In der Algebra (der ein Zweig der Mathematik ist) ist ein Hauptideal eine Teilmenge eines Rings, der viele wichtige Eigenschaften einer Primzahl im Ring von ganzen Zahlen teilt. Die Hauptideale für die ganzen Zahlen sind die Sätze, die alle Vielfachen einer gegebenen Primzahl oder Null enthalten.

Primitive Ideale sind erst, und Hauptideale sind sowohl primär als auch halberst.

Hauptideale für Ersatzringe

Ein Ideal P eines Ersatzrings R ist erst, wenn es die folgenden zwei Eigenschaften hat:

• Wenn a und b zwei Elemente von solchem R sind, dass ihr Produkt ab ein Element von P ist, dann in P oder b zu sein, ist in P,
• P ist dem ganzen Ring R nicht gleich.

Das verallgemeinert das folgende Eigentum von Primzahlen: Wenn p eine Primzahl ist, und wenn p ein Produkt ab zwei ganzer Zahlen teilt, dann teilt p a, oder p teilt b. Wir können deshalb sagen

Positive ganze Zahl von:A n ist eine Primzahl, wenn, und nur wenn das Ideal nZ ein Hauptideal in Z ist.

Beispiele

• Wenn R den Ring C [X, Y] von Polynomen in zwei Variablen mit komplizierten Koeffizienten, dann das Ideal anzeigt, das durch das Polynom Y &minus erzeugt ist; X − X − 1 ist ein Hauptideal (sieh elliptische Kurve).
• Im Ring Z [X] aller Polynome mit Koeffizienten der ganzen Zahl ist das Ideal, das durch 2 und X erzeugt ist, ein Hauptideal. Es besteht aus allen jenen Polynomen, deren unveränderlicher Koeffizient gleich ist.
• In jedem Ring R ist ein maximales Ideal eine ideale M, die im Satz aller richtigen Ideale von R maximal ist, d. h. M in genau 2 Idealen von R, nämlich M sich und der komplette Ring R enthalten wird. Jedes maximale Ideal ist tatsächlich erst. In einem idealen Hauptgebiet ist jedes Nichtnullhauptideal maximal, aber das ist im Allgemeinen nicht wahr.
• Wenn M eine glatte Sammelleitung ist, ist R der Ring von glatten echten Funktionen auf der M, und x ist ein Punkt in der M, dann der Satz aller glatten Funktionen f mit f (x) = 0 Formen ein Hauptideal (sogar ein maximales Ideal) in R.

Eigenschaften

• Ein Ideal I im Ring R ist erst, wenn, und nur wenn der Faktor-Ring R/I ein integriertes Gebiet ist. Insbesondere ein Ersatzring ist ein integriertes Gebiet, wenn, und nur wenn {0} ein Hauptideal ist.
• Ein Ideal ich bin erst, wenn, und nur wenn seine mit dem Satz theoretische Ergänzung geschlossener multiplicatively ist.
• Jeder Nichtnullring enthält mindestens ein Hauptideal (tatsächlich es enthält mindestens ein maximales Ideal), der eine direkte Folge des Lehrsatzes von Krull ist.
• Der Satz aller Hauptideale (das Spektrum eines Rings) enthält minimale Elemente (hat minimale Blüte genannt). Geometrisch entsprechen diese nicht zu vereinfachenden Bestandteilen des Spektrums.
• Das Vorimage eines Hauptideales unter einem Ringhomomorphismus ist ein Hauptideal.
• Die Summe von zwei Hauptidealen ist nicht notwendigerweise erst. Für ein Beispiel, denken Sie den Ring mit Hauptidealen und (die Ideale erzeugt durch und x beziehungsweise). Ihre Summe ist jedoch nicht erst: y  1 = (y  1) (y + 1) ist in P + Q, aber seine zwei Faktoren sind nicht. Bemerken Sie wechselweise, dass der Quotient-Ring Nullteiler hat, so ist es nicht ein integriertes Gebiet und kann so nicht erst sein.
• In einem Ersatzring R mit mindestens zwei Elementen, wenn jedes richtige Ideal erst ist, dann ist der Ring ein Feld. (Wenn das Ideal (0) erst ist, dann ist der Ring R ein integriertes Gebiet. Wenn q ein Nichtnullelement von R ist und das Ideal erst ist, dann enthält es q, und dann ist q invertible.)
• Ein Nichtnullhauptideal ist erst, wenn, und nur wenn es durch ein Hauptelement erzeugt wird. In einem UFD enthält jedes Nichtnullhauptideal ein Hauptelement.

Gebrauch

Ein Gebrauch von Hauptidealen kommt in der algebraischen Geometrie vor, wo Varianten als die Nullsätze von Idealen in polynomischen Ringen definiert werden. Es stellt sich heraus, dass die nicht zu vereinfachenden Varianten Hauptidealen entsprechen. In der modernen abstrakten Annäherung fängt man mit einem willkürlichen Ersatzring an und dreht den Satz seiner Hauptideale, auch genannt sein Spektrum in einen topologischen Raum und kann so Generalisationen von Varianten genannt Schemas definieren, die Anwendungen nicht nur in der Geometrie, sondern auch in der Zahlentheorie finden.

Die Einführung von Hauptidealen in der Theorie der algebraischen Zahl war ein größerer Schritt vorwärts: Es wurde begriffen, dass das wichtige Eigentum von einzigartigem im Hauptsatz der Arithmetik ausgedrücktem factorisation in jedem Ring von algebraischen ganzen Zahlen nicht hält, aber ein Ersatz wurde gefunden, als Richard Dedekind Elemente durch Ideale und Hauptelemente durch Hauptideale ersetzt hat; sieh Gebiet von Dedekind.

Hauptideale für Nichtersatzringe

Der Begriff eines Hauptideales kann zu Nichtersatzringen durch das Verwenden der "ideal-klugen" Ersatzdefinition verallgemeinert werden. Wolfgang Krull hat diese Idee 1928 vorgebracht. Der folgende Inhalt kann in Texten solcher als gefunden werden und. Wenn R ist (vielleicht nichtauswechselbar), sind Ring und P ein Ideal im R außer R selbst, wir sagen, dass P wenn für irgendwelche zwei Ideale A und B von R erst ist:

• Wenn das Produkt von Idealen darin enthalten wird, dann wird mindestens ein dessen und darin enthalten.

Es kann gezeigt werden, dass diese Definition zur auswechselbaren in Ersatzringen gleichwertig ist. Es wird dass sogleich nachgeprüft, wenn ein Ideal eines Nichtersatzrings R die Ersatzdefinition der Blüte befriedigt, dann befriedigt es auch die Nichtersatzversion. Ein Ideal P Zufriedenheit der Ersatzdefinition der Blüte wird manchmal ein völlig erstes Ideal genannt, um es von anderen bloß ersten Idealen im Ring zu unterscheiden. Völlig erste Ideale sind Hauptideale, aber das gegenteilige ist nicht wahr. Zum Beispiel, das Nullideal im Ring von n × n matrices über ein Feld ist ein Hauptideal, aber es ist nicht völlig erst.

Das ist dem historischen Gesichtspunkt von Idealen nah, weil ideale Zahlen, bezüglich des Rings Z "A in P enthalten wird", ist eine andere Weise, "P zu sagen, teilt sich", und das Einheitsideal R vertritt Einheit.

Gleichwertige Formulierungen des idealen PR erst zu sein, schließen die folgenden Eigenschaften ein:

• Für den ganzen a und b in R (a) (b) bezieht P aP oder bP ein.
• Für irgendwelche zwei richtigen Ideale von R bezieht ABP AP oder BP ein.
• Für irgendwelche zwei linken Ideale von R bezieht ABP AP oder BP ein.
• Für irgendwelche Elemente a und b von R, wenn aRbP, dann aP oder bP.

Hauptideale in Ersatzringen werden charakterisiert, indem sie multiplicatively geschlossene Ergänzungen in R, und mit der geringen Modifizierung gehabt wird, eine ähnliche Charakterisierung kann für Hauptideale in Nichtersatzringen formuliert werden. Ein nichtleerer Teilmenge-SR wird eine M System genannt, wenn für einen a und b in S, dort r in solchem R besteht, dass arb in S ist. Der folgende Artikel kann dann zur Liste von gleichwertigen Bedingungen oben hinzugefügt werden:

• Die Ergänzung R\P ist eine M System.

Beispiele

• Jedes primitive Ideal ist erst.
• Als mit Ersatzringen sind maximale Ideale erst, und auch Hauptideale enthalten minimale Hauptideale.
• Ein Ring ist ein Hauptring, wenn, und nur wenn das Nullideal ein Hauptideal, und außerdem ist, ein Ring ein Gebiet ist, wenn, und nur wenn das Nullideal ein völlig erstes Ideal ist.
• Eine andere Tatsache aus der in der Nichtersatztheorie zurückgeworfenen Ersatztheorie ist, dass, wenn A ein Modul der Nichtnull R ist, und P ein maximales Element im poset von Vernichter-Idealen von Untermodulen von A ist, dann ist P erst.

Wichtige Tatsachen

• Hauptaufhebungslemma: Wenn R ein Ersatzring ist, und A ein Subring (vielleicht ohne Einheit), und ich ist... bin ich eine Sammlung von Idealen von R mit höchstens zwei nicht ersten Mitgliedern, dann wenn A in keinem ich enthalten wird, wird es auch in der Vereinigung von mir..., mir nicht enthalten. Insbesondere A konnte ein Ideal von R sein.
• Wenn S eine M System in R ist, dann zeigt ein Lemma im Wesentlichen wegen Krulls, dass dort ein Ideal von R besteht, der in Bezug darauf maximal ist, zu sein, zusammenhanglos von S, und außerdem das Ideal erst sein muss. Im Fall {S} = {1} haben wir den Lehrsatz von Krull, und das erlangt die maximalen Ideale von R wieder. Eine andere archetypische M System ist der Satz aller positiven Mächte eines non-nilpotent Elements.
• Für ein Hauptideal P die Ergänzung hat R\P ein anderes Eigentum außer, eine M System zu sein. Wenn xy in R\P ist, dann müssen sowohl x als auch y in R\P sein, da P ein Ideal ist. Ein Satz, der die Teiler seiner Elemente enthält, wird durchtränkt genannt.
• Für einen Ersatzring R gibt es eine Art gegenteiliges für die vorherige Behauptung: Wenn S irgendwelcher nichtleer gesättigt ist und multiplicatively Teilmenge von R, die Ergänzung geschlossen hat, ist R\S eine Vereinigung von Hauptidealen von R.
• Die Vereinigung und die Kreuzung einer Kette von Hauptidealen sind ein Hauptideal. Mit dem Lemma von Zorn deutet das an, dass der poset von Hauptidealen (teilweise bestellt durch die Einschließung) maximale und minimale Elemente hat.

Verbindung zu maximality

Hauptideale können oft als maximale Elemente von bestimmten Sammlungen von Idealen erzeugt werden. Zum Beispiel:

• Ein Ideal, das in Bezug darauf maximal ist, leere Kreuzung mit einer festen M System zu haben, ist erst.
• Ein Ideal, das unter Vernichtern von Untermodulen eines festen R Moduls M maximal ist, ist erst.
• In einem Ersatzring ist ein Ideal, das in Bezug darauf maximal ist, nichthauptsächlich zu sein, erst.
• In einem Ersatzring ist ein maximales in Bezug darauf nicht zählbar erzeugtes zu werden Ideal erst.

Diese ungewöhnliche Sympathie ist weiter darin studiert worden.