenn x und y als ganze Zahlen behandelt werden. So sowohl (0,1) als auch (1,2) sind zu 1 gleichwertig. Das Multiplikationsaxiom für ganze Zahlen hat diesen Weg definiert ist

:

Die Regel, dass 1 × 1 = 1 dann aus abgeleitet werden können

:

Multiplikation wird auf eine ähnliche Weise zu rationalen Zahlen und dann zu reellen Zahlen erweitert.

Multiplikation mit der Mengenlehre

Es, ist obwohl schwierig, möglich, eine rekursive Definition der Multiplikation mit der Mengenlehre zu schaffen. Solch ein System verlässt sich gewöhnlich auf die Definition von Peano der Multiplikation.

Kartesianisches Produkt

Die Definition der Multiplikation als wiederholte Hinzufügung stellt eine Weise zur Verfügung, eine mit dem Satz theoretische Interpretation der Multiplikation von Grundzahlen zu erreichen. Im Ausdruck

:

wenn die n Kopien, zu sein, in der zusammenhanglosen Vereinigung dann klar zu verbindend, sie zusammenhanglos gemacht werden müssen; eine offensichtliche Weise zu tun ist das, entweder a oder n als der Indexieren-Satz für den anderen zu verwenden. Dann sind die Mitglieder dessen genau diejenigen des Kartesianischen Produktes. Die Eigenschaften der multiplicative Operation als Verwendung auf natürliche Zahlen folgen dann trivial von den entsprechenden Eigenschaften des Kartesianischen Produktes.

Multiplikation in der Gruppentheorie

Es gibt viele Sätze, die, unter der Operation der Multiplikation, die Axiome befriedigen, die Gruppenstruktur definieren. Diese Axiome sind Verschluss, associativity, und die Einschließung eines Identitätselements und Gegenteile.

Ein einfaches Beispiel ist der Satz von rationalen Nichtnullzahlen. Hier haben wir Identität 1, im Vergleich mit Gruppen unter der Hinzufügung, wo die Identität normalerweise 0 ist. Bemerken Sie, dass mit dem rationals wir Null ausschließen müssen, weil, unter der Multiplikation, es kein Gegenteil hat: Es gibt keine rationale Zahl, die mit der Null multipliziert werden kann, um 1 hinauszulaufen. In diesem Beispiel haben wir eine abelian Gruppe, aber das ist nicht immer der Fall.

Um das zu sehen, schauen Sie auf den Satz des invertible Quadrats matrices von einer gegebenen Dimension über ein gegebenes Feld. Jetzt ist es aufrichtig, um Verschluss, associativity, und Einschließung der Identität (die Identitätsmatrix) und Gegenteile nachzuprüfen. Jedoch ist Matrixmultiplikation deshalb nicht auswechselbar diese Gruppe ist nonabelian.

Eine andere Tatsache des Zeichens ist, dass die ganzen Zahlen unter der Multiplikation nicht eine Gruppe sind, selbst wenn wir Null ausschließen. Das wird durch das Nichtsein eines Gegenteils für alle Elemente außer 1 und-1 leicht gesehen.

Die Multiplikation in der Gruppentheorie wird normalerweise entweder durch einen Punkt, oder durch die Nebeneinanderstellung (die Weglassung eines Operationssymbols zwischen Elementen) in Notenschrift geschrieben. So Element durch das Element multiplizierend, konnte b ein b oder ab in Notenschrift geschrieben werden. Wenn man sich auf eine Gruppe über die Anzeige des Satzes und der Operation bezieht, wird der Punkt z.B verwendet unser erstes Beispiel konnte durch angezeigt werden

Multiplikation von verschiedenen Arten von Zahlen

Zahlen können (3 Äpfel), Ordnung (der 3. Apfel), oder (3.5 Fuß hohes) Maß zählen; als die Geschichte der Mathematik davon fortgeschritten ist, auf unseren Fingern bis das Modellieren der Quant-Mechanik zu zählen, ist Multiplikation zu mehr komplizierten und abstrakten Typen von Zahlen, und zu Dingen verallgemeinert worden, die nicht Zahlen (wie matrices) sind oder viel Zahlen (wie quaternions) nicht ähnlich sind.

Ganze Zahlen

: ist die Summe der M Kopien von N, wenn N und M positive ganze Zahlen sind. Das gibt die Zahl von Dingen in einer Reihe N breit und M hoch. Die Generalisation zu negativen Zahlen kann durch getan werden und. Dieselben Zeichen-Regeln gelten für rationale Zahlen und reelle Zahlen.

Rationale Zahlen

:Generalization zu Bruchteilen ist durch das Multiplizieren der Zähler und Nenner beziehungsweise:. Das gibt das Gebiet eines Rechtecks hoch und breit, und ist dasselbe als die Zahl von Dingen in einer Reihe, wenn die rationalen Zahlen zufällig ganze Zahlen sind.

Reelle Zahlen

: ist die Grenze der Produkte der entsprechenden Begriffe in bestimmten Folgen von rationals, die zu x und y beziehungsweise zusammenlaufen, und in der Rechnung bedeutend ist. Das gibt das Gebiet eines Rechtecks x hoch und y breit. Sieh Produkte von Folgen oben.

Komplexe Zahlen

Komplexe

:Considering-Zahlen und als befohlene Paare von reellen Zahlen und, das Produkt ist. Das ist dasselbe bezüglich reals, wenn die imaginären Teile und Null sind.

Weitere Generalisationen

Die:See-Multiplikation in der Gruppentheorie, oben, und Multiplicative Group, die zum Beispiel Matrixmultiplikation einschließt. Ein sehr allgemeines und abstraktes, Konzept der Multiplikation ist als "multiplicatively die angezeigte" (zweite) binäre Operation in einem Ring. Ein Beispiel eines Rings, der nicht einige der obengenannten Zahl-Systeme ist, ist ein polynomischer Ring (Sie können hinzufügen und Polynome multiplizieren, aber Polynome sind nicht Zahlen in jedem üblichen Sinn.)

Abteilung

:Often-Abteilung ist dasselbe als Multiplikation durch ein Gegenteil. Die Multiplikation für einige Typen von "Zahlen" kann entsprechende Abteilung ohne Gegenteile haben; in einem integrierten Gebiet kann x kein Gegenteil "" haben, aber kann definiert werden. In einem Abteilungsring gibt es Gegenteile, aber sie sind nicht auswechselbar (da nicht dasselbe als ist, kann zweideutig sein).

Exponentiation

Wenn Multiplikation wiederholt wird, ist die resultierende Operation als exponentiation bekannt. Zum Beispiel ist das Produkt von drei Faktoren zwei (2×2×2) "zwei erhobene zur dritten Macht", und wird durch 2, zwei mit einem Exponenten drei angezeigt. In diesem Beispiel ist die Nummer zwei die Basis, und drei ist die Hochzahl. Im Allgemeinen zeigt die Hochzahl (oder Exponent) an, wie oft man Basis allein, so dass der Ausdruck multipliziert

:

zeigt dass die Basis an, um allein n Zeiten multipliziert zu werden.

Siehe auch

• Dimensionale Analyse
• Multiplikationsalgorithmus
• Algorithmus von Karatsuba, für die große Anzahl
• Toom-kochen Sie Multiplikation, für die sehr große Anzahl
• Algorithmus von Schönhage-Strassen, für riesige Zahlen
• Multiplikationstabelle
• Multiplikations-ALU, wie Computer multiplizieren
• Der Multiplikationsalgorithmus der Kabine
• Das Schwimmen des Punkts
• Verschmolzen multiplizieren - tragen bei
• Multiplizieren Sie - sammeln an
• Baum von Wallace
• Multiplicative umgekehrter, gegenseitiger
• Factorial
• Lineale von Genaille-Lucas
• Die Knochen von Napier
• Bauer-Multiplikation
• Produkt (Mathematik), für Generalisationen
• Rechenschieber

Referenzen

Außenverbindungen

• Multiplikation und Arithmetische Operationen In Verschiedenen Zahl-Systemen an der Knoten-Kürzung
• Moderne chinesische Multiplikationstechniken auf einer Rechenmaschine