In der Mathematik ist ein σ-algebra (auch Sigma-Algebra, σ-field, Sigma-Feld) ein technisches Konzept für eine Sammlung von Sätzen, die bestimmte Eigenschaften befriedigen. Der Hauptgebrauch von σ-algebras ist in der Definition von Maßnahmen; spezifisch ist die Sammlung von Sätzen, über die ein Maß definiert wird, ein σ-algebra. Dieses Konzept ist in der mathematischen Analyse als das Fundament für die Integration von Lebesgue, und in der Wahrscheinlichkeitstheorie wichtig, wo es als die Sammlung von Ereignissen interpretiert wird, die zugeteilte Wahrscheinlichkeiten sein können.

Die Definition ist, dass ein σ-algebra über einen Satz X eine nichtleere Sammlung Σ von Teilmengen X ist (einschließlich X selbst), der unter der Ergänzung und den zählbaren Vereinigungen seiner Mitglieder geschlossen wird. Es ist eine Algebra von Sätzen, vollendet, um zählbar unendliche Operationen einzuschließen. Das Paar (X, Σ) ist auch ein Feld von Sätzen, genannt einen messbaren Raum.

So, wenn X = {a, b, c, d}, eine mögliche Sigma-Algebra auf X ist

Ein nützlicheres Beispiel ist der Satz von Teilmengen der echten gebildeten Linie durch das Starten mit allen offenen Zwischenräumen und das Hinzufügen in allen zählbaren Vereinigungen, zählbaren Kreuzungen und Verhältnisergänzungen (ein Aufbau, der als der Satz von Borel bekannt ist).

Motivation

Ein Maß auf X ist eine Funktion, die eine reelle Zahl Teilmengen X zuteilt; davon kann als das Bilden genau ein Begriff "der Größe" oder "des Volumens" für Sätze gedacht werden. Wir wollen, dass die Größe der Vereinigung von zusammenhanglosen Sätzen die Summe ihrer individuellen Größen sogar für eine unendliche Folge von zusammenhanglosen Sätzen ist.

Man würde gern eine Größe jeder Teilmenge X zuteilen, aber in vielen natürlichen Einstellungen ist das nicht möglich. Zum Beispiel deutet das Axiom der Wahl an, dass, wenn die Größe unter der Rücksicht der gewöhnliche Begriff der Länge für Teilmengen der echten Linie dann ist, dort Sätze bestehen, für die keine Größe, zum Beispiel, die Sätze von Vitali besteht. Deshalb denkt man stattdessen eine kleinere Sammlung von privilegierten Teilmengen X. Diese Teilmengen werden die messbaren Mengen genannt. Sie werden unter Operationen geschlossen, die man für messbare Mengen erwarten würde, d. h. ist die Ergänzung einer messbaren Menge eine messbare Menge, und die zählbare Vereinigung von messbaren Mengen ist eine messbare Menge. Nichtleere Sammlungen von Sätzen mit diesen Eigenschaften werden σ-algebras genannt.

Die Sammlung von Teilmengen X, die den σ-algebra bilden, wird gewöhnlich durch Σ, das griechische Kapitalbrief-Sigma angezeigt. Das Paar (X, Σ) ist eine Algebra von Sätzen und auch einem Feld von Sätzen, genannt einen messbaren Raum. Wenn die Teilmengen X in Σ Zahlen in der elementaren Algebra entsprechen, dann entspricht die zwei Satz-Operationsvereinigung (Symbol ) und Kreuzung () Hinzufügung und Multiplikation. Die Sammlung von Sätzen Σ wird vollendet, um zählbar unendliche Operationen einzuschließen.

Definition und Eigenschaften

Lassen Sie X ein Satz sein, und 2 vertreten symbolisch seinen Macht-Satz. Dann wird eine Teilmenge einen σ-algebra genannt', wenn sie die folgenden drei Eigenschaften befriedigt:

1. Σ ist nichtleer: Es gibt mindestens einen Ein  X in Σ.
2. Σ wird unter der Fertigstellung geschlossen: Wenn A in Σ ist, dann auch ist seine Ergänzung.
3. Σ wird unter zählbaren Vereinigungen geschlossen: Wenn A, A, A... in Σ sind, dann so ist = Ein  Ein  Ein  ….

Von diesen Axiomen, hieraus folgt dass der σ-algebra auch unter zählbaren Kreuzungen (durch die Verwendung der Gesetze von De Morgan) geschlossen wird.

Es folgt auch dem die X selbst und der leere Satz sind beide in Σ, weil seitdem durch (1) Σ nichtleer ist, können Sie einige Ein  X aufpicken, und durch (2) wissen Sie, dass X \A auch in Σ ist. Durch (3) ist Ein  (X \A) = X in Σ. Und schließlich, seitdem X ist in Σ, Sie wissen durch (2), dass seine Ergänzung, der leere Satz, auch in Σ ist.

Tatsächlich ist das genau der Unterschied zwischen einem σ-algebra und einem σ-ring: Ein σ-algebra Σ ist gerade ein σ-ring, der den universalen Satz X enthält. Ein σ-ring braucht kein σ-algebra bezüglich des Beispiels zu sein messbare Teilmengen des Nullmaßes von Lebesgue in der echten Linie sind ein σ-ring, aber nicht ein σ-algebra, da die echte Linie unendliches Maß hat und so von ihrer zählbaren Vereinigung nicht erhalten werden kann. Wenn, statt des Nullmaßes, man messbare Teilmengen des begrenzten Maßes von Lebesgue nimmt, sind diejenigen ein Ring, aber nicht ein σ-ring, da die echte Linie von ihrer zählbaren Vereinigung noch erhalten werden kann, ist sein Maß nicht begrenzt.

Elemente des σ-algebra werden messbare Mengen genannt. Ein befohlenes Paar, wo X ein Satz und Σ ist, ist ein σ-algebra mehr als X, wird einen messbaren Raum genannt. Eine Funktion zwischen zwei messbaren Räumen wird eine messbare Funktion genannt, wenn das Vorimage jeder messbaren Menge messbar ist. Die Sammlung von messbaren Räumen bildet eine Kategorie, mit den messbaren Funktionen als morphisms. Maßnahmen werden als bestimmte Typen von Funktionen von einem σ-algebra bis [0, ] definiert.

σ-algebras werden manchmal mit kalligrafischen Großbuchstaben oder dem Schriftbild von Fraktur angezeigt. So kann als angezeigt werden oder. Das ist handlich, um Situationen zu vermeiden, wo der Brief Σ für den Summierungsmaschinenbediener verwirrt sein kann.

σ-algebra erzeugt von einer Familie von Sätzen

Lassen Sie F eine willkürliche Familie von Teilmengen X sein. Dann dort besteht ein einzigartiger kleinster σ-algebra, der jeden Satz in F enthält (wenn auch F kann oder σ-algebra nicht selbst sein kann). Dieser σ-algebra wird σ (F) angezeigt und den durch F erzeugten σ-algebra genannt'.

Um zu sehen, dass solch ein σ-algebra immer besteht, lassen. σ-algebra erzeugt durch F wird deshalb das kleinste Element in &Phi sein;. tatsächlich besteht solch ein kleinstes Element: Erstens ist Φ nicht leer, weil die Macht 2 untergegangen ist, ist in Φ. lassen Sie folglich σ* anzeigen (nichtleer!) Kreuzung aller Elemente in Φ. Weil jedes Element in Φ enthält F, die Kreuzung σ* wird auch F enthalten. Außerdem, weil jedes Element in Φ ist σ-algebra, die Kreuzung σ* wird auch &sigma sein; Algebra (bemerken dass wenn jedes Element in Φ hat die drei Eigenschaften σ-algebra, dann die Kreuzung Φ ebenso wird). Folglich, weil σ* σ-algebra ist, der F enthält, σ* ist in Φ, und weil es die Kreuzung aller Sätze in Φ ist, ist σ* tatsächlich der kleinste Satz in Φ definitionsgemäß, der der Reihe nach dass, der durch F erzeugte σ-algebra andeutet.

Für ein einfaches Beispiel, denken Sie den Satz X = {1, 2, 3}. Dann ist der σ-algebra, der durch die einzelne Teilmenge {1} erzeugt ist, σ ({1}) = {, {1}, {2,3}, {1,2,3}}. Durch einen Missbrauch der Notation, wenn eine Sammlung von Teilmengen nur ein Mitglied, A enthält, kann man σ (A) statt σ schreiben; im vorherigen Beispiel σ (1) statt σ ({1}).

σ-algebra erzeugt durch eine Funktion

Wenn f eine Funktion von einem Satz X zu einem Satz Y ist und B σ-algebra von Teilmengen von Y, dann σ-algebra erzeugt durch die Funktion f, angezeigt durch &sigma ist; (f), ist die Sammlung aller umgekehrten Images f (S) der Sätze S in B.

Klar ist eine Funktion f von einem Satz X zu einem Satz Y in Bezug auf σ-algebra &Sigma messbar; Teilmengen X wenn und nur wenn σ (f) ist eine Teilmenge

Eine allgemeine Situation, und verstanden standardmäßig, wenn B ausführlich nicht angegeben wird, besteht darin, wenn Y ein metrischer oder topologischer Raum ist und B die Sätze von Borel auf Y sind.

Beispiele

Lassen Sie X jeder Satz sein, dann ist der folgende σ-algebras mehr als X:

• Die Familie, die nur aus dem leeren Satz und dem Satz X, genannt den minimalen oder trivialen σ-algebra mehr als X besteht.
• Der Macht-Satz X, genannt den getrennten σ-algebra.
• Die Sammlung von Teilmengen X, die zählbar sind, oder dessen Ergänzungen zählbar sind (der vom Macht-Satz X verschieden ist, wenn, und nur wenn X unzählbar ist). Das ist der σ-algebra, der durch den Singleton X erzeugt ist.
• Wenn {Σ} eine Familie von σ-algebras mehr als X ist, die durch λ dann mit einem Inhaltsverzeichnis versehen sind, ist die Kreuzung des ganzen Σ's ein σ-algebra mehr als X.

Beispiele für erzeugte Algebra

Ein wichtiges Beispiel ist die Algebra von Borel über jeden topologischen Raum: Der σ-algebra, der durch die offenen Sätze (oder, gleichwertig, durch die geschlossenen Sätze) erzeugt ist. Bemerken Sie, dass dieser σ-algebra nicht, im Allgemeinen, der ganze Macht-Satz ist. Für ein nichttriviales Beispiel, sieh den Vitali untergehen.

Auf dem Euklidischen Raum R ist ein anderer σ-algebra wichtig: das aller messbaren Mengen von Lebesgue. Dieser σ-algebra enthält mehr Sätze als der Borel σ-algebra auf R und wird in der Integrationstheorie bevorzugt, weil es einen ganzen Maß-Raum gibt.

Siehe auch

• Messbare Funktion
• Beispielraum
• Trennbare Sigma-Algebra
• Sigma-Ring
• Sigma-Additivität

Links

• von PlanetMath.