In der Mathematik, spezifisch in der Kategorie-Theorie, ist das Lemma von Yoneda ein abstraktes Ergebnis auf functors des Typs morphisms in einen festen Gegenstand. Es ist eine riesengroße Verallgemeinerung des Lehrsatzes von Cayley von der Gruppentheorie (eine Gruppe als eine besondere Art der Kategorie mit gerade einem Gegenstand ansehend). Es erlaubt das Einbetten jeder Kategorie in eine Kategorie von functors (Kontravariante Satz-geschätzter functors) definiert auf dieser Kategorie. Es klärt auch, wie sich die eingebettete Kategorie, wiederpräsentablen functors und ihrer natürlichen Transformationen, auf die anderen Gegenstände in der größeren functor Kategorie bezieht. Es ist ein wichtiges Werkzeug, das mehreren modernen Entwicklungen in der algebraischen Geometrie und Darstellungstheorie unterliegt. Es wird nach Nobuo Yoneda genannt.

Allgemeinheiten

Das Yoneda Lemma weist darauf hin, dass, anstatt (lokal klein) Kategorie C zu studieren, man die Kategorie des ganzen functors von C in den Satz (die Kategorie von Sätzen mit Funktionen als morphisms) studieren sollte. Satz ist eine Kategorie, die wir verstehen so, und ein functor von C in den Satz als eine "Darstellung" von C in Bezug auf bekannte Strukturen gesehen werden kann. Die ursprüngliche Kategorie C wird in dieser functor Kategorie enthalten, aber neue Gegenstände erscheinen in der functor Kategorie, die fehlten und "verborgen" in C. Das Behandeln dieser neuen Gegenstände gerade wie die alten vereinigt häufig und vereinfacht die Theorie.

Diese Annäherung ist mit verwandt (und verallgemeinert tatsächlich) die übliche Methodik, einen Ring durch das Nachforschen der Module über diesen Ring zu studieren. Der Ring nimmt den Platz der Kategorie C, und die Kategorie von Modulen über den Ring ist eine Kategorie von auf C definiertem functors.

Formelle Behauptung

Allgemeine Version

Das Lemma von Yoneda betrifft functors von einer festen Kategorie C zur Kategorie von Sätzen, Satz. Wenn C eine lokal kleine Kategorie ist (d. h. die Hom-Sätze wirkliche Sätze und nicht richtige Klassen sind), dann verursacht jeder Gegenstand C einen natürlichen functor, um genannt einen hom-functor Unterzugehen. Dieser functor wird angezeigt:

Der (kovariante) hom-functor h sendet X an den Satz von morphisms Hom (A, X) und sendet einen morphism f von X bis Y zum morphism f o - (Zusammensetzung mit f links), der einen morphism g in Hom (A, X) zum morphism f o g in Hom (A, Y) sendet.

Lassen Sie F ein willkürlicher functor von C sein, um Unterzugehen. Dann sagt das Lemma von Yoneda dass:

für jeden Gegenstand C sind die natürlichen Transformationen von h bis F in der isomorphen Ähnlichkeit mit den Elementen von F (A). Das, ist

Außerdem ist dieser Isomorphismus in A und F natürlich, wenn beide Seiten als functors vom Satz bis Satz betrachtet werden.

In Anbetracht einer natürlichen Transformation Φ von h bis F ist das entsprechende Element von F (A).

Es gibt eine kontravariante Version des Lemmas von Yoneda, das Kontravariante functors von C betrifft, um Unterzugehen. Diese Version schließt die Kontravariante hom-functor ein

der X an den Hom-Satz Hom (X, A) sendet. In Anbetracht einer willkürlichen Kontravariante functor G von C, um Unterzugehen, behauptet das Lemma von Yoneda das

Das Namengeben der Vereinbarung

Der Gebrauch von "h" für den kovarianten hom-functor und "h" für die Kontravariante hom-functor ist nicht völlig normal. Viele Texte und Artikel entweder verwenden die entgegengesetzte Tagung oder Symbole völlig ohne Beziehung für diese zwei functors. Jedoch verwenden modernste algebraische Geometrie-Texte, die mit dem foundational von Alexander Grothendieck EGA anfangen, die Tagung in diesem Artikel.

Das mnemonische "Fallen in etwas" kann im Erinnern nützlich sein, dass "h" die Kontravariante hom-functor ist. Wenn der Brief "A" (d. h. eine Subschrift) fällt, teilt h einem Gegenstand X der morphisms von X in A zu.

Beweis

Der Beweis des Lemmas von Yoneda wird durch das folgende Ersatzdiagramm angezeigt:

Dieses Diagramm zeigt, dass die natürliche Transformation Φ durch seitdem für jeden morphism f völlig bestimmt wird: Ein  X hat man

Außerdem definiert jedes Element uF (A) eine natürliche Transformation auf diese Weise. Der Beweis im kontravarianten Fall ist völlig analog.

Auf diese Weise stellt das Lemma von Yoneda eine ganze Klassifikation aller natürlichen Transformationen von functor Hom (A,-) zu einem willkürlichen functor F:CSet zur Verfügung.

Das Yoneda-Einbetten

Ein wichtiger spezieller Fall des Lemmas von Yoneda ist, wenn der functor F von C, um Unterzugehen, ein anderer hom-functor h ist. In diesem Fall setzt die kovariante Version des Lemmas von Yoneda das fest

D. h. natürliche Transformationen zwischen hom-functors sind in der isomorphen Ähnlichkeit mit morphisms (in der Rückwartsrichtung) zwischen den verbundenen Gegenständen. In Anbetracht eines morphism f: B  ist die verbundene natürliche Transformation angezeigter Hom (f,-).

Jeden Gegenstand in C zu seinem verbundenen hom-functor h = Hom (A,-) und jeder morphism f kartografisch darstellend: B  zur entsprechenden natürlichen Transformation bestimmt Hom (f,-) eine Kontravariante functor h von C, um, die functor Kategorie des ganzen (kovarianten) functors von C Unterzugehen, um Unterzugehen. Man kann h als ein kovarianter functor interpretieren:

Die Bedeutung des Lemmas von Yoneda in dieser Einstellung ist, dass der functor h völlig treu ist, und deshalb ein Einbetten von C in der Kategorie von functors gibt, um Unterzugehen. Die Sammlung des ganzen functors {h, in C} ist eine Unterkategorie des Satzes. Deshalb deutet das Einbetten von Yoneda an, dass die Kategorie C zur Kategorie {h, in C} isomorph ist.

Die kontravariante Version des Lemmas von Yoneda setzt das fest

Deshalb verursacht h einen kovarianten functor von C bis die Kategorie der Kontravariante functors, um Unterzugehen:

Das Lemma von Yoneda stellt dann fest, dass jede lokal kleine Kategorie C in der Kategorie der Kontravariante functors von C eingebettet werden kann, um über h Unterzugehen. Das wird das Einbetten von Yoneda genannt.

Vorzusätzliche Kategorien, Ringe und Module

Eine vorzusätzliche Kategorie ist eine Kategorie, wo die Morphism-Sätze abelian Gruppen bilden und die Zusammensetzung von morphisms bilinear ist; Beispiele sind Kategorien von abelian Gruppen oder Modulen. In einer vorzusätzlichen Kategorie gibt es sowohl eine "Multiplikation" als auch eine "Hinzufügung" von morphisms, der ist, warum vorzusätzliche Kategorien als Generalisationen von Ringen angesehen werden. Ringe sind vorzusätzliche Kategorien mit einem Gegenstand.

Das Yoneda Lemma bleibt wahr für vorzusätzliche Kategorien, wenn wir als unsere Erweiterung die Kategorie der zusätzlichen Kontravariante functors von der ursprünglichen Kategorie in die Kategorie von abelian Gruppen wählen; das sind functors, die mit der Hinzufügung von morphisms vereinbar sind und als das Formen einer Modul-Kategorie über die ursprüngliche Kategorie gedacht werden sollten. Das Yoneda Lemma gibt dann das natürliche Verfahren nach, um eine vorzusätzliche Kategorie zu vergrößern, so dass die vergrößerte Version vorzusätzlich - tatsächlich bleibt, ist die vergrößerte Version eine abelian Kategorie, eine viel stärkere Bedingung. Im Fall von einem Ring R ist die verlängerte Kategorie die Kategorie von ganz richtigen Module über R, und die Behauptung des Lemmas von Yoneda nimmt zum wohl bekannten Isomorphismus ab

:M ≅ Hom (R, M) für den ganz richtigen Module M über R.

Siehe auch

• Darstellungslehrsatz

Referenzen

• . Nachgedruckter 2003.