In der Zahlentheorie beschreibt der Primzahl-Lehrsatz (PNT) den asymptotischen Vertrieb der Primzahlen. Der Primzahl-Lehrsatz gibt eine allgemeine Beschreibung dessen, wie die Blüte unter den positiven ganzen Zahlen verteilt wird.

Informell sprechend, stellt der Primzahl-Lehrsatz fest, dass, wenn eine zufällige ganze Zahl im Rahmen der Null zu einer großen ganzen Zahl N ausgewählt wird, die Wahrscheinlichkeit, dass die ausgewählte ganze Zahl erst ist, ungefähr 1 / ln (N) ist, wo ln (N) der natürliche Logarithmus von N ist. Zum Beispiel unter den positiven ganzen Zahlen bis zu und einschließlich N = ist 10 ungefähr jede siebente Zahl erst, wohingegen bis zu und einschließlich N = 10 ungefähr jede 23. Zahl erst ist. Mit anderen Worten ist die durchschnittliche Lücke zwischen Konsekutivprimzahlen unter den ersten N ganzen Zahlen grob ln (N).

Behauptung des Lehrsatzes

Lassen Sie π (x) die Haupt-Zählfunktion sein, die die Zahl der Blüte weniger gibt als oder gleich x, für jede reelle Zahl x. Zum Beispiel, π (10) = 4, weil es vier Primzahlen (2, 3, 5 und 7) weniger gibt als oder gleich 10. Der Primzahl-Lehrsatz stellt dann fest, dass die Grenze des Quotienten der zwei Funktionen π (x) und x / ln (x) als x Annäherungsunendlichkeit 1 ist, der durch die Formel ausgedrückt wird

:

bekannt als das asymptotische Gesetz des Vertriebs von Primzahlen. Mit der asymptotischen Notation kann dieses Ergebnis als neu formuliert werden

:

Diese Notation (und der Lehrsatz) sagt nichts über die Grenze des Unterschieds der zwei Funktionen als x Annäherungsunendlichkeit. (Tatsächlich ist das Verhalten dieses Unterschieds sehr kompliziert und mit der Hypothese von Riemann zusammenhängend.) Statt dessen stellt der Lehrsatz fest, dass x/ln (x) π (x) im Sinn näher kommt, dass sich der Verhältnisfehler dieser Annäherung 0 als x Annäherungsunendlichkeit nähert.

Der Primzahl-Lehrsatz ist zur Behauptung gleichwertig, dass die n-te Primzahl p n ln (n) wieder mit dem Verhältnisfehler dieser Annäherung ungefähr gleich ist, die sich 0 als n Annäherungsunendlichkeit nähert.

Geschichte des asymptotischen Gesetzes des Vertriebs von Primzahlen und seinem Beweis

Gestützt auf den Tischen von Anton Felkel und Jurij Vega hat Adrien-Marie Legendre 1797 oder 1798 gemutmaßt, dass π (a) durch die Funktion / näher gekommen wird (Ein ln (a) + B), wo A und B unangegebene Konstanten sind. In der zweiten Ausgabe seines Buches auf der Zahlentheorie (1808) hat er dann eine genauere Vermutung, mit = 1 und B = −1.08366 gemacht. Carl Friedrich Gauss hat dieselbe Frage gedacht:" Ins Jahr 1792 oder 1793", gemäß seiner eigenen Erinnerung fast sechzig Jahre später in einem Brief an Encke (1849), hat er in seinem Logarithmus-Tisch geschrieben (er war dann 15 Jahre alt oder 16) das kurze Zeichen "Primzahlen unter". Aber Gauss hat nie diese Vermutung veröffentlicht. 1838 hat Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet seine eigene näher kommende Funktion, der logarithmische integrierte li (x) präsentiert (unter der ein bisschen verschiedenen Form einer Reihe, die er Gauss mitgeteilt hat). Sowohl die Formeln von Legendre als auch Dirichlets beziehen dieselbe vermutete asymptotische Gleichwertigkeit von π (x) und x / ln (x) angegeben ein, obwohl es sich herausgestellt hat, dass die Annäherung von Dirichlet beträchtlich besser ist, wenn man die Unterschiede statt Quotienten denkt.

In zwei Zeitungen von 1848 und 1850 hat der russische Mathematiker Pafnuty L'vovich Tschebyscheff versucht, das asymptotische Gesetz des Vertriebs von Primzahlen zu beweisen. Seine Arbeit ist für den Gebrauch der Zeta-Funktion ζ (s) bemerkenswert (für echte Werte des Arguments "s", wie Arbeiten von Leonhard Euler, schon in 1737 sind) das Zurückdatieren der berühmten Biografie von Riemann von 1859, und er geschafft hat, eine ein bisschen schwächere Form des asymptotischen Gesetzes nämlich zu beweisen, der, wenn die Grenze von π (x) / (x/ln (x)) als x zur Unendlichkeit geht, überhaupt besteht, dann ist es einem notwendigerweise gleich. Er ist im Stande gewesen, unbedingt zu beweisen, dass dieses Verhältnis oben und unten durch zwei ausführlich gegebene Konstanten in der Nähe von 1 für den ganzen x begrenzt wird. Obwohl Tschebyscheffs Papier den Primzahl-Lehrsatz nicht bewiesen hat, waren seine Schätzungen für π (x) für ihn stark genug, um das Postulat von Bertrand zu beweisen, dass dort eine Primzahl zwischen n und 2n für jede ganze Zahl n  2 besteht.

Zweifellos war die einzelne bedeutendste Zeitung bezüglich des Vertriebs von Primzahlen die 1859-Biografie von Riemann Auf der Zahl der Blüte Weniger als ein Gegebene Umfang, das einzige Papier, das er jemals über das Thema geschrieben hat. Riemann hat revolutionäre Ideen ins Thema, den Chef von ihnen eingeführt seiend, dass der Vertrieb von Primzahlen mit den Nullen des analytisch verlängerten Riemanns zeta Funktion einer komplizierten Variable vertraut verbunden wird. Insbesondere es ist in dieser Zeitung von Riemann, den die Idee, Methoden der komplizierten Analyse zur Studie der echten Funktion π (x) anzuwenden, hervorbringt. Als man diese tiefen Ideen von Riemann erweitert hat, wurden zwei Beweise des asymptotischen Gesetzes des Vertriebs von Primzahlen unabhängig von Jacques Hadamard und Charles Jean de la Vallée-Poussin erhalten und sind in demselben Jahr (1896) erschienen. Beide Beweise haben Methoden von der komplizierten Analyse verwendet, als ein Hauptschritt des Beweises gründend, dass der Riemann zeta Funktion ζ (s) Nichtnull für alle komplizierten Werte der Variable s ist, die die Form s = 1 + es mit t> 0 haben.

Während des 20. Jahrhunderts ist der Lehrsatz von Hadamard und de la Vallée-Poussin auch bekannt als der Primzahl-Lehrsatz geworden. Mehrere verschiedene Beweise davon, wurden einschließlich der "elementaren" Beweise von Atle Selberg und Paul Erdős (1949) gefunden. Während die ursprünglichen Beweise von Hadamard und de la Vallée-Poussin lang sind und wohl durchdachte und spätere Beweise verschiedene Vereinfachungen durch den Gebrauch von Lehrsätzen von Tauberian eingeführt haben, aber schwierig geblieben sind zu verdauen, wurde ein überraschend kurzer Beweis 1980 vom amerikanischen Mathematiker Donald J. Newman entdeckt. Der Beweis von Newman ist wohl der einfachste bekannte Beweis des Lehrsatzes, obwohl es im Sinn nichtelementar ist, dass es den integrierten Lehrsatz von Cauchy von der komplizierten Analyse verwendet.

Probemethodik

In einem Vortrag auf Primzahlen für ein allgemeines Publikum hat Feldmedaillengewinner Terence Tao eine Annäherung an den Beweis des Primzahl-Lehrsatzes in poetischen Begriffen beschrieben: das Zuhören der "Musik" der Blüte. Wir fangen mit einer "Schallwelle" an, die an den Primzahlen "laut" und an anderen Zahlen still ist; das ist die Funktion von von Mangoldt. Dann analysieren wir seine Zeichen, oder Frequenzen durch das Unterwerfen davon einem mit Fourier verwandten Prozess verwandeln sich; das ist Mellin verwandeln sich. Dann erweisen wir uns, und das ist der harte Teil, dass bestimmte "Zeichen" in dieser Musik nicht vorkommen können. Dieser Ausschluss von bestimmten Zeichen führt zur Behauptung des Primzahl-Lehrsatzes. Gemäß Tao gibt dieser Beweis viel tiefere Einblicke in den Vertrieb der Blüte nach als die "elementaren" Beweise, die unten besprochen sind.

Probeskizze

Hier ist eine Skizze des Beweises, der auf im Vortrag von Tao verwiesen ist, der oben erwähnt ist. Wie die meisten Beweise des PNT bricht es durch die Wiederformulierung des Problems in Bezug auf eine weniger intuitive aber besser erzogene Haupt-Zählfunktion auf. Die Idee ist, die Blüte (oder ein zusammenhängender Satz wie der Satz von Hauptmächten) mit Gewichten aufzuzählen, um eine Funktion mit dem glatteren asymptotischen Verhalten zu erreichen. Das allgemeinste solche verallgemeinerte zählende Funktion ist die Funktion von Tschebyscheff, die durch definiert ist

:

Hier ist die Summierung über alle Hauptmächte bis zu x. Das wird manchmal als geschrieben, wo die Funktion von von Mangoldt, nämlich ist

:

Es ist jetzt relativ leicht zu überprüfen, dass der PNT zum Anspruch das gleichwertig ist. Tatsächlich folgt das aus den leichten Schätzungen

:

und (das Verwenden großer O Notation) für jeden ε> 0,

:

Der nächste Schritt soll eine nützliche Darstellung dafür finden. Lassen Sie, der Riemann zeta Funktion zu sein. Es kann gezeigt werden, dass das mit der Funktion von von Mangoldt, und folglich mit, über die Beziehung verbunden ist

:

Eine feine Analyse dieser Gleichung und verwandte Eigenschaften der Zeta-Funktion, mit Mellin verwandeln sich und die Formel von Perron, Shows das für die nichtganze Zahl x die Gleichung

:

hält, wo die Summe über alle Nullen (trivial und nichttrivial) von der Zeta-Funktion ist. Diese bemerkenswerte Formel ist eine der so genannten ausführlichen Formeln der Zahlentheorie, und ist bereits das Ergebnis andeutend, das wir beweisen möchten, da der Begriff x (hat behauptet, die richtige asymptotische Ordnung zu sein), auf der rechten Seite, gefolgt von (vermutlich) der niedrigeren Ordnung asymptotische Begriffe scheint.

Der nächste Schritt im Beweis schließt eine Studie der Nullen der Zeta-Funktion ein. Die trivialen Nullen 2, 4, 6, 8, kann... getrennt behandelt werden:

:

der für einen großen x verschwindet. Die nichttrivialen Nullen, nämlich diejenigen auf dem kritischen Streifen, können einer asymptotischen Ordnung potenziell sein, die mit dem Hauptbegriff x vergleichbar ist, wenn, so müssen wir zeigen, dass alle Nullen echten Teil ausschließlich weniger als 1 haben.

Um das zu tun, betrachten wir als selbstverständlich, dass das meromorphic im Halbflugzeug ist, und dort abgesehen von einem einfachen Pol an analytisch ist, und dass es eine Produktformel für Diese Produktformel gibt, folgt aus der Existenz von einzigartigem erstem factorization von ganzen Zahlen und zeigt, dass das nie Null in diesem Gebiet ist, so dass sein Logarithmus dort definiert wird und Schreiben Sie; dann

Beobachten Sie jetzt die Identität so dass

für alle. Denken Sie jetzt wo. Sicher ist nicht Null, da einen einfachen Pol daran hat. Nehmen Sie an, dass und lassen, neigen zu von oben. Seitdem hat einen einfachen Pol daran und bleibt analytisch, die linke Seite in der vorherigen Ungleichheit neigt zu, ein Widerspruch.

Schließlich können wir beschließen, dass der PNT "moralisch" wahr ist. Um den Beweis streng zu vollenden, gibt es noch ernste Fachausdrücke, um zu siegen, auf Grund dessen, dass die Summierung über zeta Nullen in der ausführlichen Formel dafür absolut, aber nur bedingt und in einem "Hauptwert" Sinn nicht zusammenläuft. Es gibt mehrere Wege um dieses Problem, aber sie alle verlangen ziemlich feine kompliziert-analytische Schätzungen, die außer dem Spielraum dieses Artikels sind. Edwards Buch stellt die Details zur Verfügung.

Haupt-Zählfunktion in Bezug auf das logarithmische Integral

In einem handschriftlichen Zeichen auf einem Nachdruck seines 1838-Papiers "Sur l'usage des séries infinies dans la théorie des nombres", den er Carl Friedrich Gauss geschickt hat, hat Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet gemutmaßt (unter einer ein bisschen verschiedenen Form, die an eine Reihe aber nicht ein Integral appelliert), dass eine noch bessere Annäherung an π (x) durch den Ausgleich logarithmische integrierte Funktion Li (x), definiert durch gegeben wird

:

Tatsächlich ist dieses Integral den Begriff stark andeutend, dass die 'Dichte' der Blüte um t 1/lnt sein sollte. Diese Funktion ist mit dem Logarithmus durch die asymptotische Vergrößerung verbunden

:

\frac {x} {\\ln x\+ \frac {x} {(\ln x) ^2} + \frac {2x} {(\ln x) ^3} + \cdots. </Mathematik>

Also, der Primzahl-Lehrsatz kann auch als π (x) ~ Li (x) geschrieben werden. Tatsächlich folgt es aus dem Beweis von Hadamard und de la Vallée Poussin das

:

für einen positiven unveränderlichen a, wo O (…) die große O Notation ist. Das ist zu verbessert worden

:

Wegen der Verbindung zwischen dem Riemann zeta Funktion und π (x) hat die Hypothese von Riemann beträchtliche Wichtigkeit in der Zahlentheorie: Wenn gegründet, würde es eine viel bessere Schätzung des am Primzahl-Lehrsatz beteiligten Fehlers nachgeben, als heute verfügbar ist. Mehr spezifisch hat Helge von Koch 1901 gezeigt, dass, wenn, und nur wenn die Hypothese von Riemann wahr ist, der Fehlerbegriff in der obengenannten Beziehung zu verbessert werden kann

:

Die an der großen O Notation beteiligte Konstante wurde 1976 von Lowell Schoenfeld geschätzt: die Hypothese von Riemann, annehmend

:

für den ganzen x  2657. Er hat auch einen ähnlichen abgeleitet, der für die Hauptzählen-Funktion von Tschebyscheff ψ gebunden ist:

:

für den ganzen x  73.2.

Der logarithmische integrierte Li (x) ist größer als π (x) für "kleine" Werte von x. Das ist, weil es (in einem Sinn) ist, nicht Blüte, aber Hauptmächte zählend, wo eine Macht p eines ersten p als 1/n einer Blüte aufgezählt wird. Das weist darauf hin, dass Li (x) gewöhnlich größer sein sollte als π (x) durch grob Li (x)/2, und gewöhnlich insbesondere größer sein sollte als π (x). Jedoch, 1914, hat J. E. Littlewood bewiesen, dass das nicht immer der Fall ist. Der erste Wert von x, wo π (x) Li (x) übertrifft, ist wahrscheinlich um x = 10; sieh den Artikel über die Zahl von Skewes für mehr Details.

Elementare Beweise

In der ersten Hälfte des zwanzigsten Jahrhunderts haben einige Mathematiker (namentlich G. H. Hardy) geglaubt, dass dort eine Hierarchie von Probemethoden in der Mathematik abhängig davon besteht, welche Sorten von Zahlen (ganze Zahlen, reals, Komplex) ein Beweis verlangt, und dass der Primzahl-Lehrsatz (PNT) ein "tiefer" Lehrsatz auf Grund vom Verlangen komplizierter Analyse ist. Dieser Glaube wurde durch einen Beweis des auf dem tauberian Lehrsatz von Wiener gestützten PNT etwas geschüttelt, obwohl das beiseite stellen konnte, wenn, wie man hielt, der Lehrsatz von Wiener eine zu dieser von komplizierten variablen Methoden gleichwertige "Tiefe" hatte. Es gibt keine strenge und weit akzeptierte Definition des Begriffs des elementaren Beweises in der Zahlentheorie. Eine Definition ist "ein Beweis, der in der ersten Ordnung Arithmetik von Peano ausgeführt werden kann." Es gibt mit der Zahl theoretische Behauptungen (zum Beispiel, der Lehrsatz des Paris-Harrington) die nachweisbare verwendende zweite Ordnung, aber bestellt nicht zuerst Methoden, aber solche Lehrsätze sind bis heute selten.

Im März 1948 hat Atle Selberg, durch elementare Mittel, die asymptotische Formel gegründet

:wo:

für die Blüte. Vor dem Juli dieses Jahres, Selbergs und Pauls hatte Erdős jeder elementare Beweise des PNT, das beides Verwenden die asymptotische Formel von Selberg als ein Startpunkt erhalten. Wie man geglaubt hatte, waren diese Beweise, die effektiv gelegt sind, um den Begriff ausruhen zu lassen, dass der PNT "tief" war, und gezeigt hat, dass technisch "elementare" Methoden (mit anderen Worten Arithmetik von Peano) stärker waren als, der Fall gewesen. 1994 haben Charalambos Cornaros und Costas Dimitracopoulos den PNT das Verwenden nur, ein formelles System bewiesen, das viel schwächer ist als Arithmetik von Peano. Auf der Geschichte der elementaren Beweise des PNT, einschließlich des Erdős-Selberg Vorzugsstreits, sieh Dorian Goldfeld.

Computerüberprüfungen

2005 hat Avigad. den Lehrsatz von Isabelle prover verwendet, um eine computernachgeprüfte Variante des Erdős-Selberg Beweises des PNT auszudenken. Das war der erste maschinennachgeprüfte Beweis des PNT. Avigad hat beschlossen, den Erdős-Selberg Beweis aber nicht einen analytischen zu formalisieren, weil, während die Bibliothek von Isabelle zurzeit die Begriffe der Grenze, Ableitung und transzendenten Funktion durchführen konnte, es fast keine Theorie der Integration hatte, davon zu sprechen (Avigad. p. 19).

2009 hat John Harrison HOL Licht verwendet, um einen Beweis zu formalisieren, der komplizierte Analyse verwendet. Indem er die notwendige analytische Maschinerie, einschließlich Cauchy integrierte Formel entwickelt hat, ist Harrison im Stande gewesen, "einen direkten, modernen und eleganten Beweis statt des beteiligteren 'elementaren' Erdös-Selberg Arguments zu formalisieren."

Primzahl-Lehrsatz für arithmetische Fortschritte

Lassen Sie zeigen die Zahl der Blüte im arithmetischen Fortschritt a, + n, + 2n, + 3n, … weniger an als x. Dirichlet und Legendre haben gemutmaßt, und Vallée-Poussin hat sich, das erwiesen, wenn a und n coprime, dann sind

:

\pi_ {n,} (x) \sim \frac {1} {\\phi (n) }\\mathrm {Li} (x),

</Mathematik>

wo φ (·) ist die Totient-Funktion von Euler. Mit anderen Worten wird die Blüte gleichmäßig unter den Rückstand-Klassen [ein] modulo n mit gcd (a, n) = 1 verteilt. Das kann mit ähnlichen Methoden bewiesen werden, die von Newman für seinen Beweis des Primzahl-Lehrsatzes verwendet sind.

Obwohl wir in besonderem haben

:

\pi_ {4,1} (x) \sim \pi_ {4,3} (x), \,

</Mathematik>

empirisch ist die Blüte, die zu 3 kongruent ist, zahlreicher und ist fast immer vorn in dieser "Primzahl-Rasse"; die erste Umkehrung kommt an x = 26,861 vor. Jedoch hat Littlewood 1914 gezeigt, dass es ungeheuer viele Zeichen-Änderungen für die Funktion gibt

:

\pi_ {4,1} (x) - \pi_ {4,3} (x), \, </Mathematik>

so schaltet die Leitung in der Rasse hin und her ungeheuer oft um. Das Phänomen, dass π (x) vorn den größten Teil der Zeit ist, wird Tschebyscheffs Neigung genannt. Die Primzahl-Rasse verallgemeinert zu anderen Modulen und ist das Thema von viel Forschung; Granville und Martin geben eine gründliche Ausstellung und Überblick.

Grenzen auf der Haupt-Zählfunktion

Der Primzahl-Lehrsatz ist ein asymptotisches Ergebnis. Folglich kann es nicht an bestimmten π (x) gewöhnt sein.

Jedoch sind einige Grenzen auf π (x), zum Beispiel der von Pierre Dusart bekannt

:

Die erste Ungleichheit hält für den ganzen x  599 und der zweite für x  355991.

Ein schwächerer, aber manchmal nützlich gebunden ist

:

für x  55. In der These von Dusart gibt es stärkere Versionen dieses Typs der Ungleichheit, die für größeren x gültig sind.

Der Beweis durch de la Vallée-Poussin bezieht das folgende ein.

Für jeden ε> 0 gibt es einen S solch das für alle x> S,

:

Annäherungen für die n-te Primzahl

Demzufolge des Primzahl-Lehrsatzes bekommt man einen asymptotischen Ausdruck für die n-te Primzahl, die durch p angezeigt ist:

:

Eine bessere Annäherung ist

:

Der Lehrsatz von Rosser stellt fest, dass p größer ist als n ln n. Das kann vom folgenden Paar von Grenzen verbessert werden:

:

Tisch von π (x), x / ln x, und li (x)

Der Tisch vergleicht genaue Werte von π (x) zu den zwei Annäherungen x / ln x und li (x). Die letzte Säule, x / π (x), ist die durchschnittliche Hauptlücke unter x.

:

Entsprechung für nicht zu vereinfachende Polynome über ein begrenztes Feld

Es gibt eine Entsprechung des Primzahl-Lehrsatzes, der den "Vertrieb" von nicht zu vereinfachenden Polynomen über ein begrenztes Feld beschreibt; die Form, die es annimmt, ist dem Fall des klassischen Primzahl-Lehrsatzes auffallend ähnlich.

Um es genau festzusetzen, lassen Sie F = GF (q) das begrenzte Feld mit q Elementen sein, weil einige q befestigt haben, und lassen Sie N die Zahl von monic nicht zu vereinfachenden Polynomen über F sein, dessen Grad n gleich ist. D. h. wir schauen auf Polynome mit Koeffizienten, die aus F gewählt sind, der als Produkte von Polynomen des kleineren Grads nicht geschrieben werden kann. In dieser Einstellung spielen diese Polynome die Rolle der Primzahlen, da alle anderen monic Polynome Produkte von ihnen aufgebaut werden. Man kann dann das beweisen

:

Wenn wir den Ersatz x = q machen, dann ist die rechte Seite gerade

:

der die Analogie klarer macht. Da es genau q monic Polynome des Grads n gibt (einschließlich der reduzierbaren), kann das wie folgt umformuliert werden: Wenn ein monic Polynom des Grads n zufällig ausgewählt wird, dann ist die Wahrscheinlichkeit davon nicht zu vereinfachend seiend über 1/n.

Man kann sogar eine Entsprechung der Hypothese von Riemann, nämlich das beweisen

:

Die Beweise dieser Behauptungen sind viel einfacher als im klassischen Fall. Es schließt ein kurzes kombinatorisches Argument, zusammengefasst wie folgt ein. Jedes Element des Grads n Erweiterung von F ist eine Wurzel von einem nicht zu vereinfachenden Polynom, dessen Grad d n teilt; indem man diese Wurzeln auf zwei verschiedene Weisen aufzählt, setzt man das ein

:

wo die Summe über alle Teiler d von n ist. Inversion von Möbius gibt dann nach

:

wo μ (k) die Funktion von Möbius ist. (Diese Formel war Gauss bekannt.) Kommt der Hauptbegriff für d = n vor, und es ist zum bestimmten die restlichen Begriffe nicht schwierig. Die "Riemann Hypothese" Behauptung hängt von der Tatsache ab, dass der größte richtige Teiler von n nicht größer sein kann als n/2.

Siehe auch

• Abstrakte analytische Zahlentheorie für die Information über Generalisationen des Lehrsatzes.
• Landauer idealer Hauptlehrsatz für eine Generalisation zu Hauptidealen in Feldern der algebraischen Zahl.

Referenzen

Links

• Tisch der Blüte durch Anton Felkel.
• Hauptformeln und Primzahl-Lehrsatz an MathWorld.
• Wie viel Blüte dort ist? und die Lücken zwischen der Blüte durch Chris Caldwell, Universität Tennessees an Martin.
• Tische von Haupt-Zählfunktionen durch Tomás Oliveira e Silva