In der Mathematik stellt der gut bestellende Lehrsatz fest, dass jeder Satz gut bestellt werden kann. Ein Satz X wird durch einen strengen Gesamtbezug gut bestellt, wenn jede nichtleere Teilmenge X kleinstes Element unter der Einrichtung hat. Das ist auch bekannt als der Lehrsatz von Zermelo und ist zum Axiom der Wahl gleichwertig. Ernst Zermelo hat das Axiom der Wahl als ein "einwandfreier logischer Grundsatz" eingeführt, um den gut bestellenden Lehrsatz zu beweisen. Das ist wichtig, weil es jeden Satz empfindlich gegen die starke Technik der transfiniten Induktion macht. Der gut bestellende Lehrsatz hat Folgen, die paradox wie das Paradox von Banach-Tarski scheinen können.

Geschichte

Georg Cantor hat gedacht, dass der gut bestellende Lehrsatz ein "grundsätzlicher Grundsatz des Gedankens war." Die meisten Mathematiker finden es jedoch schwierig, sich einen gut bestellenden von, zum Beispiel, der Satz R reeller Zahlen zu vergegenwärtigen. 1904 hat Gyula Kőnig behauptet, bewiesen zu haben, dass solch ein gut bestellendes nicht bestehen kann. Ein paar Wochen später aber hat Felix Hausdorff einen Fehler im Beweis gefunden. Es hat sich aber herausgestellt, dass der gut bestellende Lehrsatz zum Axiom der Wahl im Sinn gleichwertig ist, dass jeder zusammen mit den Zermelo-Fraenkel Axiomen genügend ist, den anderen in der ersten Ordnungslogik zu beweisen. (Dasselbe gilt für das Lemma von Zorn.) In der zweiten Ordnungslogik, jedoch, ist der gut bestellende Lehrsatz ausschließlich stärker als das Axiom der Wahl: Vom gut bestellenden Lehrsatz kann man das Axiom der Wahl ableiten, aber vom Axiom der Wahl kann man nicht den gut bestellenden Lehrsatz ableiten.

Erklärung und Skizze des Beweises

Für jeden Satz X, dort besteht eine gut Einrichtung mit dem Gebiet X.

Der gut Einrichtungslehrsatz folgt leicht vom Lemma von Zorn. Nehmen Sie den Satz aller gut Einrichtung von Teilmengen X: Ein Element von A ist ein befohlenes Paar (a, b), wo einer Teilmenge X und b zu sein, eine gut Einrichtung von a ist. Eine Dose, durch die Verlängerung teilweise bestellt werden. Das bedeutet, definieren Sie E  F, wenn E ein anfängliches Segment von F ist und die Einrichtung der Mitglieder in E dasselbe als ihre Einrichtung in F ist. Wenn E eine Kette in A ist, dann kann der Vereinigung der Sätze in E in einem Weg befohlen werden, der es eine Verlängerung jedes Satzes in E macht; diese Einrichtung ist eine gut Einrichtung, und deshalb, ein oberer, der E in A gebunden ist. Wir können deshalb das Lemma von Zorn anwenden, um zu beschließen, dass A ein maximales Element hat, sagen Sie (M, R). Die Satz-M muss X, weil gleich sein, wenn X ein Element x nicht in der M hat, dann hat der Satz M  {x} eine gut Einrichtung, die auf R auf der M einschränkt, und für den x größer ist als alle Elemente der M. Dieser gut bestellte Satz ist eine Verlängerung (M, R), seinem maximality, deshalb M = X widersprechend. Jetzt ist R eine gut Einrichtung X.

Das Axiom der Wahl kann vom gut Einrichtungslehrsatz wie folgt bewiesen werden. Um eine Wahl für eine Sammlung von nichtleeren Sätzen, E fungieren zu lassen, nehmen die Vereinigung der Sätze in E und nennen es X. Dort besteht eine gut Einrichtung X; lassen Sie R solch eine Einrichtung sein. Die Funktion, die zu jedem Satz S E das kleinste Element von S, wie bestellt, durch (die Beschränkung zu S) R vereinigt, ist eine auserlesene Funktion für die Sammlung E. Ein wesentlicher Punkt dieses Beweises ist, dass er nur eine einzelne willkürliche Wahl, das R einschließt; die Verwendung des gut Einrichtungslehrsatzes jedem Mitglied S von E würde getrennt nicht arbeiten, da der Lehrsatz nur die Existenz einer gut Einrichtung und Auswahl für jeden S behauptet, würde eine gut Einrichtung nicht leichter sein als Auswahl eines Elements.

Siehe auch

• Gut bestellender Grundsatz

Referenzen