In der Mathematik ist ein projektives Flugzeug eine geometrische Struktur, die das Konzept eines Flugzeugs erweitert. Im gewöhnlichen Euklidischen Flugzeug schneiden sich zwei Linien normalerweise in einem einzelnen Punkt, aber es gibt einige Paare von Linien (nämlich, passen Sie Linien an), die sich nicht schneiden. Von einem projektiven Flugzeug kann als ein gewöhnliches Flugzeug gedacht werden, das mit zusätzlichen "Punkten an der Unendlichkeit" ausgestattet ist, wo sich parallele Linien schneiden. So schneiden sich irgendwelche zwei Linien in einem projektiven Flugzeug in einem und nur einem Punkt.

Künstler, im Entwickeln der Techniken der Zeichnung in der Perspektive, haben den Grundstein für dieses mathematische Thema gelegt. Das archetypische Beispiel ist das echte projektive Flugzeug, auch bekannt als das Verlängerte Euklidische Flugzeug. Dieses Beispiel, in ein bisschen verschiedenen Gestalten, ist in der algebraischen Geometrie, Topologie und projektiven Geometrie wichtig, wo es verschiedenartig durch die Parentale Guidance (2, R), RP oder P(R) unter anderen Notationen angezeigt werden kann. Es gibt viele andere projektive Flugzeuge, sowohl unendlich, wie das komplizierte projektive Flugzeug, als auch begrenzt wie das Flugzeug von Fano.

Ein projektives Flugzeug ist ein 2-dimensionaler projektiver Raum, aber nicht alle projektiven Flugzeuge kann in 3-dimensionalen projektiven Räumen eingebettet werden. Das Einbetten-Eigentum ist eine Folge eines als der Lehrsatz von Desargues bekannten Ergebnisses.

Definition

Ein projektives Flugzeug besteht aus einer Reihe von Linien, einer Reihe von Punkten und einer Beziehung zwischen Punkten und Linien genannt Vorkommen, die folgenden Eigenschaften habend:

1. In Anbetracht irgendwelcher zwei verschiedenen Punkte gibt es genau ein Linienereignis mit ihnen beiden.
2. In Anbetracht irgendwelcher zwei verschiedenen Linien gibt es genau ein Punkt-Ereignis mit ihnen beiden.
3. Es gibt vier solche Punkte, dass keine Linie Ereignis mit mehr als zwei von ihnen ist.

Die zweite Bedingung bedeutet, dass es keine parallelen Linien gibt. Die letzte Bedingung schließt die so genannten degenerierten Fälle (sieh unten) aus. Der Begriff "Vorkommen" wird gebraucht, um die symmetrische Natur der Beziehung zwischen Punkten und Linien zu betonen. So ist der Ausdruck, "spitzen P an, Ereignis mit der Linie l", wird entweder statt "P verwendet ist auf l" oder "l führt P durch".

Einige Beispiele

Das verlängerte euklidische Flugzeug

Um das gewöhnliche Euklidische Flugzeug in ein projektives Flugzeug zu verwandeln, gehen wie folgt weiter:

:1. Zu jeder Linie einer parallelen Klasse von Linien fügen einen einzelnen neuen Punkt hinzu. Verschiedene parallele Klassen bekommen verschiedene Punkte, und diese Punkte werden Punkte an der Unendlichkeit genannt.

:2. Alle neuen Punkte an der Unendlichkeit (und nur diese) formen sich eine einzelne neue Linie hat die Linie an der Unendlichkeit genannt.

Die verlängerte Struktur ist ein projektives Flugzeug und wird das Verlängerte Euklidische Flugzeug oder das Echte projektive Flugzeug genannt. Der Prozess, der oben entworfen ist, verwendet, um es zu erhalten, wird "projektive Vollziehung" oder projectivization genannt. Dieses Flugzeug kann auch durch das Starten von als ein Vektorraum angesehenem R gebaut werden, unten zu sehen.

Projektives Flugzeug von Moulton

Die Punkte des Flugzeugs von Moulton sind die Punkte des Euklidischen Flugzeugs, coordinatized auf die übliche Weise. Um das Flugzeug von Moulton vom Euklidischen Flugzeug zu schaffen, werden einige der Linien wiederdefiniert - d. h. ihre Punkt-Sätze werden geändert, aber andere Linien werden unverändert bleiben. Definieren Sie alle Linien mit dem negativen Hang wieder, so dass sie wie "Begabungs"-Linien, Bedeutung aussehen, weil diese Linien die Punkte mit negativen X-Koordinaten behalten, aber ersetzen den Rest der Punkte mit den Punkten der Linie mit demselben Y-Abschnitt, aber zweimal dem Hang, der eine nichtnegative X-Koordinate hat. Sieh Flugzeug von Moulton für ein Diagramm und spezifische Formeln. Dieses Flugzeug von Moulton hat parallele Klassen von Linien, und es kann projectivized als im vorherigen Beispiel sein, um das Projektive Flugzeug von Moulton zu erhalten. Der Lehrsatz von Desargues ist nicht ein gültiger Lehrsatz entweder im Flugzeug von Moulton oder im Projektiven Flugzeug von Moulton.

Ein begrenztes Beispiel

Dieses Beispiel hat gerade dreizehn Punkte und dreizehn Linien. Wir etikettieren die Punkte P..., P und die Linien M..., M. Die Vorkommen-Beziehung (welche Punkte auf sind, der Linien) kann durch die folgende Vorkommen-Matrix gegeben werden. Die Reihen werden durch die Punkte etikettiert, und die Säulen werden durch die Linien etikettiert. 1 in der Reihe i und Spalte j bedeutet, dass der Punkt P auf der Linie M ist, während 0 (den wir hier durch eine leere Zelle für die Bequemlichkeit des Lesens vertreten) bedeutet, dass sie nicht Ereignis sind. Die Matrix ist in Paige-Wexler normale Form.

:::

Um die Bedingungen nachzuprüfen, die das ein projektives Flugzeug machen, bemerken Sie, dass alle zwei Reihen genau eine allgemeine Säule haben, in der 1's erscheinen (jedes Paar von verschiedenen Punkten sind auf genau einer allgemeiner Linie), und dass alle zwei Säulen genau eine allgemeine Reihe haben, in der 1's erscheinen (jedes Paar von verschiedenen Linien treffen sich an genau einem Punkt). Unter vielen Möglichkeiten werden die Punkte P, P, P, und P zum Beispiel die dritte Bedingung befriedigen. Dieses Beispiel ist als das projektive Flugzeug der Ordnung drei bekannt.

Vektorraum-Aufbau

Die Linie an der Unendlichkeit des verlängerten echten Flugzeugs scheint, eine verschiedene Natur zu haben, als die anderen Linien dieses projektiven Flugzeugs. Das ist jedoch nicht wahr. Ein anderer Aufbau desselben projektiven Flugzeugs zeigt, dass keine Linie (auf dem geometrischen Boden) von irgendwelchem anderer bemerkenswert sein kann. In diesem Aufbau sind die "Punkte" des echten projektiven Flugzeugs die Linien durch den Ursprung im 3-dimensionalen Euklidischen Raum, und eine "Linie" im projektiven Flugzeug entsteht von einem Flugzeug bis den Ursprung im 3-Räume-. Diese Idee kann verallgemeinert und genauer wie folgt gemacht werden.

Lassen Sie K jeder Abteilungsring (skewfield) sein. Lassen Sie K anzeigen, dass der Satz von allen x = (x, x, x) Elemente von K (ein Kartesianisches Produkt verdreifacht, das als ein Vektorraum angesehen ist). Für jede Nichtnull x in K ist die Linie in K durch den Ursprung und x die Teilmenge

: {k x: k in K }\

K. Lassen Sie ähnlich x und y linear unabhängige Elemente von K sein, dass wenn k x + l y = 0 dann k = l = 0 meinend. Das Flugzeug durch den Ursprung, x, und y in K sind die Teilmenge

: {k x + l y: k, l in K }\

K. Dieses Flugzeug enthält verschiedene Linien durch den Ursprung, die durch das Befestigen von von entweder k oder l erhalten werden.

Das projektive Flugzeug über K angezeigte Parentale Guidance (2, K) oder KP, hat einen Punkt-Satz, der aus allen Linien in K durch den Ursprung besteht (ist jeder ein Vektor-Subraum der Dimension 1). Eine Teilmenge L der Parentalen Guidance (2, K) ist eine Linie in der Parentalen Guidance (2, K), wenn dort ein Flugzeug in K besteht, dessen Satz von Linien genau L (ein Vektor-Subraum der Dimension 2) ist.

Das Überprüfen, dass dieser Aufbau ein projektives Flugzeug erzeugt, wird gewöhnlich als eine geradlinige Algebra-Übung verlassen.

Eine abwechselnde (algebraische) Ansicht von diesem Aufbau ist wie folgt. Die Punkte dieses projektiven Flugzeugs sind die Gleichwertigkeitsklassen des Satzes K - {(0, 0, 0)} modulo die Gleichwertigkeitsbeziehung

:x ~ k x, für den ganzen k in K.

Linien im projektiven Flugzeug werden genau als oben definiert.

Die Koordinaten (x, x, x) eines Punkts in der Parentalen Guidance (2, K) werden homogene Koordinaten genannt. Jeder verdreifacht sich (x, x, x) vertritt einen bestimmten Punkt in der Parentalen Guidance (2, K) abgesehen vom dreifachen (0, 0, 0), der nichts vertritt. Jeder Punkt in der Parentalen Guidance (2, K) wird jedoch von vielen vertreten verdreifacht sich.

Wenn K ein topologischer Raum ist, dann KP, erbt eine Topologie über das Produkt, den Subraum und die Quotient-Topologien.

Klassische Beispiele

Das echte projektive Flugzeug RP, entsteht, wenn K genommen wird, um die reellen Zahlen, R zu sein. Als ein geschlossener, non-orientable echt 2-Sammelleitungen-, dient es als ein grundsätzliches Beispiel in der Topologie.

In diesem Aufbau betrachten den Einheitsbereich als in den Mittelpunkt gestellt am Ursprung auf R. Jede der R Linien in diesem Aufbau schneidet den Bereich an zwei antipodischen Punkten durch. Da die R Linie einen Punkt von RP vertritt, werden wir dasselbe Modell von RP erhalten, indem wir die antipodischen Punkte des Bereichs identifizieren werden. Die Linien von RP werden die großen Kreise des Bereichs nach dieser Identifizierung von antipodischen Punkten sein. Diese Beschreibung gibt das Standardmodell der Elliptischen Geometrie.

Das komplizierte projektive Flugzeug-BEDIENUNGSFELD, entsteht, wenn K genommen wird, um die komplexen Zahlen, C zu sein. Es ist ein geschlossener Komplex 2-Sammelleitungen-, und folglich ein geschlossener, orientable echt 4-Sammelleitungen-. Es und projektive Flugzeuge über andere Felder dient als grundsätzliche Beispiele in der algebraischen Geometrie.

Das quaternionic projektive Flugzeug ist auch vom unabhängigen Interesse.

Begrenzte Feldflugzeuge

Durch den Lehrsatz von Wedderburn muss ein begrenzter Abteilungsring auswechselbar sein und so ein Feld. So sind die begrenzten Beispiele dieses Aufbaus als "Feldflugzeuge" bekannt. Die Einnahme K, um das begrenzte Feld von p Elementen zu sein, erzeugt ein projektives Flugzeug von p + p + 1 Punkte. Die Feldflugzeuge werden gewöhnlich durch die Parentale Guidance angezeigt (2, q), wo Parentale Guidance für projektive Geometrie eintritt, "2" ist die Dimension, und q = wird p die Ordnung des Flugzeugs genannt (es ist dasjenige weniger als die Zahl von Punkten auf jeder Linie). Das Flugzeug von Fano, das unten besprochen ist, wird durch die Parentale Guidance (2,2) angezeigt. Das dritte Beispiel ist oben die projektive Parentale Flugzeug-Guidance (2,3).

Das Flugzeug von Fano ist das projektive Flugzeug, das aus dem Feld von zwei Elementen entsteht. Es ist das kleinste projektive Flugzeug, mit nur sieben Punkten und sieben Linien. In der Zahl am Recht werden die sieben Punkte als kleine schwarze Bälle gezeigt, und die sieben Linien werden als sechs Liniensegmente und ein Kreis gezeigt. Jedoch konnte man gleichwertig denken, dass die Bälle die "Linien" und die Liniensegmente und der Kreis waren, um die "Punkte" zu sein - das ist ein Beispiel der Dualität im projektiven Flugzeug: Wenn die Linien und Punkte ausgewechselt werden, ist das Ergebnis noch ein projektives Flugzeug (sieh unten). Eine Versetzung der sieben Punkte, die collinear Ziele (Punkte auf derselben Linie) zu Collinear-Punkten erreicht, wird einen collineation oder Symmetrie des Flugzeugs genannt. Die collineations einer Geometrie bilden eine Gruppe unter der Zusammensetzung, und für das Flugzeug von Fano hat diese Gruppe (PΓL (3,2) = PGL (3,2)) 168 Elemente.

Der Lehrsatz von Desargues und Flugzeuge von Desarguesian

Der Lehrsatz von Desargues ist in einem projektiven Flugzeug allgemein gültig, wenn, und nur wenn das Flugzeug von einem 3 dimensionalen Vektorraum über einen skewfield als oben gebaut werden kann. Diese Flugzeuge werden Flugzeuge von Desarguesian, genannt nach Gérard Desargues genannt. Die echten (oder Komplex) projektives Flugzeug und das projektive Flugzeug des Auftrags 3, der oben gegeben ist, sind Beispiele von Desarguesian projektive Flugzeuge. Die projektiven Flugzeuge, die auf diese Weise nicht gebaut werden können, werden non-Desarguesian Flugzeuge genannt, und das Flugzeug von Moulton, das oben gegeben ist, ist ein Beispiel von einem. Die Parentale Guidance (2, K) Notation wird für die Flugzeuge von Desarguesian vorbestellt.

Subflugzeuge

Ein Subflugzeug eines projektiven Flugzeugs ist eine Teilmenge

der Punkte des Flugzeugs, die selbst ein projektives Flugzeug bilden

mit denselben Vorkommen-Beziehungen.

beweist den folgenden Lehrsatz. Lassen Sie Π ein begrenzter projektiver sein

Flugzeug des Auftrags N mit einem richtigen Subflugzeug Π der Ordnung M. Dann

entweder N = M oder N  M + M.

Wenn N ein Quadrat ist, sind Subflugzeuge der Ordnung

genannte Subflugzeuge von Baer. Jeder Punkt des Flugzeugs liegt auf einer Linie eines Subflugzeugs von Baer, und jede Linie des Flugzeugs enthält einen Punkt des Subflugzeugs von Baer.

In der begrenzten desarguesian Parentalen Flugzeug-Guidance (2, p), haben die Subflugzeuge Ordnungen

die die Ordnungen der Teilfelder des begrenzten Feldes GF (p), d. h. p sind, wo ich ein Teiler von n bin. In non-desarguesian Flugzeugen jedoch gibt der Lehrsatz von Bruck den einzigen

Information über Subflugzeug-Ordnungen. Wie man bekannt, kommt der Fall der Gleichheit in der Ungleichheit dieses Lehrsatzes nicht vor. Ob dort ein Subflugzeug der Ordnung M in einem Flugzeug des Auftrags N mit der M + besteht, ist M = N eine geöffnete Frage. Wenn solche Subflugzeuge beständen, würde es projektive Flugzeuge der Zusammensetzung (Nichthauptmacht) Ordnung geben.

Subflugzeuge von Fano

Ein Subflugzeug von Fano ist ein Subflugzeug, das zur Parentalen Guidance (2,2), das einzigartige projektive Flugzeug des Auftrags 2 isomorph ist.

Wenn Sie ein Viereck denken (eine Reihe 4 Punkte keine drei

collinear) in diesem Flugzeug bestimmen die Punkte sechs der Linien von

das Flugzeug. Die restlichen drei Punkte (hat die Diagonale genannt

Punkte des Vierecks) sind die Punkte, wo die Linien, die nicht tun

schneiden Sie sich an einem Punkt des Vierecks treffen sich. Die siebente Linie besteht aus

alle diagonalen Punkte (gewöhnlich gezogen als ein Kreis oder Halbkreis).

Der Name Fano für dieses Subflugzeug ist wirklich ein

falsche Bezeichnung. Gino Fano (1871-1952), im Entwickeln eines neuen Satzes von Axiomen

für die Euklidische Geometrie, hat als ein Axiom dass die diagonalen Punkte von genommen

jedes Viereck ist nie collinear. Das wird den von Fano genannt

Axiom. Ein Subflugzeug von Fano verletzt jedoch das Axiom von Fano. Sie wirklich

sollte Subflugzeuge von Anti-Fano genannt werden, aber diese Namensänderung hat viele Unterstützer nicht gehabt.

In begrenzten desarguesian Flugzeugen, Parentale Guidance (2, q), bestehen Subflugzeuge von Fano wenn und nur wenn

q ist sogar (d. h. eine Macht 2). Die Situation in

Non-Desarguesian-Flugzeuge sind unerledigt. Sie konnten in jedem bestehen

Non-Desarguesian-Flugzeug der Ordnung, die größer ist als 6, und tatsächlich, sie

sind in allen non-desarguesian Flugzeugen gefunden worden, in denen sie haben

gewesen gesucht (in beiden geraden und ungeraden Ordnungen).

Eine geöffnete Frage ist: Enthält jedes non-desarguesian Flugzeug ein Subflugzeug von Fano?

Ein Lehrsatz bezüglich Subflugzeuge von Fano wegen ist:

Wenn jedes Viereck in einem begrenzten projektiven Flugzeug collinear diagonale Punkte hat, dann ist das Flugzeug

desarguesian (dessen bestellen sogar).

Flugzeuge von Affine

Projectivization des Euklidischen Flugzeugs hat das echte projektive Flugzeug erzeugt. Der inverse Betrieb - mit einem projektiven Flugzeug anfangend, entfernen Sie eine Linie, und das ganze Punkt-Ereignis mit dieser Linie - erzeugt ein affine Flugzeug.

Definition

Mehr formell besteht ein affine Flugzeug aus einer Reihe von Linien und einer Reihe von Punkten und einer Beziehung zwischen Punkten und Linien genannt Vorkommen, die folgenden Eigenschaften habend:

In Anbetracht irgendwelcher zwei verschiedenen Punkte gibt es genau ein Linienereignis mit ihnen beiden.

1. In Anbetracht jeder Linie l und jedes Punkts P nicht Ereignis mit l gibt es genau ein Linienereignis mit P, der l nicht entspricht.

Es gibt vier solche Punkte, dass keine Linie Ereignis mit mehr als zwei von ihnen ist.

Die zweite Bedingung bedeutet, dass es parallele Linien gibt und als das Axiom von Playfair bekannt ist. Der Ausdruck "trifft sich" in dieser Bedingung nicht ist Schnellschrift für "dort besteht kein Punkt-Ereignis mit beiden Linien."

Das Euklidische Flugzeug und das Flugzeug von Moulton sind Beispiele von unendlichen affine Flugzeugen. Ein begrenztes projektives Flugzeug wird ein begrenztes affine Flugzeug erzeugen, wenn eine seiner Linien und der Punkte darauf entfernt wird. Die Ordnung eines begrenzten affine Flugzeugs ist die Zahl von Punkten auf einigen seiner Linien (das wird dieselbe Zahl wie die Ordnung des projektiven Flugzeugs sein, aus dem es kommt). Die affine Flugzeuge, die aus der projektiven Parentalen Flugzeug-Guidance entstehen (2, q) werden durch AG (2, q) angezeigt.

Es gibt ein projektives Flugzeug des Auftrags N wenn und nur, wenn es ein affine Flugzeug des Auftrags N gibt. Wenn es nur ein affine Flugzeug des Auftrags N gibt, gibt es nur ein projektives Flugzeug des Auftrags N, aber das gegenteilige ist nicht wahr. Die affine Flugzeuge, die durch die Eliminierung von verschiedenen Linien des projektiven Flugzeugs gebildet sind, werden isomorph sein, wenn, und nur wenn die entfernten Linien in derselben Bahn der collineation Gruppe des projektiven Flugzeugs sind. Diese Behauptungen halten für unendliche projektive Flugzeuge ebenso.

Aufbau von projektiven Flugzeugen von affine Flugzeugen

Das affine Flugzeug K über K bettet in KP über die Karte ein, die affine (nichthomogene) Koordinaten an homogene Koordinaten, sendet

: (x, x)  (1, x, x).

Die Ergänzung des Images ist der Satz von Punkten der Form (0, x, x). Aus dem Gesichtswinkel vom gerade gegebenen Einbetten sind diese Punkte die Punkte an der Unendlichkeit. Sie setzen eine Linie in KP - nämlich, die Linie ein, die aus dem Flugzeug entsteht

: {k (0, 0, 1) + l (0, 1, 0): k, l ε K }\

in K - hat die Linie an der Unendlichkeit genannt. Die Punkte an der Unendlichkeit sind die "Extra"-Punkte, wo sich parallele Linien im Aufbau des verlängerten echten Flugzeugs schneiden; der Punkt (0, x, x) ist, wo sich alle Linien des Hangs x / x schneiden. Denken Sie zum Beispiel die zwei Linien

: u = {(x, 0): x ε K }\

: y = {(x, 1): x ε K }\

im affine Flugzeug K. Diese Linien haben Hang 0 und schneiden sich nicht. Sie können als Teilmengen von KP über das Einbetten oben betrachtet werden, aber diese Teilmengen sind nicht Linien in KP. Fügen Sie den Punkt (0, 1, 0) zu jeder Teilmenge hinzu; d. h. lassen Sie

: ū = {(1, x, 0): x ε K\U {(0, 1, 0) }\

:  = {(1, x, 1): x ε K\U {(0, 1, 0) }\

Das sind Linien in KP; ū entsteht aus dem Flugzeug

: {k (1, 0, 0) + l (0, 1, 0): k, l ε K }\

in K, während  aus dem Flugzeug entsteht

: {k (1, 0, 1) + l (0, 1, 0): k, l ε K\.

Die projektiven Linien ū und  schneiden sich an (0, 1, 0). Tatsächlich schneiden sich alle Linien in K des Hangs 0, wenn projectivized auf diese Weise, an (0, 1, 0) in KP.

Das Einbetten von K in KP, der oben gegeben ist, ist nicht einzigartig. Jedes Einbetten erzeugt seinen eigenen Begriff von Punkten an der Unendlichkeit. Zum Beispiel, das Einbetten

: (x, x)  (x, 1, x),

hat als seine Ergänzung jene Punkte der Form (x, 0, x), die dann als Punkte an der Unendlichkeit betrachtet werden.

Wenn ein affine Flugzeug die Form von K mit K ein Abteilungsring nicht hat, kann es noch in einem projektiven Flugzeug eingebettet werden, aber der Aufbau, der oben verwendet ist, arbeitet nicht. Eine allgemein verwendete Methode, für das Einbetten auszuführen, schließt in diesem Fall Erweiterung des Satzes von Affine-Koordinaten und dem Arbeiten in einer allgemeineren "Algebra" ein.

Verallgemeinerte Koordinaten

Man kann einen Koordinaten"Ring"-a so genannter planarer dreifältiger Ring (nicht ein echter Ring) - entsprechend jedem projektiven Flugzeug bauen. Ein planarer dreifältiger Ring braucht kein Feld oder Abteilungsring zu sein, und es gibt viele projektive Flugzeuge, die von einem Abteilungsring nicht gebaut werden. Sie werden non-Desarguesian projektive Flugzeuge genannt und sind ein aktives Gebiet der Forschung. Das Cayley Flugzeug ist ein projektives Flugzeug über den octonions ist einer von diesen, weil die octonions keinen Abteilungsring bilden.

Umgekehrt, in Anbetracht eines planaren dreifältigen Rings (R, T), kann ein projektives Flugzeug (sieh unten) gebaut werden. Die Beziehung ist nicht eine zu einer. Ein projektives Flugzeug kann mit mehreren nichtisomorphen planaren dreifältigen Ringen vereinigt werden. Der dreifältige Maschinenbediener T kann verwendet werden, um zwei binäre Maschinenbediener auf dem Satz R zu erzeugen, durch:

: + b = T (1, a, b), und

: a · b = T (a, b, 0).

Der dreifältige Maschinenbediener ist wenn T (x, M, k) = x geradlinig · M + k. Wenn der Satz von Koordinaten eines projektiven Flugzeugs wirklich einen Ring bildet, kann ein geradliniger dreifältiger Maschinenbediener auf diese Weise mit den Ringoperationen rechts definiert werden, um einen planaren dreifältigen Ring zu erzeugen.

Algebraische Eigenschaften dieses planaren dreifältigen Koordinatenrings erweisen sich, geometrischen Vorkommen-Eigenschaften des Flugzeugs zu entsprechen. Zum Beispiel entspricht der Lehrsatz von Desargues dem Koordinatenring, der bei einem Abteilungsring wird erhält, während der Lehrsatz von Pappus diesem Ring entspricht, der bei einem Ersatzfeld wird erhält. Ein projektives Flugzeug, das den Lehrsatz von Pappus allgemein befriedigt, wird ein Flugzeug von Pappian genannt. Alternative, nicht notwendigerweise assoziativ, entsprechen Abteilungsalgebra wie der octonions Flugzeugen von Moufang.

Der einzige über die rein geometrische Behauptung bekannte Beweis, dass der Lehrsatz von Desargues den Lehrsatz von Pappus in einem begrenzten projektiven Flugzeug einbezieht (sind begrenzte Flugzeuge von Desarguesian Pappian), ist durch den algebraischen Weg durch Koordinaten in einem Abteilungsring mit dem Lehrsatz von Wedderburn, dass begrenzte Abteilungsringe auswechselbar sein müssen. (Das gegenteilige ist in jedem projektiven Flugzeug wahr und ist geometrisch nachweisbar, aber Endlichkeit ist in dieser Behauptung notwendig, weil es unendliche Flugzeuge von Desarguesian gibt, die nicht Pappian sind.)

Ein begrenztes projektives Flugzeug des Auftrags N ( 2) das Verwenden nichthomogener Koordinaten und eines planaren dreifältigen Rings zu beschreiben:

:Let ein Punkt () etikettiert werden.

:Label N Punkte, (r) wo r = 0..., (N − 1).

:Label N Punkte, (r, c) wo r, c = 0..., (N − 1).

Auf diesen Punkten, bauen Sie die folgenden Linien:

:One-Linie  = {(), (0)..., (N − 1) }\

:N-Linien c = {(), (c, 0)..., (c, N − 1)}, wo c = 0..., (N − 1)

:N-Linien r, c = {(r) und die Punkte (x, T (x, r, c)}, wo x, r, c = 0..., (N − 1) und ist T der dreifältige Maschinenbediener des planaren dreifältigen Rings.

Zum Beispiel für N=2 können wir die Symbole {0,1} vereinigt mit dem begrenzten Feld des Auftrags 2 verwenden. Die dreifältige Operation, die durch T (x, M, k) = xm + k mit den Operationen auf dem Recht definiert ist, das die Multiplikation und Hinzufügung im Feld ist, gibt den folgenden nach:

:One-Linie  = {(), (0), (1)},

:2 Linien c = {(), (c, 0), (c, 1): c = 0, 1\,

:: 0 = {(), (0,0), (0,1) }\

:: 1 = {(), (1,0), (1,1) }\

:4 Linien r, c: (c) und die Punkte (ich, ir + c), wo ich = 0, 1: r, c = 0, 1.

:: 0,0: {(0), (0,0), (1,0) }\

:: 0,1: {(0), (0,1), (1,1) }\

:: 1,0: {(1), (0,0), (1,1) }\

:: 1,1: {(1), (0,1), (1,0) }\

Degenerierte Flugzeuge

Degenerierte Flugzeuge erfüllen die dritte Bedingung in der Definition eines projektiven Flugzeugs nicht. Sie sind strukturell nicht kompliziert genug, um in ihrem eigenen Recht interessant zu sein, aber von Zeit zu Zeit entstehen sie als spezielle Fälle in allgemeinen Argumenten. Es gibt sieben degenerierte Flugzeuge. Sie sind:

</ol>

Diese sieben Fälle sind ziemlich abhängig, viert, und fünft kann als spezielle Fälle des sechsten betrachtet werden, während das zweite und dritte spezielle Fälle des vierten und fünften beziehungsweise sind. Die sieben Fälle können deshalb in zwei Familien von degenerierten Flugzeugen wie folgt organisiert werden (diese Darstellung ist für begrenzte degenerierte Flugzeuge, aber kann zu unendlichen auf eine natürliche Weise erweitert werden):

1) Für jede Zahl von Punkten P..., P, und Linien L..., L,

:L = {P, P..., P }\

:L = {P }\

:L = {P }\

:...

:L = {P }\

2) Für jede Zahl von Punkten P..., P, und Linien L..., L, (dieselbe Zahl von Punkten wie Linien)

:L = {P, P..., P }\

:L = {P, P }\

:L = {P, P }\:...:L = {P, P }\

Collineations

Ein Collineation eines projektiven Flugzeugs ist eine bijektive Karte des Flugzeugs zu sich, der Punkte zu Punkten und Linien zu Linien kartografisch darstellt, dass Konserve-Vorkommen, bedeutend, dass, wenn σ eine Bijektion und Punkt ist, P auf der Linie M ist, dann ist P auf der M.

Wenn σ ein collineation eines projektiven Flugzeugs ist, wird ein Punkt P mit P = P einen festen Punkt von σ und eine Linie M mit der M = genannt M wird eine feste Linie von σ genannt. Die Punkte auf einer festen Linie brauchen Punkte nicht befestigt zu werden, ihre Images unter σ werden gerade beschränkt, auf dieser Linie zu liegen. Die Sammlung von festen Punkten und befestigten Linien eines collineation bilden eine geschlossene Konfiguration, die ein System von Punkten und Linien ist, die die ersten zwei, aber nicht notwendigerweise die dritte Bedingung in der Definition eines projektiven Flugzeugs befriedigen. So bilden der feste Punkt und die befestigte Linienstruktur für jeden collineation entweder ein projektives Flugzeug durch sich oder ein degeneriertes Flugzeug. Collineations, deren feste Struktur ein Flugzeug bildet, werden planaren collineations genannt.

Homography

Ein homography (oder projektive Transformation) der Parentalen Guidance (2, K) ist ein collineation dieses Typs des projektiven Flugzeugs, das eine geradlinige Transformation des zu Grunde liegenden Vektorraums ist. Mit homogenen Koordinaten können sie durch invertible 3 &times vertreten werden; 3 matrices über K, die den Punkten der Parentalen Guidance (2, K) durch y = M x folgen, wo x und y Punkte in K (Vektoren) und M sind, sind ein invertible 3 &times; 3 Matrix über K. Zwei matrices vertreten dieselbe projektive Transformation, wenn man ein unveränderliches Vielfache vom anderen ist. So ist die Gruppe von projektiven Transformationen der Quotient der allgemeinen geradlinigen Gruppe durch den Skalar matrices hat die projektive geradlinige Gruppe genannt.

Ein anderer Typ von collineation der Parentalen Guidance (2, K) wird durch jeden automorphism von K veranlasst, diese werden automorphic collineations genannt. Wenn α ein automorphism von K ist, dann ist der collineation, der durch (x, x, x)  (x, x, x) gegeben ist, ein automorphic collineation. Der Hauptsatz der projektiven Geometrie sagt, dass alle collineations der Parentalen Guidance (2, K) Zusammensetzungen von homographies und automorphic collineations sind. Automorphic collineations sind planarer collineations.

Flugzeug-Dualität

Ein projektives Flugzeug wird axiomatisch als eine Vorkommen-Struktur, in Bezug auf einen Satz P von Punkten, ein Satz L von Linien und einer Vorkommen-Beziehung I definiert, der bestimmt, welche Punkte auf der Linien liegen. Da P und L nur Sätze sind, kann man ihre Rollen auswechseln und ein Flugzeug Doppelstruktur definieren.

Durch das Austauschen der Rolle von "Punkten" und "Linien" in

:C = (P, L, ICH)

wir erhalten die Doppelstruktur

:C* = (L, P, ICH *),

wo I* die umgekehrte Beziehung von I. ist

In einem projektiven Flugzeug wird eine Behauptung, die Punkte, Linien und Vorkommen zwischen ihnen einschließt, das bei einer anderen solcher Behauptung durch das Austauschen der Wörter "Punkt" und "Linie" und das Bilden beliebiger grammatischer Anpassungen erhalten wird, die notwendig sind, das Flugzeug Doppelbehauptung des ersten genannt. Das Flugzeug Doppelbehauptung von "Zwei Punkten ist auf einer einzigartigen Linie." ist "Zwei Linien treffen sich an einem einzigartigen Punkt." Das Formen des einer Behauptung Doppel-Flugzeugs ist als dualizing die Behauptung bekannt.

Wenn eine Behauptung in einem projektiven Flugzeug C wahr ist, dann muss das dieser Behauptung Doppel-Flugzeug im Doppelflugzeug C* wahr sein. Das folgt seitdem dualizing jede Behauptung im Beweis "in C" gibt eine Behauptung des Beweises "in C*."

Im projektiven Flugzeug C kann es gezeigt werden, dass dort vier Linien bestehen, von denen keine drei gleichzeitig sind. Dualizing dieser Lehrsatz und die ersten zwei Axiome in der Definition eines projektiven Flugzeugs zeigen, dass das Flugzeug Doppelstruktur C* auch ein projektives Flugzeug, genannt das Doppelflugzeug von C. ist

Wenn C und C* isomorph sind, dann wird C Selbstdoppel-genannt. Die projektive Parentale Flugzeug-Guidance (2, K) für jede Abteilung klingeln K sind Selbstdoppel-. Jedoch gibt es non-Desarguesian Flugzeuge, die, wie die Saal-Flugzeuge und einige nicht Selbstdoppel-sind, die wie die Flugzeuge von Hughes sind.

Der Grundsatz der Flugzeug-Dualität sagt, dass dualizing jeder Lehrsatz in einem projektiven Selbstdoppelflugzeug C einen anderen in C gültigen Lehrsatz erzeugt.

Korrelationen

Eine Dualität ist eine Karte von einem projektiven Flugzeug C = (P, L, I) zu seinem Doppelflugzeug C* = (L, P, ich *) (sieh oben), der Vorkommen bewahrt. D. h. eine Dualität σ wird Punkte zu Linien und Linien zu Punkten (P = L und L = P) auf solche Art und Weise das kartografisch darstellen, wenn ein Punkt Q auf einer Linie M (angezeigt durch Q I m) dann Q I* M  M I Q ist. Eine Dualität, die ein Isomorphismus ist, wird eine Korrelation genannt. Die Existenz einer Korrelation bedeutet, dass das projektive Flugzeug C Selbstdoppel-ist.

Im speziellen Fall, dass das projektive Flugzeug von der Parentalen Guidance (2, K) Typ, mit K ein Abteilungsring ist, wird eine Dualität eine Reziprozität genannt. Diese Flugzeuge sind immer Selbstdoppel-. Durch den Hauptsatz der projektiven Geometrie ist eine Reziprozität die Zusammensetzung einer automorphic Funktion von K und einem homography. Wenn der beteiligte automorphism die Identität ist, dann wird die Reziprozität eine projektive Korrelation genannt.

Eine Korrelation der Ordnung zwei (eine Involution) wird eine Widersprüchlichkeit genannt. Wenn eine Korrelation φ nicht ist, ist eine Widersprüchlichkeit dann φ ein nichttrivialer collineation.

Begrenzte projektive Flugzeuge

Es kann gezeigt werden, dass ein projektives Flugzeug dieselbe Zahl von Linien hat, wie es Punkte (unendlich oder begrenzt) hat. So für jedes begrenzte projektive Flugzeug gibt es eine ganze Zahl N  2 solche, dass das Flugzeug hat

:N + N + 1 Punkte,

:N + N + 1 Linien,

:N + 1 Punkte auf jeder Linie und

:N + 1 Linien durch jeden Punkt.

Die Nummer N wird die Ordnung des projektiven Flugzeugs genannt. (Siehe auch den Artikel über die begrenzte Geometrie.)

Das Verwenden des Vektorraum-Aufbaus mit begrenzten Feldern dort besteht ein projektives Flugzeug des Auftrags N = p, für jede Hauptmacht p. Tatsächlich, für alle bekannten begrenzten projektiven Flugzeuge, ist der Auftrag N eine Hauptmacht.

Die Existenz von begrenzten projektiven Flugzeugen anderer Ordnungen ist eine geöffnete Frage. Die einzige allgemeine auf der Ordnung bekannte Beschränkung ist der Bruck-Ryser-Chowla Lehrsatz, dass, wenn der Auftrag N zu 1 oder 2 mod 4 kongruent ist, es die Summe von zwei Quadraten sein muss. Das schließt N = 6 aus. Der folgende Fall N = 10 ist durch massive Computerberechnungen ausgeschlossen worden. Nichts ist mehr bekannt; insbesondere die Frage dessen, ob dort ein begrenztes projektives Flugzeug des Auftrags N = 12 besteht, ist noch offen.

Ein anderes seit langer Zeit bestehendes offenes Problem besteht darin, ob dort begrenzte projektive Flugzeuge der Hauptordnung bestehen, die nicht begrenzte Feldflugzeuge sind (gleichwertig, ob dort ein non-Desarguesian projektives Flugzeug der Hauptordnung besteht).

Ein projektives Flugzeug des Auftrags N ist ein Steiner S (2, N + 1, N + N + 1) System

(sieh System von Steiner). Umgekehrt kann man beweisen, dass alle Systeme von Steiner dieser Form (λ = 2) projektive Flugzeuge sind.

Die Zahl von gegenseitig orthogonalen lateinischen Quadraten des Auftrags N ist am grössten Teil von N &minus; 1. N &minus; 1 bestehen, wenn, und nur wenn es ein projektives Flugzeug des Auftrags N gibt.

Während die Klassifikation aller projektiven Flugzeuge alles andere als abgeschlossen ist, sind Ergebnisse für kleine Ordnungen bekannt:

• 2: alle, die mit der Parentalen Guidance (2,2) isomorph

sind

• 3: alle, die mit der Parentalen Guidance (2,3) isomorph

sind

• 4: alle, die mit der Parentalen Guidance (2,4) isomorph

sind

• 5: alle, die mit der Parentalen Guidance (2,5) isomorph

sind

• 6: unmöglich als die Ordnung eines projektiven Flugzeugs, das durch den Teerigen bewiesen ist, wer gezeigt hat, dass das sechsunddreißig Offizier-Problem von Euler keine Lösung hat
• 7: alle, die mit der Parentalen Guidance (2,7) isomorph

sind

• 8: alle, die mit der Parentalen Guidance (2 isomorph sind, 8)
• 9: Parentale Guidance (2,9), und drei verschiedenere (nichtisomorphe) non-Desarguesian Flugzeuge. (Alle, die in beschrieben sind).
• 10: unmöglich als eine Ordnung eines projektiven Flugzeugs, das durch die schwere Computerberechnung bewiesen ist.
• 11: mindestens Parentale Guidance (2,11), andere sind nicht bekannt, aber möglich.
• 12: es wird vermutet, um als eine Ordnung eines projektiven Flugzeugs unmöglich zu sein.

Projektive Flugzeuge in höheren dimensionalen projektiven Räumen

Von projektiven Flugzeugen kann als projektive Geometrie "der geometrischen" Dimension zwei gedacht werden. Höher kann dimensionale projektive Geometrie in Bezug auf der Definition eines projektiven Flugzeugs gewissermaßen analoge Vorkommen-Beziehungen definiert werden. Diese erweisen sich, "mehr gezähmt" zu sein, als die projektiven Flugzeuge, da die Extragrade der Freiheit dem Lehrsatz von Desargues erlauben, geometrisch in der höheren dimensionalen Geometrie bewiesen zu werden. Das bedeutet, dass der zur Geometrie vereinigte Koordinaten"Ring" ein Abteilungsring (skewfield), K sein muss und die projektive Geometrie zu derjenigen isomorph ist, die vom Vektorraum K, d. h. Parentaler Guidance (d, K) gebaut ist. Als im Aufbau gegeben früher sind die Punkte der d-dimensional projektiven Parentalen Raumguidance (d, K) die Linien durch den Ursprung in K, und eine Linie in der Parentalen Guidance (d, K) entspricht einem Flugzeug durch den Ursprung in K. Tatsächlich, jeder i-dimensional protestieren in der Parentalen Guidance (d, K), mit mir &lt; d, ist (i+1) - dimensionaler (algebraischer) Vektor-Subraum von K ("geht den Ursprung" durch). Die projektiven Räume verallgemeinern der Reihe nach zu den Räumen von Grassmannian.

Es kann dass gezeigt werden, wenn der Lehrsatz von Desargues in einem projektiven Raum der Dimension größer hält als zwei, dann muss es auch in allen Flugzeugen halten, die in diesem Raum enthalten werden. Da es projektive Flugzeuge gibt, in denen der Lehrsatz von Desargues scheitert (non-Desarguesian Flugzeuge), können diese Flugzeuge nicht in einem höheren dimensionalen projektiven Raum eingebettet werden. Nur die Flugzeuge vom Vektorraum-Aufbau, Parentale Guidance (2, K), kann in projektiven Räumen der höheren Dimension erscheinen. Einige Disziplinen in der Mathematik schränken die Bedeutung des projektiven Flugzeugs zu nur diesem Typ des projektiven Flugzeugs seitdem sonst ein allgemeine Behauptungen über projektive Räume würden immer die Ausnahmen erwähnen müssen, wenn die geometrische Dimension zwei ist.

Siehe auch

• Vorkommen-Struktur
• Projektive Geometrie
• Non-Desarguesian Flugzeug

Referenzen

• John C. Baez, "Der Octonions", Stier. Amer. Mathematik. Soc. 39 (2002), 145-205. Verfügbar

electronically.http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/

• Lindner, Charles C. und Christopher A. Rodger (Hrsg.). Designtheorie, CRC-Presse; 1 Ausgabe (am 31. Oktober 1997). Internationale Standardbuchnummer 0-8493-3986-3.

Links

• G. Eric Moorhouse, projektive Flugzeuge der kleinen Ordnung, (2003)
• Ch. Weibel: Überblick über Flugzeuge von Nondesarguesian