Vektor-Rechnung (oder Vektor-Analyse) ist ein Zweig der Mathematik, die mit der Unterscheidung und Integration von Vektorfeldern in erster Linie in 3 dimensionalem Euklidischem Raum betroffen ist, Der Begriff "Vektor--Rechnung" wird manchmal als ein Synonym für das breitere Thema der mehrvariablen Rechnung gebraucht, die Vektor-Rechnung sowie teilweise Unterscheidung und vielfache Integration einschließt. Vektor-Rechnung spielt eine wichtige Rolle in der Differenzialgeometrie und in der Studie von teilweisen Differenzialgleichungen. Es wird umfassend in der Physik und Technik besonders in der Beschreibung von verwendet

elektromagnetische Felder, Schwerefelder und Flüssigkeitsströmung.

Vektor-Rechnung wurde von der quaternion Analyse von J. Willard Gibbs und Oliver Heaviside in der Nähe vom Ende des 19. Jahrhunderts entwickelt, und der grösste Teil der Notation und Fachsprache wurde von Gibbs und Edwin Bidwell Wilson in ihrem 1901-Buch, Vektor-Analyse gegründet. In der herkömmlichen Form mit Kreuzprodukten verallgemeinert Vektor-Rechnung zu höheren Dimensionen nicht, während die alternative Annäherung der geometrischen Algebra, die Außenprodukte verwendet, wirklich, wie besprochen, unten verallgemeinert.

Grundlegende Gegenstände

Die grundlegenden Gegenstände in der Vektor-Rechnung sind Skalarfelder (skalargeschätzte Funktionen) und Vektorfelder (Vektor-geschätzte Funktionen). Diese werden dann verbunden oder unter verschiedenen Operationen umgestaltet und integriert. In fortgeschritteneren Behandlungen, eine unterscheidet weiter Pseudovektor-Felder und Pseudoskalarfelder, die zu Vektorfeldern und Skalarfeldern identisch sind, außer dass sie Zeichen laut einer Orientierung umkehrenden Karte ändern: Zum Beispiel ist die Locke eines Vektorfeldes ein Pseudovektor-Feld, und wenn man ein Vektorfeld, die Locke-Punkte in der entgegengesetzten Richtung widerspiegelt. Diese Unterscheidung wird geklärt und in der geometrischen Algebra, wie beschrieben, unten sorgfältig ausgearbeitet.

Vektor-Operationen

Algebraische Operationen

Die grundlegenden algebraischen (nichtunterschiedlichen) Operationen in der Vektor-Rechnung werden Vektor-Algebra genannt, für einen Vektorraum und dann allgemein angewandt auf ein Vektorfeld definiert werden, und bestehen aus:

Skalarmultiplikation: Multiplikation eines Skalarfeldes und eines Vektorfeldes, ein Vektorfeld nachgebend:;

Vektor-Hinzufügung: Hinzufügung von zwei Vektorfeldern, ein Vektorfeld nachgebend:;

Punktprodukt: Multiplikation von zwei Vektorfeldern, ein Skalarfeld nachgebend:;

Kreuzprodukt: Multiplikation von zwei Vektorfeldern, ein Vektorfeld nachgebend:;

Es gibt auch zwei dreifache Produkte:

Skalar verdreifacht Produkt: das Punktprodukt eines Vektoren und ein Kreuzprodukt von zwei Vektoren:;

Vektor dreifaches Produkt: das Kreuzprodukt eines Vektoren und ein Kreuzprodukt von zwei Vektoren: oder;

obwohl diese weniger verwendet werden - weil sie mit dem Punkt und den Kreuzprodukten bewertet werden können.

Differenzialoperationen

Vektor-Rechnung studiert verschiedene Differenzialoperatoren, die auf dem Skalar oder den Vektorfeldern definiert sind, die normalerweise in Bezug auf den del Maschinenbediener ausgedrückt werden. Die vier wichtigsten Differenzialoperationen in der Vektor-Rechnung sind:

wo sich die Locke und Abschweifung unterscheiden, weil der ehemalige Gebrauch ein Kreuzprodukt und die Letzteren ein Punktprodukt und f zeigen ein Skalarfeld und F an, ein Vektorfeld anzeigt. Eine Menge hat gerufen Jacobian ist nützlich, um Funktionen zu studieren, wenn sowohl das Gebiet als auch die Reihe der Funktion wie eine Änderung von Variablen während der Integration mehrvariabel sind.

Lehrsätze

Ebenfalls gibt es mehrere wichtige Lehrsätze, die mit diesen Maschinenbedienern verbunden sind, die den Hauptsatz der Rechnung zu höheren Dimensionen verallgemeinern:

Generalisationen

Verschiedene 3 Sammelleitungen

Vektor-Rechnung wird für den 3-Räume-Euklidischen am Anfang definiert, der zusätzliche Struktur hat außer, einfach ein 3-dimensionaler echter Vektorraum nämlich zu sein: Ein Skalarprodukt (das Punktprodukt), der einen Begriff der Länge gibt (und angeln folglich), und eine Orientierung, die einen Begriff von linkshändigen und rechtshändigen gibt. Diese Strukturen verursachen eine Volumen-Form und auch das Kreuzprodukt, das durchdringend in der Vektor-Rechnung verwendet wird.

Der Anstieg und die Abschweifung verlangen nur das Skalarprodukt, während die Locke und das Kreuzprodukt auch verlangen, dass die Händigkeit des Koordinatensystems in Betracht gezogen wird (sieh Kreuzprodukt und Händigkeit für mehr Detail).

Vektor-Rechnung kann auf anderen 3-dimensionalen echten Vektorräumen definiert werden, wenn sie ein Skalarprodukt (oder mehr allgemein eine symmetrische nichtdegenerierte Form) und eine Orientierung haben; bemerken Sie, dass das weniger Daten ist als ein Isomorphismus zum Euklidischen Raum, weil man eine Reihe von Koordinaten nicht verlangt (ein Bezugssystem), der die Tatsache widerspiegelt, dass Vektor-Rechnung invariant unter Folgen (die spezielle orthogonale Gruppe SO (3)) ist.

Mehr allgemein kann Vektor-Rechnung auf jeder 3-dimensionalen orientierten Sammelleitung von Riemannian, oder mehr allgemein pseudo-Riemannian Sammelleitung definiert werden. Diese Struktur bedeutet einfach, dass der Tangente-Raum an jedem Punkt ein Skalarprodukt (mehr allgemein, eine symmetrische nichtdegenerierte Form) und eine Orientierung, oder mehr allgemein hat, dass es einen symmetrischen nichtdegenerierten metrischen Tensor und eine Orientierung gibt und arbeitet, weil Vektor-Rechnung in Bezug auf Tangente-Vektoren an jedem Punkt definiert wird.

Andere Dimensionen

Die meisten analytischen Ergebnisse werden in einer allgemeineren Form mit der Maschinerie der Differenzialgeometrie leicht verstanden, deren Vektor-Rechnung eine Teilmenge bildet. Student im Aufbaustudium und div verallgemeinern sofort zu anderen Dimensionen, wie den Anstieg-Lehrsatz, Abschweifungslehrsatz und Laplacian tun (harmonische Analyse nachgebend), während Locke und Kreuzprodukt als direkt nicht verallgemeinern.

Aus einem allgemeinen Gesichtspunkt werden die verschiedenen Felder in (der 3-dimensionalen) Vektor-Rechnung gleichförmig gesehen als, K-Vektorfelder zu sein: Skalarfelder sind 0 Vektorfelder, Vektorfelder sind 1 Vektorfelder, Pseudovektor-Felder sind 2 Vektorfelder, und Pseudoskalarfelder sind 3 Vektorfelder. In höheren Dimensionen gibt es zusätzliche Typen von Feldern (Skalar/Vektor/Pseudovektor/Pseudoskalar entsprechend 0/1/n−1/n Dimensionen, der in der Dimension 3 erschöpfend ist), so kann man nicht mit (pseudo)-Skalaren und (pseudo)-Vektoren nur arbeiten.

In jeder Dimension, eine nichtdegenerierte Form annehmend, ist der Student im Aufbaustudium einer Skalarfunktion ein Vektorfeld, und div eines Vektorfeldes ist eine Skalarfunktion, aber nur in der Dimension 3 und 7http://www.springerlink.com/content/r3p3602pq2t10036/ (und, trivial, Dimension 0) ist die Locke eines Vektorfeldes ein Vektorfeld, und nur in 3 oder 7 Dimensionen kann ein Kreuzprodukt definiert werden (verlangen Generalisationen in anderem dimensionalities entweder, dass Vektoren 1 Vektoren nachgeben, oder sind alternative Lüge-Algebra, die allgemeinere antisymmetrische bilineare Produkte sind). Die Generalisation des Studenten im Aufbaustudium und div, und wie Locke verallgemeinert werden kann, wird an der Locke sorgfältig ausgearbeitet: Generalisationen; kurz gesagt die Locke eines Vektorfeldes ist ein bivector Feld, das als die spezielle orthogonale Lüge-Algebra von unendlich kleinen Folgen interpretiert werden kann; jedoch kann das nicht mit einem Vektorfeld identifiziert werden, weil sich die Dimensionen unterscheiden - gibt es 3 Dimensionen von Folgen in 3 Dimensionen, aber 6 Dimensionen von Folgen in 4 Dimensionen (und mehr allgemein Dimensionen von Folgen in n Dimensionen).

Es gibt zwei wichtige alternative Generalisationen der Vektor-Rechnung. Die erste, geometrische Algebra, Gebrauch-K-Vektorfelder statt Vektorfelder (in 3 oder weniger Dimensionen, kann jedes K-Vektorfeld mit einer Skalarfunktion oder Vektorfeld identifiziert werden, aber das ist in höheren Dimensionen nicht wahr). Das ersetzt das Kreuzprodukt, das zu 3 Dimensionen spezifisch ist, in zwei Vektorfeldern nehmend und als Produktion ein Vektorfeld mit dem Außenprodukt gebend, das in allen Dimensionen besteht und in zwei Vektorfeldern nimmt, als Produktion einem bivector (2-Vektoren-)-Feld gebend. Dieses Produkt gibt Algebra von Clifford als die algebraische Struktur auf Vektorräumen (mit einer Orientierung und nichtdegenerierter Form) nach. Geometrische Algebra wird größtenteils in Generalisationen der Physik und anderen angewandten Felder zu höheren Dimensionen verwendet.

Die zweite Generalisation verwendet Differenzialformen (k-covector Felder) statt Vektorfelder oder K-Vektorfelder, und wird in der Mathematik, besonders in der Differenzialgeometrie, geometrischen Topologie und harmonischen Analyse in der besonderen tragenden Theorie von Hodge über orientierte Pseudo-Riemannian-Sammelleitungen weit verwendet. Aus diesem Gesichtspunkt entsprechen Student im Aufbaustudium, Locke und div der Außenableitung von 0 Formen, 1 Formen und 2 Formen beziehungsweise, und die Schlüssellehrsätze der Vektor-Rechnung sind alle speziellen Fälle der allgemeinen Form des Lehrsatzes von Stokes.

Aus dem Gesichtswinkel von beiden dieser Generalisationen identifiziert Vektor-Rechnung implizit mathematisch verschiedene Gegenstände, der die Präsentation einfacher, aber die zu Grunde liegende mathematische Struktur und weniger klaren Generalisationen macht.

Aus dem Gesichtswinkel von der geometrischen Algebra identifiziert Vektor-Rechnung implizit K-Vektorfelder mit Vektorfeldern oder Skalarfunktionen: 0 Vektoren und 3 Vektoren mit Skalaren, 1 Vektoren und 2 Vektoren mit Vektoren. Aus dem Gesichtswinkel von Differenzialformen identifiziert Vektor-Rechnung implizit K-Formen mit Skalarfeldern oder Vektorfeldern: 0 Formen und 3 Formen mit Skalarfeldern, 1 Formen und 2 Formen mit Vektorfeldern. So zum Beispiel nimmt die Locke natürlich als Eingang ein Vektorfeld, aber hat natürlich als Produktion ein 2 Vektorfeld oder 2-Formen-(folglich Pseudovektor-Feld), der dann als ein Vektorfeld interpretiert wird, anstatt ein Vektorfeld in ein Vektorfeld direkt zu bringen; das wird in der Locke eines Vektorfeldes in höheren Dimensionen widerspiegelt, die nicht als Produktion ein Vektorfeld haben.

Siehe auch

• Vektor-Rechnungsidentität
• Del in zylindrischen und kugelförmigen Koordinaten
• Richtungsableitung
• Rotationsfreies Vektorfeld
• Vektorfeld von Solenoidal
• Vektorfeld von Laplacian
• Zergliederung von Helmholtz
• Orthogonale Koordinaten
• Verdrehen Sie Koordinaten
• Krummlinige Koordinaten
• Tensor

Referenzen

• Es gibt auch das Perp-Punktprodukt, das im Wesentlichen das Punktprodukt von zwei Vektoren, einem Vektoren ist, der durch π/2 rads, gleichwertig der Umfang des Kreuzproduktes rotieren gelassen ist:

:

:where θ ist der eingeschlossene Winkel zwischen v und v. Es wird selten verwendet, seit dem Punkt und Kreuzprodukt vereinigen beide es.

• Chen-zu Tai (1995). Eine historische Studie der Vektor-Analyse. Technischer Bericht RL 915, Strahlenlaboratorium, Universität Michigans.

Links

• Vektor-Rechnungsvideovorträge von der Universität von New South Wales auf der akademischen Erde
• Ein Überblick über den unpassenden Gebrauch von  in der Vektor-Analyse (1994) Tai, Chen
• Die Erweiterung der Vektor-Analyse zu einem schiefen Koordinatensystem
• Vektor-Analyse: Ein Lehrbuch für den Gebrauch von Studenten der Mathematik und Physik, (gestützt auf den Vorträgen von Willard Gibbs) durch Edwin Bidwell Wilson, hat 1902 veröffentlicht.
• Frühster bekannter Gebrauch von einigen der Wörter der Mathematik: Vektor-Analyse