Topologie (vom Griechen , "Platz", und , "Studie") ist ein Hauptgebiet der Mathematik, die mit Eigenschaften betroffen ist, die unter dauernden Deformierungen von Gegenständen wie Deformierungen bewahrt werden, die mit dem Ausdehnen, aber keinem Reißen oder Kleben verbunden sind. Es ist durch die Entwicklung von Konzepten von der Geometrie und Mengenlehre, wie Raum, Dimension und Transformation erschienen.

Ideen, die jetzt als topologisch klassifiziert werden, wurden schon in 1736 ausgedrückt. Zum Ende des 19. Jahrhunderts hat sich eine verschiedene Disziplin entwickelt, auf den in Latein als die geometria Lage ("Geometrie des Platzes") oder Analyse-Lage (griechisch-lateinisch verwiesen wurde, um einzeln des Platzes" "aufzupicken). Das hat später den modernen Namen der Topologie erworben. Bis zur Mitte des 20. Jahrhunderts war Topologie ein wichtiges Gebiet der Studie innerhalb der Mathematik geworden.

Die Worttopologie wird sowohl für die mathematische Disziplin als auch für eine Familie von Sätzen mit bestimmten Eigenschaften verwendet, die verwendet werden, um einen topologischen Raum, einen grundlegenden Gegenstand der Topologie zu definieren. Der besonderen Wichtigkeit sind homeomorphisms, der als dauernde Funktionen mit einem dauernden Gegenteil definiert werden kann.

Topologie schließt viele Teilfelder ein. Die grundlegendste und traditionelle Abteilung innerhalb der Topologie ist Topologie der Punkt-gesetzten, die die foundational Aspekte der Topologie gründet und Konzepte untersucht, die zu topologischen Räumen innewohnend sind (grundlegende Beispiele schließen Kompaktheit und Zusammenhang ein); algebraische Topologie, die allgemein versucht, Grade der Konnektivität mit algebraischen Konstruktionen wie Homotopy-Gruppen und Homologie zu messen; und geometrische Topologie, die in erster Linie Sammelleitungen und ihren embeddings (Stellen) in anderen Sammelleitungen studiert. Einige der aktivsten Gebiete, wie niedrige dimensionale Topologie und Graph-Theorie, passen ordentlich in dieser Abteilung nicht. Knoten-Theorie studiert mathematische Knoten.

Siehe auch: Topologie-Wörterverzeichnis für Definitionen von einigen der Begriffe, die in der Topologie und dem topologischen Raum für eine technischere Behandlung des Themas gebraucht sind.

Geschichte

Topologie hat mit der Untersuchung von bestimmten Fragen in der Geometrie begonnen. Das 1736-Papier von Leonhard Euler auf den Sieben Brücken von Königsberg wird als eine der ersten akademischen Abhandlungen in der modernen Topologie betrachtet.

Der Begriff "Topologie" wurde in Deutsch 1847 von Johann Benedict eingeführt, der in Vorstudien zur Topologie Schlagseite hat, wer das Wort seit zehn Jahren in der Ähnlichkeit vor seinem ersten Äußeren im Druck verwendet hatte. "Topologie", seine englische Form, wurde zuerst 1883 in der Todesanzeige der Auflistung in der Zeitschrift Natur verwendet, um "qualitative Geometrie von der gewöhnlichen Geometrie zu unterscheiden, in der quantitative Beziehungen hauptsächlich behandelt werden". Der Begriff topologist im Sinne eines Fachmannes in der Topologie wurde 1905 in der Zeitschrift Spectator gebraucht. Jedoch entspricht keiner dieses Gebrauches genau zur modernen Definition der Topologie.

Moderne Topologie hängt stark von den Ideen von der Mengenlehre ab, die von Georg Cantor im späteren Teil des 19. Jahrhunderts entwickelt ist. Cantor, zusätzlich zum Herstellen der Grundideen der Mengenlehre, hat Punkt-Sätze im Euklidischen Raum als ein Teil seiner Studie der Reihe von Fourier gedacht.

Henri Poincaré hat Analyse-Lage 1895 veröffentlicht, die Konzepte von homotopy und Homologie einführend, die jetzt als ein Teil der algebraischen Topologie betrachtet werden.

Maurice Fréchet, die Arbeit an Funktionsräumen von Kantoren, Volterra, Arzelà, Hadamard, Ascoli und anderen vereinigend, hat den metrischen Raum 1906 eingeführt. Ein metrischer Raum wird jetzt ein spezieller Fall eines allgemeinen topologischen Raums in Betracht gezogen. 1914 hat Felix Hausdorff den Begriff "topologischer Raum" ins Leben gerufen und hat die Definition dafür gegeben, was jetzt einen Raum von Hausdorff genannt wird. Im aktuellen Gebrauch ist ein topologischer Raum eine geringe Generalisation von Räumen von Hausdorff, gegeben 1922 von Kazimierz Kuratowski.

Für weitere Entwicklungen, sieh Topologie der Punkt-gesetzten und algebraische Topologie.

Elementare Einführung

Topologie, als ein Zweig der Mathematik, kann als "die Studie von qualitativen Eigenschaften von bestimmten Gegenständen formell definiert werden (hat topologische Räume genannt), die invariant unter der bestimmten Art von Transformationen sind (hat dauernde Karten genannt), besonders jene Eigenschaften, die invariant unter einer bestimmten Art der Gleichwertigkeit sind (hat homeomorphism genannt)." Um es einfacher zu stellen, ist Topologie die Studie der Kontinuität und Konnektivität.

Der Begriff Topologie wird auch gebraucht, um sich auf eine Struktur zu beziehen, die einem Satz X, eine Struktur auferlegt ist, die im Wesentlichen den Satz X als ein topologischer Raum durch die Einnahme richtiger Sorge über Eigenschaften wie Konvergenz, Zusammenhang und Kontinuität nach der Transformation 'charakterisiert'.

Topologische Räume tauchen natürlich in fast jedem Zweig der Mathematik auf. Das hat Topologie eine der großen Vereinheitlichen-Ideen von der Mathematik gemacht.

Die Motivieren-Scharfsinnigkeit hinter der Topologie ist, dass einige geometrische Probleme nicht von der genauen Gestalt der beteiligten Gegenstände abhängen, aber eher unterwegs werden sie zusammengestellt. Zum Beispiel haben das Quadrat und der Kreis viele Eigenschaften gemeinsam: Sie sind beide dimensionale Gegenstände (aus einem topologischen Gesichtspunkt), und beide trennen das Flugzeug in zwei Teile, der Teil innen und der Teil draußen.

Eines der ersten Papiere in der Topologie war die Demonstration durch Leonhard Euler, dass es unmöglich war, einen Weg durch die Stadt Königsberg zu finden (jetzt Kaliningrad), der jede seiner sieben Brücken genau einmal durchqueren würde. Dieses Ergebnis hat von den Längen der Brücken, noch auf ihrer Entfernung von einander, aber nur auf Konnektivitätseigenschaften nicht abgehangen: Welche Brücken mit der Inseln oder Flussufer verbunden werden. Dieses Problem, die Sieben Brücken von Königsberg, ist jetzt ein berühmtes Problem in der einleitenden Mathematik, und hat zum Zweig der als Graph-Theorie bekannten Mathematik geführt.

Ähnlich sagt der haarige Ball-Lehrsatz der algebraischen Topologie, dass "man die Haarwohnung auf einem haarigen Ball nicht kämmen kann, ohne einen Haarbüschel zu schaffen." Diese Tatsache ist den meisten Menschen sofort überzeugend, wenn auch sie die mehr formelle Behauptung des Lehrsatzes nicht anerkennen könnten, dass es kein nichtverschwindendes dauerndes Tangente-Vektorfeld auf dem Bereich gibt. Als mit den Brücken von Königsberg hängt das Ergebnis von der genauen Gestalt des Bereichs nicht ab; es gilt für Birne-Gestalten und tatsächlich jede Art des glatten Tropfens, so lange es keine Löcher hat.

Um sich mit diesen Problemen zu befassen, die sich auf die genaue Gestalt der Gegenstände nicht verlassen, muss man über gerade klar sein, auf welche Eigenschaften sich diese Probleme wirklich verlassen. Von diesem Bedürfnis entsteht der Begriff von homeomorphism. Die Unmöglichkeit, jede Brücke zu durchqueren, gilt gerade einmal für jede Einordnung von Brücken homeomorphic zu denjenigen in Königsberg, und der haarige Ball-Lehrsatz gilt für jeden Raum homeomorphic zu einem Bereich.

Intuitiv sind zwei Räume homeomorphic, wenn man in anderen deformiert werden kann, ohne zu schneiden oder zu kleben. Ein traditioneller Witz ist, dass ein topologist keinen Kaffee-Becher von einem Krapfen unterscheiden kann, seitdem ein genug biegsamer Krapfen zur Form einer Kaffeetasse durch das Schaffen eines Grübchens und progressiv die Vergrößerung davon neu geformt werden konnte, während man das Loch in einen Griff zusammenschrumpfen gelassen hat. Eine genaue Definition von homeomorphic, eine dauernde Funktion mit einem dauernden Gegenteil einschließend, ist notwendigerweise technischer.

Homeomorphism kann als die grundlegendste topologische Gleichwertigkeit betrachtet werden. Ein anderer ist homotopy Gleichwertigkeit. Das ist härter zu beschreiben, ohne technisch zu werden, aber der wesentliche Begriff ist, dass zwei Gegenstände homotopy Entsprechung wenn sie beide Ergebnis vom "Zermatschen" eines größeren Gegenstands sind.

Eine einleitende Übung soll die Großbuchstaben des englischen Alphabetes gemäß homeomorphism und homotopy Gleichwertigkeit klassifizieren. Das Ergebnis hängt teilweise von der verwendeten Schriftart ab. Die Zahlen verwenden eine Ohne-Serife-Schriftart genannt die Myriade. Bemerken Sie, dass homotopy Gleichwertigkeit eine rauere Beziehung ist als homeomorphism; eine homotopy Gleichwertigkeitsklasse kann mehrere der homeomorphism Klassen enthalten. Der einfache Fall der homotopy Gleichwertigkeit, die oben beschrieben ist, kann hier verwendet werden, um zu zeigen, dass zwei Briefe homotopy Entsprechung z.B sind. O passt innerhalb von P, und der Schwanz des P kann zum "Loch"-Teil zermatscht werden.

So sind die homeomorphism Klassen: Ein Loch zwei Schwänze, zwei Löcher kein Schwanz, keine Löcher, ein Loch kein Schwanz, keine Löcher drei Schwänze, eine Bar mit vier Schwänzen (ist die "Bar" auf dem K fast zu kurz, um zu sehen), ein Loch ein Schwanz und keine Löcher vier Schwänze.

Die homotopy Klassen sind größer, weil die Schwänze unten zu einem Punkt zermatscht werden können. Die homotopy Klassen sind: ein Loch, zwei Löcher und keine Löcher.

Um sicher zu sein, haben wir die Briefe richtig klassifiziert, wir müssen nicht nur zeigen, dass zwei Briefe in derselben Klasse gleichwertig sind, aber dass zwei Briefe in verschiedenen Klassen nicht gleichwertig sind. Im Fall von homeomorphism kann das durch das passende Auswählen von Punkten und die Vertretung getan werden, dass ihre Eliminierung die Briefe verschieden trennt. Zum Beispiel, X und Y sind nicht homeomorphic weil, den Zentrum-Punkt der X Blätter vier Stücke entfernend; was auch immer der Punkt in Y diesem Punkt entspricht, kann seine Eliminierung höchstens drei Stücke verlassen. Der Fall der homotopy Gleichwertigkeit ist härter und verlangt ein mehr wohl durchdachtes Argument zeigend, dass ein algebraischer invariant, wie die grundsätzliche Gruppe, auf den sich vermutlich unterscheidenden Klassen verschieden ist.

Brief-Topologie hat eine praktische Relevanz in der Matrize-Typografie. Die Schriftart-Prahlerei hat zum Beispiel Matrizen, die aus einem verbundenem Stück des Materials gemacht werden.

Mathematische Definition

Lassen Sie X ein Satz sein und τ eine Familie von Teilmengen X sein zu lassen. Dann wird τ eine Topologie auf X wenn genannt:

1. Sowohl der leere Satz als auch X ist Elemente von τ\
2. Jede Vereinigung von Elementen von τ ist ein Element von τ\
3. Jede Kreuzung von begrenzt vielen Elementen von τ ist ein Element von τ\

Wenn τ eine Topologie auf X ist, dann wird das Paar (X, τ) einen topologischen Raum genannt. Die Notation X kann verwendet werden, um einen Satz X ausgestattet mit der besonderen Topologie τ anzuzeigen.

Die Mitglieder von τ werden offene Sätze in X genannt. Wie man sagt, wird eine Teilmenge X geschlossen, wenn seine Ergänzung in τ ist (d. h. seine Ergänzung ist offen). Eine Teilmenge X kann offen, beide (clopen Satz), oder keiner geschlossen sein. Der leere Satz und X selbst ist immer clopen.

Eine Funktion oder Karte von einem topologischem Raum bis einen anderen werden dauernd genannt, wenn das umgekehrte Image eines offenen Satzes offen ist. Wenn die Funktion die reellen Zahlen zu den reellen Zahlen kartografisch darstellt (beide Räume mit der Standardtopologie), dann ist diese Definition von dauernden zur Definition von dauernden in der Rechnung gleichwertig. Wenn eine dauernde Funktion isomorph ist und auf, und wenn das Gegenteil der Funktion auch dauernd ist, dann wird die Funktion einen homeomorphism genannt, und, wie man sagt, ist das Gebiet der Funktion homeomorphic zur Reihe. Eine andere Weise, das zu sagen, besteht darin, dass die Funktion eine natürliche Erweiterung auf die Topologie hat. Wenn zwei Räume homeomorphic sind, haben sie identische topologische Eigenschaften, und werden topologisch als dasselbe betrachtet. Der Würfel und der Bereich sind homeomorphic, wie die Kaffeetasse und der Krapfen sind. Aber der Kreis ist nicht homeomorphic zum Krapfen.

Topologie-Themen

Einige Lehrsätze in der allgemeinen Topologie

• Jeder geschlossene Zwischenraum in R der begrenzten Länge ist kompakt. Mehr ist wahr: In R ist ein Satz kompakt, wenn, und nur wenn es geschlossen und begrenzt wird. (Sieh Lehrsatz von Heine-Borel).
• Jedes dauernde Image eines Kompaktraums ist kompakt.
• Der Lehrsatz von Tychonoff: Das (willkürliche) Produkt von Kompakträumen ist kompakt.
• Ein Kompaktsubraum eines Raums von Hausdorff wird geschlossen.
• Jede dauernde Bijektion von einem Kompaktraum bis einen Raum von Hausdorff ist notwendigerweise ein homeomorphism.
• Jede Folge von Punkten in einem metrischen Kompaktraum hat eine konvergente Subfolge.
• Jeder Zwischenraum in R wird verbunden.
• Jede endlich-dimensionale Kompaktsammelleitung kann in einem Euklidischen Raum R eingebettet werden.
• Das dauernde Image eines verbundenen Raums wird verbunden.
• Jeder metrische Raum ist parakompakt und Hausdorff, und so normal.
• Die metrization Lehrsätze stellen notwendige und genügend Bedingungen für eine Topologie zur Verfügung, um aus einem metrischen zu kommen.
• Der Tietze Erweiterungslehrsatz: In einem normalen Raum kann jede dauernde reellwertige auf einem geschlossenen Subraum definierte Funktion zu einer dauernden auf dem ganzen Raum definierten Karte erweitert werden.
• Jeder offene Subraum eines Raums von Baire ist selbst ein Raum von Baire.
• Der Baire Kategorie-Lehrsatz: Wenn X ein ganzer metrischer Raum oder ein lokal kompakter Raum von Hausdorff ist, dann ist das Interieur jeder Vereinigung von zählbar vielen nirgends dichte Sätze leer.
• Auf einem Parakompaktraum von Hausdorff lässt jeder offene Deckel eine Teilung des Einheitsuntergebenen zum Deckel zu.
• Jeder Pfad-verbundene, lokal Pfad-verbundene und halblokal einfach verbundene Raum hat einen universalen Deckel.

Allgemeine Topologie hat auch einige überraschende Verbindungen zu anderen Gebieten der Mathematik. Zum Beispiel:

• In der Zahlentheorie, dem Beweis von Fürstenberg der Unendlichkeit der Blüte.

Siehe auch einige gegenintuitive Lehrsätze, z.B der Banach-Tarski ein.

Einige nützliche Begriffe von der algebraischen Topologie

Siehe auch Liste von algebraischen Topologie-Themen.

• Homologie und cohomology: Zahlen von Betti, Eigenschaft von Euler, Grad, dauernd kartografisch darzustellen.
• Operationen: Tasse-Produkt, Produkt von Massey
• Intuitiv attraktive Anwendungen: Fixpunktsatz von Brouwer, Haariger Ball-Lehrsatz, Borsuk-Ulam Lehrsatz, Schinkenbrot-Lehrsatz.
• Gruppen von Homotopy (einschließlich der grundsätzlichen Gruppe).
• Klassen von Chern, Klassen von Stiefel-Whitney, Klassen von Pontryagin.

Generalisationen

Gelegentlich muss man die Werkzeuge der Topologie verwenden, aber ein "Satz von Punkten" ist nicht verfügbar. In der sinnlosen Topologie denkt man stattdessen das Gitter von offenen Sätzen als der grundlegende Begriff der Theorie, während Topologien von Grothendieck bestimmte Strukturen sind, die auf willkürlichen Kategorien definiert sind, die die Definition von Bündeln auf jenen Kategorien, und damit die Definition von ziemlich allgemeinen cohomology Theorien erlauben.

Siehe auch

• Liste von algebraischen Topologie-Themen
• Liste von allgemeinen Topologie-Themen
• Liste von geometrischen Topologie-Themen
• Liste von Topologie-Themen
• Veröffentlichungen in der Topologie
• Topologie-Wörterverzeichnis
• Allgemeine Topologie
• Liste von Beispielen in der allgemeinen Topologie

Weiterführende Literatur

• Bourbaki; Elemente der Mathematik: Allgemeine Topologie, Addison-Wesley (1966).
• Boto von Querenburg (2006). Mengentheoretische Topologie. Heidelberg: Springer-Lehrbuch. Internationale Standardbuchnummer 3-540-67790-9
• Richeson, David S. (2008) der Edelstein von Euler: Die Polyeder-Formel und die Geburt der Topologie. Universität von Princeton Presse.

Außenverbindungen

• Elementare Topologie: Eine Vorspeise Viro, Ivanov, Netsvetaev, Kharlamov
• Der topologische Zoo am Geometrie-Zentrum
• Topologie-Atlas
• Topologie-Kurs-Vortrag bemerkt Aisling McCluskey und Brian McMaster, Topologie-Atlas
• Topologie-Wörterverzeichnis
• Moskau 1935: Topologie, die an Amerika, einen historischen Aufsatz von Hassler Whitney herangeht.