In der Mathematik, mit 2- oder 3-dimensionale Vektoren mit reellwertigen Einträgen, ist die Idee von der "Länge" eines Vektoren intuitiv und kann zu jedem echten Vektorraum R leicht erweitert werden. Die folgenden Eigenschaften der "Vektor-Länge" sind entscheidend.

1. Der Nullvektor, 0, hat Nulllänge; jeder andere Vektor hat eine positive Länge.

: wenn

2. Das Multiplizieren eines Vektoren durch eine positive Zahl ändert seine Länge, ohne seine Richtung zu ändern. Außerdem,

: für jeden Skalar

3. Die Dreieck-Ungleichheit hält. D. h. Normen als Entfernungen nehmend, ist die Entfernung vom Punkt durch B zu C nie kürzer als das Gehen direkt von bis C, oder die kürzeste Entfernung zwischen irgendwelchen zwei Punkten ist eine Gerade.

: für irgendwelche Vektoren x und y. (Dreieck-Ungleichheit)

Die Generalisation dieser drei Eigenschaften zu abstrakteren Vektorräumen führt zum Begriff der Norm. Ein Vektorraum, auf dem eine Norm definiert wird, wird dann einen normed Vektorraum genannt.

Vektorräume von Normed sind zur Studie der geradlinigen Algebra und Funktionsanalyse zentral.

Definition

Ein normed Vektorraum ist ein Paar (V,  · ), wo V ein Vektorraum und  ist ·  eine Norm auf V.

Ein seminormed Vektorraum ist ein Paar (V, p), wo V ein Vektorraum und p eine Halbnorm auf V ist.

Wir lassen häufig p oder  weg ·  und schreiben gerade V für einen Raum, wenn es vom Zusammenhang klar ist, welche (halb)-Norm wir verwenden.

In einem allgemeineren Sinn kann eine Vektor-Norm genommen werden, um jede reellwertige Funktion zu sein, die diese drei Eigenschaften befriedigt. Die Eigenschaften 1. und 2. beziehen Sie zusammen das ein

: wenn und nur wenn.

Eine nützliche Schwankung der Dreieck-Ungleichheit ist

: für irgendwelche Vektoren x und y.

Das zeigt auch, dass eine Vektor-Norm eine dauernde Funktion ist.

Topologische Struktur

Wenn (V,  · ) ist ein normed Vektorraum, die Norm  ·  veranlasst einen metrischen (ein Begriff der Entfernung) und deshalb eine Topologie auf V. Das metrisch wird auf die natürliche Weise definiert: Die Entfernung zwischen zwei Vektoren u und v wird durch u−v gegeben. Diese Topologie ist genau die schwächste Topologie, die  macht ·  dauernd, und der mit der geradlinigen Struktur V im folgenden Sinn vereinbar ist:

1. Die Vektor-Hinzufügung +: V × V  V sind in Bezug auf diese Topologie gemeinsam dauernd. Das folgt direkt von der Dreieck-Ungleichheit.
2. Die Skalarmultiplikation ·: K × V  V, wo K das zu Grunde liegende Skalarfeld V ist, sind gemeinsam dauernd. Das folgt aus der Dreieck-Ungleichheit und Gleichartigkeit der Norm.

Ähnlich für jeden semi-normed Vektorraum können wir die Entfernung zwischen zwei Vektoren u und v als u−v definieren. Das verwandelt sich der seminormed Raum in einen pseudometrischen Raum (bemerken Sie, dass das schwächer ist als ein metrischer) und die Definition von Begriffen wie Kontinuität und Konvergenz erlaubt.

Um es abstrakter zu stellen, ist jeder semi-normed Vektorraum ein topologischer Vektorraum und trägt so eine topologische Struktur, die durch die Halbnorm veranlasst wird.

Vom speziellen Interesse sind ganze normed Räume genannt Banachräume. Jeder normed Vektorraum V sitzt als ein dichter Subraum innerhalb eines Banachraums; dieser Banachraum wird im Wesentlichen durch V einzigartig definiert und wird die Vollziehung V genannt.

Alle Normen auf einem endlich-dimensionalen Vektorraum sind aus einem topologischen Gesichtspunkt gleichwertig, weil sie dieselbe Topologie veranlassen (obwohl die resultierenden metrischen Räume dasselbe nicht zu sein brauchen). Und da jeder Euklidische Raum abgeschlossen ist, können wir so beschließen, dass alle endlich-dimensionalen normed Vektorräume Banachräume sind. Ein normed Vektorraum V ist wenn und nur wenn der Einheitsball B = {x lokal kompakt: x   ist 1\kompakt, der der Fall ist, wenn, und nur wenn V endlich-dimensional ist; das ist eine Folge des Lemmas von Riesz. (Tatsächlich ist ein allgemeineres Ergebnis wahr: Ein topologischer Vektorraum ist lokal kompakt, wenn, und nur wenn es endlich-dimensional ist.

Der Punkt hier ist, dass wir nicht annehmen, dass die Topologie aus einer Norm kommt.)

Die Topologie eines seminormed Vektoren hat viele nette Eigenschaften. In Anbetracht eines Nachbarschaft-Systems ungefähr 0 können wir alle anderen Nachbarschaft-Systeme als bauen

mit

:.

Außerdem dort besteht eine Nachbarschaft-Basis für 0, aus dem Aufsaugen und den konvexen Sätzen bestehend. Da dieses Eigentum in der Funktionsanalyse sehr nützlich ist, werden Generalisationen von normed Vektorräumen mit diesem Eigentum unter dem Namen lokal konvexe Räume studiert.

Geradlinige Karten und Doppelräume

Die wichtigsten Karten zwischen zwei normed Vektorräumen sind die dauernden geradlinigen Karten. Zusammen mit diesen Karten, normed Vektorräume bilden eine Kategorie.

Die Norm ist eine dauernde Funktion auf seinem Vektorraum. Alle geradlinigen Karten zwischen begrenzten dimensionalen Vektorräumen sind auch dauernd.

Eine Isometrie zwischen zwei normed Vektorräumen ist eine geradlinige Karte f, die die Norm (Bedeutung f (v)  = v  für alle Vektoren v) bewahrt. Isometrien sind immer dauernd und injective. Eine surjective Isometrie zwischen den normed Vektorräumen V und W wird einen isometrischen Isomorphismus, und V genannt, und W werden isometrisch isomorph genannt. Isometrisch isomorphe normed Vektorräume sind zu allen praktischen Zwecken identisch.

wir von normed Vektorräumen sprechen, vermehren wir den Begriff des Doppelraums, um die Norm in Betracht zu ziehen. Der Doppel-V 'eines normed Vektorraums V ist der Raum aller dauernden geradlinigen Karten von V bis das Grundfeld (die Komplexe oder der reals) - solche geradlinigen Karten werden "functionals" genannt. Die Norm eines funktionellen φ wird als das Supremum | φ (v) | definiert, wo sich v über alle Einheitsvektoren (d. h. Vektoren der Norm 1) in V erstreckt. Das verwandelt sich V' in einen normed Vektorraum. Ein wichtiger Lehrsatz über dauernden geradlinigen functionals auf normed Vektorräumen ist der Hahn-Banach Lehrsatz.

Räume von Normed als Quotient-Räume von seminormed Räumen

Die Definition von vielen normed Räumen (insbesondere Banachräume) schließt eine auf einem Vektorraum definierte Halbnorm ein, und dann wird der normed Raum als der Quotient-Raum durch den Subraum von Elementen der Halbnorm-Null definiert. Zum Beispiel, mit den L Räumen, die Funktion durch definiert

ist eine Halbnorm auf dem Vektorraum aller Funktionen, auf denen Lebesgue integriert auf der rechten Seite definiert und begrenzt wird. Jedoch ist die Halbnorm der Null für jede auf einer Reihe der Maß-Null von Lebesgue unterstützte Funktion gleich. Diese Funktionen bilden einen Subraum der wir "Quotient", sie gleichwertig zur Nullfunktion machend.

Begrenzte Produkträume

Gegebener n seminormed Räume X mit Halbnormen q können wir den Produktraum als definieren

mit der Vektor-Hinzufügung definiert als

und Skalarmultiplikation definiert als

Wir definieren eine neue Funktion q

zum Beispiel als

der eine Halbnorm auf X ist. Die Funktion q ist eine Norm, wenn, und nur wenn alle q Normen sind.

Mehr allgemein für jeden echten p1 haben wir die Halbnorm:

Für jeden p definiert das denselben topologischen Raum.

Ein aufrichtiges Argument, das elementare geradlinige Algebra einschließt, zeigt, dass die einzigen endlich-dimensionalen seminormed Räume diejenigen sind, die als der Produktraum eines normed Raums und eines Raums mit der trivialen Halbnorm entstehen. Folglich kommen viele der interessanteren Beispiele und Anwendungen von seminormed Räumen für unendlich-dimensionale Vektorräume vor.

Siehe auch

• lokal konvexe Räume, Generalisationen von seminormed Vektorräumen
• Banachräume, normed Vektorräume, die in Bezug auf das metrische abgeschlossen sind, das durch die Norm veranlasst ist
• Skalarprodukt-Räume, normed Vektorräume, wo die Norm durch ein Skalarprodukt gegeben wird
• Finsler vervielfältigen
• Raum (Mathematik)