In der Mathematik, spezifisch in der Ringtheorie, sind die einfachen Module über einen Ring R (verlassen oder Recht) Module über R, die keine richtigen Nichtnulluntermodule haben. Gleichwertig, ein Modul M ist einfach, wenn, und nur wenn jedes zyklische durch ein Nichtnullelement der M erzeugte Untermodul M gleichkommt. Einfache Module bilden Bausteine für die Module der begrenzten Länge, und sie sind den einfachen Gruppen in der Gruppentheorie analog.

In diesem Artikel, wie man annehmen wird, werden alle Module richtige unital Module über einen Ring R sein.

Beispiele

Z-Module sind dasselbe als abelian Gruppen, so ist ein einfaches Z-Modul eine abelian Gruppe, die keine richtigen Nichtnulluntergruppen hat. Das sind die zyklischen Gruppen der Hauptordnung.

Wenn ich ein richtiges Ideal von R bin, dann bin ich als ein richtiges Modul einfach, wenn, und nur wenn ich ein minimales richtiges Nichtnullideal bin: Wenn M ein richtiges Nichtnulluntermodul von mir ist, dann ist es auch ein richtiges Ideal, so bin ich nicht minimal. Umgekehrt, wenn ich nicht minimal bin, dann gibt es ein richtiges Nichtnullideal J richtig enthalten in mir. J ist ein richtiges Untermodul von mir, so bin ich nicht einfach.

Wenn ich ein richtiges Ideal von R bin, dann ist R/I einfach, wenn, und nur wenn ich ein maximales richtiges Ideal bin: Wenn M ein richtiges Nichtnulluntermodul von R/I ist, dann ist das Vorimage der M laut der Quotient-Karte ein richtiges Ideal, das R nicht gleich ist, und das mich richtig enthält. Deshalb bin ich nicht maximal. Umgekehrt, wenn ich nicht maximal bin, dann gibt es ein richtiges Ideal J, richtig mich enthaltend. Die Quotient-Karte hat einen Nichtnullkern, der dem nicht gleich ist, und deshalb nicht einfach ist.

Jedes einfache R-Modul ist zu einem Quotienten R/m isomorph, wo M ein maximales richtiges Ideal von R ist. Durch den obengenannten Paragrafen jeder Quotient ist R/m ein einfaches Modul. Nehmen Sie umgekehrt an, dass M ein einfaches R-Modul ist. Dann, für jedes Nichtnullelement x der M, muss das zyklische Untermodul xR M Üble Lage solch ein x gleichkommen. Die Behauptung, dass xR = M zum surjectivity des Homomorphismus gleichwertig ist, der r an xr sendet. Der Kern dieses Homomorphismus ist ein richtiges Ideal I von R, und ein Standardlehrsatz stellt fest, dass M zu R/I isomorph ist. Durch den obengenannten Paragrafen finden wir, dass ich ein maximales richtiges Ideal bin. Deshalb ist M zu einem Quotienten von R durch ein maximales richtiges Ideal isomorph.

Wenn k ein Feld ist und G eine Gruppe ist, dann ist eine Gruppendarstellung von G ein linkes Modul über den Gruppenringk [G]. Die einfachen k [G] Module sind auch bekannt als nicht zu vereinfachende Darstellungen. Ein Hauptziel der Darstellungstheorie ist, die nicht zu vereinfachenden Darstellungen von Gruppen zu verstehen.

Grundlegende Eigenschaften von einfachen Modulen

Die einfachen Module sind genau die Module der Länge 1; das ist eine neue Darlegung der Definition.

Jedes einfache Modul ist unzerlegbar, aber das gegenteilige ist im Allgemeinen nicht wahr.

Jedes einfache Modul ist zyklisch, der es ist, wird durch ein Element erzeugt.

Nicht jedes Modul hat ein einfaches Untermodul; denken Sie zum Beispiel das Z-Modul Z im Licht des ersten Beispiels oben.

Lassen Sie M und N (verlassen oder Recht) Module über denselben Ring sein, und f zu lassen: M  N, ein Modul-Homomorphismus sein. Wenn M einfach ist, dann ist f entweder der Nullhomomorphismus oder injective, weil der Kern von f ein Untermodul der M ist, Wenn N einfach ist, dann ist f entweder der Nullhomomorphismus oder surjective, weil das Image von f ein Untermodul von N ist. Wenn M = N, dann ist f ein Endomorphismus der M, und wenn M einfach ist, dann deuten die vorherigen zwei Behauptungen an, dass f entweder der Nullhomomorphismus oder ein Isomorphismus ist. Folglich ist der Endomorphismus-Ring jedes einfachen Moduls ein Abteilungsring. Dieses Ergebnis ist als das Lemma von Schur bekannt.

Das gegenteilige vom Lemma von Schur ist im Allgemeinen nicht wahr. Zum Beispiel ist das Z-Modul Q nicht einfach, aber sein Endomorphismus-Ring ist nach Feld Q isomorph.

Einfache Module und Zusammensetzungsreihe

Wenn M ein Modul ist, das ein richtiges Nichtnulluntermodul N hat, dann gibt es eine kurze genaue Folge

:

Eine einheitliche Methode zum Beweis einer Tatsache über die M soll zeigen, dass die Tatsache für den Zentrum-Begriff einer kurzen genauen Folge wahr ist, wenn es für den verlassenen und die richtigen Begriffe wahr ist, dann die Tatsache für N und M/N zu beweisen. Wenn N ein richtiges Nichtnulluntermodul hat, dann kann dieser Prozess wiederholt werden. Das erzeugt eine Kette von Untermodulen

Um die Tatsache dieser Weg zu beweisen, braucht man Bedingungen auf dieser Folge und auf den Modulen M/M. Eine besonders nützliche Bedingung besteht darin, dass die Länge der Folge begrenzt ist und jedes Quotient-Modul, ist M/M einfach. In diesem Fall wird die Folge eine Zusammensetzungsreihe nach der M genannt. Um eine Behauptung induktiv mit der Zusammensetzungsreihe zu beweisen, wird die Behauptung zuerst für einfache Module bewiesen, die den Grundfall der Induktion bilden, und dann, wie man beweist, die Behauptung wahr unter einer Erweiterung eines Moduls durch ein einfaches Modul bleibt. Zum Beispiel zeigt das Passende Lemma, dass der Endomorphismus-Ring einer begrenzten Länge unzerlegbares Modul ist ein lokaler Ring, so dass der starke Lehrsatz von Krull-Schmidt hält und die Kategorie von begrenzten Länge-Modulen, eine Kategorie von Krull-Schmidt ist.

Der Lehrsatz des Jordans-Hölder und der Verbesserungslehrsatz von Schreier beschreiben die Beziehungen unter der ganzen Zusammensetzungsreihe eines einzelnen Moduls. Die Grothendieck Gruppe ignoriert die Ordnung in einer Zusammensetzungsreihe und sieht jedes begrenzte Länge-Modul als eine formelle Summe von einfachen Modulen an. Über halbeinfache Ringe ist das kein Verlust, wie jedes Modul ein halbeinfaches Modul und so eine direkte Summe von einfachen Modulen ist. Gewöhnliche Charakter-Theorie stellt bessere arithmetische Kontrolle zur Verfügung, und verwendet einfache CG-Module, um die Struktur von begrenzten Gruppen G zu verstehen. Moduldarstellungstheorie verwendet Charaktere von Brauer, um Module als formelle Summen von einfachen Modulen anzusehen, aber interessiert sich auch dafür, wie jene einfachen Module innerhalb der Zusammensetzungsreihe zusammengetroffen werden. Das wird durch das Studieren des App. functor und das Beschreiben der Modul-Kategorie auf verschiedene Weisen einschließlich Zittern formalisiert (dessen Knoten die einfachen Module sind, und dessen Ränder Zusammensetzungsreihe von nichthalbeinfachen Modulen der Länge 2 sind), und Auslander-Reiten Theorie, wo der verbundene Graph einen Scheitelpunkt für jedes unzerlegbare Modul hat.

Der Dichte-Lehrsatz von Jacobson

Ein wichtiger Fortschritt in der Theorie von einfachen Modulen war der Dichte-Lehrsatz von Jacobson. Die Dichte-Lehrsatz-Staaten von Jacobson:

:Let U, ein einfaches richtiges R-Modul sein und D = End (U). Let A zu schreiben, jeder D-linear Maschinenbediener auf U sein und X eine begrenzte D-linearly unabhängige Teilmenge von U sein zu lassen. Dann dort besteht ein Element r solchen R dass x·A = x·r für den ganzen x in X.

Insbesondere jeder primitive Ring kann als (d. h. isomorph zu) ein Ring von D-linear Maschinenbedienern auf einem D-Raum angesehen werden.

Eine Folge des Dichte-Lehrsatzes von Jacobson ist der Lehrsatz von Wedderburn; nämlich dass jedes Recht artinian einfacher Ring zu einem vollen Matrixring von n durch n matrices über einen Abteilungsring für einen n isomorph ist. Das kann auch als eine Folgeerscheinung des Artin-Wedderburn Lehrsatzes gegründet werden.

Siehe auch

• Halbeinfache Module sind Module, die als eine Summe von einfachen Untermodulen geschrieben werden können
• Einfache Gruppen werden zu einfachen Modulen ähnlich definiert
• Nicht zu vereinfachendes Ideal.