Die Symmetrie-Gruppe eines Gegenstands (Image, Signal, usw.) ist die Gruppe aller Isometrien, unter denen der Gegenstand invariant mit der Zusammensetzung als die Operation ist. Es ist eine Untergruppe der Isometrie-Gruppe des betroffenen Raums. Wenn nicht hat sonst festgesetzt, dieser Artikel denkt Symmetrie-Gruppen in der Euklidischen Geometrie, aber das Konzept kann auch in breiteren Zusammenhängen studiert werden; sieh unten.

Einführung

Die "Gegenstände" können geometrische Zahlen, Images und Muster wie ein Tapete-Muster sein. Die Definition kann genauer durch das Spezifizieren gemacht werden, was durch das Image oder Muster, z.B, eine Funktion der Position mit Werten in einer Reihe von Farben gemeint wird. Für die Symmetrie von physischen Gegenständen kann man auch physische Zusammensetzung in Betracht ziehen wollen. Die Gruppe von Isometrien des Raums veranlasst eine Gruppenhandlung auf Gegenständen darin.

Die Symmetrie-Gruppe wird manchmal auch volle Symmetrie-Gruppe genannt, um zu betonen, dass es die Orientierung umkehrenden Isometrien einschließt (wie Nachdenken, Gleiten-Nachdenken und unpassende Folgen), unter dem die Zahl invariant ist. Die Untergruppe von Orientierung bewahrenden Isometrien (d. h. Übersetzungen, Folgen und Zusammensetzungen von diesen), die die Zahl invariant verlassen, wird seine richtige Symmetrie-Gruppe genannt. Die richtige Symmetrie-Gruppe eines Gegenstands ist seiner vollen Symmetrie-Gruppe gleich, wenn, und nur wenn der Gegenstand chiral ist (und so gibt es keine Orientierung umkehrenden Isometrien, unter denen es invariant ist).

Jede Symmetrie-Gruppe, deren Elemente einen allgemeinen festen Punkt haben, der für alle begrenzten Symmetrie-Gruppen und auch für die Symmetrie-Gruppen von begrenzten Zahlen wahr ist, kann als eine Untergruppe der orthogonalen Gruppe O (n) vertreten werden, indem sie den Ursprung wählt, um ein fester Punkt zu sein. Die richtige Symmetrie-Gruppe ist eine Untergruppe der speziellen orthogonalen Gruppe SO (n) dann, und deshalb auch genannt Folge-Gruppe der Zahl.

Getrennte Symmetrie-Gruppen kommen in drei Typen: (1) begrenzte Punkt-Gruppen, die nur Folgen, Nachdenken, Inversion und rotoinversion einschließen - sind sie tatsächlich gerade die begrenzten Untergruppen von O (n), (2) unendliche Gitter-Gruppen, die nur Übersetzungen, und (3) unendliche Raumgruppen einschließen, der Elemente sowohl von vorherigen Typen verbindet, als auch kann auch Extratransformationen wie Schraube-Achse und Gleiten-Nachdenken einschließen. Es gibt auch dauernde Symmetrie-Gruppen, die Folgen willkürlich kleiner Winkel oder Übersetzungen willkürlich kleiner Entfernungen enthalten. Die Gruppe des ganzen symmetries eines Bereichs O (3) ist ein Beispiel davon, und im Allgemeinen werden solche dauernden Symmetrie-Gruppen studiert, wie Gruppen Liegen. Mit einer Kategorisierung von Untergruppen der Euklidischen Gruppe entspricht eine Kategorisierung von Symmetrie-Gruppen.

betrachtet, sind zwei geometrische Zahlen von demselben Symmetrie-Typ, wenn ihre Symmetrie-Gruppen verbundene Untergruppen der Euklidischen Gruppe E (n) sind (die Isometrie-Gruppe von R), wo zwei Untergruppen H, H einer Gruppe G verbunden sind, wenn dort g  G solch dass H=gHg besteht. Zum Beispiel:

• zwei 3D-Zahlen haben Spiegelsymmetrie, aber in Bezug auf verschiedene Spiegelflugzeuge.
• zwei 3D-Zahlen haben 3-fache Rotationssymmetrie, aber in Bezug auf verschiedene Äxte.
• zwei 2. Muster haben Übersetzungssymmetrie, jeden in einer Richtung; die zwei Übersetzungsvektoren haben dieselbe Länge, aber eine verschiedene Richtung.

man Isometrie-Gruppen denkt, kann man sich zu denjenigen einschränken, wo für alle Punkte der Satz von Images unter den Isometrien topologisch geschlossen wird. Das schließt zum Beispiel in 1D die Gruppe von Übersetzungen durch eine rationale Zahl aus. Eine "Zahl" mit dieser Symmetrie-Gruppe ist non-drawable und bis zum willkürlich feinen Detail homogen, ohne wirklich homogen zu sein.

Eine Dimension

Die Isometrie-Gruppen in 1D, wo für alle Punkte der Satz von Images unter den Isometrien topologisch geschlossen wird, sind:

• die triviale Gruppe C
• die Gruppen von zwei Elementen durch ein Nachdenken in einem Punkt erzeugt; sie sind mit C isomorph
• die unendlichen getrennten Gruppen durch eine Übersetzung erzeugt; sie sind mit Z isomorph
• die unendlichen getrennten Gruppen, die durch eine Übersetzung und ein Nachdenken in einem Punkt erzeugt sind; sie sind mit der verallgemeinerten zweiflächigen Gruppe von Z, Dih (Z), auch angezeigt durch D isomorph (der ein halbdirektes Produkt von Z und C ist).
• die Gruppe, die durch alle Übersetzungen erzeugt ist (isomorph mit R); diese Gruppe kann nicht die Symmetrie-Gruppe eines "Musters" sein: Es würde homogen sein, folglich konnte auch widerspiegelt werden. Jedoch hat eine Uniform 1D Vektorfeld diese Symmetrie-Gruppe.
• die Gruppe, die durch alle Übersetzungen und Nachdenken in Punkten erzeugt ist; sie sind mit der verallgemeinerten zweiflächigen Gruppe von R, Dih(R) isomorph.

Siehe auch Symmetrie-Gruppen in einer Dimension.

Zwei Dimensionen

Bis zu conjugacy sind die getrennten Punkt-Gruppen in 2 dimensionalem Raum die folgenden Klassen:

• zyklische Gruppen C, C, C, C... wo C aus allen Folgen über einen festen Punkt durch Vielfachen des Winkels 360 °/n besteht
• zweiflächige Gruppen D, D, D, D... wo D (des Auftrags 2n) aus den Folgen in C zusammen mit dem Nachdenken in n Äxten besteht, die den festen Punkt durchführen.

C ist die triviale Gruppe, die nur die Identitätsoperation enthält, die vorkommt, wenn die Zahl keine Symmetrie überhaupt hat, zum Beispiel ist der Brief F. C die Symmetrie-Gruppe des Briefs Z, C dieser eines triskelion, C von einer Swastika, und C, C sind usw. die Symmetrie-Gruppen von ähnlichen einer Swastika ähnlichen Zahlen mit fünf, sechs usw. Arme statt vier.

D ist die 2-Elemente-Gruppe, die die Identitätsoperation und ein einzelnes Nachdenken enthält, das vorkommt, wenn die Zahl nur eine einzelne Achse der bilateralen Symmetrie, zum Beispiel der Brief A hat. D der dem vier-Gruppen-Klein isomorph ist, ist die Symmetrie-Gruppe eines nichtgleichseitigen Rechtecks, und D, D sind usw. die Symmetrie-Gruppen der regelmäßigen Vielecke.

Die wirklichen Symmetrie-Gruppen in jedem dieser Fälle haben zwei Grade der Freiheit für das Zentrum der Folge, und im Fall von den zweiflächigen Gruppen, einem mehr für die Positionen der Spiegel.

Die restlichen Isometrie-Gruppen im 2. mit einem festen Punkt, wo für alle Punkte der Satz von Images unter den Isometrien topologisch geschlossen wird, sind:

• die spezielle orthogonale Gruppe SO (2), aus allen Folgen über einen festen Punkt bestehend; es wird auch die Kreisgruppe S, die multiplicative Gruppe von komplexen Zahlen des absoluten Werts 1 genannt. Es ist die richtige Symmetrie-Gruppe eines Kreises und die dauernde Entsprechung von C. Es gibt keine Zahl, die hat, weil volle Symmetrie die Kreisgruppe gruppiert, aber für ein Vektorfeld kann es gelten (sieh den 3D-Fall unten).
• die orthogonale Gruppe O (2), aus allen Folgen über einen festen Punkt und Nachdenken in jeder Achse durch diesen festen Punkt bestehend. Das ist die Symmetrie-Gruppe eines Kreises. Es wird auch Dih (S) genannt, weil es die verallgemeinerte zweiflächige Gruppe von S. ist

Für nichtbegrenzte Zahlen können die zusätzlichen Isometrie-Gruppen Übersetzungen einschließen; die geschlossenen sind:

• die 7 Zierstreifen-Gruppen
• die 17 Tapete-Gruppen
• für jede der Symmetrie-Gruppen in 1D, die Kombination des ganzen symmetries in dieser Gruppe in einer Richtung und der Gruppe aller Übersetzungen in der rechtwinkligen Richtung
• dito mit auch dem Nachdenken in einer Linie in der ersten Richtung

Drei Dimensionen

Bis zu conjugacy besteht der Satz von 3D-Punkt-Gruppen aus 7 unendlichen Reihen und 7 getrennten. In der Kristallographie werden sie eingeschränkt, um mit der getrennten Übersetzung symmetries eines Kristallgitters vereinbar zu sein. Diese crystallographic Beschränkung der unendlichen Familien von allgemeinen Punkt-Gruppen läuft auf 32 Crystallographic-Punkt-Gruppen (27 von den 7 unendlichen Reihen und 5 der 7 andere) hinaus.

Die dauernden Symmetrie-Gruppen mit einem festen Punkt schließen diejenigen ein:

• zylindrische Symmetrie ohne eine Symmetrie-Flugzeug-Senkrechte zur Achse, das gilt zum Beispiel häufig wegen einer Flasche
• zylindrische Symmetrie mit einer Symmetrie-Flugzeug-Senkrechte zur Achse
• kugelförmige Symmetrie

Für Gegenstände und Skalarfelder bezieht die zylindrische Symmetrie vertikale Flugzeuge des Nachdenkens ein. Jedoch für Vektorfelder tut es nicht: in zylindrischen Koordinaten in Bezug auf eine Achse,

hat zylindrische Symmetrie in Bezug auf die Achse, wenn, und nur wenn und diese Symmetrie haben, d. h., sie von φ nicht abhängen. Zusätzlich gibt es reflectional Symmetrie wenn und nur wenn.

Für die kugelförmige Symmetrie gibt es keine solche Unterscheidung, sie bezieht Flugzeuge des Nachdenkens ein.

Die dauernden Symmetrie-Gruppen ohne einen festen Punkt schließen diejenigen mit einer Schraube-Achse wie eine unendliche Spirale ein. Siehe auch Untergruppen der Euklidischen Gruppe.

Symmetrie-Gruppen im Allgemeinen

In breiteren Zusammenhängen kann eine Symmetrie-Gruppe jede Art der Transformationsgruppe oder automorphism Gruppe sein. Sobald wir wissen, mit welcher mathematischen Struktur wir betroffen werden, sollten wir im Stande sein genau festzustellen, welche mappings die Struktur bewahren. Umgekehrt kann das Spezifizieren der Symmetrie die Struktur definieren, oder mindestens klären, was wir durch einen invariant, geometrische Sprache vorhaben, auf der man es bespricht; das ist eine Weise, auf das Programm von Erlangen zu schauen.

Zum Beispiel, automorphism Gruppen von bestimmten Modellen der begrenzten Geometrie sind nicht "Symmetrie-Gruppen" im üblichen Sinn, obwohl sie Symmetrie bewahren. Sie tun das, indem sie Familien von Punkt-Sätzen aber nicht Punkt-Sätzen (oder "Gegenstände") selbst bewahren.

Wie obengenannter veranlasst die Gruppe von automorphisms des Raums eine Gruppenhandlung auf Gegenständen darin.

Für eine gegebene geometrische Zahl in einem gegebenen geometrischen Raum, denken Sie die folgende Gleichwertigkeitsbeziehung: Zwei automorphisms des Raums sind gleichwertig, wenn, und nur wenn die zwei Images der Zahl dasselbe sind (hier "bedeutet dasselbe" etwas wie z.B "dasselbe bis zur Übersetzung und Folge" nicht, aber es "genau dasselbe" bedeutet). Dann ist die Gleichwertigkeitsklasse der Identität die Symmetrie-Gruppe der Zahl, und jede Gleichwertigkeitsklasse entspricht einer isomorpher Version der Zahl.

Es gibt eine Bijektion zwischen jedem Paar von Gleichwertigkeitsklassen: Das Gegenteil eines Vertreters der ersten Gleichwertigkeitsklasse, die mit einem Vertreter des zweiten zusammengesetzt ist.

Im Fall von einer begrenzten automorphism Gruppe des ganzen Raums ist seine Ordnung die Ordnung der Symmetrie-Gruppe der Zahl, die mit der Zahl von isomorphen Versionen der Zahl multipliziert ist.

Beispiele:

• Isometrien des Euklidischen Flugzeugs, die Zahl ist ein Rechteck: Es gibt ungeheuer viele Gleichwertigkeitsklassen; jeder enthält 4 Isometrien.
• Der Raum ist ein Würfel mit dem metrischen Euklidischen; die Zahlen schließen Würfel derselben Größe wie der Raum, mit Farben oder Mustern auf den Gesichtern ein; die automorphisms des Raums sind die 48 Isometrien; die Zahl ist ein Würfel, dessen-Gesicht eine verschiedene Farbe hat; die Zahl hat eine Symmetrie-Gruppe von 8 Isometrien, es gibt 6 Gleichwertigkeitsklassen von 8 Isometrien für 6 isomorphe Versionen der Zahl.

Vergleichen Sie den Lehrsatz von Lagrange (Gruppentheorie) und sein Beweis.

Siehe auch

Weiterführende Literatur

Links

• Die Übersicht der 32 Crystallographic-Punkt-Gruppen - bildet die ersten Teile (abgesondert vom Hüpfen n=5) von den 7 unendlichen Reihen und 5 der 7 getrennten 3D-Punkt-Gruppen