Zahlentheorie ist ein Zweig der reinen Mathematik gewidmet in erster Linie der Studie der ganzen Zahlen. Zahl-Theoretiker studieren Primzahlen sowie die Eigenschaften von Gegenständen, die aus ganzen Zahlen (wie rationale Zahlen) gemacht sind oder als Generalisationen der ganzen Zahlen (solcher als, zum Beispiel, algebraischen ganzen Zahlen) definiert sind.

Ganze Zahlen können entweder in sich oder als Lösungen von Gleichungen betrachtet werden

(diophantine Geometrie). Fragen in der Zahlentheorie werden häufig am besten durch die Studie von analytischen Gegenständen verstanden (z.B, der Riemann zeta Funktion), die Eigenschaften der ganzen Zahlen, Blüte oder anderen mit der Zahl theoretischen Gegenstände auf eine Mode (analytische Zahlentheorie) verschlüsseln. Man kann auch reelle Zahlen in Bezug auf rationale Zahlen, z.B, wie näher gekommen, durch die Letzteren (diophantine Annäherung) studieren.

Der ältere Begriff für die Zahlentheorie ist Arithmetik; bis zum Anfang des zwanzigsten Jahrhunderts war es durch "die Zahlentheorie" ersetzt worden. (Das Wort "Arithmetik" wird von der breiten Öffentlichkeit verwendet, um "elementare Berechnungen" zu bedeuten; es hat auch andere Bedeutungen in der mathematischen Logik, als in der Arithmetik von Peano und Informatik, als in der Schwimmpunkt-Arithmetik erworben.) Der Gebrauch des Begriffes Arithmetik für die Zahlentheorie hat einen Boden in der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts wohl teilweise wegen des französischen Einflusses wiedergewonnen. Insbesondere arithmetisch wird als ein Adjektiv dem mit der Zahl theoretischen bevorzugt.

Geschichte

Ursprünge

Morgendämmerung der Arithmetik

Die ersten historischen finden von einer arithmetischen Natur ist ein Bruchstück eines Tisches: der gebrochene Tonblock Plimpton 322 (Larsa, Mesopotamia, ca. 1800 BCE) enthält eine Liste des "Pythagoreers verdreifacht sich", d. h., solche ganze Zahlen dass.

Das Verdreifachen ist zu viele und zu groß, um mit roher Gewalt erhalten worden zu sein. Das Kopfstück über die erste Säule liest: "Der takiltum der Diagonale, die solcher substracted dass die Breite..." gewesen ist

Das Lay-Out des Tisches weist darauf hin, dass es mittels was Beträge, auf der modernen Sprache, zur Identität gebaut wurde

\left (\frac {1} {2} \left (x + \frac {1} {x }\\Recht) \right) ^2, </Mathematik> </Zentrum>

der in alltäglichen Alten babylonischen Übungen implizit ist. Wenn eine andere Methode verwendet wurde, das Verdreifachen wurden zuerst gebaut und dann durch, vermutlich für den wirklichen Gebrauch als ein "Tisch", d. h. in der Absicht Anwendungen wiederbestellt.

Wir wissen nicht, was diese Anwendungen gewesen sein können, oder ob es irgendwelchen gegeben haben könnte; babylonische Astronomie, zum Beispiel, aufrichtig geblümt nur später. Es ist stattdessen darauf hingewiesen worden, dass der Tisch eine Quelle von numerischen Beispielen für Schulprobleme war.

Während babylonische Zahlentheorie — oder was von der babylonischen Mathematik überlebt, die so genannt werden kann — aus diesem einzelnen, bemerkenswerten Bruchstück besteht, wurde babylonische Algebra (im Sinn der Höheren Schule "der Algebra") außergewöhnlich gut entwickelt. Späte Neoplatonic Quellen stellen fest, dass Pythagoras Mathematik von den Babyloniern gelernt hat. (Viel frühere Quellen stellen fest, dass Thales und Pythagoras gereist sind und in Ägypten studiert haben.)

Euklid IX 21 — 34 ist sehr wahrscheinlich Pythagoreer; es ist sehr einfaches Material ("sonderbare Zeiten sogar ist sogar", "wenn eine ungerade Zahl [= misst, teilt sich] eine gerade Zahl, dann misst es auch [= teilt sich] Hälfte davon"), aber es ist alles, was erforderlich ist, um das zu beweisen

ist

vernunftwidrig. Mystiker von Pythagoraean haben große Wichtigkeit zum sonderbaren und sogar gegeben.

Die Entdeckung, die vernunftwidrig ist, wird dem frühen Pythagoreer (pre-Theodorus) kreditiert. Durch die Aufdeckung (in modernen Begriffen), dass Zahlen vernunftwidrig sein konnten, scheint diese Entdeckung, die erste foundational Krise in der mathematischen Geschichte provoziert zu haben; sein Beweis oder seine Enthüllung werden manchmal Hippasus kreditiert, der vertrieben wurde oder sich von der Pythagoreischen Sekte aufgespalten hat. Es ist nur hier, dass wir anfangen können, von einer klaren, bewussten Abteilung zwischen Zahlen (ganze Zahlen und der rationals — die Themen der Arithmetik) und Längen (reelle Zahlen, entweder vernünftig oder nicht) zu sprechen.

Die Pythagoreische Tradition hat auch von so genannten polygonalen oder bemalten Zahlen gesprochen. Während Quadratzahlen, Kubikzahlen usw. jetzt als natürlicher gesehen werden als Dreieckszahlen, Quadratzahlen, fünfeckige Zahlen, usw., die Studie der Summen

dreieckiger und fünfeckiger Zahlen würde sich fruchtbar in der frühen modernen Periode (17. zum Anfang des 19. Jahrhunderts) erweisen.

Wir wissen von keinem klar arithmetischen Material im alten Ägypter oder den Quellen von Vedic, obwohl es eine Algebra in beiden gibt. Der chinesische Rest-Lehrsatz erscheint als eine Übung in Suan Ching von Sun Zi (auch bekannt als Der Mathematische Klassiker von Sun Zi (3., 4. oder das 5. Jahrhundert CE.) (Gibt es einen wichtigen Schritt hat in der Lösung von Sun Zi beschönigt: Es ist das Problem, das später durch Āryabhaa's ku  gelöst wurde auch bekannt als - sieh.)

Es gibt auch eine numerische Mystik in der chinesischen Mathematik, aber, verschieden von diesem des Pythagoreers, scheint es, zu haben

geführt nirgends. Wie die vollkommenen Zahlen des Pythagoreers sind magische Quadrate vom Aberglauben in die Unterhaltung gegangen.

Das klassische Griechenland und die frühe hellenistische Periode

Beiseite von einigen Bruchstücken ist die Mathematik des Klassischen Griechenlands uns entweder durch die Berichte von zeitgenössischen Nichtmathematikern oder durch mathematische Arbeiten von der frühen hellenistischen Periode bekannt. Im Fall von der Zahlentheorie bedeutet das, im Großen und Ganzen, Plato und Euklid beziehungsweise.

Plato hatte ein scharfes Interesse an der Mathematik, und hat klar zwischen Arithmetik und Berechnung unterschieden. (Durch die Arithmetik hat er teilweise vorgehabt, auf der Zahl theoretisierend, aber nicht was Arithmetik oder Zahlentheorie gekommen sind, um zu bedeuten.) Es ist durch einen der Dialoge von Plato — nämlich,

Theaetetus - dass wir wissen, dass Theodorus bewiesen hatte, dass vernunftwidrig sind. Theaetetus, war wie Plato, ein Apostel von Theodorus; er hat am Unterscheiden verschiedener Arten von incommensurables gearbeitet, und war so wohl ein Pionier in der Studie von Zahl-Systemen. (Das Buch X der Elemente von Euklid wird von Pappus als basierend größtenteils auf der Arbeit von Theaetetus beschrieben.)

Euklid hat einen Teil seiner Elemente zu Primzahlen und Teilbarkeit, Themen gewidmet, die eindeutig der Zahlentheorie gehören und dazu (Bücher VII zu IX der Elemente von Euklid) grundlegend sind. Insbesondere er hat einen Algorithmus gegeben, für den größten allgemeinen Teiler von zwei Zahlen zu schätzen (der Euklidische Algorithmus; Elemente, Stütze. VII.2) und der erste bekannte Beweis der Unendlichkeit der Blüte (Elemente, Stütze. IX.20).

1773 hat Lessing ein Sinngedicht veröffentlicht, das er in einem Manuskript während seiner Arbeit als ein Bibliothekar gefunden hatte; es hat behauptet, ein Brief zu sein, der von Archimedes an Eratosthenes gesandt ist. Das Sinngedicht hat vorgeschlagen, was bekannt als geworden ist

Das Viehproblem von Archimedes; seine Lösung (vom Manuskript fehlend), verlangt das Lösen einer unbestimmten quadratischen Gleichung (der dazu abnimmt, was später die Gleichung von misnamed Pell sein würde). So weit wir wissen, wurden solche Gleichungen zuerst durch erfolgreich behandelt. Es ist nicht bekannt, ob Archimedes selbst eine Methode der Lösung hatte.

Diophantus

Sehr wenig ist über Diophantus Alexandrias bekannt; er hat wahrscheinlich im dritten Jahrhundert CE, d. h. ungefähr fünfhundert Jahre nach Euklid gelebt. Sechs aus den dreizehn Büchern des Arithmetica von Diophantus überleben im ursprünglichen Griechen; noch vier Bücher überleben in einer arabischen Übersetzung. Der Arithmetica ist eine Sammlung von bearbeiteten Problemen, wo die Aufgabe unveränderlich ist, vernünftige Lösungen eines Systems von polynomischen Gleichungen gewöhnlich der Form zu finden, oder. So, heutzutage, sprechen wir von Gleichungen von Diophantine, wenn wir von polynomischen Gleichungen sprechen, zu denen vernünftig oder Lösungen der ganzen Zahl gefunden werden muss.

Man kann sagen, dass Diophantus vernünftige Punkte — d. h., Punkte studierte, deren Koordinaten — auf Kurven und algebraischen Varianten vernünftig sind; jedoch, verschieden von den Griechen der Klassischen Periode, die getan haben, was wir jetzt grundlegende Algebra in geometrischen Begriffen nennen würden, hat Diophantus getan, was wir jetzt grundlegende algebraische Geometrie in rein algebraischen Begriffen nennen würden. Auf der modernen Sprache, was Diophantus tut, soll vernünftigen parametrisations von vielen Varianten finden; mit anderen Worten zeigt er, wie man ungeheuer viele rationale Zahlen erhält, die ein Gleichungssystem befriedigen, indem man ein Verfahren gibt, das in einen algebraischen Ausdruck gemacht werden kann

(, sagen Sie,

wo, und Polynome sind

oder Quotienten von Polynomen; das würde sein, was für wenn solcher zufriedener gesucht wird

eine gegebene Gleichung (sagt) für alle Werte von r und s).

Diophantus studiert auch die Gleichungen von einigen nichtvernünftigen Kurven, für die kein vernünftiger parametrisation möglich ist. Er schafft, einige vernünftige Punkte auf diesen Kurven - elliptische Kurven zu finden, wie es, darin geschieht, was scheint, ihr erstes bekanntes Ereignis — mittels was Beträge zu einem Tangente-Aufbau zu sein: übersetzt in die Koordinatengeometrie

(der in der Zeit von Diophantus nicht bestanden hat), würde seine Methode als Zeichnung einer Tangente zu einer Kurve an einem bekannten vernünftigen Punkt und dann Entdeckung des anderen Punkts der Kreuzung der Tangente mit der Kurve vergegenwärtigt; dass anderer Punkt ein neuer vernünftiger Punkt ist. (Diophantus sucht auch das auf, was einen speziellen Fall eines schneidenden Aufbaus genannt werden konnte.)

Während Diophantus größtenteils mit vernünftigen Lösungen betroffen wird, nimmt er einige Ergebnisse auf Zahlen der ganzen Zahl an; insbesondere er scheint anzunehmen, dass jede ganze Zahl die Summe von vier Quadraten ist, obwohl er nie so viel ausführlich festsetzt.

Indianerschule: Āryabhaa, Brahmagupta, Bhāskara

Während griechische Astronomie — dank der Eroberungen von Alexander — wahrscheinlich das Indianerlernen zum Punkt beeinflusst hat, Trigonometrie einzuführen, scheint es der Fall zu sein, dass Indianermathematik sonst eine einheimische Tradition ist; insbesondere es gibt keine Beweise, dass die Elemente von Euklid Indien vor dem 18. Jahrhundert erreicht haben.

Āryabhaa (476-550 CE) hat gezeigt, dass Paare von gleichzeitigen Kongruenzen, durch eine Methode gelöst werden konnte, die er ku  auch bekannt als, oder pulveriser genannt hat; das ist ein Verfahren in der Nähe von (eine Verallgemeinerung) der Euklidische Algorithmus, der wahrscheinlich unabhängig in Indien entdeckt wurde. Āryabhaa scheint, Anwendungen auf astronomische Berechnungen im Sinn gehabt zu haben.

Brahmagupta (628 CE) hat die systematische Studie von unbestimmten quadratischen Gleichungen — insbesondere der misnamed Gleichung von Pell angefangen, für die sich Archimedes zuerst interessiert haben kann, und der nicht angefangen hat, im Westen bis zur Zeit von Fermat und Euler gelöst zu werden. Spätere sanskritische Autoren würden mit der technischen Fachsprache von Brahmagupta folgen. Ein allgemeines Verfahren (der chakravala, oder "zyklische Methode"), um die Gleichung von Pell zu lösen, wurde schließlich von Jayadeva gefunden (zitiert im elften Jahrhundert; seine Arbeit wird sonst verloren); die frühste überlebende Ausstellung erscheint im Bīja-gaita von Bhāskara II (das zwölfte Jahrhundert).

Leider ist Indianermathematik größtenteils unbekannt im Westen bis zum Ende des achtzehnten Jahrhunderts geblieben; Brahmagupta und Bhāskara'S-Arbeit wurde ins Englisch 1817 von Henry Colebrooke übersetzt.

Arithmetik im islamischen Goldenen Zeitalter

Am Anfang des neunten Jahrhunderts hat der Kalif Al-Ma'mun Übersetzungen von vielen griechischen mathematischen Arbeiten und mindestens einer sanskritischer Arbeit bestellt (Sindhind,

der kann oder der Brāhmasphuţasiddhānta von Brahmagupta nicht sein kann), so die reiche Tradition der islamischen Mathematik verursachend.

Die Hauptarbeit von Diophantus, Arithmetica, wurde ins Arabisch von Qusta ibn Luqa (820-912) übersetzt.

Ein Teil der Abhandlung al-Fakhri (durch al-Karajī, 953 - ca. 1029) baut darauf einigermaßen. Gemäß Rashed Roshdi hat zeitgenössischer Ibn al-Haytham von Al-Karajī gewusst, was später den Lehrsatz von Wilson genannt würde.

Anders als eine Abhandlung auf Quadraten im arithmetischen Fortschritt durch Fibonacci — wer gelebt hat und im nördlichen Afrika und Constantinople während seiner formenden Jahre, ca studiert hat. 1175-1200 — wurde keine Zahlentheorie, um davon zu sprechen, in Westeuropa während des Mittleren Alters getan. Sachen haben angefangen, sich in Europa in der späten Renaissance dank einer erneuerten Studie der Arbeiten der griechischen Altertümlichkeit zu ändern. Ein Schlüsselkatalysator war die Textberichtigung und Übersetzung in Latein des Arithmetica von Diophantus (Bachet, 1621, im Anschluss an einen ersten Versuch durch Xylander, 1575).

Früh moderne Zahlentheorie

Fermat

Pierre de Fermat (1601-1665) hat nie seine Schriften veröffentlicht; insbesondere seine Arbeit an der Zahlentheorie wird fast völlig in Briefen an Mathematiker und in privaten Randzeichen enthalten. Er hat fast keine Beweise in der Zahlentheorie niedergeschrieben; er hatte keine Modelle im Gebiet. Er hat wirklich wiederholten Gebrauch der mathematischen Induktion gemacht, die Methode des unendlichen Abstiegs einführend.

Eines von den ersten Interessen von Fermat war vollkommene Zahlen (die in Euklid, Elemente IX erscheinen), und freundliche Zahlen; das hat ihn dazu gebracht, an Teilern der ganzen Zahl zu arbeiten, die vom Anfang unter den Themen des waren

Ähnlichkeit (1636 vorwärts), die ihn in der Berührung mit der mathematischen Gemeinschaft des Tages bringen. Er hatte bereits die Ausgabe von Bachet von Diophantus sorgfältig studiert; vor 1643 hatten sich seine Interessen größtenteils zu diophantine Problemen und Summen von Quadraten (auch behandelt von Diophantus) bewegt.

Die Ergebnisse von Fermat in der Arithmetik schließen ein:

• Der kleine Lehrsatz von Fermat (1640), dass, wenn feststellend, nicht teilbar durch einen ersten p, dann zu sein
• Wenn a und b coprime sind, dann ist durch jede Blüte nicht teilbar, die zu &minus;1 modulo 4 kongruent ist; und Jede Blüte, die zu 1 modulo 4 kongruent ist, kann in der Form geschrieben werden. Diese zwei Behauptungen auch Datum von 1640; 1659 hat Fermat Huygens festgestellt, dass er die letzte Behauptung durch die Methode des Abstiegs bewiesen hatte. Fermat und Frenicle haben auch etwas Arbeit (etwas davon falsch oder nichtstreng) auf anderen quadratischen Formen getan.
• Fermat hat das Problem des Lösens als eine Herausforderung an englische Mathematiker (1657) aufgeworfen. Das Problem wurde in ein paar Monaten von Wallis und Brouncker behoben. Fermat hat ihre Lösung als gültig betrachtet, aber hat darauf hingewiesen, dass sie einen Algorithmus ohne einen Beweis zur Verfügung gestellt hatten (wie Jayadeva und Bhaskara hatte, obwohl Fermat das nie wissen würde.) Stellt er fest, dass ein Beweis durch den Abstieg gefunden werden kann.
• Fermat hat Methoden dafür entwickelt (das Tun, was sich in unseren Begriffen auf beläuft) Entdeckung von Punkten auf Kurven der Klasse 0 und 1. Als in Diophantus gibt es viele spezielle Verfahren und was Beträge zu einem Tangente-Aufbau, aber keinem Gebrauch eines schneidenden Aufbaus.
• Fermat setzt fest und erweist sich (durch den Abstieg) im Anhang zu Beobachtungen auf Diophantus (Obs. XLV), der keine nichttrivialen Lösungen in den ganzen Zahlen hat. Fermat hat auch seinen Korrespondenten erwähnt, der keine nichttrivialen Lösungen hat, und dass das durch den Abstieg bewiesen werden konnte. Der erste bekannte Beweis ist wegen Euler (1753; tatsächlich durch den Abstieg).

Der Anspruch von Fermat ("der letzte Lehrsatz von Fermat"), um sich gezeigt zu haben, gibt es keine Lösungen von

für alle (eine Tatsache völlig außer seinen Methoden) erscheint nur auf seinen Anmerkungen auf den Rand seiner Kopie von Diophantus; er hat nie das zu anderen gefordert und hatte so kein Bedürfnis, es zurückzunehmen, wenn er einen Fehler in seinem angeblichen Beweis gefunden hat.

Euler

Das Interesse von Leonhard Euler (1707-1783) in der Zahlentheorie wurde zuerst 1729 gespornt, als ein Freund von seinem, der Dilettant Goldbach ihn zu etwas von der Arbeit von Fermat am Thema angespitzt hat. Das ist die "Wiedergeburt" der modernen Zahlentheorie, nach dem Verhältnismangel von Fermat am Erfolg im Bekommen der Aufmerksamkeit seiner Zeitgenossen für das Thema genannt worden. Die Arbeit von Euler an der Zahlentheorie schließt den folgenden ein:

• Beweise für die Behauptungen von Fermat. Das schließt den kleinen Lehrsatz von Fermat (verallgemeinert von Euler zu Nichthauptmodulen) ein; die Tatsache dass wenn und nur wenn; die anfängliche Arbeit zu einem Beweis, dass jede ganze Zahl die Summe von vier Quadraten ist (ist der erste ganze Beweis durch Lagrange (1770), bald verbessert von Euler selbst; der Mangel an Nichtnulllösungen der ganzen Zahl (Andeutung des Falls n=4 des letzten Lehrsatzes von Fermat, der Fall n=3 der Euler, der auch durch eine zusammenhängende Methode bewiesen ist).
• Die Gleichung von Pell, der erste misnamed durch Euler. Er hat über die Verbindung zwischen fortlaufenden Bruchteilen und der Gleichung von Pell geschrieben.
• Die ersten Schritte zur analytischen Zahlentheorie. In seiner Arbeit von Summen von vier Quadraten, Teilungen, fünfeckigen Zahlen und dem Vertrieb von Primzahlen, hat Euler für den Gebrauch dessen den Weg gebahnt, was als Analyse (insbesondere unendliche Reihe) in der Zahlentheorie gesehen werden kann. Seitdem er gelebt hat, vor der Entwicklung der komplizierten Analyse wird der grösste Teil seiner Arbeit auf die formelle Manipulation der Macht-Reihe eingeschränkt. Er hat jedoch getan einige sehr bemerkenswert (obwohl nicht völlig streng) arbeiten früh daran, was später den Riemann zeta Funktion genannt würde.
• Quadratische Formen. Die Leitung von folgendem Fermat, Euler hat wirklich weiter auf der Frage geforscht, deren Blüte ist, kann in der Form, etwas davon ausgedrückt werden, quadratische Reziprozität ankündigend.
• Gleichungen von Diophantine. Euler hat an einigen diophantine Gleichungen der Klasse 0 und 1 gearbeitet. Insbesondere er hat die Arbeit von Diophantus studiert; er hat versucht, es zu systematisieren, aber die Zeit war für solch einen Versuch noch nicht reif - algebraische Geometrie war noch in seinem Säuglingsalter. Er hat wirklich bemerkt, dass es eine Verbindung zwischen diophantine Problemen und elliptischen Integralen gab, deren Studie er selbst begonnen hatte.

Lagrange, Legendre und Gauss

Lagrange (1736-1813) war erst, um volle Beweise von etwas von der Arbeit und Beobachtungen von Fermat und Eulers - zum Beispiel, der quadratische Lehrsatz und die grundlegende Theorie des misnamed "die Gleichung von Pell" zu geben (für den eine algorithmische Lösung von Fermat und seinen Zeitgenossen, und auch von Jayadeva und Bhaskara II vor ihnen gefunden wurde.) Hat er auch quadratische Formen in der vollen Allgemeinheit (im Vergleich mit) - das Definieren ihrer Gleichwertigkeitsbeziehung, die Vertretung studiert, wie man sie in der reduzierten Form usw. stellt.

Legendre (1752-1833) war erst, um das Gesetz der quadratischen Reziprozität festzusetzen. Er auch

vermutet was Beträge zum Primzahl-Lehrsatz und dem Lehrsatz von Dirichlet auf arithmetischen Fortschritten. Er hat eine volle Behandlung der Gleichung gegeben und hat an quadratischen Formen entlang den Linien später entwickelt völlig von Gauss gearbeitet. In seinem Alter war er erst, um "den letzten Lehrsatz von Fermat" für zu beweisen (Arbeit von Dirichlet vollendend, und sowohl ihm als auch Sophie Germain glaubend).

In seinem Disquisitiones Arithmeticae (1798) hat Gauss (1777-1855) das Gesetz der quadratischen Reziprozität bewiesen und hat die Theorie von quadratischen Formen entwickelt (insbesondere ihre Zusammensetzung definierend). Er hat auch eine grundlegende Notation (Kongruenzen) eingeführt und hat eine Abteilung rechenbetonten Sachen einschließlich Primality-Tests gewidmet. Die letzte Abteilung von Disquisitiones hat eine Verbindung zwischen Wurzeln der Einheit und Zahlentheorie gegründet:

allein zur Arithmetik, aber seinen Grundsätzen kann nur von der höheren Arithmetik gezogen werden.

Auf diese Weise hat Gauss wohl einen ersten Raubzug sowohl zur Arbeit von Galois als auch zu Theorie der algebraischen Zahl gemacht.

Reife und Abteilung in Teilfelder

Am Anfang des neunzehnten Jahrhunderts anfangend, haben die folgenden Entwicklungen allmählich stattgefunden:

• Der Anstieg zur Befangenheit der Zahlentheorie (oder höhere Arithmetik) als ein Studienfach.
• Die Entwicklung von viel moderner für die grundlegende moderne Zahlentheorie notwendiger Mathematik: komplizierte Analyse, Gruppentheorie, Theorie von Galois — begleitet durch die größere Strenge in der Analyse und Abstraktion in der Algebra.
• Die raue Unterteilung der Zahlentheorie in seine modernen Teilfelder — insbesondere analytische und Theorie der algebraischen Zahl.

Wie man

sagen kann, fängt Theorie der algebraischen Zahl mit der Studie der Reziprozität und cyclotomy an, aber ist aufrichtig in sein eigenes mit der Entwicklung der abstrakten Algebra und frühen idealen Theorie und Schätzungstheorie eingetreten; sieh unten. Ein herkömmlicher Startpunkt für die analytische Zahlentheorie ist der Lehrsatz von Dirichlet auf arithmetischen Fortschritten (1837), dessen Beweis L-Funktionen eingeführt hat und etwas asymptotische Analyse und einen Begrenzungsprozess auf einer echten Variable eingeschlossen hat. Der erste Gebrauch von analytischen Ideen in der Zahlentheorie wirklich

geht zu Euler (die 1730er Jahre) zurück, wer formelle Macht-Reihe und nichtstreng (oder implizit) das Begrenzen von Argumenten verwendet hat. Der Gebrauch der komplizierten Analyse in der Zahlentheorie kommt später: Die Arbeit von Riemann (1859) auf der Zeta-Funktion ist der kanonische Startpunkt; der quadratische Lehrsatz von Jacobi (1839), der es zurückdatiert, gehört einem am Anfang verschiedenen Ufer, das inzwischen eine Hauptrolle in der analytischen Zahlentheorie (Modulformen) genommen hat.

Die Geschichte jedes Teilfeldes wird in seiner eigenen Abteilung unten kurz gerichtet; sieh den Hauptartikel jedes Teilfeldes für vollere Behandlungen. Viele der interessantesten Fragen in jedem Gebiet bleiben offen und werden darauf aktiv gearbeitet.

Hauptunterteilungen

Elementare Werkzeuge

Der Begriff elementar zeigt allgemein eine Methode an, die komplizierte Analyse nicht verwendet. Zum Beispiel wurde der Primzahl-Lehrsatz zuerst 1896 bewiesen, aber ein elementarer Beweis wurde nur 1949 durch Erdős und Selberg gefunden. Der Begriff ist etwas zweideutig: Zum Beispiel, Beweise, die auf komplizierten Lehrsätzen von Tauberian (z.B gestützt sind. Wiener-Ikehara) werden häufig als ziemlich aufschlussreich, aber nicht elementar, trotz des Verwendens der Analyse von Fourier, aber nicht komplizierten Analyse als solcher gesehen. Hier als anderswohin kann ein elementarer Beweis länger und für die meisten Leser schwieriger sein als ein nichtelementarer.

Zahlentheorie hat den Ruf, ein Feld zu sein, viele können deren Ergebnisse dem Laien festgesetzt werden. Zur gleichen Zeit sind die Beweise dieser Ergebnisse teilweise nicht besonders zugänglich, weil die Reihe von Werkzeugen, die sie verwenden, wenn irgendetwas ist, das ungewöhnlich innerhalb der Mathematik breit ist.

Analytische Zahlentheorie

Analytische Zahlentheorie kann definiert werden

• in Bezug auf seine Werkzeuge, als die Studie der ganzen Zahlen mittels Werkzeuge von der echten und komplizierten Analyse; oder
• in Bezug auf seine Sorgen, als die Studie innerhalb der Zahlentheorie von Schätzungen auf der Größe und Dichte, im Vergleich mit der Identität.

Einige Themen, die allgemein überlegt sind, um ein Teil der analytischen Zahlentheorie, z.B, Sieb-Theorie zu sein, werden durch das zweite aber nicht die erste Definition besser bedeckt: Etwas von der Sieb-Theorie verwendet zum Beispiel wenig Analyse, noch, wie man betrachtet, ist es ein Teil der analytischen Zahlentheorie.

Der folgende ist Beispiele von Problemen in der analytischen Zahlentheorie: der Primzahl-Lehrsatz, die Vermutung von Goldbach (oder der Zwilling Hauptvermutung oder die Zähen-Littlewood Vermutungen), das Problem von Waring und die Hypothese von Riemann. Einige der wichtigsten Werkzeuge der analytischen Zahlentheorie sind die Kreismethode, Sieb-Methoden und L-Funktionen (oder, eher, die Studie ihrer Eigenschaften). Die Theorie von Modulformen (und, mehr allgemein, automorphic Formen) besetzt auch einen immer zentraleren Platz im Werkzeugkasten der analytischen Zahlentheorie.

Man kann analytische Fragen über algebraische Zahlen stellen, und analytisch verwenden bedeutet, auf solche Fragen zu antworten; es ist so, den algebraische und analytische Zahlentheorie durchschneidet. Zum Beispiel kann man Hauptideale (Generalisationen von Primzahlen definieren, die im Feld von algebraischen Zahlen leben), und fragen, wie viel Hauptideale dort bis zu einer bestimmten Größe sind. Auf diese Frage kann mittels einer Überprüfung von Funktionen von Dedekind zeta geantwortet werden, die Generalisationen des Riemanns zeta Funktion, ein äußerst wichtiger analytischer Gegenstand sind, der den Vertrieb von Primzahlen beschreibt.

Theorie der algebraischen Zahl

Theorie der algebraischen Zahl studiert algebraische Eigenschaften und algebraische Gegenstände von Interesse in der Zahlentheorie. (So kann analytische und Theorie der algebraischen Zahl und wirklich überlappen: Der erstere wird durch seine Methoden, die Letzteren durch seine Gegenstände der Studie definiert.) Ist ein Schlüsselthema das der algebraischen Zahlen, die Generalisationen der rationalen Zahlen sind. Kurz ist eine algebraische Zahl jede komplexe Zahl, die eine Lösung einer polynomischen Gleichung mit vernünftigen Koeffizienten ist; zum Beispiel, jede Lösung dessen

</Mathematik> (sagen) ist eine algebraische Zahl. Felder von algebraischen Zahlen werden auch Felder der algebraischen Zahl, oder kurz numerische Felder genannt.

Es konnte behauptet werden, dass die einfachste Art von numerischen Feldern (nämlich, quadratische Felder) bereits von Gauss studiert wurden, weil die Diskussion von quadratischen Formen in Disquisitiones arithmeticae in Bezug auf Ideale und neu formuliert werden kann

Normen in quadratischen Feldern. (Ein quadratisches Feld besteht aus dem ganzen

Zahlen der Form, wo

und sind rationale Zahlen und

ist eine feste rationale Zahl, deren Quadratwurzel nicht vernünftig ist.)

Was das betrifft, das 11. Jahrhundert chakravala Methode-Beträge — in modernen Begriffen — zu einem Algorithmus, für die Einheiten eines echten quadratischen numerischen Feldes zu finden. Jedoch haben weder Bhāskara noch Gauss von numerischen Feldern als solcher gewusst.

Der Boden des Themas, weil wir es wissen, wurde gegen Ende des neunzehnten Jahrhunderts gesetzt, als ideale Zahlen, die Theorie von Idealen und Schätzungstheorie entwickelt wurden; das sind drei Ergänzungsweisen, sich mit dem Mangel an einzigartigem factorisation in Feldern der algebraischen Zahl zu befassen. (Zum Beispiel, im Feld, das durch den rationals erzeugt ist

und die Zahl kann sowohl als als auch faktorisiert werden

; ganzer, und

sind

und so in einem naiven Sinn nicht zu vereinfachend, der Blüte unter den ganzen Zahlen analog.) Der anfängliche Impuls für die Entwicklung von idealen Zahlen (durch Kummer) scheint, aus der Studie von höheren Reziprozitätsgesetzen, d. h., Verallgemeinerungen der quadratischen Reziprozität gekommen zu sein.

Numerische Felder werden häufig als Erweiterungen von kleineren numerischen Feldern studiert: Wie man sagt, ist Feld L eine Erweiterung Feldes K, wenn L K enthält.

(Zum Beispiel sind die komplexen Zahlen C eine Erweiterung des reals R, und die reals R sind eine Erweiterung des rationals Q.)

Das Klassifizieren der möglichen Erweiterungen eines gegebenen numerischen Feldes ist ein schwieriges und teilweise offenes Problem. Erweiterungen von Abelian — d. h. Erweiterungen L solchen K, dass das Gruppenmädchen von Galois (L/K) von L über K eine abelian Gruppe ist — werden relativ gut verstanden.

Ihre Klassifikation war der Gegenstand des Programmes der Klassenfeldtheorie, die gegen Ende des 19. Jahrhunderts (teilweise von Kronecker und Eisenstein) begonnen und größtenteils 1900 — 1950 ausgeführt wurde.

Ein Beispiel eines aktiven Gebiets der Forschung in der Theorie der algebraischen Zahl ist Theorie von Iwasawa. Das Langlands Programm, einer der groß angelegten aktuellen Hauptforschungspläne in der Mathematik, wird manchmal als ein Versuch beschrieben, Klassenfeldtheorie zu non-abelian Erweiterungen von numerischen Feldern zu verallgemeinern.

Geometrie von Diophantine

Das Hauptproblem der Geometrie von Diophantine ist zu bestimmen, wenn eine Gleichung von Diophantine Lösungen hat, und wenn es, wie viel tut. Die genommene Annäherung soll an die Lösungen einer Gleichung als ein geometrischer Gegenstand denken.

Zum Beispiel definiert eine Gleichung in zwei Variablen eine Kurve im Flugzeug. Mehr allgemein definiert eine Gleichung oder Gleichungssystem, in zwei oder mehr Variablen eine Kurve, eine Oberfläche oder einen anderen solchen Gegenstand im n-dimensional Raum. In der Diophantine Geometrie fragt man, ob es irgendwelche vernünftigen Punkte gibt (weist hin alle sind dessen Koordinaten rationals), oder

integrierte Punkte (weist hin, alle sind dessen Koordinaten ganze Zahlen), auf der Kurve oder Oberfläche. Wenn es irgendwelche solche Punkte gibt, soll der nächste Schritt fragen, wie viel es gibt, und wie sie verteilt werden. Eine grundlegende Frage in dieser Richtung ist: Gibt es begrenzt

oder ungeheuer viele vernünftige Punkte auf einer gegebenen Kurve (oder Oberfläche)? Wie steht's mit Punkten der ganzen Zahl?

Ein Beispiel hier kann nützlich sein. Denken Sie die Pythagoreische Gleichung;

wir würden gern seine vernünftigen Lösungen, d. h., seine Lösungen studieren

solch dass

x und y sind beide vernünftig. Das ist dasselbe als bittend um alle Lösungen der ganzen Zahl

dazu; jede Lösung der letzten Gleichung gibt

wir eine Lösung, zum ersteren. Es ist auch der

dasselbe als bittend um alle Punkte mit vernünftigen Koordinaten auf der Kurve

beschrieben dadurch. (Diese Kurve ist zufällig ein Kreis des Radius 1 um den Ursprung.)

der Klasse mindestens einen vernünftigen Punkt 1 zu haben. (Jeder Graph kann als eine Scheibe eines Rings im vierdimensionalen Raum gesehen werden.)]]

Das Neuformulieren von Fragen auf Gleichungen in Bezug auf Punkte auf Kurven erweist sich, glücklich gewählt zu sein. Die Endlichkeit oder nicht der Zahl von vernünftigen oder ganzer Zahl weist auf einer algebraischen Kurve hin — d. h. vernünftig oder Lösungen der ganzen Zahl einer Gleichung, wo ein Polynom in zwei Variablen ist — erweist sich, entscheidend von der Klasse der Kurve abzuhängen. Die Klasse kann wie folgt definiert werden: Erlauben Sie die Variablen in, komplexe Zahlen zu sein; dann definiert eine 2-dimensionale Oberfläche im (projektiven) 4-dimensionalen Raum (da zwei komplizierte Variablen in vier echte Variablen, d. h., vier Dimensionen zersetzt werden können). Graf

die Zahl (des Krapfens) Löcher in der Oberfläche; nennen Sie diese Zahl die Klasse dessen. Andere geometrische Begriffe erweisen sich, so entscheidend zu sein.

Es gibt auch das nah verbundene Gebiet von diophantine Annäherungen: In Anbetracht einer Zahl, wie gut kann ihm durch rationals näher gekommen werden? (Wir suchen nach Annäherungen, die hinsichtlich der verfügbaren Fläche gut sind, die es nimmt, um das vernünftige zu schreiben: Rufen Sie (mit) einer guten Annäherung an wenn

Geometrie von Diophantine sollte mit der Geometrie von Zahlen nicht verwirrt sein, die eine Sammlung von grafischen Methoden ist, um auf bestimmte Fragen in der Theorie der algebraischen Zahl zu antworten. Arithmetische Geometrie ist andererseits ein zeitgenössischer Begriff

für das ziemlich gleiche Gebiet als das, das durch den Begriff diophantine Geometrie bedeckt ist. Die Begriff-Arithmetik-Geometrie wird wohl verwendet

meistenteils, wenn man die Verbindungen zur modernen algebraischen Geometrie (als in, zum Beispiel, der Lehrsatz von Faltings) aber nicht zu Techniken in diophantine Annäherungen betonen möchte.

Neue Annäherungen und Teilfelder

Die Gebiete unter dem Datum als solcher von nicht früher als die Mitte des zwanzigsten Jahrhunderts, selbst wenn sie auf dem älteren Material basieren. Zum Beispiel, wie unten erklärt wird, ist die Sache von Algorithmen in der Zahlentheorie in einem Sinn sehr alt, der älter ist als das Konzept des Beweises; zur gleichen Zeit, die moderne Studie von Berechenbarkeitsdaten nur von den 1930er Jahren und den 1940er Jahren und der rechenbetonten Kompliziertheitstheorie von den 1970er Jahren.

Zahlentheorie von Probabilistic

Nehmen Sie eine Zahl aufs Geratewohl zwischen ein und eine Million. Wie soll wahrscheinlich es erst sein? Das ist gerade eine andere Weise, wie viel Blüte zu fragen, dort sind zwischen ein und eine Million. Sehr gut; fragen Sie weiter: Wie viele Hauptteiler wird es durchschnittlich haben? Wie viele Teiler wird es zusammen, und womit Wahrscheinlichkeit haben? Wie ist die Wahrscheinlichkeit, dass es noch viele oder viele weniger Teiler oder Hauptteiler hat als der Durchschnitt?

Viel probabilistic Zahlentheorie kann als ein wichtiger spezieller Fall der Studie von Variablen gesehen werden, die fast, aber nicht ganz, gegenseitig unabhängig sind. Zum Beispiel, das Ereignis dass eine zufällige ganze Zahl zwischen ein und eine Million, durch zwei und das Ereignis teilbar sein, dass es, durch drei teilbar sein, fast, aber nicht ganz unabhängig ist.

Es wird manchmal gesagt, dass probabilistic combinatorics die Tatsache verwendet, die, was auch immer mit der Wahrscheinlichkeit geschieht, die größer ist als, manchmal geschehen muss; man kann mit der gleichen Justiz sagen, dass viele Anwendungen der probabilistic Zahlentheorie von der Tatsache abhängen, die, was auch immer ungewöhnlich ist, selten sein muss. Wenn, wie man zeigen kann, bestimmte algebraische Gegenstände (sagen vernünftig oder Lösungen der ganzen Zahl bestimmter Gleichungen), im Schwanz des bestimmten vernünftig definierten Vertriebs sind, hieraus folgt dass es wenige von ihnen geben muss; das ist eine sehr konkrete non-probabilistic Behauptung, die aus einem probabilistic ein folgt.

Zuweilen nichtstreng, probabilistic Annäherung führt zu mehreren heuristischen Algorithmen und offenen Problemen, namentlich die Vermutung von Cramér.

Arithmetik combinatorics

Lassen Sie, eine Reihe von ganzen Zahlen zu sein. Denken Sie den Satz, der aus allen Summen von zwei Elementen dessen besteht. Ist viel größer als A? Kaum größer? Wenn kaum größer ist als, muss viel arithmetische Struktur \pmod z.B haben, sieht sie wie ein arithmetischer Fortschritt aus?

Wenn wir von einem "ziemlich dicken" unendlichen Satz beginnen, tut er enthält viele Elemente im arithmetischen Fortschritt:

, sagen? Sollte es möglich sein, große ganze Zahlen als Summen von Elementen dessen zu schreiben?

Diese Fragen sind für die Arithmetik combinatorics charakteristisch. Das ist ein jetzt verschmelzendes Feld; es ordnet zusätzliche Zahlentheorie unter (der sich mit bestimmten sehr spezifischen Sätzen der arithmetischen Bedeutung, wie die Blüte oder die Quadrate beschäftigt), und, wohl, etwas von der Geometrie von Zahlen,

zusammen mit einem sich schnell entwickelnden neuen Material. Sein Fokus auf Problemen des Wachstums und Vertriebs legt teilweise für seine sich entwickelnden Verbindungen mit ergodic Theorie, begrenzter Gruppentheorie, Mustertheorie und anderen Feldern Rechenschaft ab. Der Begriff Zusatz combinatorics wird auch gebraucht; jedoch brauchen die Sätze, die studieren werden, nicht Sätze von ganzen Zahlen, aber eher Teilmengen von Nichtersatzgruppen zu sein, für die das Multiplikationssymbol, nicht das Hinzufügungssymbol, traditionell verwendet wird; sie können auch Teilmengen von Ringen, in welchem Fall das Wachstum sein und · kann sein

verglichen.

Berechnung in der Zahlentheorie

Während der Wortalgorithmus nur bestimmten Lesern von al-Khwārizmī zurückgeht, sind sorgfältige Beschreibungen von Methoden der Lösung älter als Beweise: Solche Methoden (d. h. Algorithmen) sind so alt wie jede erkennbare Mathematik — alter Ägypter, Babylonier, Vedic, Chinesisch — wohingegen Beweise nur mit den Griechen der klassischen Periode erschienen sind.

Ein interessanter früher Fall ist der dessen, was wir jetzt den Euklidischen Algorithmus nennen. In seiner grundlegenden Form (nämlich, als ein Algorithmus, für den größten allgemeinen Teiler zu schätzen), erscheint es als Vorschlag 2 des Buches VII in Elementen zusammen mit einem Beweis der Genauigkeit. Jedoch, in der Form, die häufig in der Zahlentheorie verwendet wird (nämlich, als ein Algorithmus, um Lösungen der ganzen Zahl einer Gleichung, zu finden

oder was dasselbe ist, für die Mengen zu finden, deren Existenz durch den chinesischen Rest-Lehrsatz gesichert wird), erscheint es zuerst in den Arbeiten von Āryabhaa (5. - das 6. Jahrhundert CE), wie ein Algorithmus genannt

hat

ku  auch bekannt als ("pulveriser"), ohne einen Beweis der Genauigkeit.

Es gibt zwei Hauptfragen: "Können wir das schätzen?" und "können wir es schnell schätzen?". Jeder kann prüfen, ob eine Zahl erst ist oder, wenn es nicht ist, spalten Sie es in Hauptfaktoren; das Tun ist so schnell eine andere Sache. Wir wissen jetzt schnelle Algorithmen, um primality, aber, trotz viel Arbeit (sowohl theoretisch als auch praktisch), kein aufrichtig schneller Algorithmus für das Factoring zu prüfen.

Die Schwierigkeit einer Berechnung kann nützlich sein: Moderne Protokolle für encrypting Nachrichten (z.B, RSA) hängen von Funktionen ab, die allen bekannt sind, aber dessen Gegenteile (a) nur einem gewählten bekannt sind, den wenige und (b) einen eine zu lange Zeit nehmen würden, um auf jemandes eigenem auszurechnen. Zum Beispiel können diese Funktionen solch sein, dass ihre Gegenteile nur geschätzt werden können, wenn bestimmte große ganze Zahlen faktorisiert werden. Während viele schwierige rechenbetonte Probleme außerhalb der Zahlentheorie bekannt sind, basieren am meisten arbeitende Verschlüsselungsprotokolle heutzutage auf der Schwierigkeit von einigen mit der Zahl theoretischen Problemen.

Auf einem verschiedenen Zeichen - können einige Dinge nicht überhaupt berechenbar sein; tatsächlich kann das in einigen Beispielen bewiesen werden. Zum Beispiel, 1970, wurde es bewiesen, dass es keine Maschine von Turing gibt, die alle Gleichungen von Diophantine lösen kann (sieh das 10. Problem von Hilbert). Es gibt so einige Probleme in der Zahlentheorie, die nie gelöst wird. Wir wissen sogar die Gestalt über einige von ihnen, nämlich, Gleichungen von Diophantine in neun Variablen; wir wissen einfach nicht und können nicht wissen, welche Koeffizienten uns Gleichungen geben, für die die folgenden zwei Behauptungen beide wahr sind: Es gibt keine Lösungen, und wir werden nie wissen, dass es keine Lösungen gibt.

Literatur

Zwei der populärsten Einführungen ins Thema sind:

Das Buch des zähen und Wrights ist ein umfassendes klassisches Werk, obwohl seine Klarheit manchmal wegen des Beharrens der Autoren auf elementaren Methoden leidet.

Die Hauptanziehungskraft von Vinogradov besteht in seinem Satz von Problemen, die schnell zu den eigenen Forschungsinteressen von Vinogradov führen; der Text selbst ist sehr grundlegend und in der Nähe vom minimalen.

Populäre Wahlen für ein zweites Lehrbuch schließen ein:

Siehe auch

• Algebraisches Funktionsfeld
• Begrenztes Feld
• P-Adic-Zahl

Zitate

Referenzen

Quellen

• (Abonnement erforderlich)

• Die 1968-Ausgabe an Google bestellt vor

• Band 4 (1912) des Bands 3 des Bands 2 des Bands 1

• Für andere Ausgaben, sieh Iamblichus#List von Ausgaben und Übersetzungen

• Diese Google-Buchvorschau auf Elemente der Algebra hat an der Einleitung von Truesdell Mangel, die (ein bisschen gekürzt) im folgenden Buch nachgedruckt wird:

Links

• Zahlentheorie-Web