Der natürliche Logarithmus ist der Logarithmus zur Basis e, wo e eine vernunftwidrige und transzendentale Konstante ist, die ungefähr 2.718 gleich ist. Der natürliche Logarithmus wird allgemein als ln (x) geschrieben, loggen Sie (x) oder manchmal, wenn die Basis von e, als einfach Klotz (x) implizit ist.

Der natürliche Logarithmus einer Nummer x ist die Macht, zu der e würde erhoben werden müssen, um x gleichzukommen. Zum Beispiel, ln (7.389...) ist 2, weil e=7.389.... Der natürliche Klotz von e selbst (ln (e)) ist 1, weil e = e, während der natürliche Logarithmus 1 (ln (1)) 0, seitdem e = 1 ist.

Der natürliche Logarithmus kann für jede positive reelle Zahl als das Gebiet unter der Kurve y = 1/x von 1 bis a definiert werden. Die Einfachheit dieser Definition, die in vielen anderen Formeln verglichen wird, die den natürlichen Logarithmus einschließen, führt zum Begriff "natürlicher". Die Definition kann zu komplexen Nichtnullzahlen, wie erklärt, unten erweitert werden.

Die natürliche Logarithmus-Funktion, wenn betrachtet, als eine reellwertige Funktion einer echten Variable, ist die umgekehrte Funktion der Exponentialfunktion, zur Identität führend:

::

Wie alle Logarithmen stellt der natürliche Logarithmus Multiplikation in die Hinzufügung kartografisch dar:

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So ist die Logarithmus-Funktion ein Isomorphismus von der Gruppe von positiven reellen Zahlen unter der Multiplikation zur Gruppe von reellen Zahlen unter der Hinzufügung, vertreten als eine Funktion:

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Logarithmen können zu jeder positiven Basis außer 1, nicht nur e definiert werden; jedoch unterscheiden sich Logarithmen in anderen Basen nur durch einen unveränderlichen Vermehrer vom natürlichen Logarithmus, und werden gewöhnlich in Bezug auf die Letzteren definiert. Logarithmen sind nützlich, um Gleichungen zu lösen, in denen das unbekannte als die Hochzahl einer anderen Menge erscheint. Zum Beispiel werden Logarithmen verwendet, um für die Halbwertzeit, Zerfall unveränderliche oder unbekannte Zeit mit Exponentialzerfall-Problemen zu lösen. Sie sind in vielen Zweigen der Mathematik und der Wissenschaften wichtig und werden in der Finanz verwendet, um Probleme zu beheben, die Zinseszinsen einschließen.

Geschichte

Die erste Erwähnung des natürlichen Logarithmus war durch Nicholas Mercator in seiner Arbeit 1668 veröffentlichter Logarithmotechnia, obwohl der Mathematik-Lehrer John Speidell bereits 1619 einen Tisch auf dem natürlichen Logarithmus kompiliert hatte. Es wurde früher auch Hyperbellogarithmus genannt, weil es dem Gebiet unter einer Hyperbel entspricht. Es wird auch manchmal den Logarithmus von Napierian genannt, obwohl die ursprüngliche Bedeutung dieses Begriffes ein bisschen verschieden ist.

Vereinbarung von Notational

Die Notationen "ln (x)" und "der Klotz (x)" beziehen sich beide eindeutig auf den natürlichen Logarithmus von x.

Abhängig vom Zusammenhang, "loggen (x)", kann sich auf den natürlichen Logarithmus beziehen, aber es kann auch für das allgemeine verwendet werden (stützen Sie 10) Logarithmus. Auf meistens verwendeten Programmiersprachen, einschließlich C, C ++, SAS, MATLAB, Mathematica, Fortran, und GRUNDLEGEND, "Klotz", "Klotz" oder "KLOTZ" bezieht sich auf den natürlichen Logarithmus.

Tragbare Rechenmaschinen zeigen den natürlichen Logarithmus als ln an, wohingegen Klotz die Basis 10 Logarithmen ist.

In der theoretischen Informatik loggen Informationstheorie und Geheimschrift "(x)" allgemein bedeutet "Klotz (x)" (obwohl das häufig als lg (x) stattdessen geschrieben wird).

Ursprung des Begriffes natürlicher Logarithmus

Am Anfang könnte es scheinen, dass da das allgemeine numerierende System 10 Grund-ist, würde diese Basis "natürlicher" sein als Basis e. Aber mathematisch ist die Nummer 10 nicht besonders bedeutend. Sein Gebrauch kulturell — als die Basis für numerierende Systeme vieler Gesellschaften — entsteht wahrscheinlich aus der typischen Zahl von Menschen von Fingern. Andere Kulturen haben ihre zählenden Systeme auf solchen Wahlen wie 5, 8, 12, 20, und 60 gestützt.

Klotz ist ein "natürlicher" Klotz, weil es automatisch Frühlinge davon, und so häufig in, Mathematik erscheint. Denken Sie zum Beispiel das Problem, eine logarithmische Funktion zu unterscheiden:

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Wenn die Basis b e gleichkommt, dann ist die Ableitung einfach 1/x, und an x = 1 diese Ableitung ist 1 gleich. Ein anderer Sinn, in dem der base-e-logarithm am natürlichsten ist, besteht darin, dass er ganz leicht in Bezug auf ein einfaches Integral oder Reihe von Taylor definiert werden kann und das auf andere Logarithmen nicht zutrifft.

Weitere Sinne dieser Natürlichkeit machen keinen Gebrauch der Rechnung. Als ein Beispiel gibt es mehrere einfache Reihen, die den natürlichen Logarithmus einschließen. Pietro Mengoli und Nicholas Mercator haben es logarithmus naturalis ein paar Jahrzehnte davor genannt Newton und Leibniz haben Rechnung entwickelt.

Definitionen

Formell ln kann (a) als das Integral, definiert werden

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Diese Funktion ist ein Logarithmus, weil sie das grundsätzliche Eigentum eines Logarithmus befriedigt:

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Das kann durch das Aufspalten des Integrals demonstriert werden, das ln (ab) in zwei Teile und dann das Bilden des variablen Ersatzes im zweiten Teil wie folgt definiert:

:

\ln (ab)

\int_1^ {ab} \frac {1} {x} \; dx

\int_1^a \frac {1} {x} \; dx \; + \int_a^ {ab} \frac {1} {x} \; dx

\int_1^ {ein} \frac {1} {x} \; dx \; + \int_1^ {b} \frac {1} {an} \; d (an)

</Mathematik>

::

\int_1^ {ein} \frac {1} {x} \; dx \; + \int_1^ {b} \frac {1} {t} \; dt

\ln (a) + \ln (b)

</Mathematik>

Die Nummer e kann dann als die einzigartige reelle Zahl ein solcher dass ln (a) = 1 definiert werden.

Wechselweise, wenn die Exponentialfunktion zuerst definiert worden ist, sagen Sie, indem Sie eine unendliche Reihe verwenden, der natürliche Logarithmus kann als seine umgekehrte Funktion definiert werden, d. h., ln ist diese solche Funktion dass. Da die Reihe der Exponentialfunktion auf echten Argumenten alle positiven reellen Zahlen ist, und da die Exponentialfunktion ausschließlich zunimmt, ist das für den ganzen positiven x bestimmt.

Eigenschaften

:: (sieh komplizierten Logarithmus)

Ableitung, Reihe von Taylor

Die Ableitung des natürlichen Logarithmus wird durch gegeben

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Das führt zur Reihe von Taylor für ungefähr 0; auch bekannt als die Reihe von Mercator

:::

Am Recht ist ein Bild von ln (1 + x) und einige seiner Polynome von Taylor ungefähr 0. Diese Annäherungen laufen zur Funktion nur im Gebiet 1 zusammen

::

Durch das Verwenden von Euler verwandeln sich auf der Reihe von Mercator, man erhält das folgende, das für jeden x mit dem absoluten Wert gültig ist, der größer ist als 1:

:

Diese Reihe ist einer BBP-Typ-Formel ähnlich.

Bemerken Sie auch, dass das seine eigene umgekehrte Funktion ist, um so den natürlichen Logarithmus einer bestimmten Anzahl y nachzugeben, einfach in für x zu stellen.

Der natürliche Logarithmus in der Integration

Der natürliche Logarithmus erlaubt einfache Integration von Funktionen der Form g (x) = f' (x)/f (x): Eine Antiableitung von g (x) wird durch ln (|f (x) |) gegeben. Das ist wegen der Kettenregel und der folgenden Tatsache der Fall:

:

Mit anderen Worten,

:

und

:

Hier ist ein Beispiel im Fall von g (x) = Lohe (x):

::

Das Lassen f (x) =, weil (x) und f' (x) = - (x) sündigen:

::

wo C eine willkürliche Konstante der Integration ist.

Der natürliche Logarithmus kann mit der Integration durch Teile integriert werden:

:

Numerischer Wert

Um den numerischen Wert des natürlichen Logarithmus einer Zahl zu berechnen, kann die Reihenentwicklung von Taylor als umgeschrieben werden:

:

Um eine bessere Rate der Konvergenz zu erhalten, kann die folgende Identität verwendet werden.

:

:provided dass y = (x1) / (x+1) und x &gt; 0.

Für ln (x) wo x &gt; 1, je näher der Wert von x zu 1, desto schneller die Rate der Konvergenz ist. Die mit dem Logarithmus vereinigte Identität kann gestärkt werden, um das auszunutzen:

:

Solche Techniken wurden vor Rechenmaschinen, durch das Verweisen auf numerische Tische und das Durchführen von Manipulationen wie diejenigen oben verwendet.

Natürlicher Logarithmus 10

Der natürliche Logarithmus 10 spielt eine Rolle zum Beispiel in der Berechnung von natürlichen Logarithmen von Zahlen, die in der wissenschaftlichen Notation, ein mantissa vertreten sind, der mit einer Macht 10 multipliziert ist:

:

Durch dieses Schuppen kann der Algorithmus den Logarithmus aller positiven reellen Zahlen zu einem Algorithmus für natürliche Logarithmen in der Reihe reduzieren

Hohe Präzision

Um den natürlichen Logarithmus mit vielen Ziffern der Präzision zu schätzen, ist die Reihe-Annäherung von Taylor nicht effizient, da die Konvergenz langsam ist. Eine Alternative soll die Methode von Newton verwenden, die Exponentialfunktion umzukehren, deren Reihe schneller zusammenläuft.

Eine Alternative für die äußerst hohe Präzisionsberechnung ist die Formel

:

wo M das arithmetische geometrische Mittel 1 und 4/s und anzeigt

:

mit der gewählten M, so dass p Bit der Präzision erreicht werden. (Zu den meisten Zwecken ist der Wert von 8 für die M genügend.) Tatsächlich, wenn diese Methode verwendet wird, kann die Inversion von Newton des natürlichen Logarithmus umgekehrt verwendet werden, um die Exponentialfunktion effizient zu berechnen. (Die Konstanten ln 2 und &pi; kann zur gewünschten Präzision mit einigen von mehreren bekannten schnell konvergierenden Reihen vorgeschätzt werden.)

Rechenbetonte Kompliziertheit

Die rechenbetonte Kompliziertheit, den natürlichen Logarithmus zu schätzen (das arithmetische geometrische Mittel verwendend), ist O (M (n) ln n). Hier ist n die Zahl von Ziffern der Präzision, an der der natürliche Logarithmus bewertet werden soll und M (n) die rechenbetonte Kompliziertheit ist, zwei n-digit Zahlen zu multiplizieren.

Fortlaufende Bruchteile

Während keine einfachen fortlaufenden Bruchteile verfügbar sind, sind mehrere verallgemeinerte fortlaufende Bruchteile, einschließlich:

:

\log (1+x) = \frac {x^1} {1}-\frac {x^2} {2} + \frac {x^3} {3}-\frac {x^4} {4} + \frac {x^5} {5}-\cdots=

\cfrac {x} {1-0x +\cfrac {1^2x} {2-1x +\cfrac {2^2x} {3-2x +\cfrac {3^2x} {4-3x +\cfrac {4^2x} {5-4x +\ddots}}}} }\

</Mathematik>:

\log \left (1 +\frac {2x} {y} \right) = \cfrac {2x} {y +\cfrac {x} {1 +\cfrac {x} {3y +\cfrac {2x} {1 +\cfrac {2x} {5y +\cfrac {3x} {1 +\ddots}}}}}}

\cfrac {2x} {y+x-\cfrac {(1x) ^2} {3 (y+x)-\cfrac {(2x) ^2} {5 (y+x)-\cfrac {(3x) ^2} {7 (y+x)-\ddots}}} }\

</Mathematik>

Komplizierte Logarithmen

Die Exponentialfunktion kann zu einer Funktion erweitert werden, die eine komplexe Zahl als e für jede willkürliche komplexe Zahl x gibt; verwenden Sie einfach die unendliche Reihe mit dem x Komplex. Diese Exponentialfunktion kann umgekehrt werden, um einen komplizierten Logarithmus zu bilden, der die meisten Eigenschaften des gewöhnlichen Logarithmus ausstellt. Es gibt zwei beteiligte Schwierigkeiten: Kein x hat e = 0; und es stellt sich dass e = 1 = e heraus. Da das multiplicative Eigentum noch für die komplizierte Exponentialfunktion, e = e, für den ganzen Komplex z und ganze Zahlen n arbeitet.

So kann der Logarithmus nicht für das ganze komplizierte Flugzeug definiert werden, und sogar dann es mehrgeschätzt wird - kann jeder komplizierte Logarithmus in einen "gleichwertigen" Logarithmus durch das Hinzufügen jeder ganzen Zahl geändert werden, die 2πi nach Wunsch vielfach ist. Der komplizierte Logarithmus kann nur auf dem Kürzungsflugzeug einzeln geschätzt werden. Zum Beispiel, ln i = 1/2 πi oder 5/2 πi oder 3/2 πi, usw.; und obwohl ich = 1 4 Klotz ich als 2πi, oder 10πi oder 6 πi und so weiter definiert werden kann.

Image:NaturalLogarithmRe.png | z = Re (ln (x+iy))

Image:NaturalLogarithmIm.png | z = |Im (ln (x+iy)) |

Image:NaturalLogarithmAbs.png | z = |ln (x+iy) |

Image:NaturalLogarithmAll.png | Überlagerung der vorherigen 3 Graphen

</Galerie>

Siehe auch

• John Napier - Erfinder von Logarithmen
• Logarithmus einer Matrix
• Logarithmische integrierte Funktion
• Nicholas Mercator - zuerst, um den Begriff natürlicher Klotz zu gebrauchen
• Polylogarithmus
• Funktion von Von Mangoldt
• Die Nummer e
• Natürlicher Logarithmus von 2
• Leonhard Euler

Links

• Demystifying der natürliche Logarithmus (ln) BetterExplained