In der Differenzialgeometrie sind der Lehrsatz von Stokes (oder der Lehrsatz von Stokes, auch genannt den Lehrsatz von verallgemeinertem Stokes) eine Behauptung über die Integration von Differenzialformen auf Sammelleitungen, die sowohl vereinfacht als auch mehrere Lehrsätze von der Vektor-Rechnung verallgemeinert. Die allgemeine Formulierung liest: Wenn ist (n − 1) - formen sich mit der Kompaktunterstützung auf, und zeigt die Grenze mit seiner veranlassten Orientierung an, und zeigt den Außendifferenzialoperatoren, dann an

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Der Lehrsatz des modernen Stokes ist eine Generalisation eines klassischen Ergebnisses, das zuerst von Herrn Kelvin entdeckt ist, der ihn George Stokes im Juli 1850 mitgeteilt hat. Stokes hat den Lehrsatz als eine Frage auf 1854 die Preis-Prüfung des Schmieds gesetzt, die zum Ergebnis geführt hat, das seinen Namen trägt. Das klassische Kelvin-schürt Lehrsatz:

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der das Oberflächenintegral der Locke eines Vektorfeldes über eine Oberfläche Σ im Euklidischen verbindet, der zur Linie drei-Räume-ist, die des Vektorfeldes über seine Grenze integriert ist, ist ein spezieller Fall des Generals Schürt Lehrsatz (damit), sobald wir ein Vektorfeld mit einer 1 Form identifizieren (sieh mehr unten).

Ebenfalls, ist klassischer Gauss oder Abschweifungslehrsatz ein spezieller Fall des Generals Schürt Lehrsatz, sobald wir einen vectorfield mit einer Form identifizieren. Ähnliche Ideen bewerben sich um den Lehrsatz von Green und den Anstieg-Lehrsatz.

Einführung

Der Hauptsatz der Rechnung stellt fest, dass das Integral einer Funktion f über den Zwischenraum [a, b] durch die Entdeckung einer Antiableitung F von f berechnet werden kann:

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Der Lehrsatz von Stokes ist eine riesengroße Generalisation dieses Lehrsatzes im folgenden Sinn.

• Durch die Wahl von F. Im Sprachgebrauch von Differenzialformen sagt das, dass f (x) dx die Außenableitung des 0-Formen-, d. h. Funktion, F ist: mit anderen Worten, das dF = f dx. Der General Schürt Lehrsatz gilt für höhere Differenzialformen statt F.
• Ein geschlossener Zwischenraum [a, b] ist ein einfaches Beispiel einer eindimensionalen Sammelleitung mit der Grenze. Seine Grenze ist der Satz, der aus den zwei Punkten a und b besteht. Die Integrierung f über den Zwischenraum kann zur Integrierung von Formen auf einer hoch-dimensionalen Sammelleitung verallgemeinert werden. Zwei technische Bedingungen sind erforderlich: Die Sammelleitung muss orientable sein, und die Form muss kompakt unterstützt werden, um ein bestimmtes Integral zu geben.
• Die zwei Punkte a und b bilden die Grenze des offenen Zwischenraums. Mehr allgemein wendet der Lehrsatz von Stokes auf orientierte Sammelleitungen M mit der Grenze an. Die Grenze M der M ist selbst eine Sammelleitung und erbt eine natürliche Orientierung von dieser der Sammelleitung. Zum Beispiel gibt die natürliche Orientierung des Zwischenraums eine Orientierung der zwei Grenzpunkte. Intuitiv, ein Erben der entgegengesetzten Orientierung als b, wie sie an entgegengesetzten Enden des Zwischenraums sind. Also, "Integrierung" F mehr als zwei Grenze spitzt an, dass a, b den Unterschied F (b) &minus nimmt; F (a).

In noch einfacheren Begriffen kann man denken, dass von Punkten als die Grenzen von Kurven gedacht werden kann, der als 0-dimensionale Grenzen von 1-dimensionalen Sammelleitungen ist. Also, gerade wie kann man den Wert eines Integrals (f = dF) über 1-dimensionale Sammelleitungen ([a, b]) finden, indem man die Antiableitung (F) an den 0-dimensionalen Grenzen denkt ([a, b]), man kann den Hauptsatz der Rechnung mit einigen zusätzlichen Verwahrungen verallgemeinern, um sich mit dem Wert von Integralen (dω) über N-Dimensional-Sammelleitungen (Ω) zu befassen, indem man die Antiableitung (ω) an (n-1) - dimensionale Grenzen (dΩ) der Sammelleitung denkt.

So liest der Hauptsatz:

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Allgemeine Formulierung

Lassen Sie, eine orientierte glatte Sammelleitung der Dimension n zu sein und zu lassen, eine N-Differenzialform zu sein, die darauf kompakt unterstützt wird. Nehmen Sie erstens an, dass α im Gebiet einer einzelnen, orientierten Koordinatenkarte {U, φ} kompakt unterstützt wird. In diesem Fall definieren wir das Integral über als

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d. h., über das Hemmnis von α zu R.

Mehr allgemein wird das Integral dessen wie folgt definiert: Lassen Sie {ψ} eine Teilung der Einheit sein, die mit einem lokal begrenzten Deckel {U, φ} (durchweg vereinigt ist, orientiert) Koordinatenkarten, dann definieren Sie den integrierten

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wo jeder Begriff in der Summe durch das Zurückziehen zu R, wie beschrieben, oben bewertet wird. Diese Menge ist bestimmt; d. h. es hängt von der Wahl der Koordinatenkarten, noch der Teilung der Einheit nicht ab.

Der Lehrsatz von Stokes liest: Wenn ist (n − 1) - formen sich mit der Kompaktunterstützung darauf, und zeigt die Grenze mit seiner veranlassten Orientierung, dann an

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Hier ist die Außenableitung, die mit der mannigfaltigen Struktur nur definiert wird. Auf dem r.h.s., ein Kreis wird manchmal innerhalb des integrierten Zeichens verwendet, die Tatsache zu betonen, dass (n-1) - Sammelleitung geschlossen wird. Der r.h.s. der Gleichung wird häufig verwendet, um integrierte Gesetze zu formulieren; der l.h.s. führt dann zu gleichwertigen Differenzialformulierungen (sieh unten).

Der Lehrsatz wird häufig in Situationen verwendet, wo eine eingebettete orientierte Subsammelleitung von einer größeren Sammelleitung ist, auf der die Form definiert wird.

Ein Beweis wird besonders einfach, wenn die Subsammelleitung eine so genannte "normale Sammelleitung", als in der Figur auf dem r.h.s ist., der in vertikale Streifen (z.B Parallele zur x Richtung), solch segmentiert werden kann, dass nach einer teilweisen Integration bezüglich dieser variable, nichttriviale Beiträge nur aus den oberen und niedrigeren Grenzoberflächen kommen (hat gelb und rot, beziehungsweise angemalt), wo die gegenseitigen Ergänzungsorientierungen durch die Pfeile sichtbar sind.

Das topologische Lesen; Integration über Ketten

Lassen Sie M eine glatte Sammelleitung sein. Ein glattes einzigartiges K-Simplex der M ist eine glatte Karte vom Standardsimplex in R zur M. Wie man sagt, besteht die freie abelian Gruppe, S, erzeugt durch einzigartigen k-simplices aus einzigartigen K-Ketten der M. Diese Gruppen, zusammen mit der Grenzkarte, , definieren einen Kettenkomplex. Die entsprechende Homologie (resp. cohomology) wird die glatte einzigartige Homologie (resp. cohomology) M. genannt

Andererseits bilden die Differenzialformen, mit der Außenableitung, d, als die in Verbindung stehende Karte, einen cochain Komplex, der de Rham cohomology definiert.

DifferenzialK-Formen können über ein K-Simplex auf eine natürliche Weise durch das Zurückziehen zu R integriert werden. Das Verlängern durch die Linearität erlaubt, über Ketten zu integrieren. Das gibt eine geradlinige Karte vom Raum von K-Formen zur k-th Gruppe im einzigartigen cochain, S *, der geradlinige functionals auf S. Mit anderen Worten, eine K-Form

definiert einen funktionellen

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auf den K-Ketten. Der Lehrsatz von Stokes sagt, dass das eine Kettenkarte von de Rham cohomology zu einzigartigem cohomology ist; die Außenableitung, d, benimmt sich wie der Doppel-von  auf Formen. Das gibt einen Homomorphismus von de Rham cohomology zu einzigartigem cohomology. Auf dem Niveau von Formen bedeutet das:

1. geschlossene Formen, d. h. haben Nullintegral über Grenzen, d. h. über Sammelleitungen, die als, und geschrieben werden können
2. genaue Formen, d. h. haben Nullintegral über Zyklen, d. h. wenn die Grenzen zum leeren Satz summieren:.

Der Lehrsatz von De Rham zeigt, dass dieser Homomorphismus tatsächlich ein Isomorphismus ist. So halten die gegenteiligen zu 1 und 2 oben für wahr. Mit anderen Worten, wenn {c} Zyklen sind, die die k-th Homologie-Gruppe erzeugen, dann für irgendwelche entsprechenden reellen Zahlen, dort bestehen eine geschlossene Form, solch dass:

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und diese Form ist bis zu genauen Formen einzigartig.

Das Unterliegen Grundsatz

Um diese topologischen Argumente zu vereinfachen, ist es lohnend, den zu Grunde liegenden Grundsatz durch das Betrachten eines Beispiels für d = 2 Dimensionen zu untersuchen. Die wesentliche Idee kann durch das Diagramm links verstanden werden, das zeigt, dass, indem sie einer Sammelleitung orientiert mit Ziegeln decken, die Innenpfade in entgegengesetzten Richtungen überquert werden; ihre Beiträge zum Pfad integriert annullieren so einander pairwise. Demzufolge bleibt nur der Beitrag von der Grenze. Es genügt so, um den Lehrsatz von Stokes für genug feinen zu beweisen

tilings (oder, gleichwertig, simplices), der gewöhnlich nicht schwierig ist.

Spezielle Fälle

Die allgemeine Form Schürt der Lehrsatz mit Differenzialformen ist stärker und leichter zu verwenden als die speziellen Fälle. Weil in Kartesianischen Koordinaten die traditionellen Versionen ohne die Maschinerie der Differenzialgeometrie formuliert werden können, sind sie zugänglicher, älter und haben vertraute Namen. Die traditionellen Formen werden häufig günstiger durch das Üben von Wissenschaftlern und Ingenieuren betrachtet, aber die Nichtnatürlichkeit der traditionellen Formulierung wird offenbar, wenn sie andere Koordinatensysteme, sogar vertraute wie kugelförmige oder zylindrische Koordinaten verwendet. Es gibt Potenzial für die Verwirrung in der Weise, wie Namen, und der Gebrauch von Doppelformulierungen angewandt werden.

Kelvin-schürt Lehrsatz

Das ist (dualized) 1+1 dimensionaler Fall für eine 1 Form (dualized, weil es eine Behauptung über Vektorfelder ist). Dieser spezielle Fall wird häufig gerade den Lehrsatz von Stokes in vielen einleitenden Universitätsvektor-Rechnungskursen und wie verwendet, in der Physik und Technik genannt. Es ist auch manchmal als der Locke-Lehrsatz bekannt.

Das klassische Kelvin-schürt Lehrsatz:

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der das Oberflächenintegral der Locke eines Vektorfeldes über eine Oberfläche Σ im Euklidischen verbindet, der zur Linie drei-Räume-ist, die des Vektorfeldes über seine Grenze integriert ist, ist ein spezieller Fall des Generals Schürt Lehrsatz (damit), sobald wir ein Vektorfeld mit einer 1 Form mit dem metrischen auf dem drei-Räume-Euklidischen identifizieren. Die Kurve der Linie integriert,  Σ, muss positive Orientierung haben, bedeutend, dass Dr gegen den Uhrzeigersinn anspitzt, wenn die Oberfläche normal, dΣ, zum Zuschauer im Anschluss an die rechte Regel hinweist.

Eine Folge der Formel ist, dass die Feldlinien eines Vektorfeldes mit der Nulllocke Konturen nicht geschlossen werden können.

Die Formel kann als umgeschrieben werden:

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wo P, Q und R die Bestandteile von F sind.

Diese Varianten werden oft verwendet:

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Der Lehrsatz des Grüns

Der Lehrsatz des Grüns ist als der dritte integrand von beiden Seiten im Integral in Bezug auf P, Q, und R sofort erkennbar, der oben zitiert ist.

Im Elektromagnetismus

Zwei der vier Gleichungen von Maxwell schließen Locken von 3. Vektorfeldern ein, und ihre unterschiedlichen und integrierten Formen sind durch verbunden Kelvin-schürt Lehrsatz. Verwarnung muss genommen werden, um Fälle mit bewegenden Grenzen zu vermeiden: Die teilweisen Zeitableitungen sind beabsichtigt, um solche Fälle auszuschließen. Wenn bewegende Grenzen eingeschlossen werden, führen Austausch der Integration und Unterscheidung Begriffe ein, die mit der Grenzbewegung nicht verbunden sind, die in die Ergebnisse unten eingeschlossen ist (sieh Unterscheidung unter dem integrierten Zeichen):

Die obengenannte verzeichnete Teilmenge der Gleichungen von Maxwell ist für elektromagnetische in SI-Einheiten ausgedrückte Felder gültig. In anderen Systemen von Einheiten, wie CGS oder Einheiten von Gaussian, unterscheiden sich die Skalenfaktoren für die Begriffe. Zum Beispiel, in Einheiten von Gaussian, nehmen das Gesetz von Faraday der Induktion und das Gesetz von Ampère die Formen an

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beziehungsweise, wo c die Geschwindigkeit des Lichtes im Vakuum ist.

Abschweifungslehrsatz

Ebenfalls der Lehrsatz von Ostrogradsky-Gauss (auch bekannt als der Abschweifungslehrsatz oder der Lehrsatz von Gauss)

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ist ein spezieller Fall, wenn wir ein Vektorfeld mit der erhaltenen N1-Form identifizieren, indem wir das Vektorfeld mit der Euklidischen Volumen-Form zusammenziehen.

Referenzen

Weiterführende Literatur

• Joos, Georg. Theoretische Physik. 13. Hrsg. Akademische Verlagsgesellschaft Wiesbaden 1980. Internationale Standardbuchnummer 3-400-00013-2
• Marsden, Jerrold E., Anthony Tromba. Vektor-Rechnung. 5. Ausgabe W. H. Ehrenbürger: 2003.
• Lee, John. Einführung, um Sammelleitungen Zu glätten. Springer-Verlag 2003. Internationale Standardbuchnummer 978-0-387-95448-6
• Stewart, James. Rechnung: Konzepte und Zusammenhänge. 2. Hrsg. Wäldchen von Pazifik, Kalifornien: Bäche/Kohl, 2001.
• Stewart, James. Rechnung: Frühe Transzendente Funktionen. 5. Hrsg.-Bäche/Kohl, 2003.

Links

• Beweis des Abschweifungslehrsatzes und des Lehrsatzes von Stokes
• Differenzialformen und der Lehrsatz von Stokes Kontrolle von Jerrold E. Marsden und dynamische Systeme, Caltech
• Rechnung 3 - Schürt Lehrsatz von lamar.edu - eine erklärende Erklärung