In der Mathematik, besonders im Gebiet der abstrakten als kombinatorische Gruppentheorie bekannten Algebra, ist das Wortproblem für eine begrenzt erzeugte Gruppe G das algorithmische Problem des Entscheidens, ob zwei Wörter in den Generatoren dasselbe Element vertreten. Genauer, wenn A ein begrenzter Satz von Generatoren für G dann ist, ist das Wortproblem das Mitgliedschaft-Problem für die formelle Sprache aller Wörter in A und einem formellen Satz von Gegenteilen, die zur Identität laut der natürlichen Karte vom freien monoid mit der Involution auf zur Gruppe G kartografisch darstellen. Wenn B ein anderer begrenzter Erzeugen-Satz für G ist, dann ist das Wortproblem über das Erzeugen untergegangen B ist zum Wortproblem über den Erzeugen-Satz-A gleichwertig. So kann man eindeutig von der Entscheidbarkeit des Wortproblems für die begrenzt erzeugte Gruppe G. sprechen

Das zusammenhängende, aber verschiedene gleichförmige Wortproblem für eine Klasse K rekursiv präsentierter Gruppen ist das algorithmische Problem des Entscheidens, das als Eingang eine Präsentation P für eine Gruppe G in der Klasse K und den zwei Wörtern in den Generatoren von G gegeben ist, ob die Wörter dasselbe Element von G vertreten. Einige Autoren verlangen, dass die Klasse K durch rekursiv enumerable Satz von Präsentationen definierbar ist.

Geschichte

Überall in der Geschichte des Themas ist die Berechnung in Gruppen mit verschiedenen normalen Formen ausgeführt worden. Diese beheben gewöhnlich implizit das Wortproblem für die fraglichen Gruppen. 1911 hat Max Dehn vorgeschlagen, dass das Wortproblem ein wichtiges Gebiet der Studie in seinem eigenen Recht, zusammen mit dem conjugacy Problem und dem Gruppenisomorphismus-Problem war. 1912 hat er einen Algorithmus gegeben, der sowohl das Wort als auch conjugacy Problem für die grundsätzlichen Gruppen von geschlossenen orientable zweidimensionalen Sammelleitungen der Klasse größer oder gleich 2 löst. Nachfolgende Autoren haben den Algorithmus von Dehn außerordentlich erweitert und ihn auf eine breite Reihe der Gruppe theoretische Entscheidungsprobleme angewandt.

Es wurde von Pyotr Novikov 1955 gezeigt, dass dort begrenzt erzeugt (tatsächlich, begrenzt präsentiert) Gruppe G solch besteht, dass das Wortproblem für G unentscheidbar ist. Es folgt sofort, dass das gleichförmige Wortproblem auch unentscheidbar ist. Ein verschiedener Beweis wurde von Boone 1958 erhalten.

Das Wortproblem war eines der ersten Beispiele eines unlösbaren Problems, das nicht in der mathematischen Logik oder der Theorie von Algorithmen, aber in einem der Hauptzweige der klassischen Mathematik, Algebra zu finden ist. Infolge seiner Unlösbarkeit, wie man gezeigt hat, sind mehrere andere Probleme in der kombinatorischen Gruppentheorie ebenso unlösbar gewesen.

Es ist wichtig zu begreifen, dass das Wortproblem tatsächlich für viele Gruppen G lösbar ist. Zum Beispiel haben polyzyklische Gruppen lösbare Wortprobleme, da die normale Form eines willkürlichen Wortes in einer polyzyklischen Präsentation sogleich berechenbar ist; andere Algorithmen für Gruppen können in passenden Verhältnissen, auch das Wortproblem beheben, den Algorithmus von Todd-Coxeter und den Knuth-Bendix Vollziehungsalgorithmus sehen. Andererseits zeigt die Tatsache, dass ein besonderer Algorithmus das Wortproblem für eine besondere Gruppe nicht behebt, nicht, dass die Gruppe unlösbares Wortproblem hat. Zum Beispiel behebt der Algorithmus von Dehn das Wortproblem für die grundsätzliche Gruppe des Rings nicht. Jedoch ist diese Gruppe das direkte Produkt von zwei unendlichen zyklischen Gruppen und hat so lösbares Wortproblem.

Eine konkretere Beschreibung

In konkreteren Begriffen kann das gleichförmige Wortproblem als eine Neuschreiben-Frage für wörtliche Schnuren ausgedrückt werden. Für eine Präsentation P einer Gruppe G wird P eine bestimmte Anzahl von Generatoren angeben

:x, y, z...

für G. Wir müssen einen Brief für x und einen anderen (für die Bequemlichkeit) für das durch x vertretene Gruppenelement einführen. Nennen Sie diese Briefe (doppelt so viele als die Generatoren) das Alphabet A für unser Problem. Dann wird jedes Element in G irgendwie durch ein Produkt vertreten

:abc... pqr

Symbole von A, etwas Länge, die in G multipliziert ist. Die Schnur der Länge 0 (ungültige Schnur) tritt für das Identitätselement e G ein. Der Kernpunkt des ganzen Problems soll im Stande sein zu erkennen, dass alle Wege e vertreten, einige Beziehungen gegeben werden können.

Die Wirkung der Beziehungen in G soll verschieden machen solche Schnuren vertreten dasselbe Element von G. Tatsächlich stellen die Beziehungen eine Liste von Schnuren zur Verfügung, die entweder eingeführt werden können, wo wir, oder annulliert wollen, wann auch immer wir sie sehen, ohne den 'Wert', d. h. das Gruppenelement zu ändern, das das Ergebnis der Multiplikation ist.

Für ein einfaches Beispiel, nehmen Sie die Präsentation xyx . y für das Gegenteil von x schreibend, haben wir mögliche Schnuren, die jede Zahl von x und y Symbolen verbinden. Wann auch immer wir xxx, oder xy oder yx sehen, können wir diese ausstreichen. Wir sollten uns auch merken, yyy zu streichen; das sagt, dass da der Würfel von x das Identitätselement von G ist, auch ist der Würfel des Gegenteils von x. Unter diesen Bedingungen wird das Wortproblem leicht. Reduzieren Sie zuerst Schnuren auf e, x, xx, y oder yy. Dann bemerken Sie, dass wir auch durch xxx multiplizieren können, so können wir yy zu x umwandeln. Das Ergebnis besteht darin, dass wir beweisen können, dass das Wortproblem hier, weil, was die zyklische Gruppe der Ordnung drei ist, lösbar ist.

Das ist nicht, jedoch, der typische Fall. Für das Beispiel haben wir eine kanonische verfügbare Form, der jede Schnur auf eine der Länge höchstens drei, durch das Verringern der Länge monotonically reduziert. Im Allgemeinen ist es nicht wahr, dass man eine kanonische Form für die Elemente durch die schrittweise Annullierung bekommen kann. Man kann Beziehungen verwenden müssen, um eine Schnur-Vielfalte auszubreiten, um schließlich eine Annullierung zu finden, die das Länge-Recht herunterbringt.

Das Ergebnis ist im Grenzfall, dass die Beziehung zwischen Schnuren, die sagt, dass sie in G gleich sind, ist nicht entscheidbar.

Beispiele

Die folgenden Gruppen haben ein lösbares Wortproblem:

• Automatische Gruppen, einschließlich:
• Begrenzte Gruppen
• Polyzyklische Gruppen
• Negativ gebogene Gruppen
• Euklidische Gruppen
• Gruppen von Coxeter
• Flechte-Gruppen
• Geometrisch begrenzte Gruppen
• Begrenzt erzeugte rekursiv absolut präsentierte Gruppen, einschließlich:
• Begrenzt präsentierte einfache Gruppen.
• Begrenzt präsentierte restlich begrenzte Gruppen
• Relator Gruppen (ist das ein Lehrsatz von Magnus), einschließlich:
• Grundsätzliche Gruppen von geschlossenen orientable zweidimensionalen Sammelleitungen.
• Gruppen von Combable

Beispiele mit unlösbaren Wortproblemen sind auch bekannt:

• Gegeben rekursiv gehen enumerable von positiven ganzen Zahlen unter, der unlösliches Mitgliedschaft-Problem, a, b, c, d aba = cdc hat: n  Ein  ist eine begrenzt erzeugte Gruppe mit rekursiv enumerable Präsentation, deren Wortproblem unlöslicher ist
• Jede begrenzt erzeugte Gruppe mit rekursiv enumerable Präsentation und unlösliches Wortproblem ist eine Untergruppe einer begrenzt gebotenen Gruppe mit dem unlöslichen Wortproblem
• Die Zahl von relators in einer begrenzt gebotenen Gruppe mit dem unlöslichen Wortproblem kann mindestens 14 durch oder sogar 12 durch sein.
• Ein ausführliches Beispiel einer angemessenen kurzen Präsentation mit dem unlöslichen Wortproblem wird eingereicht:

:

&p^ {10} = AFP, &pacqr = rpcaq, &ra=ar, &\\\

&p^ {10} b = bp, &p^2adq^2r = rp^2daq^2, &rb=br, &\\\

&p^ {10} c = Bedienungsfeld, &p^3bcq^3r = rp^3cbq^3, &rc=cr, &\\\

&p^ {10} d = dp, &p^4bdq^4r = rp^4dbq^4, &rd=dr, &\\\

&p^ {10} e = ep, &p^5ceq^5r = rp^5ecaq^5, &re=er, &\\\

&aq^ {10} = qa, &p^6deq^6r = rp^6edbq^6, &pt=tp, &\\\

&bq^ {10} = qb, &p^7cdcq^7r = rp^7cdceq^7, &qt=tq, &\\\

&cq^ {10} = qc, &p^8ca^3q^8r = rp^8a^3q^8, && \\

&dq^ {10} = qd, &p^9da^3q^9r = rp^9a^3q^9, && \\

&eq^ {10} = qe, &a^ {-3} ta^3k = ka^ {-3} ta^3 && \rangle \end {Reihe} </Mathematik>

Teilweise Lösung des Wortproblems

Das Wortproblem für eine rekursiv präsentierte Gruppe kann im folgenden Sinn teilweise behoben werden:

:: In Anbetracht einer rekursiven Präsentation P = XR  für eine Gruppe G, definieren Sie:

:::

:: dann gibt es eine teilweise rekursive Funktion f solch dass:

:::

\left\{\\beginnen {Matrix}

0 &\\mbox {wenn }\\\langle u, v \rangle \in S \\

\mbox {unbestimmt / nicht halten }\\&\\mbox {wenn }\\\langle u, v \rangle \notin S

\end {Matrix-}\\Recht. </math>

Mehr informell gibt es einen Algorithmus, der hinkt, wenn u=v, aber so sonst nicht tut.

Hieraus folgt dass man das Wortproblem für P behebt, ist es genügend, eine rekursive Funktion g solch dass zu bauen:

::

\left\{\\beginnen {Matrix}

0 &\\mbox {wenn }\\\langle u, v \rangle \notin S \\

\mbox {unbestimmt / nicht halten }\\&\\mbox {wenn }\\\langle u, v \rangle \in S

\end {Matrix-}\\Recht. </math>

Jedoch u=v in G wenn und nur wenn uv=1 in G. Hieraus folgt dass man das Wortproblem für P behebt, ist es genügend, eine rekursive Funktion h solch dass zu bauen:

::\left\{\\beginnen {Matrix}

0 &\\mbox {wenn }\\x\neq1\\mbox {in }\\G \\

\mbox {unbestimmt / nicht halten }\\&\\mbox {wenn }\\x=1\\mbox {in }\\G

\end {Matrix-}\\Recht. </math>

Beispiel

Der folgende wird als ein Beispiel des Gebrauches dieser Technik bewiesen:

:: Lehrsatz: Eine begrenzt präsentierte restlich begrenzte Gruppe hat lösbares Wortproblem.

Beweis: Nehmen Sie An, dass G = HR  eine begrenzt präsentierte, restlich begrenzte Gruppe ist.

Lassen Sie S die Gruppe aller Versetzungen von N, den natürlichen Zahlen sein, der alle, aber begrenzt viele Zahlen dann befestigt:

1. S ist lokal begrenzt und enthält eine Kopie jeder begrenzten Gruppe.
2. Das Wortproblem in S ist durch das Rechnen von Produkten von Versetzungen lösbar.
3. Es gibt eine rekursive Enumeration des ganzen mappings des begrenzten Satzes X in S.
4. Da G restlich begrenzt ist, wenn w ein Wort in den Generatoren X von G dann w  1 in G ist, wenn und nur einiger X in S kartografisch darzustellen, einen solchen Homomorphismus dass w  1 in S veranlasst.

In Anbetracht dieser Tatsachen hat Algorithmus durch den folgenden Pseudocode definiert:

:For X in S jeder kartografisch darzustellen

:: Wenn jeder relator in R in S zufrieden ist

::: Wenn w  1 in S

:::: geben Sie 0 zurück

::: Ende wenn

:: Ende wenn

:End für

definiert eine rekursive Funktion h solch dass:

::\left\{\\beginnen {Matrix}

0 &\\mbox {wenn }\\x\neq 1\\mbox {in }\\G \\

\mbox {unbestimmt / nicht halten }\\&\\mbox {wenn }\\x=1\\mbox {in }\\G

\end {Matrix-}\\Recht. </Mathematik>

Das zeigt, dass G lösbares Wortproblem hat.

Unlösbarkeit des gleichförmigen Wortproblems

Das Kriterium, das oben für die Lösbarkeit des Wortproblems in einer einzelnen Gruppe gegeben ist, kann zu einem Kriterium für die gleichförmige Lösbarkeit des Wortproblems für eine Klasse begrenzt präsentierter Gruppen durch ein aufrichtiges Argument erweitert werden. Das Ergebnis ist:

:: Um das gleichförmige Wortproblem für eine Klasse K von Gruppen zu beheben, ist es genügend, eine rekursive Funktion f zu finden (P, w), der eine begrenzte Präsentation P für eine Gruppe G und ein Wort w in den Generatoren von solchem G dass wann auch immer in G  K nimmt:

:::\left\{\\beginnen {Matrix}

0 &\\mbox {wenn }\\w\neq1\\mbox {in }\\G \\

\mbox {unbestimmt / nicht halten }\\&\\mbox {wenn }\\w=1\\mbox {in }\\G

\end {Matrix-}\\Recht. </math>

:: Boone - Lehrsatz von Rogers: Es gibt keinen gleichförmigen teilweisen Algorithmus, der das Wortproblem in allen begrenzt gebotenen Gruppen mit dem lösbaren Wortproblem behebt.

Mit anderen Worten ist das gleichförmige Wortproblem für die Klasse aller begrenzt gebotenen Gruppen mit dem lösbaren Wortproblem unlösbar. Das hat einige interessante Folgen. Zum Beispiel kann Higman, der Lehrsatz einbettet, verwendet werden, um eine Gruppe zu bauen, die eine isomorphe Kopie jeder begrenzt gebotenen Gruppe mit dem lösbaren Wortproblem enthält. Es scheint natürlich zu fragen, ob diese Gruppe lösbares Wortproblem haben kann. Aber es ist eine Folge des Ergebnisses von Boone-Rogers dass:

:: Folgeerscheinung: Es gibt keine universale lösbare Wortproblem-Gruppe. D. h. wenn G eine begrenzt präsentierte Gruppe ist, die eine isomorphe Kopie jeder begrenzt gebotenen Gruppe mit dem lösbaren Wortproblem enthält, dann G selbst muss unlösbares Wortproblem haben.

Bemerkung: Nehmen Sie An, dass G = XR  eine begrenzt gebotene Gruppe mit dem lösbaren Wortproblem ist und H eine begrenzte Teilmenge G ist. Lassen Sie H = H , seien Sie die durch H erzeugte Gruppe. Dann ist das Wortproblem in H lösbar: In Anbetracht zwei Wörter schreiben h, k in den Generatoren H H, ihnen als Wörter in X und vergleichen sie, die Lösung des Wortproblems in G verwendend. Es ist leicht zu denken, dass das eine gleichförmige Lösung demonstriert, die das Wortproblem für die Klasse K von begrenzt erzeugten Gruppen (sagt), die in G eingebettet werden können. Wenn das der Fall wäre, würde das Nichtsein einer universalen lösbaren Wortproblem-Gruppe leicht von Boone-Rogers folgen. Jedoch ist Lösung, die gerade für das Wortproblem für Gruppen in K ausgestellt ist, nicht gleichförmig. Um das zu sehen, eine Gruppe J = YT   K denken, um das obengenannte Argument zu verwenden, um das Wortproblem in J zu beheben, ist es zuerst notwendig, einen kartografisch darstellenden e auszustellen: Y  G, der sich bis zu ein Einbetten e ausstreckt: J  G. Wenn es eine rekursive Funktion gab, die (begrenzt erzeugt) Präsentationen von Gruppen in K zu embeddings in G kartografisch dargestellt hat, dann konnte eine gleichförmige Lösung das Wortproblem in K tatsächlich gebaut werden. Aber es gibt keinen Grund im Allgemeinen anzunehmen, dass solch eine rekursive Funktion besteht. Jedoch stellt es sich heraus, dass, mit mehr sophisicated Argument, das Wortproblem in J behoben werden kann, ohne ein Einbetten e zu verwenden: J  G. Stattdessen wird eine Enumeration des Homomorphismus verwendet, und da solche Enumeration gleichförmig gebaut werden kann, läuft es auf eine gleichförmige Lösung des Wortproblems in K hinaus.

Beweis, dass es keine universale lösbare Wortproblem-Gruppe gibt

Nehmen Sie an, dass G eine universale lösbare Wortproblem-Gruppe waren. In Anbetracht einer begrenzten Präsentation P = XR  einer Gruppe H kann man den ganzen Homomorphismus h rekursiv aufzählen: H  G durch das erste Aufzählen des ganzen mappings h: X  G. Nicht alle diese mappings strecken sich bis zu den Homomorphismus, aber, seitdem h (R) aus, ist begrenzt, es ist möglich, zwischen dem Homomorphismus zu unterscheiden, und Nichthomomorphismus durch das Verwenden der Lösung des Wortproblems in G., der Nichthomomorphismus "Aussondert", gibt die erforderliche rekursive Enumeration: h, h..., h....

Wenn H lösbares Wortproblem hat, dann müssen mindestens ein von diesen Homomorphismus ein Einbetten sein. So in Anbetracht eines Wortes w in den Generatoren von H:

::::

Betrachten Sie den Algorithmus als beschrieben durch den Pseudocode:

:: Lassen Sie n=0

:: Lassen Sie repeat=TRUE

:: während (wiederholen sich == WAHR)

,

::: vergrößern Sie n um 1

::: wenn (offenbart die Lösung des Wortproblems in G h (w)  1 in G)

,

:::: Lassen Sie Wiederholung == FALSCHER

:: Produktion 0.

Das beschreibt eine rekursive Funktion:

::\left\{\\beginnen {Matrix}

0 &\\mbox {wenn }\\w\neq1\\mbox {in }\\H \\

\mbox {unbestimmt / nicht halten }\\&\\mbox {wenn }\\w=1\\mbox {in }\\H.

\end {Matrix-}\\Recht. </math>

Die Funktion f hängt klar von der Präsentation P ab. Es denkend, eine Funktion der zwei Variablen zu sein, ist eine rekursive Funktion f (P, w) gebaut worden, der eine begrenzte Präsentation P für eine Gruppe G und ein Wort w in den Generatoren von G solch das nimmt, wann auch immer G auflösbares Wortproblem hat:

::\left\{\\beginnen {Matrix}0 &\\mbox {wenn }\\w\neq1\\mbox {in }\\H \\\mbox {unbestimmt / nicht halten }\\&\\mbox {wenn }\\w=1\\mbox {in }\\H.\end {Matrix-}\\Recht. </math>

Aber das behebt gleichförmig das Wortproblem für die Klasse aller begrenzt gebotenen Gruppen mit dem lösbaren Wortproblem, das Boone-Rogers widerspricht. Dieser Widerspruch beweist, dass G nicht bestehen kann.

Algebraische Struktur und das Wortproblem

Es gibt mehrere Ergebnisse, die Lösbarkeit des Wortproblems und der algebraischen Struktur verbinden. Der bedeutendste von diesen ist der Lehrsatz von Boone-Higman:

:: Eine begrenzt präsentierte Gruppe hat lösbares Wortproblem, wenn, und nur wenn es in einer einfachen Gruppe eingebettet werden kann, die in einer begrenzt präsentierten Gruppe eingebettet werden kann.

Es wird weit geglaubt, dass es möglich sein sollte, den Aufbau zu tun, so dass die einfache Gruppe selbst begrenzt präsentiert wird. Wenn so man annehmen würde, dass es schwierig ist, sich zu erweisen, weil von Präsentationen bis einfache Gruppen kartografisch darzustellen, würde nichtrekursiv sein müssen.

Der folgende ist von Bernhard Neumann und Angus Macintyre bewiesen worden:

:: Eine begrenzt präsentierte Gruppe hat lösbares Wortproblem, wenn, und nur wenn es in jeder algebraisch geschlossenen Gruppe eingebettet werden kann

Was darüber bemerkenswert ist, ist, dass die algebraisch geschlossenen Gruppen so wild sind, dass keiner von ihnen eine rekursive Präsentation hat.

Das älteste Ergebnis, das algebraische Struktur mit der Lösbarkeit des Wortproblems verbindet, ist der Lehrsatz von Kuznetsov:

:: Eine rekursiv präsentierte einfache Gruppe S hat lösbares Wortproblem.

Um sich zu erweisen, hat das XR  eine rekursive Präsentation für S sein lassen. Wählen Sie einen  S solch dass ein  1 in S.

Wenn w ein Wort auf den Generatoren X von S, dann gelassen ist:

::

Es gibt eine rekursive solche Funktion dass:

::\left\{\\beginnen {Matrix}

0 &\\mbox {wenn }\\x=1\\mbox {in }\\S_w \\

\mbox {unbestimmt / nicht halten }\\&\\mbox {wenn }\\x\neq 1\\mbox {in }\\S_w.

\end {Matrix-}\\Recht. </math>

Schreiben Sie:

::

Dann, weil der Aufbau von f gleichförmig war, ist das eine rekursive Funktion von zwei Variablen.

Hieraus folgt dass: h (w) =g (w, a) ist rekursiv. Durch den Aufbau:

::

\left\{\\beginnen {Matrix-}\

0 &\\mbox {wenn }\\a=1\\mbox {in }\\S_w \\

\mbox {unbestimmt / nicht halten }\\&\\mbox {wenn }\\a\neq 1\\mbox {in }\\S_w.

\end {Matrix-}\\Recht. </math>

Da S eine einfache Gruppe ist, sind seine einzigen Quotient-Gruppen selbst und die triviale Gruppe. Seit einem  1 in S sehen wir = 1 in S, wenn, und nur wenn S wenn und nur wenn w  1 in S trivial ist. Deshalb:

::\left\{\\beginnen {Matrix-}\

0 &\\mbox {wenn }\\w\ne 1\\mbox {in }\\S \\

\mbox {unbestimmt / nicht halten }\\&\\mbox {wenn }\\w=1\\mbox {in }\\S.

\end {Matrix-}\\Recht. </math>

Die Existenz solch einer Funktion ist genügend, um zu beweisen, dass das Wortproblem für S lösbar ist.

Dieser Beweis beweist die Existenz eines gleichförmigen Algorithmus nicht, für das Wortproblem für diese Klasse von Gruppen zu beheben. Die Nichtgleichförmigkeit wohnt in der Auswahl eines nichttrivialen Elements der einfachen Gruppe. Es gibt keinen Grund anzunehmen, dass es eine rekursive Funktion gibt, die eine Präsentation einfache Gruppen zu einem nichttrivialen lement der Gruppe kartografisch darstellt. Jedoch im Fall von einer begrenzt präsentierten Gruppe wissen wir, dass nicht alle Generatoren trivial sein können (Jeder individuelle Generator, konnte natürlich sein). Mit dieser Tatsache ist es möglich, den Beweis zu modifizieren, um sich zu zeigen:

:The-Wortproblem ist für die Klasse begrenzt präsentierter einfacher Gruppen gleichförmig lösbar.

Siehe auch

• Combinatorics auf Wörtern
• SQ-universal Gruppe
• Wortproblem (Mathematik)

Zeichen

• W. W. Boone, F. B. Cannonito und R. C. Lyndon. Wortprobleme: Entscheidungsproblem in der Gruppentheorie. Die Niederlande: Nordholland. 1973.
• W. W. Boone und G. Higman, "Eine algebraische Charakterisierung der Lösbarkeit des Wortproblems", J. Südlich. Mathematik. Soc. 18, 41-53 (1974)
• W. W. Boone und H. Rogers der Jüngere. "Auf einem Problem von J. H. C. Whitehead und einem Problem der Kirche von Alonzo", Mathematik. Scand. 19, 185-192 (1966).'
• A. V. Kuznetsov, "Algorithmen als Operationen in algebraischen Systemen", Izvestia Akad. Nauk SSSR Ser Mat (1958)
• C. F. Miller. "Entscheidungsprobleme für Gruppen - Überblick und Nachdenken." In Algorithmen und Klassifikation in der Kombinatorischen Gruppentheorie, Seiten 1 — 60. Springer, 1991.
• J. Stillwell. "Das Wortproblem und das Isomorphismus-Problem für Gruppen." Meldung AMS 6 (1982), Seiten 33-56.