In der Mathematik ist eine Symplectic-Sammelleitung eine glatte Sammelleitung, M, ausgestattet mit einem geschlossenen nichtdegenerierten Differenzial 2-Formen-, ω, genannt die Symplectic-Form. Die Studie von Symplectic-Sammelleitungen wird symplectic Geometrie oder symplectic Topologie genannt. Sammelleitungen von Symplectic entstehen natürlich in abstrakten Formulierungen der klassischen Mechanik und analytischen Mechanik als die Kotangens-Bündel von Sammelleitungen z.B in der Formulierung von Hamiltonian der klassischen Mechanik, die eine der Hauptmotivationen für das Feld zur Verfügung stellt: Der Satz aller möglichen Konfigurationen eines Systems wird als eine Sammelleitung modelliert, und das Kotangens-Bündel dieser Sammelleitung beschreibt den Phase-Raum des Systems.

Jede reellwertige Differentiable-Funktion, H, auf einer Symplectic-Sammelleitung kann als eine Energiefunktion oder Hamiltonian dienen. Vereinigt zu jedem Hamiltonian ist ein Vektorfeld von Hamiltonian; die integrierten Kurven des Vektorfeldes von Hamiltonian sind Lösungen der Gleichungen von Hamilton. Das Hamiltonian Vektorfeld definiert einen Fluss auf der Symplectic-Sammelleitung, genannt einen Fluss von Hamiltonian oder symplectomorphism. Durch den Lehrsatz von Liouville bewahren Flüsse von Hamiltonian die Volumen-Form auf dem Phase-Raum.

Definition

Eine Symplectic-Form auf einer mannigfaltigen M ist ein geschlossener nichtdegenerierter Differenzial-2-Formen-ω. Die Nichtentartungsbedingung bedeutet, dass für alles wir das Eigentum haben, dass dort solche Nichtnull nicht besteht, dass für das ganze Verdrehen - symmetrische Bedingung (innewohnend der Definition des Differenzials 2-Formen-) bedeutet, dass für alles wir für den ganzen Rückruf haben, dass in sonderbaren Dimensionen antisymmetrische matrices nicht invertible sind. Da ω ein Differenzial zwei-Formen-das Verdrehen ist - deutet symmetrische Bedingung an, dass M sogar Dimension hat. Die geschlossene Bedingung bedeutet, dass die Außenableitung von ω, nämlich dω, identisch Null-ist. Eine Symplectic-Sammelleitung besteht ein Paar (M, ω), einer mannigfaltigen M und eines symplectic bildet ω. Das Zuweisen eines symplectic formt sich ω zu einer mannigfaltigen M wird das Geben der M eine symplectic Struktur genannt.

Geradlinige Symplectic-Sammelleitung

Es gibt ein geradliniges Standardmodell, nämlich ein symplectic Vektorraum R. Lassen Sie R die Basis {v..., v} haben. Dann definieren wir unsere Symplectic-Form ω, so dass für alles wir haben und ω Null für alle anderen Paare von Basisvektoren ist. In diesem Fall nimmt die Symplectic-Form zu einer einfachen quadratischen Form ab. Wenn ich die Identitätsmatrix dann anzeige, wird die Matrix, Ω, dieser quadratischen Form durch gegeben blockieren Matrix:

Lagrangian und andere Subsammelleitungen

Es gibt mehrere natürliche geometrische Begriffe der Subsammelleitung einer Symplectic-Sammelleitung.

• Symplectic-Subsammelleitungen (potenziell jeder gleichen Dimension) sind Subsammelleitungen, wo die Symplectic-Form erforderlich ist, eine Symplectic-Form auf ihnen zu veranlassen.
• isotropische Subsammelleitungen sind Subsammelleitungen, wo die Symplectic-Form auf die Null einschränkt, d. h. jeder Tangente-Raum ein isotropischer Subraum des Tangente-Raums der umgebenden Sammelleitung ist. Ähnlich, wenn jeder Tangente-Subraum zu einer Subsammelleitung co-isotropic ist (der Doppel-von einem isotropischen Subraum), wird die Subsammelleitung co-isotropic genannt.

Der wichtigste Fall der isotropischen Subsammelleitungen ist der von Subsammelleitungen von Lagrangian. Eine Lagrangian-Subsammelleitung, ist definitionsgemäß, eine isotropische Subsammelleitung der maximalen Dimension, nämlich Hälfte der Dimension der umgebenden Symplectic-Sammelleitung. Subsammelleitungen von Lagrangian entstehen natürlich in vielen physischen und geometrischen Situationen. Ein Hauptbeispiel ist, dass der Graph eines symplectomorphism im Produkt symplectic Sammelleitung Lagrangian ist. Ihre Kreuzungen zeigen durch glatte Sammelleitungen nicht besessene Starrheitseigenschaften; die Vermutung von Arnold gibt die Summe der Zahlen von Betti der Subsammelleitung als ein niedrigerer, der für die Zahl selbst Kreuzungen einer glatten Subsammelleitung von Lagrangian, aber nicht die Eigenschaft von Euler im glatten Fall gebunden ist.

Subsammelleitungen von Lagrangian entstehen natürlich in vielen physischen und geometrischen Situationen. Wir werden sehen, unter dem Ätzmittel in Bezug auf Subsammelleitungen von Lagrangian erklärt werden können.

Lagrangian fibration

Lagrangian fibration einer Symplectic-SammelleitungsM ist ein fibration, wo alle Fasern Subsammelleitungen von Lagrangian sind. Da M sogar dimensional ist, können wir lokale Koordinaten nehmen, und durch den Lehrsatz von Darboux formen sich die symplectic ω kann mindestens lokal als geschrieben werden, wo d die Außenableitung anzeigt und  das Außenprodukt anzeigt. Das Verwenden dieser Einstellung wir können an M als seiend der Kotangens lokal denken, stopft T*R und Lagrangian fibration als der triviale fibration Das ist das kanonische Bild.

Kartografisch darstellender Lagrangian

Lassen Sie L eine Subsammelleitung von Lagrangian einer Symplectic-Sammelleitung (K, ω) gegeben durch eine Immersion sein (ich werde eine Immersion von Lagrangian genannt). Lassen Sie geben Lagrangian fibration von K. Die Zusammensetzung ist kartografisch darstellender Lagrangian. Der kritische Wertsatz von π  werde ich ein Ätzmittel genannt.

Zwei Lagrangian-Karten und werden gleichwertigen Lagrangian genannt, wenn dort diffeomorphisms σ, τ und solcher ν bestehen, dass beide Seiten des Diagramms gegeben rechts pendeln, und τ die Symplectic-Form bewahrt. Symbolisch:

wo τ*ω das Ziehen zurück ω durch τ anzeigt.

Spezielle Fälle und Generalisationen

• Eine Symplectic-Sammelleitung, die mit einem metrischen ausgestattet ist, der mit der Symplectic-Form vereinbar ist, ist fast Sammelleitung von Kähler im Sinn, dass das Tangente-Bündel eine fast komplizierte Struktur hat, aber das braucht nicht integrable zu sein. Sammelleitungen von Symplectic sind spezielle Fälle einer Sammelleitung von Poisson. Die Definition einer Symplectic-Sammelleitung verlangt, dass die Symplectic-Form überall nichtdegeneriert ist, aber wenn diese Bedingung verletzt wird, kann die Sammelleitung noch eine Sammelleitung von Poisson sein.
• Eine multisymplectic Sammelleitung des Grads k ist eine mit einer geschlossenen nichtdegenerierten K-Form ausgestattete Sammelleitung. Sieh F. Cantrijn, L. A. Ibort und M. de León, J. Südlich. Mathematik. Soc. Ser. 66 (1999), Nr. 3, 303-330.
• Eine Polysymplectic-Sammelleitung ist ein Bündel von Legendre, das mit einem polysymplectic versorgt ist, Tangente-geschätzt - Form; es wird in der Feldtheorie von Hamiltonian verwertet. Sieh:G. Giachetta, L. Mangiarotti und G. Sardanashvily, Kovariante Hamiltonian Gleichungen für die Feldtheorie, Zeitschrift der Physik A32 (1999) 6629-6642; arXiv: hep-th/9904062.

Siehe auch

• Fast Komplex vervielfältigt
• Fast symplectic vervielfältigen
• Setzen Sie sich mit Sammelleitung &minus in Verbindung; eine sonderbar-dimensionale Kopie der Symplectic-Sammelleitung.
• Sammelleitung von Fedosov
• Klammer von Poisson
• Gruppe von Symplectic
• Matrix von Symplectic
• Topologie von Symplectic
• Vektorraum von Symplectic
• Symplectomorphism
• Tautologische eine Form
• Ungleichheit von Wirtinger (2 Formen)

Referenzen

• Dusa McDuff und D. Salamon: Einführung in die Symplectic Topologie (1998) Oxford Mathematische Monografien, internationale Standardbuchnummer 0-19-850451-9.
• Ralph Abraham und Jerrold E. Marsden, Fundamente der Mechanik, (1978) Benjamin-Cummings, Londoner internationale Standardbuchnummer 0 8053 0102 X Sehen Abschnitt 3.2.
• Maurice de Gosson: Symplectic Geometrie und Quant-Mechanik (2006) Birkhäuser Verlag, Baseler internationale Standardbuchnummer 3-7643-7574-1.

Außenverbindungen

• Sardanashvily, G., Faser-Bündel, Strahlsammelleitungen und Theorie von Lagrangian. Vorträge für Theoretiker, arXiv: 0908.1886