In der Zahlentheorie fragt das Problem von Waring, vorgeschlagen 1770 von Edward Waring, ob für jede natürliche Zahl k dort eine verbundene positive ganze Zahl s solch besteht, dass jede natürliche Zahl die Summe am grössten Teil von s k Mächte von natürlichen Zahlen ist (zum Beispiel, ist jede Zahl die Summe von höchstens 4 Quadraten, oder 9 Würfeln oder den 19 vierten Mächten, usw.). Die bejahende Antwort, die als der Lehrsatz von Hilbert-Waring bekannt ist, wurde von Hilbert 1909 zur Verfügung gestellt. Das Problem von Waring hat seine eigene Mathematik-Thema-Klassifikation, 11P05, "das Problem und Varianten von Waring."

Die Nummer g (k)

Für jeden k zeigen wir durch g (k) an die minimale Nummer s von k Mächten musste alle ganzen Zahlen vertreten. Bemerken Sie, dass wir g (1) = 1 haben. Etwas einfache Berechnung zeigt, dass 7 verlangt, dass 4 Quadrate, 23 verlangt, dass 9 Würfel, und 79 19 vierte Mächte verlangen; diese Beispiele zeigen dass g (2)  4, g (3)  9 und g (4)  19. Waring hat vermutet, dass diese Werte tatsächlich das bestmögliche waren.

Der quadratische Lehrsatz von Lagrange von 1770 Staaten, dass jede natürliche Zahl die Summe von höchstens vier Quadraten ist; da drei Quadrate nicht genug sind, gründet dieser Lehrsatz g (2) = 4. Der quadratische Lehrsatz von Lagrange wurde in der 1621-Ausgabe von Bachet von Diophantus vermutet; Fermat hat behauptet, einen Beweis zu haben, aber hat ihn nicht veröffentlicht.

Im Laufe der Jahre wurden verschiedene Grenzen mit immer hoch entwickelteren und komplizierten Probetechniken gegründet. Zum Beispiel hat Liouville gezeigt, dass g (4) höchstens 53 ist. Zäh und Littlewood hat gezeigt, dass die ganze genug große Anzahl die Summe von höchstens 19 vierten Mächten ist.

Das g (3) = 9 wurde von 1909 bis 1912 von Wieferich und A. J. Kempner, g (4) = 19 1986 von R. Balasubramanian, F gegründet. Kleid und J.-M. Deshouillers, g (5) = 37 1964 durch Chen Jingrun und g (6) = 73 1940 durch Pillai.

Lassen Sie [x], und {x} zeigen den integrierten und unbedeutenden Teil von x beziehungsweise an. Seitdem 2 [(3/2)]-1 können nur 2 und 1 verwendet werden, um diese Zahl zu vertreten, und die am meisten wirtschaftliche Darstellung verlangt [(3/2)]-1 2s und 2-1 1s, hieraus folgt dass g (k) mindestens so groß ist wie 2 + [(3/2)] − 2. J. A. Euler, der Sohn von Leonard Euler, hat 1772 dass, tatsächlich, g (k) = 2 + [(3/2)] &minus vermutet; 2. Spätere Arbeit von Dickson, Pillai, Rubugunday, haben Niven und viele andere das bewiesen

:g (k) = 2 + [(3/2)] − 2 wenn 2 {(3/2)} + [(3/2)]  2

:g (k) = 2 + [(3/2)] + [(4/3)] − 2 wenn 2 {(3/2)} + [(3/2)]> 2 und [(4/3)] [(3/2)] + [(4/3)] + [(3/2)] = 2

:g (k) = 2 + [(3/2)] + [(4/3)] − 3 wenn 2 {(3/2)} + [(3/2)]> 2 und [(4/3)] [(3/2)] + [(4/3)] + [(3/2)]> 2.

Keine Werte von k sind bekannt, für den 2 {(3/2)} + [(3/2)]> 2 Mahler bewiesen hat, dass es nur eine begrenzte Zahl solchen k und Kubina geben kann und Wunderlich gezeigt haben, dass jeder solcher k k> 471,600,000 befriedigen muss. So wird es vermutet, dass das nie, d. h. dass g (k) = 2 + [(3/2)] &minus geschieht; 2 für jede positive ganze Zahl k.

Die ersten paar Werte von g (k) sind:

: 1, 4, 9, 19, 37, 73, 143, 279, 548, 1079, 2132, 4223, 8384, 16673, 33203, 66190, 132055....

Die Nummer G (k)

Von der Arbeit von Hardy und Littlewood, der grundsätzlicher ist als g, hat sich (k) erwiesen, G (k) zu sein, der definiert wird, um die am wenigsten positive ganze Zahl s solch zu sein, dass jede genug große ganze Zahl (d. h. jede ganze Zahl, die größer ist als eine Konstante), als eine Summe am grössten Teil von s k Mächte von positiven ganzen Zahlen vertreten werden können. Da Quadrate zu 0, 1, oder 4 (mod 8), keine ganze Zahl kongruent sind, die zu 7 kongruent ist (mod 8) kann als eine Summe von drei Quadraten vertreten werden, dass G (2)  4 andeutend. Seitdem G (k)  g (k) für den ganzen k zeigt das dass G (2) = 4. Der Davenport hat gezeigt, dass G (4) = 16 1939, durch das Demonstrieren, dass jede genug hohe Zahl, die zu 1 bis 14 mod 16 kongruent ist, als eine Summe von 14 vierten Mächten geschrieben werden konnte (hat Vaughan 1985 und 1989 die 14 nacheinander auf 13 und 12 reduziert). Der genaue Wert von G (k) ist für jeden anderen k unbekannt, aber dort bestehen Sie Grenzen.

Niedrigere Grenzen für G (k)

Die Nummer G (k) ist größer oder gleich

:2 wenn k = 2 mit r ≥ 2, oder k = 3×2;

:p wenn p eine Blüte ist, die größer ist als 2 und k = p (p − 1);

: (p − 1)/2, wenn p eine Blüte ist, die größer ist als 2 und k = p (p − 1)/2;

:k + 1 für alle ganzen Zahlen k größer als 1.

Ohne Kongruenz-Beschränkungen weist ein Dichte-Argument darauf hin, dass G (k) k + 1 gleichkommen sollte.

Obere Grenzen für G (k)

G (3) ist mindestens vier (da Würfel zu 0, 1 oder −1 mod 9 kongruent sind); für Zahlen sind weniger als 1.3, 1290740 das letzte, um sechs Würfel und die Zahl von Zahlen zwischen N und 2N zu verlangen, das Verlangen von fünf Würfeln fällt mit der Erhöhung N mit der genügend Geschwindigkeit ab, um Leute G (3) =4 glauben zu lassen; die größte Zahl, die jetzt bekannt ist, eine Summe von vier Würfeln nicht zu sein, ist 7373170279850, und die Autoren geben angemessene Argumente dort, dass das größtmöglich sein kann.

13792 ist die größte Zahl, um die siebzehn vierten Mächte zu verlangen (Deshouillers, Hennecart und Landreau haben 2000 gezeigt, dass jede Zahl zwischen 13793 und 10 erforderliche höchstens sechzehn, und Kawada, Wooley und Deshouillers Davenport 1939-Ergebnis erweitert hat zu zeigen, dass jede Zahl oben 10 nicht mehr als sechzehn verlangt hat). Die sechzehn vierten Mächte sind immer erforderlich, um mehreren Form 31 zu schreiben · 16.

617597724 ist die letzte Zahl weniger als 1.3, der die zehn fünften Mächte, und 51033617 die letzte Zahl weniger als 1.3 verlangt, der elf verlangt.

Die oberen Grenzen rechts mit k=5..., 20 sind wegen Vaughans und Wooleys.

Mit seiner verbesserten Zähen-Littlewood Methode, mir. M. Vinogradov hat zahlreiche Verbesserungen veröffentlicht, die führen

1947 und, schließlich,

für einen unangegebenen unveränderlichen C und genug großen k 1959.

seine P-Adic-Form der Methode von Hardy Littlewood Ramanujan Vinogradov zum Schätzen trigonometrischer Summen angewandt hat, in denen die Summierung Zahlen mit kleinen Hauptteilern übernommen wird, hat Anatolii Alexeevitch Karatsuba (1985) eine neue Schätzung der Funktion von Hardy vorgeherrscht (für):

Weiter in seiner Untersuchung des Problems von Waring hat Karatsuba die folgende zweidimensionale Generalisation dieses Problems erhalten:

Denken Sie das Gleichungssystem

wo positive ganze Zahlen mit derselben Ordnung oder Wachstum gegeben werden, und unknowns sind, die auch positive ganze Zahlen sind. Dieses System hat Lösungen, wenn, und wenn

Weiter wurden geringe Verbesserungen von Vaughan [1989] erhalten.

Wooley hat dann das für einen unveränderlichen C, festgestellt

Vaughan und Wooley haben einen umfassenden Überblick-Artikel geschrieben.

Siehe auch

• Polygonaler Zahl-Lehrsatz
• Problem von Waring-Goldbach

Referenzen

• G. Ich. Arkhipov, V. N. Chubarikov, A. A. Karatsuba, "Trigonometrische Summen in der Zahlentheorie und Analyse". Berlin-New-York: Walter de Gruyter, (2004).
• G. Ich. Arkhipov, A.A. Karatsuba, V. N. Chubarikov, "Theorie von vielfachen trigonometrischen Summen". Moskau: Nauka, (1987).
• Yu. V. Linnik, "Eine elementare Lösung des Problems von Waring durch die Methode von Schnirelman". Matte. Sb. N. Ser. 12 (54), 225-230 (1943).
• R. C. Vaughan, "Eine neue wiederholende Methode im Problem von Waring". Acta Mathematica (162), 1-71 (1989).
• I. M. Vinogradov "Die Methode von trigonometrischen Summen in der Theorie von Zahlen". Trav. Inst. Mathematik. Stekloff (23), 109 Seiten (1947).
• I. M. Vinogradov "Auf einem oberen hat für G (n) gebunden". Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Matte. (23), 637-642 (1959).
• I. M. Vinogradov, A. A. Karatsuba, "Die Methode von trigonometrischen Summen in der Zahlentheorie", Proc. Steklov Inst. Mathematik. 168, 3-30 (1986); Übersetzung aus Trudy Mat. Inst. Steklova, 168 Jahre alt, 4-30 (1984).
• W. J. Ellison: Das Problem von Waring. Amerikaner Mathematisch Monatlich, Band 78 (1971), Seiten 10-36. Überblicken Sie, enthält die genaue Formel für g (k), eine vereinfachte Version des Beweises von Hilbert und ein Reichtum von Verweisungen.
• Hat einen elementaren Beweis der Existenz von G (k) verwendende Dichte von Schnirelmann.
• Hat Beweise des Lehrsatzes von Lagrange, des polygonalen Zahl-Lehrsatzes, des Beweises von Hilbert der Vermutung von Waring und des Zähen-Littlewood Beweises der asymptotischen Formel für die Zahl von Weisen, N als die Summe von s k Mächte zu vertreten.
• Hans Rademacher und Otto Toeplitz, Das Vergnügen der Mathematik (1933) (internationale Standardbuchnummer 0-691-02351-4). Hat einen Beweis des Lehrsatzes von Lagrange, der für Studenten der Höheren Schule zugänglich ist.