Das ist ein Wörterverzeichnis von einigen Begriffen, die im Zweig der als Topologie bekannten Mathematik gebraucht sind. Obwohl es keine absolute Unterscheidung zwischen verschiedenen Gebieten der Topologie gibt, ist der Fokus hier auf der allgemeinen Topologie. Die folgenden Definitionen sind auch für die algebraische Topologie, Differenzialtopologie und geometrische Topologie grundsätzlich.

Sieh den Artikel über topologische Räume für grundlegende Definitionen und Beispiele, und sieh den Artikel über die Topologie für eine kurze Geschichte und Beschreibung des Sachgebiets. Sieh Naive Mengenlehre, Axiomatische Mengenlehre, und Funktion für Definitionen bezüglich Sätze und Funktionen. Die folgenden Artikel können auch nützlich sein. Diese entweder enthalten spezialisiertes Vokabular innerhalb der allgemeinen Topologie oder stellen ausführlichere Ausstellungen der Definitionen zur Verfügung, die unten gegeben sind. Die Liste von allgemeinen Topologie-Themen und die Liste von Beispielen in der allgemeinen Topologie werden auch sehr nützlich sein.

• Kompaktraum
• Verbundener Raum
• Kontinuität
• Metrischer Raum
• Getrennte Sätze
• Trennungsaxiom
• Topologischer Raum
• Gleichförmiger Raum

Wie man

annimmt, sind alle Räume in diesem Wörterverzeichnis topologische Räume, wenn nicht festgesetzt, sonst.

A

Zugänglich: Sieh.

Anhäufungspunkt: Sieh Grenze hinweisen.

Topologie von Alexandrov: Ein Raum X hat die Topologie von Alexandrov (oder wird begrenzt erzeugt), wenn willkürliche Kreuzungen von offenen Sätzen in X, oder gleichwertig offen sind, wenn willkürliche Vereinigungen von geschlossenen Sätzen, oder, wieder equvalently geschlossen werden, wenn die offenen Sätze die oberen Sätze eines poset sind.

Fast getrennt: Ein Raum ist fast getrennt, wenn jeder offene Satz (folglich clopen) geschlossen wird. Die fast getrennten Räume sind genau die begrenzt erzeugten nulldimensionalen Räume.

Annäherungsraum: Ein Annäherungsraum ist eine Generalisation des metrischen Raums, der auf Entfernungen des Punkts zum Satz, statt Punkt-zu-Punkt gestützt ist.

B

Raum von Baire: Das hat zwei verschiedene allgemeine Bedeutungen:

:#A ist Raum ein Raum von Baire, wenn die Kreuzung einer zählbarer Sammlung von dichten offenen Sätzen dicht ist; sieh Raum von Baire.

:#Baire ist Raum der Satz aller Funktionen von den natürlichen Zahlen bis die natürlichen Zahlen mit der Topologie der pointwise Konvergenz; sieh Raum von Baire (Mengenlehre).

Basis: Eine Sammlung B offener Sätze ist eine Basis (oder Basis) für eine Topologie, wenn jeder offene eingesetzt hat, ist eine Vereinigung dessen setzt ein. Die Topologie ist die kleinste Topologie darauf zu enthalten und wird gesagt, dadurch erzeugt zu werden.

Basis: Sieh Basis.

Algebra von Borel: Die Algebra von Borel auf einem topologischen Raum ist - Algebra am kleinsten, die alle offenen Sätze enthält. Es wird durch die Einnahme der Kreuzung von allen - Algebra darauf erhalten zu enthalten.

Borel ist untergegangen: Ein Borel ist untergegangen ist ein Element einer Algebra von Borel.

Grenze: Die Grenze (oder Grenze) eines Satzes ist der Verschluss des Satzes minus sein Interieur. Gleichwertig ist die Grenze eines Satzes die Kreuzung seines Verschlusses mit dem Verschluss seiner Ergänzung. Die Grenze eines Satzes wird durch angezeigt oder.

Begrenzt: Ein Satz in einem metrischen Raum wird begrenzt, wenn er begrenztes Diameter hat. Gleichwertig wird ein Satz begrenzt, wenn er in einem offenen Ball des begrenzten Radius enthalten wird. Eine Funktion, die Werte in einem metrischen Raum nimmt, wird begrenzt, wenn sein Image ein begrenzter Satz ist.

C

Kategorie von topologischen Räumen: Die Kategorie-Spitze hat topologische Räume als Gegenstände und dauernde Karten als morphisms.

Cauchyfolge: Eine Folge {x} in einem metrischen Raum (M, d) ist eine Cauchyfolge wenn, für jede positive reelle Zahl r, es gibt eine ganze Zahl N solch, dass für alle ganzen Zahlen M, n> N, wir d haben (x, x) und T Topologien auf X sind, dann ist T rauer (oder kleiner, schwächer) als T, wenn T in T enthalten wird. Hüten Sie sich, einige Autoren, besonders Analytiker, gebrauchen den stärkeren Begriff.

Comeagre: Eine Teilmenge eines Raums X ist comeagre (comeager), wenn seine Ergänzung X\A mager ist. Auch genannt restlich.

Kompakt: Ein Raum ist kompakt, wenn jeder offene Deckel einen begrenzten Subdeckel hat. Jeder Kompaktraum ist Lindelöf und parakompakt. Deshalb ist jeder Kompaktraum von Hausdorff normal. Siehe auch quasikompakt.

Kompaktoffene Topologie: Die kompaktoffene Topologie auf dem Satz C (X, Y) aller dauernden Karten zwischen zwei Räumen X und Y wird wie folgt definiert: In Anbetracht einer Kompaktteilmenge K X und einer offenen Teilmenge U Y, lassen Sie V (K, U) zeigen den Satz aller Karten f in C (X, Y) solch an, dass f (K) in U enthalten wird. Dann ist die Sammlung aller dieser V (K, U) eine Subbasis für die kompaktoffene Topologie.

Abgeschlossen: Ein metrischer Raum ist abgeschlossen, wenn jede Cauchyfolge zusammenläuft.

Völlig metrizable/completely metrisable: Sieh ganzen Raum.

Völlig normal: Ein Raum ist völlig normal, wenn irgendwelche zwei getrennten Sätze zusammenhanglose Nachbarschaft haben.

Völlig normaler Hausdorff: Ein völlig normaler Raum von Hausdorff (oder T Raum) sind ein völlig normaler T Raum. (Ein völlig normaler Raum ist Hausdorff, wenn, und nur wenn es T ist, so entspricht die Fachsprache.) Jeder völlig normale Raum von Hausdorff ist normaler Hausdorff.

Völlig regelmäßig: Ein Raum ist völlig regelmäßig, wenn, wann auch immer C ein geschlossener Satz und x ist, ein Punkt nicht in C ist, dann C und {x} werden funktionell getrennt.

Völlig T: Sieh Tychonoff.

Bestandteil: Sieh Verbundenen component/Path-connected Bestandteil.

Verbunden: Ein Raum wird verbunden, wenn es nicht die Vereinigung eines Paares von zusammenhanglosen nichtleeren offenen Sätzen ist. Gleichwertig wird ein Raum verbunden, wenn die einzigen Clopen-Sätze der ganze Raum und der leere Satz sind.

Verbundener Bestandteil: Ein verbundener Bestandteil eines Raums ist ein maximaler nichtleerer verbundener Subraum. Jeder verbundene Bestandteil wird geschlossen, und der Satz von verbundenen Bestandteilen eines Raums ist eine Teilung dieses Raums.

Dauernd: Eine Funktion von einem Raum bis einen anderen ist dauernd, wenn das Vorimage jedes offenen Satzes offen ist.

Kontinuum: Ein Raum wird ein Kontinuum wenn es ein kompakter, verbundener Raum von Hausdorff genannt.

Contractible: Ein Raum X ist contractible, wenn die Identitätskarte auf X homotopic zu einer unveränderlichen Karte ist. Jeder contractible Raum wird einfach verbunden.

Topologie von Coproduct: Wenn {X} eine Sammlung von Räumen ist und X die (mit dem Satz theoretische) zusammenhanglose Vereinigung {X} ist, dann sind die coproduct Topologie (oder zusammenhanglose Vereinigungstopologie, topologische Summe der X) auf X die feinste Topologie, für die alle Spritzenkarten dauernd sind.

Zählbare Kettenbedingung: Ein Raum X befriedigt die zählbare Kettenbedingung, wenn jede Familie von nichtleeren, pairswise zusammenhanglose offene Sätze zählbar ist.

Zählbar kompakt: Ein Raum ist zählbar kompakt, wenn jeder zählbare offene Deckel einen begrenzten Subdeckel hat. Jeder zählbar kompakte Raum ist pseudokompakt und schwach zählbar kompakt.

Zählbar lokal begrenzt: Eine Sammlung von Teilmengen eines Raums X ist zählbar lokal begrenzt (oder σ-locally begrenzt), wenn es die Vereinigung einer zählbaren Sammlung lokal begrenzter Sammlungen von Teilmengen X ist.

Deckel: Eine Sammlung von Teilmengen eines Raums ist ein Deckel (oder Bedeckung) dieses Raums, wenn die Vereinigung der Sammlung der ganze Raum ist.

Bedeckung: Sieh Deckel.

Kürzungspunkt: Wenn X ein verbundener Raum mit mehr als einem Punkt ist, dann ist ein Punkt x X ein Kürzungspunkt wenn der Subraum X − {x} wird getrennt.

D

Dichter Satz: Ein Satz ist dicht, wenn er nichtleere Kreuzung mit jedem nichtleeren offenen Satz hat. Gleichwertig ist ein Satz dicht, wenn sein Verschluss der ganze Raum ist.

Abgeleiteter Satz: Wenn X ein Raum ist und S eine Teilmenge X ist, ist der abgeleitete Satz von S in X der Satz von Grenze-Punkten von S in X.

Raum von Developable: Ein toplogical Raum mit einer Entwicklung.

Entwicklung: Eine zählbare Sammlung von offenen Deckel eines toplogical Raums, solch, dass für jeden geschlossenen Satz C und jeden Punkt p in seiner Ergänzung dort ein Deckel in der solcher Sammlung besteht, dass jede Nachbarschaft von p im Deckel von C zusammenhanglos ist.

Diameter: Wenn (M, d) ein metrischer Raum ist und S eine Teilmenge der M ist, ist das Diameter von S das Supremum der Entfernungen d (x, y), wo sich x und y über S erstrecken.

Getrennt metrisch: Das getrennte metrische auf einem Satz X ist die Funktion d: X × X  R solch das für den ganzen x, y in X, d (x, x) = 0 und d (x, y) = 1 wenn x  y. Das getrennte metrische veranlasst die getrennte Topologie auf X.

Getrennter Raum: Ein Raum X ist getrennt, wenn jede Teilmenge X offen ist. Wir sagen, dass X die getrennte Topologie trägt.

Getrennte Topologie: Sieh getrennten Raum.

Zusammenhanglose Vereinigungstopologie: Sieh Coproduct Topologie.

Streuungspunkt: Wenn X ein verbundener Raum mit mehr als einem Punkt ist, dann ist ein Punkt x X ein Streuungspunkt wenn der Subraum X − {x} ist hereditarily getrennt (seine einzigen verbundenen Bestandteile sind die Ein-Punkt-Sätze).

Entfernung: Sieh metrischen Raum.

Dummkopf-Hut (Topologie)

E

Umgebung: Sieh Gleichförmigen Raum.

Äußeres: Das Äußere eines Satzes ist das Interieur seiner Ergänzung.

F

F Satz: Ein F-Satz ist eine zählbare Vereinigung von geschlossenen Sätzen.

Filter: Ein Filter auf einem Raum X ist eine nichtleere Familie F Teilmengen X solch, dass die folgenden Bedingungen halten:

:# ist Der leere Satz nicht in F.

:# ist Die Kreuzung jeder begrenzten Zahl der Elemente von F wieder in F.

:#, Wenn A in F ist, und wenn B A enthält, dann ist B in F.

Feinere Topologie: Wenn X ein Satz ist, und wenn T und T Topologien auf X sind, dann ist T feiner (oder größer, stärker) als T, wenn T T enthält. Hüten Sie sich, einige Autoren, besonders Analytiker, gebrauchen den schwächeren Begriff.

Begrenzt erzeugt: Sieh Topologie von Alexandrov.

Die erste Kategorie: Sieh Mager.

Erst-zählbar: Ein Raum ist erst-zählbar, wenn jeder Punkt eine zählbare lokale Basis hat.

Fréchet: Sieh T.

Grenze: Sieh Grenze.

Voller Satz: Eine Kompaktteilmenge K des komplizierten Flugzeugs wird voll genannt, wenn seine Ergänzung verbunden wird. Zum Beispiel ist die geschlossene Einheitsplatte voll, während der Einheitskreis nicht ist.

Funktionell getrennt: Zwei Sätze A und B in einem Raum X werden funktionell getrennt, wenn es eine dauernde Karte f gibt: X  [0, 1] solch dass f (A) = 0 und f (B) = 1.

G

G Satz: Ein G ist untergegangen, oder innerer Begrenzungssatz ist eine zählbare Kreuzung von offenen Sätzen.

G Raum: Ein Raum, in dem jeder geschlossene Satz ein G-Satz ist.

Allgemeiner Punkt: Ein allgemeiner Punkt für einen geschlossenen Satz ist ein Punkt, für den der geschlossene Satz der Verschluss des Singleton-Satzes ist, der diesen Punkt enthält.

H

Hausdorff: Ein Hausdorff Raum (oder T Raum) sind derjenige, in dem alle zwei verschiedenen Punkte zusammenhanglose Nachbarschaft haben. Jeder Hausdorff Raum ist T.

H-closed: Ein Raum ist H-closed, wenn es in jedem Raum von Hausdorff geschlossen wird, der es enthält.

Hereditarily P: Ein Raum ist hereditarily P für ein Eigentum P ist jeder Subraum ist auch P.

Erblich: Wie man sagt, ist ein Eigentum von Räumen wenn erblich, wann auch immer ein Raum dieses Eigentum, dann so jeder Subraum davon hat. Zum Beispiel, zweit-countability ist ein erbliches Eigentum.

Homeomorphism: Wenn X und Y Räume sind, ist ein homeomorphism von X bis Y eine bijektive Funktion f: X  Y solch, dass f und f dauernd sind. Wie man dann sagt, sind die Räume X und Y homeomorphic. Von der Einstellung der Topologie, homeomorphic Räume sind identisch.

Homogen: Ein Raum X ist wenn, für jeden x und y in X homogen, es gibt einen homeomorphism f: X  X solch dass f (x) = y. Intuitiv schaut der Raum dasselbe auf jeden Punkt. Jede topologische Gruppe ist homogen.

Karten von Homotopic: Zwei dauernde Karten f, g: X  Y sind homotopic (in Y), wenn es eine dauernde Karte H gibt: X × [0, 1]  Y solch dass H (x, 0) = f (x) und H (x, 1) = g (x) für den ganzen x in X. Hier, X × [0, 1] wird die Produkttopologie gegeben. Die Funktion H wird einen homotopy (in Y) zwischen f und g genannt.

Homotopy: Sieh Homotopic-Karten.

Hyperverbunden: Ein Raum wird hyperverbunden, wenn keine zwei nichtleeren offenen Sätze zusammenhanglos sind, wird Jeder hyperverbundene Raum verbunden.

Ich

Identifizierungskarte: Sieh Quotient-Karte.

Identifizierungsraum: Sieh Quotient-Raum.

Homogener Raum: Sieh Triviale Topologie.

Unendlich-dimensionale Topologie: Sieh Hilbert-Sammelleitung und Q-Sammelleitungen, d. h. (verallgemeinerte) Sammelleitungen, die auf dem Raum von Hilbert und auf dem Würfel von Hilbert beziehungsweise modelliert sind.

Das innere Begrenzen ist untergegangen: Ein G ist untergegangen.

Interieur: Das Interieur eines Satzes ist der größte offene im ursprünglichen Satz enthaltene Satz. Es ist der Vereinigung aller offenen darin enthaltenen Sätze gleich. Ein Element des Interieurs eines Satzes S ist ein Innenpunkt von S.

Innenpunkt: Sieh Interieur.

Isolierter Punkt: Ein Punkt x ist ein isolierter Punkt, wenn der Singleton {x} offen ist. Mehr allgemein, wenn S eine Teilmenge eines Raums X ist, und wenn x ein Punkt von S ist, dann ist x ein isolierter Punkt von S, wenn {x} in der Subraumtopologie auf S offen ist.

Isometrischer Isomorphismus: Wenn M und M metrische Räume sind, ist ein isometrischer Isomorphismus von der M bis M eine bijektive Isometrie f: M  M. Wie man dann sagt, sind die metrischen Räume isometrisch isomorph. Von der Einstellung der metrischen Raumtheorie sind isometrisch isomorphe Räume identisch.

Isometrie: Wenn (M, d) und (M, d) metrische Räume sind, ist eine Isometrie von der M bis M eine Funktion f: M  solche M dass d (f (x), f (y)) = d (x, y) für den ganzen x, y in der M. Jede Isometrie ist injective, obwohl nicht jede Isometrie surjective ist.

K

Axiom von Kolmogorov: Sieh T.

Verschluss-Axiome von Kuratowski: Die Verschluss-Axiome von Kuratowski sind eine Reihe von Axiomen, die durch die Funktion zufrieden ist, die jede Teilmenge X zu seinem Verschluss bringt:

:# Isotonicity: Jeder Satz wird in seinem Verschluss enthalten.

:# Idempotence: Der Verschluss des Verschlusses eines Satzes ist dem Verschluss dieses Satzes gleich.

:# Bewahrung von binären Vereinigungen: Der Verschluss der Vereinigung von zwei Sätzen ist die Vereinigung ihrer Verschlüsse.

:# Bewahrung von nullary Vereinigungen: Der Verschluss des leeren Satzes ist leer.

:If c ist eine Funktion vom Macht-Satz X zu sich, dann ist c ein Verschluss-Maschinenbediener, wenn es die Verschluss-Axiome von Kuratowski befriedigt. Die Verschluss-Axiome von Kuratowski können dann verwendet werden, um eine Topologie auf X zu definieren, indem sie die geschlossenen Sätze erklärt wird, die festen Punkte dieses Maschinenbedieners zu sein, d. h. ein Satz A wird wenn und nur wenn c (A) = A geschlossen.

L

Größere Topologie: Sieh Feinere Topologie.

Grenze-Punkt: Ein Punkt x in einem Raum X ist ein Grenze-Punkt einer Teilmenge S, wenn jeder offene Satz, der x auch enthält, einen Punkt von S außer x selbst enthält. Das ist zum Verlangen gleichwertig, dass jede Nachbarschaft von x einen Punkt von S außer x selbst enthält.

Kompakter Grenze-Punkt: Sieh Schwach zählbar kompakt.

Lindelöf: Ein Raum ist Lindelöf, wenn jeder offene Deckel einen zählbaren Subdeckel hat.

Lokale Basis: Ein Satz B der Nachbarschaft eines Punkts x eines Raums X ist eine lokale Basis (oder lokale Basis, Nachbarschaft-Basis, Nachbarschaft-Basis) an x, wenn jede Nachbarschaft von x ein Mitglied von B enthält.

Lokale Basis: Sieh Lokale Basis.

Lokal geschlossene Teilmenge: Eine Teilmenge eines topologischen Raums, der die Kreuzung eines offenen und einer geschlossenen Teilmenge ist. Gleichwertig ist es eine relativ offene Teilmenge seines Verschlusses.

Lokal kompakt: Ein Raum ist lokal kompakt, wenn jeder Punkt eine lokale Basis hat, die aus der Kompaktnachbarschaft besteht. Jeder lokal kompakte Raum von Hausdorff ist Tychonoff.

Lokal verbunden: Ein Raum wird lokal verbunden, wenn jeder Punkt eine lokale Basis hat, die aus der verbundenen Nachbarschaft besteht.

Lokal begrenzt: Eine Sammlung von Teilmengen eines Raums ist lokal begrenzt, wenn jeder Punkt eine Nachbarschaft hat, die nichtleere Kreuzung mit nur begrenzt vielen der Teilmengen hat. Siehe auch zählbar lokal begrenzt, begrenzter Punkt.

Lokal metrizable/Locally metrisable: Ein Raum ist lokal metrizable, wenn jeder Punkt eine metrizable Nachbarschaft hat.

Lokal Pfad-verbunden: Ein Raum ist lokal Pfad-verbunden, wenn jeder Punkt eine lokale Basis hat, die aus der Pfad-verbundenen Nachbarschaft besteht. Ein lokal Pfad-verbundener Raum wird verbunden, wenn, und nur wenn es Pfad-verbunden ist.

Lokal einfach verbunden: Ein Raum wird lokal einfach verbunden, wenn jeder Punkt eine lokale Basis hat, die aus der einfach verbundenen Nachbarschaft besteht.

Schleife: Wenn x ein Punkt in einem Raum X ist, sind eine Schleife an x in X (oder eine Schleife in X mit basepoint x) ein Pfad f in X, solch dass f (0) = f (1) = x. Gleichwertig ist eine Schleife in X eine dauernde Karte vom Einheitskreis S in X.

M

Mager: Wenn X ein Raum ist und A eine Teilmenge X ist, dann ist A in X mager (oder der ersten Kategorie in X), wenn es die zählbare Vereinigung von nirgends dichten Sätzen ist. Wenn A in X nicht mager ist, ist A der zweiten Kategorie in X.

Metrisch: Sieh Metrischen Raum.

Metrischer invariant: Ein metrischer invariant ist ein Eigentum, das unter dem isometrischen Isomorphismus bewahrt wird.

Metrische Karte: Wenn X und Y metrische Räume mit der Metrik d und d beziehungsweise sind, dann ist eine metrische Karte eine Funktion f von X bis Y, solch das für irgendwelche Punkte x und y in X, d (f (x), f (y))  d (x, y). Eine metrische Karte ist ausschließlich metrisch, wenn die obengenannte Ungleichheit für den ganzen x und y in X streng ist.

Metrischer Raum: Ein metrischer Raum (M, d) ist ein Satz, den M mit einer Funktion d ausgestattet hat: M × M  R Zufriedenheit der folgenden Axiome für den ganzen x, y, und z in der M:

:# d (x, y)  0

:# d (x, x) = 0

:# wenn d (x, y) = 0 dann x = y (Identität von indiscernibles)

:# d (x, y) = d (y, x) (Symmetrie)

:# d (x, z)  d (x, y) + d (y, z) (Dreieck-Ungleichheit)

:The-Funktion d ist ein metrischer auf der M, und d (x, y) ist die Entfernung zwischen x und y. Die Sammlung aller offenen Bälle der M ist eine Basis für eine Topologie auf der M; das ist die Topologie auf der durch d veranlassten M. Jeder metrische Raum ist Hausdorff und parakompakt (und folglich normal und Tychonoff). Jeder metrische Raum ist erst-zählbar.

Metrizable/Metrisable: Ein Raum ist metrizable, wenn es homeomorphic zu einem metrischen Raum ist. Jeder metrizable Raum ist Hausdorff und parakompakt (und folglich normal und Tychonoff). Jeder metrizable Raum ist erst-zählbar.

Monolith: Jeder nichtleere ultraverbundene Kompaktraum X hat eine größte richtige offene Teilmenge; diese Teilmenge wird einen Monolithen genannt.

Raum von Moore: Ein Raum von Moore ist ein developable regelmäßiger Raum von Hausdorff.

N

Nachbarschaft/Nachbarschaft: Eine Nachbarschaft eines Punkts x ist ein Satz, der einen offenen Satz enthält, der der Reihe nach den Punkt x enthält. Mehr allgemein ist eine Nachbarschaft eines Satzes S ein Satz, der einen offenen Satz enthält, der der Reihe nach den Satz S enthält. Eine Nachbarschaft eines Punkts x ist so eine Nachbarschaft des Singleton-Satz-{x}. (Bemerken Sie, dass laut dieser Definition die Nachbarschaft selbst nicht offen zu sein braucht. Viele Autoren verlangen das Nachbarschaft ist offen; achten Sie darauf, Vereinbarung zu bemerken.)

Nachbarschaft-Basis/Basis: Sieh Lokale Basis.

Nachbarschaft-System für einen Punkt x: Ein Nachbarschaft-System an einem Punkt x in einem Raum ist die Sammlung der ganzen Nachbarschaft von x.

Netz: Ein Netz in einem Raum X ist eine Karte von einem geleiteten Satz zu X. Ein Netz von bis X wird gewöhnlich (x) angezeigt, wo α eine Index-Variable ist, die sich über A erstreckt. Jede Folge ist ein Netz, nehmend, um der geleitete Satz von natürlichen Zahlen mit der üblichen Einrichtung zu sein.

Normal: Ein Raum ist normal, wenn irgendwelche zwei zusammenhanglosen geschlossenen Sätze zusammenhanglose Nachbarschaft haben. Jeder normale Raum lässt eine Teilung der Einheit zu.

Normaler Hausdorff: Ein normaler Raum von Hausdorff (oder T Raum) sind ein normaler T Raum. (Ein normaler Raum ist Hausdorff, wenn, und nur wenn es T ist, so entspricht die Fachsprache.) Jeder normale Raum von Hausdorff ist Tychonoff.

Nirgends dicht: Ein nirgends dichter Satz ist ein Satz, dessen Verschluss leeres Interieur hat.

O

Offener Deckel: Ein offener Deckel ist ein Deckel, der aus offenen Sätzen besteht.

Offener Ball: Wenn (M, d) ein metrischer Raum ist, ist ein offener Ball eine Reihe die Form B (x; r): = {y in der M: d (x, y)

Parakompakt: Ein Raum ist parakompakt, wenn jeder offene Deckel eine lokal begrenzte offene Verbesserung hat. Parakompakt bezieht metacompact ein. Hausdorff Parakompakträume sind normal.

Teilung der Einheit: Eine Teilung der Einheit eines Raums X ist eine Reihe dauernder Funktionen von X bis [0, 1] solch, dass jeder Punkt eine Nachbarschaft hat, wo alle außer einer begrenzten Zahl der Funktionen identisch Null sind, und die Summe aller Funktionen auf dem kompletten Raum identisch 1 ist.

Pfad: Ein Pfad in einem Raum X ist eine dauernde Karte f vom geschlossenen Einheitszwischenraum [0, 1] in X. Der Punkt f (0) ist der anfängliche Punkt von f; der Punkt f (1) ist der Endpunkt von f.

Pfad-verbunden: Ein Raum X ist wenn, für alle zwei Punkte x, y in X Pfad-verbunden, es gibt einen Pfad f von x bis y, d. h. ein Pfad mit dem anfänglichen Punkt f (0) = x und Terminal spitzt f (1) = y an. Jeder Pfad-verbundene Raum wird verbunden.

Pfad-verbundener Bestandteil: Ein Pfad-verbundener Bestandteil eines Raums ist ein maximaler nichtleerer Pfad-verbundener Subraum. Der Satz von Pfad-verbundenen Bestandteilen eines Raums ist eine Teilung dieses Raums, der feiner ist als die Teilung in verbundene Bestandteile. Der Satz von Pfad-verbundenen Bestandteilen eines Raums X wird π (X) angezeigt.

Vollkommen normal: Ein normaler Raum, der auch ein G ist.

π-base: Eine Sammlung B nichtleerer offener Sätze ist ein π-base für eine Topologie τ, wenn jeder nichtleere offene Satz in τ einen Satz von B einschließt.

Punkt: Ein Punkt ist ein Element eines topologischen Raums. Mehr allgemein ist ein Punkt ein Element jedes Satzes mit einer zu Grunde liegenden topologischen Struktur; z.B ist ein Element eines metrischen Raums oder einer topologischen Gruppe auch ein "Punkt".

Punkt des Verschlusses: Sieh Verschluss.

Polnisch: Ein Raum ist polnisch, wenn es trennbar ist und vollenden Sie topologisch, d. h. wenn es homeomorphic zu einem trennbaren und ganzen metrischen Raum ist.

P-Punkt: Ein Punkt eines topologischen Raums ist ein P-Punkt, wenn sein Filter der Nachbarschaft unter zählbaren Kreuzungen geschlossen wird.

Vorkompakt: Sieh Relativ kompakt.

Produkttopologie: Wenn {X} eine Sammlung von Räumen ist und X das (mit dem Satz theoretische) Produkt {X} ist, dann ist die Produkttopologie auf X die rauste Topologie, für die alle Vorsprung-Karten dauernd sind.

Richtig fungieren Sie/kartografisch darstellen: Eine dauernde Funktion f von einem Raum X zu einem Raum Y ist richtig, wenn f (C) ein Kompaktsatz in X für einen Kompaktsubraum C Y ist.

Nähe-Raum: Ein Nähe-Raum (X, δ) ist ein Satz X ausgestattet mit einer binären Beziehung δ zwischen Teilmengen von X Zufriedenheit der folgenden Eigenschaften:

:For alle Teilmengen A, B und C X,

:#A δ bezieht B B δ Ein ein

:#A δ deutet B an, dass A nichtleerer ist

:#If haben A und B nichtleere Kreuzung, dann Ein δ B

:#A δ (B  C) iff (Ein δ B oder Ein δ C)

:#If, für alle Teilmengen E X, haben wir (Ein δ E oder B δ E), dann müssen wir Einen δ haben (X − B)

Pseudokompakt: Ein Raum ist pseudokompakt, wenn jede reellwertige dauernde Funktion auf dem Raum begrenzt wird.

Pseudometrisch: Sieh Pseudometrischen Raum.

Pseudometrischer Raum: Ein pseudometrischer Raum (M, d) ist ein Satz, den M mit einer Funktion d ausgestattet hat: M × M  R, alle Bedingungen eines metrischen Raums befriedigend außer vielleicht der Identität von indiscernibles. D. h. Punkte in einem pseudometrischen Raum können ungeheuer "nah sein", ohne identisch zu sein. Die Funktion d ist ein pseudometrischer auf der M. Jeder metrische ist ein pseudometrischer.

Durchstochene Nachbarschaft der Nachbarschaft/durchstechen: Eine durchstochene Nachbarschaft eines Punkts x ist eine Nachbarschaft von x minus {x}. Zum Beispiel, der Zwischenraum (−1, 1) = {y: −1 ist (U) in X offen. Mit anderen Worten hat Y die f-strong Topologie. Gleichwertig, ist eine Quotient-Karte, wenn, und nur wenn es die transfinite Zusammensetzung von Karten ist, wo eine Teilmenge ist. Bemerken Sie, dass das nicht andeutet, dass f eine offene Funktion ist.

Quotient-Raum: Wenn X ein Raum ist, ist Y ein Satz und f: X  Y sind jede Surjective-Funktion, dann ist die Quotient-Topologie auf durch f veranlasstem Y die feinste Topologie, für die f dauernd ist. Der Raum X ist ein Quotient-Raum oder Identifizierungsraum. Definitionsgemäß ist f eine Quotient-Karte. Das allgemeinste Beispiel davon soll eine Gleichwertigkeitsbeziehung auf X, mit Y der Satz von Gleichwertigkeitsklassen und f die natürliche Vorsprung-Karte denken. Dieser Aufbau ist zum Aufbau der Subraumtopologie Doppel-.

R

Verbesserung: Ein Deckel K ist eine Verbesserung eines Deckels L, wenn jedes Mitglied von K eine Teilmenge von einem Mitglied von L ist.

Regelmäßig: Ein Raum ist regelmäßig, wenn, wann auch immer C ein geschlossener Satz und x ist, ein Punkt nicht in C, dann C ist und x zusammenhanglose Nachbarschaft haben.

Regelmäßiger Hausdorff: Ein Raum ist regelmäßiger Hausdorff (oder T), wenn es ein regelmäßiger T Raum ist. (Ein regelmäßiger Raum ist Hausdorff, wenn, und nur wenn es T ist, so entspricht die Fachsprache.)

Regelmäßig offen: Eine offene Teilmenge U eines Raums X ist offen regelmäßig, wenn sie dem Interieur seines Verschlusses gleichkommt. Ein Beispiel eines nichtregelmäßigen offenen Satzes ist der Satz U = (0, 1) U (1, 2) in R mit seiner normalen Topologie, da 1 im Interieur des Verschlusses von U, aber nicht in U ist. Die regelmäßigen offenen Teilmengen eines Raums bilden eine ganze Algebra von Boolean.

Relativ kompakt: Eine Teilmenge Y eines Raums X ist in X relativ kompakt, wenn der Verschluss von Y in X kompakt ist.

Restlich: Wenn X ein Raum ist und A eine Teilmenge X ist, dann ist A in X restlich, wenn die Ergänzung von A in X mager ist. Auch genannt comeagre oder comeager.

Auflösbar: Ein topologischer Raum wird auflösbar genannt, wenn es expressible als die Vereinigung von zwei zusammenhanglosen dichten Teilmengen ist.

Mit dem Rand kompakt: Ein Raum ist mit dem Rand kompakt, wenn er eine Basis von offenen Sätzen hat, deren Grenzen kompakt sind.

S

Scott: Die Topologie von Scott auf einem poset ist dass, in dem die offenen Sätze jene Oberen durch geleitete Verbindungslinien unzugänglichen Sätze sind.

Die zweite Kategorie: Sieh Mager.

Zweit-zählbar: Ein Raum ist zweit-zählbar oder vollkommen trennbar, wenn er eine zählbare Basis für seine Topologie hat. Jeder zweit-zählbare Raum ist erst-zählbar, und Lindelöf trennbar.

Halblokal einfach verbunden: Ein Raum X wird halblokal einfach verbunden, wenn, für jeden Punkt x in X, es eine Nachbarschaft U solchen x gibt, dass jede Schleife an x in U homotopic in X zur unveränderlichen Schleife x ist. Jeder einfach verbundene Raum und jeder lokal einfach verbundene Raum werden halblokal einfach verbunden. (Vergleichen Sie sich mit lokal einfach verbundenem; hier wird dem homotopy erlaubt, in X zu leben, wohingegen in der Definition lokal einfach verbundenen der homotopy in U. leben muss)

Halbregelmäßig: Ein Raum ist halbregelmäßig, wenn die regelmäßigen offenen Sätze eine Basis bilden.

Trennbar: Ein Raum ist trennbar, wenn er eine zählbare dichte Teilmenge hat.

Getrennt: Zwei Sätze A und B werden getrennt, wenn jeder vom Verschluss eines anderen zusammenhanglos ist.

Folgend kompakt: Ein Raum ist folgend kompakt, wenn jede Folge eine konvergente Subfolge hat. Jeder folgend kompakte Raum ist zählbar kompakt, und jeder erst-zählbare, zählbar kompakte Raum ist folgend kompakt.

Kurze Karte: Sieh metrische Karte

Einfach verbunden: Ein Raum wird einfach verbunden, wenn es Pfad-verbunden ist und jede Schleife homotopic zu einer unveränderlichen Karte ist.

Kleinere Topologie: Sieh Rauere Topologie.

Nüchtern: In einem nüchternen Raum ist jede nicht zu vereinfachende geschlossene Teilmenge der Verschluss von genau einem Punkt: D. h. hat einen einzigartigen allgemeinen Punkt.

Stern: Der Stern eines Punkts in einem gegebenen Deckel eines topologischen Raums ist die Vereinigung aller Sätze im Deckel, die den Punkt enthalten. Sieh Sternverbesserung.

- Starke Topologie: Lassen Sie, eine Karte von topologischen Räumen zu sein. Wir sagen, dass das - starke Topologie hat, wenn, für jede Teilmenge, man hat, der darin offen ist, wenn, und nur wenn in offen

ist

Stärkere Topologie: Sieh Feinere Topologie. Hüten Sie sich, einige Autoren, besonders Analytiker, gebrauchen den Begriff schwächere Topologie.

Subbasis: Eine Sammlung von offenen Sätzen ist eine Subbasis (oder Subbasis) für eine Topologie, wenn jeder nichtleere richtige offene Satz in der Topologie eine Vereinigung von begrenzten Kreuzungen von Sätzen in der Subbasis ist. Wenn B eine Sammlung von Teilmengen eines Satzes X ist, ist die Topologie auf X erzeugt durch B die kleinste Topologie, die B enthält; diese Topologie besteht aus dem leeren Satz, X und allen Vereinigungen von begrenzten Kreuzungen von Elementen von B.

Subbasis: Sieh Subbasis.

Subdeckel: Ein Deckel K ist ein Subdeckel (oder Subbedeckung) eines Deckels L, wenn jedes Mitglied von K ein Mitglied von L ist.

Subbedeckung: Sieh Subdeckel.

Submaximaler Raum: Wie man sagt, ist ein topologischer Raum submaximal, wenn jede Teilmenge davon lokal geschlossen wird, d. h. ist jede Teilmenge die Kreuzung eines offenen Satzes und eines geschlossenen Satzes.

Hier sind einige Tatsachen über submaximality als ein Eigentum von topologischen Räumen:

• Jeder Tür-Raum ist submaximal.
• Jeder submaximale Raum ist nämlich schwach submaximal jeder begrenzte Satz wird lokal geschlossen.
• Jeder submaximale Raum ist irresolvable

Subraum: Wenn T eine Topologie auf einem Raum X ist, und wenn A eine Teilmenge X ist, dann besteht die Subraumtopologie auf Einem veranlassten durch T aus allen Kreuzungen von offenen Sätzen in T mit A. Dieser Aufbau ist zum Aufbau der Quotient-Topologie Doppel-.

T

T: Ein Raum ist T (oder Kolmogorov) wenn für jedes Paar von verschiedenen Punkten x und y im Raum, entweder es gibt einen offenen Satz, der x, aber nicht y enthält, oder es gibt einen offenen Satz, der y, aber nicht x enthält.

T: Ein Raum ist T (oder Fréchet oder zugänglich) wenn für jedes Paar von verschiedenen Punkten x und y im Raum, es gibt einen offenen Satz, der x, aber nicht y enthält. (Vergleichen Sie sich mit T; hier wird uns erlaubt anzugeben, welcher Punkt im offenen Satz enthalten wird.) Gleichwertig ist ein Raum T, wenn ganzer sein Singleton geschlossen wird. Jeder T Raum ist T.

T: Sieh Hausdorff Raum.

T: Sieh regelmäßigen Hausdorff.

T: Sieh Raum von Tychonoff.

T: Sieh normalen Hausdorff.

T: Sieh Völlig normalen Hausdorff.

Spitze: Sieh Kategorie von topologischen Räumen.

Topologischer invariant: Ein topologischer invariant ist ein Eigentum, das unter homeomorphism bewahrt wird. Zum Beispiel sind Kompaktheit und Zusammenhang topologische Eigenschaften, wohingegen boundedness und Vollständigkeit nicht sind. Algebraische Topologie ist die Studie topologisch invariant abstrakte Algebra-Aufbauten auf topologischen Räumen.

Topologischer Raum: Ein topologischer Raum (X, T) ist ein Satz X ausgestattet mit einer Sammlung T Teilmengen von X Zufriedenheit der folgenden Axiome:

:# Der leere Satz und X sind in T.

:# ist Die Vereinigung jeder Sammlung von Sätzen in T auch in T.

:# ist Die Kreuzung jedes Paares von Sätzen in T auch in T.

:The-Sammlung T ist eine Topologie auf X.

Topologische Summe: Sieh Coproduct Topologie.

Topologisch abgeschlossen: Ein Raum ist topologisch abgeschlossen, wenn es homeomorphic zu einem ganzen metrischen Raum ist.

Topologie: Sieh Topologischen Raum.

Völlig begrenzt: Eine metrische RaumM wird völlig begrenzt, wenn, für jeden r> 0, dort ein begrenzter Deckel der M durch offene Bälle des Radius r bestehen. Ein metrischer Raum ist kompakt, wenn, und nur wenn es abgeschlossen und völlig begrenzt ist.

Völlig getrennt: Ein Raum wird völlig getrennt, wenn er keine verbundene Teilmenge mit mehr als einem Punkt hat.

Triviale Topologie: Die triviale Topologie (oder homogene Topologie) auf einem Satz X bestehen aus genau dem leeren Satz und dem kompletten Raum X.

Tychonoff: Ein Raum von Tychonoff (oder völlig regelmäßiger Raum von Hausdorff, völlig T Raum, T Raum) sind ein völlig regelmäßiger T Raum. (Ein völlig regelmäßiger Raum ist Hausdorff, wenn, und nur wenn es T ist, so entspricht die Fachsprache.) Jeder Raum von Tychonoff ist regelmäßiger Hausdorff.

U

Ultraverbunden: Ein Raum wird ultraverbunden, wenn keine zwei nichtleeren geschlossenen Sätze zusammenhanglos sind. Jeder ultraverbundene Raum ist Pfad-verbunden.

Ultrametrisch: Ein metrischer ist ein ultrametrischer, wenn es die folgende stärkere Version der Dreieck-Ungleichheit befriedigt: für den ganzen x, y, z in der M, d (x, z)  max (d (x, y), d (y, z)).

Gleichförmiger Isomorphismus: Wenn X und Y gleichförmige Räume sind, ist ein gleichförmiger Isomorphismus von X bis Y eine bijektive Funktion f: X  Y solch, dass f und f gleichförmig dauernd sind. Wie man dann sagt, sind die Räume gleichförmig isomorph und teilen dieselben gleichförmigen Eigenschaften.

Uniformizable/Uniformisable: Ein Raum ist uniformizable, wenn es homeomorphic zu einem gleichförmigen Raum ist.

Gleichförmiger Raum: Ein gleichförmiger Raum ist ein Satz U ausgestattet mit einer nichtleeren Sammlung Φ Teilmengen des Kartesianischen Produktes X × X Zufriedenheit der folgenden Axiome:

:#, wenn U in Φ ist, dann enthält U {(x, x) | x in X}.

:#, wenn U in Φ ist, dann {(y, x) | (x, y) in U} ist auch in Φ\

:#, wenn U in Φ und V ist, ist eine Teilmenge X × X, der U, dann V enthält, ist in Φ\

:#, wenn U und V in Φ sind, dann ist U  V in Φ\

:#, wenn U in Φ ist, dann dort besteht V in solchem Φ, dass, wann auch immer (x, y) und (y, z) in V, dann sind (x, z) in U ist.

:The-Elemente von Φ werden Umgebungen genannt, und Φ selbst wird eine gleichförmige Struktur auf U genannt.

Gleichförmige Struktur: Sieh Gleichförmigen Raum.

W

Schwache Topologie: Die schwache Topologie auf einem Satz, in Bezug auf eine Sammlung von Funktionen von diesem Satz in topologische Räume, ist die rauste Topologie auf dem Satz, der alle Funktionen dauernd macht.

Schwächere Topologie: Sieh Rauere Topologie. Hüten Sie sich, einige Autoren, besonders Analytiker, gebrauchen den Begriff stärkere Topologie.

Schwach zählbar kompakt: Ein Raum ist schwach zählbar kompakt (oder Grenze weisen kompakt hin), wenn jede unendliche Teilmenge einen Grenze-Punkt hat.

Schwach erblich: Wie man sagt, ist ein Eigentum von Räumen wenn schwach erblich, wann auch immer ein Raum dieses Eigentum, dann so jeder geschlossene Subraum davon hat. Zum Beispiel sind Kompaktheit und das Eigentum von Lindelöf beide schwach erbliche Eigenschaften, obwohl keiner erblich ist.

Gewicht: Das Gewicht eines Raums X ist die kleinste Grundzahl κ solch, dass X eine Basis von grundsätzlichem κ hat. (Bemerken Sie, dass solch eine Grundzahl besteht, weil die komplette Topologie eine Basis bildet, und weil die Klasse von Grundzahlen gut bestellt wird.)

Mit guten Beziehungen: Sieh Ultraverbunden. (Einige Autoren gebrauchen diesen Begriff ausschließlich für ultraverbundene Kompakträume.)

Z

Nulldimensional: Ein Raum ist nulldimensional, wenn er eine Basis von Clopen-Sätzen hat.

Links

• Ein Wörterverzeichnis von Definitionen in der Topologie