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Quadratfreie ganze Zahl

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In der Mathematik, einem quadratfreien, oder quadratfrei, ist ganze Zahl ein teilbarer durch kein vollkommenes Quadrat, außer 1. Zum Beispiel, 10 ist quadratfrei, aber 18 ist nicht, weil es durch 9 = 3 teilbar ist. Die kleinsten positiven quadratfreien Zahlen sind

:1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39...

Ringtheorie verallgemeinert das Konzept, quadratfrei zu sein.

Gleichwertige Charakterisierungen

Die positive ganze Zahl n ist quadratfrei, wenn, und nur wenn im ersten factorization von n keine Primzahl mehr vorkommt als einmal. Eine andere Weise, dasselbe festzusetzen, besteht darin, dass für jeden Hauptfaktor p n der erste p n / p nicht teilt. Und doch eine andere Formulierung: N ist quadratfrei, wenn, und nur wenn in jedem factorization n = ab, die Faktoren a und b coprime sind. Ein unmittelbares Ergebnis dieser Definition besteht darin, dass alle Primzahlen quadratfrei sind.

Die positive ganze Zahl n ist wenn und nur wenn &mu quadratfrei; (n) 0, wo μ die Funktion von Möbius anzeigt.

Die Dirichlet Reihe, die die quadratfreien Zahlen erzeugt, ist

: wo ζ (s) ist der Riemann zeta Funktion.

Das wird vom Produkt von Euler leicht gesehen

Die positive ganze Zahl n ist quadratfrei, wenn, und nur wenn alle abelian Gruppen des Auftrags n isomorph sind, der der Fall ist, wenn, und nur wenn sie alle zyklisch sind. Das folgt aus der Klassifikation begrenzt erzeugter abelian Gruppen.

Die ganze Zahl n ist wenn und nur wenn der Faktor-Ring Z / nZ quadratfrei (sieh Modularithmetik) ist ein Produkt von Feldern. Das folgt aus dem chinesischen Rest-Lehrsatz und der Tatsache, dass ein Ring der Form Z / kZ ein Feld ist, wenn, und nur wenn k eine Blüte ist.

Für jede positive ganze Zahl n wird der Satz aller positiven Teiler von n ein teilweise bestellter Satz, wenn wir Teilbarkeit als die Ordnungsbeziehung verwenden. Dieser teilweise bestellte Satz ist immer ein verteilendes Gitter. Es ist eine Algebra von Boolean, wenn, und nur wenn n quadratfrei ist.

Der Radikale einer ganzen Zahl ist immer quadratfrei.

Vertrieb

Lassen Sie Q (x) zeigen die Zahl von quadratfreien (quadratfrei) ganzen Zahlen zwischen 1 und x an. Für großen n, 3/4 der positiven ganzen Zahlen weniger als n sind durch 4 nicht teilbar, 8/9 dieser Zahlen sind durch 9, und so weiter nicht teilbar. Weil diese Ereignisse unabhängig sind, erhalten wir die Annäherung:

Dieses Argument kann streng gemacht werden, um zu tragen:

(sieh Pi und große O Notation). Laut der Hypothese von Riemann kann der Fehlerbegriff reduziert werden:

Sieh die Rasse zwischen der Zahl von quadratfreien Zahlen bis zu n und herum (n/&zeta; (2)) auf dem OEIS:

A158819 - (Zahl von quadratfreien Zahlen n) minus die Runde (n/&zeta; (2)).

Die asymptotische/natürliche Dichte von quadratfreien Zahlen ist deshalb

wo ζ der Riemann zeta Funktion ist und 1/ζ (2) etwa 0.6079 ist (fast 3/5 der ganzen Zahlen, sind squarefree).

Ebenfalls, wenn Q (x, n) die Zahl von n-free ganzen Zahlen (z.B 3-freie ganze Zahlen anzeigt, die ganze Zahlen ohne Würfel sind) zwischen 1 und x, kann man zeigen

Verschlüsselung als Binärzahlen

Wenn wir eine quadratfreie Zahl als das unendliche Produkt vertreten:

dann können wir diejenigen nehmen und sie als Bit in einer Binärzahl, d. h. mit der Verschlüsselung verwenden:

z.B. Die quadratfreie Nummer 42 hat factorisation 2 × 3 × 7, oder als ein unendliches Produkt: 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 ·...; so kann die Nummer 42 als die binäre Folge oder 11 Dezimalzahl verschlüsselt werden. (Bemerken Sie, dass die binären Ziffern von der Einrichtung im unendlichen Produkt umgekehrt werden.)

Da der erste factorisation jeder Zahl einzigartig ist, so dann jede binäre Verschlüsselung der quadratfreien ganzen Zahlen ist.

Das gegenteilige ist auch wahr. Da jede positive ganze Zahl eine einzigartige binäre Darstellung hat, ist es möglich, diese Verschlüsselung umzukehren, so dass sie in eine einzigartige quadratfreie ganze Zahl 'decodiert' werden können.

Wieder zum Beispiel, wenn wir mit der Nummer 42, dieses Mal als einfach eine positive ganze Zahl beginnen, haben wir seine binäre Darstellung. Das 'decodiert', um 2 zu werden · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 = 3 × 7 × 13 = 273.

Unter anderem deutet das an, dass der Satz aller quadratfreien ganzen Zahlen denselben cardinality wie der Satz aller ganzen Zahlen hat. Der Reihe nach führt das zur Tatsache, dass, um encodings der quadratfreien ganzen Zahlen eine Versetzung des Satzes aller ganzen Zahlen sind.

Sieh Folgen und im OEIS