In der Logik ist der Beweis durch den Widerspruch eine Form des Beweises, der die Wahrheit oder Gültigkeit eines Vorschlags durch die Vertretung gründet, dass, dass der Vorschlag falsch ist, einen Widerspruch einbeziehen würde. Seitdem nach dem Gesetz von bivalence muss ein Vorschlag entweder wahr oder falsch sein, und seine Unehrlichkeit ist unmöglich gezeigt worden, der Vorschlag muss wahr sein.

Mit anderen Worten, um durch den Widerspruch dass zu beweisen, zeigen Sie das oder seine Entsprechung. Dann, seitdem bezieht einen Widerspruch ein, aufhören.

Der Beweis durch den Widerspruch ist auch bekannt als indirekter Beweis, apagogical Argument, Beweis durch das Annehmen des Gegenteils und der reductio Anzeige impossibilem. Es ist eine besondere Art der allgemeineren Form des Arguments bekannt als reductio Anzeige absurdum.

Beispiele

In der Mathematik

Unvernunft der Quadratwurzel 2

Ein klassischer Beweis durch den Widerspruch von der Mathematik ist der Beweis, dass die Quadratwurzel 2 vernunftwidrig ist. Wenn es vernünftig war, konnte es als ein Bruchteil a/b in niedrigsten Begriffen ausgedrückt werden, wo a und b ganze Zahlen sind, von denen mindestens eine seltsam sind. Aber wenn a/b = 2, dann = 2b. Deshalb ein Müssen, gleich sein.

Weil das Quadrat einer ungeraden Zahl seltsam ist, der der Reihe nach dass andeutet sogar zu sein. Das bedeutet, dass b seltsam sein muss, weil a/b in niedrigsten Begriffen ist.

Andererseits, wenn sogar, dann zu sein, eines Vielfaches 4 zu sein. Wenn eines Vielfaches 4 und = 2b zu sein, dann 2b ist ein Vielfache 4, und deshalb b, sogar ist, und b auch.

So ist b, ein Widerspruch gerade und ungerade. Deshalb muss die anfängliche Annahme - dass 2 als ein Bruchteil ausgedrückt werden kann - falsch sein.

Die Länge der Hypotenuse ist weniger als die Summe der Längen der zwei Beine

Die Methode des Beweises durch den Widerspruch ist auch verwendet worden, um zu zeigen, dass für jedes nichtdegenerierte rechtwinklige Dreieck die Länge der Hypotenuse weniger ist als die Summe der Längen der zwei restlichen Seiten. Der Beweis verlässt sich auf den Pythagoreischen Lehrsatz. Wenn er c die Länge der Hypotenuse und des a und b die Längen der Beine sein lässt, besteht der Anspruch dass + b> c darin.

Wie gewöhnlich fangen wir den Beweis an, indem wir den Anspruch verneinen und dass + b  c annehmen. Der nächste Schritt soll zeigen, dass das zu einem Widerspruch führt. Quadrieren beide Seiten, wir haben (+ b)  c oder, gleichwertig, + 2ab + b  c. Ein Dreieck ist nichtdegeneriert, wenn jeder Rand positive Länge hat, so können wir annehmen, dass a und b größer sind als 0. Deshalb, + b + 2ab + b  c. Den mittleren Begriff wegnehmend, haben wir + b. Wir wissen vom Pythagoreischen Lehrsatz dass + b = c. Wir haben jetzt einen Widerspruch, da strenge Ungleichheit und Gleichheit gegenseitig exklusiv sind. Der Letztere war ein Ergebnis des Pythagoreischen Lehrsatzes und des ersteren die Annahme dass + b  c. Der Widerspruch bedeutet, dass es unmöglich ist sowohl für, wahr zu sein, als auch wir wissen, dass der Pythagoreische Lehrsatz hält. Hieraus folgt dass unsere Annahme, dass + b  c falsch sein muss und folglich + b> c, den Anspruch beweisend.

Anderer

Sagen Sie, dass wir Vorschlag p widerlegen möchten. Das Verfahren soll zeigen, dass das Annehmen p zu einem logischen Widerspruch führt. So, gemäß dem Gesetz des Nichtwiderspruchs, muss p falsch sein.

Sagen Sie stattdessen, dass wir Vorschlag p beweisen möchten. Wir können weitergehen, indem wir "nicht p" annehmen (d. h. dass p falsch ist), und zeigen Sie, dass er zu einem logischen Widerspruch führt. So, gemäß dem Gesetz des Nichtwiderspruchs, "nicht p" muss falsch sein, und so, gemäß dem Gesetz der ausgeschlossenen Mitte, ist p wahr.

In Symbolen:

P zu widerlegen: Man verwendet die Tautologie (p  (R  ¬ R))  ¬ p, wo R jeder Vorschlag ist und das  Symbol genommen wird, um zu bedeuten, "und". p annehmend, beweist man R und ¬ R, und beschließt daraus dass p  (R  ¬ R). Das und die Tautologie beziehen zusammen ¬ p ein.

P zu beweisen: Man verwendet die Tautologie (¬ p  (R  ¬ R))  p, wo R jeder Vorschlag ist. ¬ p annehmend, beweist man R und ¬ R, und beschließt daraus dass ¬ p  (R  ¬ R). Das und die Tautologie beziehen zusammen p ein.

Für ein einfaches Beispiel der ersten Art, denken Sie den Vorschlag, ¬ p: "Es gibt keine kleinste rationale Zahl, die größer ist als 0". In einem Beweis durch den Widerspruch fangen wir an, indem wir das Gegenteil, p annehmen: Dass es eine kleinste rationale Zahl, sagen wir, r gibt.

Lassen Sie jetzt x = r/2. Dann ist x eine rationale Zahl, die größer ist als 0 und weniger als r. (Im obengenannten symbolischen Argument, "ist x die kleinste rationale Zahl", würde R und "r sein (der von x verschieden ist), ist die kleinste rationale Zahl" würde ¬ R. sein), Aber das widerspricht unserer anfänglichen Annahme, p, dass r die kleinste rationale Zahl war. So können wir beschließen, dass der ursprüngliche Vorschlag, ¬ p, wahr sein muss — "gibt es keine kleinste rationale Zahl, die größer ist als 0".

[Zeichen: Dessen Wahl Behauptung R ist, und der ¬ ist, R ist willkürlich.]

Es ist üblich, diesen ersten Typ des Arguments mit Vorschlägen wie derjenige oben bezüglich des Nichtseins von einem mathematischen Gegenstand zu verwenden. Man nimmt an, dass solch ein Gegenstand besteht, und dann beweist, dass das zu einem Widerspruch führen würde; so besteht solch ein Gegenstand nicht. Für andere Beispiele, sieh Beweis, dass die Quadratwurzel 2 nicht das diagonale Argument des vernünftigen und Kantoren ist.

Andererseits ist es auch üblich, Argumente des zweiten Typs bezüglich der Existenz von einem mathematischen Gegenstand zu verwenden. Man nimmt an, dass der Gegenstand nicht besteht, und dann beweist, dass das zu einem Widerspruch führen würde; so muss solch ein Gegenstand bestehen. Obwohl es in mathematischen Beweisen, nicht ganz frei verwendet wird, akzeptiert jede Schule des mathematischen Gedankens diese Art des Arguments als allgemein gültig. Sieh weiteren Nichtkonstruktiven Beweis.

In der mathematischen Logik

In der mathematischen Logik wird der Beweis durch den Widerspruch als vertreten:

: Wenn

::

: dann

::

oder

: Wenn::: dann::

Im obengenannten ist P der Vorschlag, den wir widerlegen möchten, beziehungsweise erweisen sich; und S ist eine Reihe von Behauptungen, die die Propositionen sind — konnten diese, zum Beispiel, die Axiome der Theorie sein wir arbeiten in, oder frühere Lehrsätze, auf die wir bauen können. Wir denken P oder die Ablehnung von P zusätzlich zu S; wenn das zu einem logischen Widerspruch F führt, dann können wir beschließen, dass die Behauptungen in S zur Ablehnung von P oder P selbst beziehungsweise führen.

Bemerken Sie, dass die mit dem Satz theoretische Vereinigung, in einigen Zusammenhängen, die nah mit der logischen Trennung verbunden sind (oder), hier für Sätze von Behauptungen auf solche Art und Weise verwendet wird, dass es mehr mit der logischen Verbindung verbunden ist (und).

Notation

Beweise durch den Widerspruch beenden manchmal mit dem Wort "Widerspruch!". Isaac Barrow und Baermann haben die Notation Q.E.A verwendet. für "quod est absurdum" ("der" absurd ist), entlang den Linien von Q.E.D., aber diese Notation wird heute selten verwendet. Ein für Widersprüche manchmal verwendetes Bildzeichen ist ein abwärts zickzackförmiges Pfeil-"Blitz"-Symbol (U+21AF: ), zum Beispiel in Davey und Priestley. Andere, die manchmal verwendet sind, schließen ein Paar von gegenüberliegenden Pfeilen ein (als oder), hat Pfeile , eine stilisierte Form des Kuddelmuddels gestrichen (wie U+2A33: ), oder die "Bezugsmarke" (U+203B: ). "Heften" Symbol (U+22A5: ) verwendet von Philosophen und Logikern (sieh Widerspruch), erscheint auch, aber wird häufig wegen seines Gebrauchs für orthogonality vermieden.

Zitate

In den Wörtern von G. H. Hardy (eine Entschuldigung eines Mathematikers) "ist Anzeige von Reductio absurdum, der Euklid so viel geliebt hat, eine feinster Waffen eines Mathematikers. Es ist ein viel feineres Gambit als jedes Schachgambit: Ein Schachspieler kann das Opfer eines Pfandes oder sogar eines Stückes anbieten, aber ein Mathematiker bietet das Spiel an."

Siehe auch

• Beweis durch contrapositive

Weiterführende Literatur