In der Mathematik ist eine Versetzungsgruppe eine Gruppe G, dessen Elemente Versetzungen eines gegebenen Satzes M sind, und dessen Gruppenoperation die Zusammensetzung von Versetzungen in G ist (von den als bijektive Funktionen vom Satz M zu sich gedacht wird); die Beziehung wird häufig als (G, M) geschrieben. Bemerken Sie, dass die Gruppe aller Versetzungen eines Satzes die symmetrische Gruppe ist; die Begriff-Versetzungsgruppe wird gewöhnlich eingeschränkt, um eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe zu bedeuten. Die symmetrische Gruppe von n Elementen wird durch S angezeigt; wenn M ein begrenzter oder unendlicher Satz ist, dann wird die Gruppe aller Versetzungen der M häufig als Sym (M) geschrieben.

Die Anwendung einer Versetzungsgruppe zu den Elementen, die permutieren werden, wird seine Gruppenhandlung genannt; es hat Anwendungen sowohl in der Studie von symmetries, combinatorics als auch in vielen anderen Zweigen der Mathematik, Physik und Chemie.

Verschluss-Eigenschaften

Als eine Untergruppe einer symmetrischen Gruppe ist alles, was für eine Versetzungsgruppe notwendig ist, um die Gruppenaxiome zu befriedigen, dass es die Identitätsversetzung, die umgekehrte Versetzung jeder Versetzung enthält, die es enthält, und unter der Zusammensetzung seiner Versetzungen geschlossen werden. Ein allgemeines Eigentum von begrenzten Gruppen deutet an, dass eine begrenzte Teilmenge einer symmetrischen Gruppe wieder eine Gruppe ist, wenn, und nur wenn es unter der Gruppenoperation geschlossen wird.

Beispiele

Versetzungen werden häufig in der zyklischen Form geschrieben, so dass gegeben der Satz M = {1,2,3,4}, eine Versetzung g der M mit g (1) = 2, g (2) = 4, g (4) = 1 und g (3) = 3 als (1,2,4) (3), oder allgemeiner, (1,2,4) geschrieben wird, da 3 unverändert verlassen wird; wenn die Gegenstände durch einen einzelnen Brief oder Ziffer angezeigt werden, wird auf Kommas auch verzichtet, und wir haben eine Notation solcher als (1 2 4).

Denken Sie den folgenden Satz G von Versetzungen des Satzes M = {1,2,3,4}:

• e = (1) (2) (3) (4) = (1)
• Das ist die Identität, die triviale Versetzung, die jedes Element befestigt.
• a = (1 2) (3) (4) = (1 2)
• Diese Versetzung wechselt 1 und 2 ab, und befestigt 3 und 4.
• b = (1) (2) (3 4) = (3 4)
• Wie der vorherige, aber das Austauschen 3 und 4, und Befestigen von anderen.
• ab = (1 2) (3 4)
• Diese Versetzung, die die Zusammensetzung der vorherigen zwei ist, ist gleichzeitig 1 mit 2, und 3 mit 4 wert.

G bildet eine Gruppe, seitdem aa = bb = e, ba = ab, und baba = e. So (G, M) bildet eine Versetzungsgruppe.

Das Würfel-Rätsel von Rubik ist ein anderes Beispiel einer Versetzungsgruppe. Der zu Grunde liegende Satz, der wird permutiert, ist die farbigen Subwürfel des ganzen Würfels. Jede der Folgen der Gesichter des Würfels ist eine Versetzung der Positionen und Orientierungen der Subwürfel. Genommen zusammen bilden die Folgen einen Erzeugen-Satz, der der Reihe nach eine Gruppe durch die Zusammensetzung dieser Folgen erzeugt. Wie man leicht sieht, sind die Axiome einer Gruppe zufrieden; um jede Folge von Folgen umzukehren, führen Sie einfach ihre Gegenteile in umgekehrter Reihenfolge durch.

Die Gruppe von Versetzungen auf dem Würfel von Rubik bildet keine ganze symmetrische Gruppe der 20 Ecke und steht cubelets gegenüber; es gibt einige Endwürfel-Positionen, die durch die gesetzlichen Manipulationen des Würfels nicht erreicht werden können.

Mehr allgemein ist jede Gruppe G zu einer Untergruppe einer Versetzungsgruppe auf Grund von seiner regelmäßigen Handlung auf G als ein Satz isomorph; das ist der Inhalt des Lehrsatzes von Cayley.

Isomorphismus

Wenn G und H zwei Versetzungsgruppen auf demselben Satz X sind, dann sagen wir, dass G und H als Versetzungsgruppen isomorph sind, wenn dort eine bijektive Karte f besteht: X  X solch, dass r f o r o f eine bijektive Karte zwischen G und H definiert; mit anderen Worten, wenn für jedes Element g in G, es einen einzigartigen h in H solch das für den ganzen x in X, (g o f) (x) = (f o h) (x) gibt. Das ist zu G und H gleichwertig, der als Untergruppen von Sym (X) verbunden ist. In diesem Fall sind G und H auch als Gruppen isomorph.

Bemerken Sie, dass verschiedene Versetzungsgruppen als abstrakte Gruppen, aber nicht als Versetzungsgruppen gut isomorph sein können. Zum Beispiel ist die Versetzungsgruppe auf {1,2,3,4} beschrieben oben als eine Gruppe (aber nicht als eine Versetzungsgruppe) zu {(1) (2) (3) (4), (12) (34), (13) (24), (14) (23)} isomorph. Beide sind als Gruppen zur Gruppe von Klein V isomorph.

Umstellungen, einfache Umstellungen, Inversionen und das Sortieren

Ein 2-Zyklen-ist als eine Umstellung bekannt. Eine einfache Umstellung in S ist eine 2-Zyklen-von der Form (ich ich + 1).

Für eine Versetzung p in S ist ein Paar (ich, j) I eine Versetzungsinversion, wenn wenn ich

Jede Versetzung kann als ein Produkt von einfachen Umstellungen geschrieben werden; außerdem kann die Zahl von einfachen Umstellungen, die man einer Versetzung p in S schreiben kann, die Zahl von Inversionen von p sein, und wenn die Zahl von Inversionen in p seltsam ist oder sogar die Zahl von Umstellungen in p auch seltsam sein wird oder sogar entsprechend der Merkwürdigkeit von p.

Referenzen

Siehe auch

• Reihen Sie 3 Versetzungsgruppe auf
• Primitive Gruppe
• Gruppe von Oligomorphic
• John D. Dixon und Brian Mortimer. Permutation Groups. Nummer 163 in Absolvententexten in der Mathematik. Springer-Verlag, 1996.
• Akos Seress. Versetzungsgruppenalgorithmen. Flächen von Cambridge in der Mathematik, 152. Universität von Cambridge Presse, Cambridge, 2003.
• Meenaxi Bhattacharjee, Dugald Macpherson, Rögnvaldur G. Möller und Peter M. Neumann. Zeichen auf Infinite Permutation Groups. Nummer 1698 in Vortrag-Zeichen in der Mathematik. Springer-Verlag, 1998.
• Alexander Hulpke. LÜCKE-Datenbibliothek "Transitive Permutation Groups".
• Peter J. Cameron. Permutation Groups. LMS Studententext 45. Universität von Cambridge Presse, Cambridge, 1999.
• Peter J. Cameron. Oligomorphic Permutation Groups. Universität von Cambridge Presse, Cambridge, 1990.