In der Mathematik ist die Gleichung von Laplace eine zweite Ordnung teilweise Differenzialgleichung genannt nach Pierre-Simon Laplace, der zuerst seine Eigenschaften studiert hat. Das wird häufig als geschrieben:

:

wo  =  ² der Maschinenbediener von Laplace ist und eine Skalarfunktion ist. Im Allgemeinen  =  ist ² der Laplace-Beltrami oder Laplace-de Rham Maschinenbediener.

Die Gleichung von Laplace und die Gleichung von Poisson sind die einfachsten Beispiele von elliptischen teilweisen Differenzialgleichungen. Lösungen der Gleichung von Laplace werden harmonische Funktionen genannt.

Die allgemeine Theorie von Lösungen der Gleichung von Laplace ist als potenzielle Theorie bekannt. Die Lösungen der Gleichung von Laplace sind die harmonischen Funktionen, die in vielen Feldern der Wissenschaft, namentlich den Feldern des Elektromagnetismus, der Astronomie und der flüssigen Dynamik wichtig sind, weil sie verwendet werden können, um das Verhalten von elektrischen, flüssigen und Gravitationspotenzialen genau zu beschreiben. In der Studie der Hitzeleitung ist die Gleichung von Laplace die Steady-Statehitzegleichung.

Definition

In drei Dimensionen ist das Problem, zweimal-differentiable reellwertige Funktionen, von echten Variablen x, y, und z, solch dass zu finden

In Kartesianischen Koordinaten

:

{\\Partial^2 f\over \partial x^2} +

{\\Partial^2 f\over \partial y^2} +

{\\Partial^2 f\over \partial z^2} = 0.

</Mathematik>

In zylindrischen Koordinaten,

:

\left (r {\\teilweiser f \over \partial r} \right)

+ {1 \over r^2} {\\partial^2 f \over \partial \phi^2 }\

+ {\\partial^2 f \over \partial z^2} =0

</Mathematik>

In kugelförmigen Koordinaten,

:

\! + \! {1 \over \rho^2 \!\sin\theta} {\\teilweiser \over \partial \theta }\\! \left (\sin\theta {\\teilweiser f \over \partial \theta }\\Recht)

\! + \! {1 \over \rho^2 \!\sin^2\theta} {\\partial^2 f \over \partial \varphi^2} =0. </math>

In Krummlinigen Koordinaten,

:

\! + \! {\\teilweiser f \over \partial \xi^j} g^ {jm }\\Gamma^n_ {mn} =0, </Mathematik>

oder

:

\quad (g =\mathrm {det }\\{g_ {ij }\\}).

</Mathematik>

Das wird häufig als geschrieben

:

oder, besonders in allgemeineren Zusammenhängen,

:

wo  =  ² der Maschinenbediener von Laplace oder "Laplacian" ist

:

wo   = div die Abschweifung und der  = ist, ist Student im Aufbaustudium der Anstieg.

Wenn die Rechte als eine gegebene Funktion, f (x, y, z) angegeben wird, d. h., wenn die ganze Gleichung als geschrieben wird

:

dann wird es "die Gleichung von Poisson" genannt.

Die Laplace Gleichung ist auch ein spezieller Fall der Gleichung von Helmholtz.

Grenzbedingungen

Das Dirichlet Problem für die Gleichung von Laplace besteht daraus, eine Lösung auf einem Gebiet solch zu finden, dass an der Grenze dessen etwas gegebener Funktion gleich ist. Da der Maschinenbediener von Laplace in der Hitzegleichung erscheint, ist eine physische Interpretation dieses Problems wie folgt: Heften Sie die Temperatur auf die Grenze des Gebiets gemäß der gegebenen Spezifizierung der Grenzbedingung. Erlauben Sie Hitze zu fließen, bis ein stationärer Staat erreicht wird, in den sich die Temperatur an jedem Punkt auf dem Gebiet nicht mehr ändert. Der Temperaturvertrieb im Interieur wird dann durch die Lösung des entsprechenden Problems von Dirichlet gegeben.

Die Grenzbedingungen von Neumann für die Gleichung von Laplace geben nicht die Funktion selbst an der Grenze, aber seine normale Ableitung an. Physisch entspricht das dem Aufbau eines Potenzials für ein Vektorfeld, dessen Wirkung an der Grenze von allein bekannt ist.

Lösungen der Gleichung von Laplace werden harmonische Funktionen genannt; sie sind alle innerhalb des Gebiets analytisch, wo die Gleichung zufrieden ist. Wenn irgendwelche zwei Funktionen Lösungen der Gleichung von Laplace sind (oder jede geradlinige homogene Differenzialgleichung), ist ihre Summe (oder jede geradlinige Kombination) auch eine Lösung. Dieses Eigentum, genannt den Grundsatz der Überlagerung, ist z.B sehr nützlich, Lösungen komplizierter Probleme können durch das Summieren einfacher Lösungen gebaut werden.

Gleichung von Laplace in zwei Dimensionen

Die Laplace Gleichung in zwei unabhängigen Variablen hat die Form

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Analytische Funktionen

Die echten und imaginären Teile einer komplizierten analytischen Funktion beide befriedigen die Gleichung von Laplace. D. h. wenn z = x + iy, und wenn

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dann die notwendige Bedingung, dass f (z), analytisch sein, dass die Gleichungen von Cauchy-Riemann ist zufrieden sein:

:

wo u die erste partielle Ableitung von u in Bezug auf x ist.

Hieraus folgt dass

:

Deshalb befriedigt u die Gleichung von Laplace. Eine ähnliche Berechnung zeigt, dass v auch die Gleichung von Laplace befriedigt.

Umgekehrt, in Anbetracht einer harmonischen Funktion, ist es der echte Teil einer analytischen Funktion, (mindestens lokal). Wenn eine Probe-Form ist

:

dann werden die Gleichungen von Cauchy-Riemann zufrieden sein, ob wir setzen

:

Diese Beziehung bestimmt ψ, aber nur seine Zunahme nicht:

:

Die Laplace Gleichung für φ deutet an, dass die integrability Bedingung für ψ zufrieden ist:

:

und so kann ψ durch eine integrierte Linie definiert werden. Die integrability Bedingung und der Lehrsatz von Stokes deuten an, dass der Wert der Linie das integrierte Anschließen von zwei Punkten des Pfads unabhängig ist. Das resultierende Paar von Lösungen der Gleichung von Laplace wird verbundene harmonische Funktionen genannt. Dieser Aufbau ist nur lokal gültig, oder vorausgesetzt, dass sich der Pfad um eine Eigenartigkeit nicht schlingt. Zum Beispiel, wenn r und θ Polarkoordinaten und sind

:

dann ist eine entsprechende analytische Funktion

:

Jedoch wird der Winkel θ nur in einem Gebiet einzeln geschätzt, das den Ursprung nicht einschließt.

Die nahe Verbindung zwischen der Gleichung von Laplace und den analytischen Funktionen deutet an, dass jede Lösung der Gleichung von Laplace Ableitungen aller Ordnungen hat, und in einer Macht-Reihe mindestens innerhalb eines Kreises ausgebreitet werden kann, der keine Eigenartigkeit einschließt. Das ist in der scharfen Unähnlichkeit zu Lösungen der Wellengleichung, die allgemein weniger Regelmäßigkeit haben.

Es gibt eine vertraute Verbindung zwischen Macht-Reihe und Reihe von Fourier. Wenn wir eine Funktion f in einer Macht-Reihe innerhalb eines Kreises des Radius R ausbreiten, bedeutet das das

:

mit angemessen definierten Koeffizienten, deren echte und imaginäre Teile durch gegeben werden

:

Deshalb

:

der eine Reihe von Fourier für f ist. Diese trigonometrischen Funktionen können selbst mit vielfachen Winkelformeln ausgebreitet werden.

Flüssigkeitsströmung

Lassen Sie die Mengen u und v die horizontalen und vertikalen Bestandteile des Geschwindigkeitsfeldes eines unveränderlichen incompressible, rotationsfreien Flusses in zwei Dimensionen sein. Die Bedingung, dass der Fluss, incompressible sein, das ist

:

und die Bedingung, dass der Fluss, rotationsfrei sein, das ist

:

Wenn wir das Differenzial einer Funktion ψ durch definieren

:

dann ist die incompressibility Bedingung die integrability Bedingung für dieses Differenzial: Die resultierende Funktion wird die Strom-Funktion genannt, weil es entlang Flusslinien unveränderlich ist. Die ersten Ableitungen von ψ werden durch gegeben

:

und die irrotationality Bedingung deutet an, dass ψ die Gleichung von Laplace befriedigt. Die harmonische Funktion φ, der zu ψ verbunden ist, wird das Geschwindigkeitspotenzial genannt. Die Gleichungen von Cauchy-Riemann beziehen das ein

:

So entspricht jede analytische Funktion einem unveränderlichen incompressible, rotationsfreier Flüssigkeitsströmung im Flugzeug. Der echte Teil ist das Geschwindigkeitspotenzial, und der imaginäre Teil ist die Strom-Funktion.

Elektrostatik

Gemäß den Gleichungen von Maxwell befriedigt ein elektrisches Feld (u, v) in zwei Raumdimensionen, der der Zeit unabhängig

ist:

und

:

wo ρ die Anklage-Dichte ist. Die erste Gleichung von Maxwell ist die integrability Bedingung für das Differenzial

:

so das elektrische Potenzial kann φ gebaut werden, um zu befriedigen

:

Die zweite von den Gleichungen von Maxwell bezieht dann das ein

:

der die Gleichung von Poisson ist.

Es ist wichtig zu bemerken, dass die Gleichung von Laplace in dreidimensionalen Problemen in der Elektrostatik und Flüssigkeitsströmung ebenso in zwei Dimensionen verwendet werden kann.

Gleichung von Laplace in drei Dimensionen

Grundsätzliche Lösung

Eine grundsätzliche Lösung der Gleichung von Laplace befriedigt

:

wo die Delta-Funktion von Dirac eine Einheitsquelle anzeigt, die am Punkt konzentriert ist

Keine Funktion hat dieses Eigentum, aber davon kann als eine Grenze von Funktionen gedacht werden, deren Integrale über den Raum Einheit sind, und dessen Unterstützung (das Gebiet, wo die Funktion Nichtnull ist) zu einem Punkt zurückweicht (sieh schwache Lösung). Es ist üblich, eine verschiedene Zeichen-Tagung für diese Gleichung zu nehmen, als man normalerweise tut, wenn man grundsätzliche Lösungen definiert. Diese Wahl des Zeichens ist häufig günstig, um damit zu arbeiten, weil ein positiver Maschinenbediener ist. Die Definition der grundsätzlichen Lösung deutet so an, dass, wenn Laplacian von u über ein Volumen integriert wird, das den Quellpunkt, dann einschließt

:

Die Laplace Gleichung ist unter einer Folge von Koordinaten unverändert, und folglich können wir erwarten, dass eine grundsätzliche Lösung unter Lösungen erhalten werden kann, die nur von der Entfernung r vom Quellpunkt abhängen. Wenn wir das Volumen wählen, um ein Ball des Radius um den Quellpunkt zu sein, dann bezieht der Abschweifungslehrsatz von Gauss das ein

:Hieraus folgt dass:

auf einem Bereich des Radius r, der um den Quellpunkt, und folglich in den Mittelpunkt gestellt wird

:

Bemerken Sie, dass, mit der entgegengesetzten Zeichen-Tagung (verwendet in der Physik), das das Potenzial ist, das durch eine Punkt-Partikel für eine Umgekehrt-Quadratgesetzkraft erzeugt ist, in der Lösung der Gleichung von Poisson entstehend.

Ein ähnliches Argument zeigt das in zwei Dimensionen

:

wo den natürlichen Logarithmus anzeigt.

Bemerken Sie, dass, mit der entgegengesetzten Zeichen-Tagung, das das durch einen punktmäßigen Wirbelwind erzeugte Potenzial ist (sieh Punkt-Partikel), der die Lösung von Gleichungen von Euler im zweidimensionalen Incompressible-Fluss ist.

Die Funktion des Grüns

Eine Funktion eines Grüns ist eine grundsätzliche Lösung, die auch eine passende Bedingung an der Grenze S von einem Band V befriedigt. Zum Beispiel, kann befriedigen

::

Jetzt, wenn u eine Lösung der Gleichung von Poisson in V ist:

:

und u nimmt an, dass die Grenze g auf S schätzt, dann können wir die Identität von Green anwenden, (eine Folge des Abschweifungslehrsatzes), der das festsetzt

:

Die Notationen u und G zeigen normale Ableitungen auf S an. Im Hinblick auf die Bedingungen, die durch u und G zufrieden sind, vereinfacht dieses Ergebnis zu

:

So beschreibt die Funktion des Grüns den Einfluss an von den Daten f und g. Für den Fall des Interieurs eines Bereichs des Radius a kann die Funktion des Grüns mittels eines Nachdenkens (Sommerfeld, 1949) erhalten werden: Der Quellpunkt P in der Entfernung ρ vom Zentrum des Bereichs wird entlang seiner radialen Linie zu einem Punkt P widerspiegelt', der in einer Entfernung ist

:

Bemerken Sie dass, wenn P innerhalb des Bereichs ist, dann wird P' außerhalb des Bereichs sein. Die Funktion des Grüns wird dann durch gegeben

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wo R anzeigt, dass die Entfernung zur Quelle P anspitzt und R' die Entfernung zum widerspiegelten Punkt P anzeigt'. Eine Folge dieses Ausdrucks für die Funktion des Grüns ist der Poisson integrierte Formel. Lassen Sie ρ, θ, und φ, kugelförmige Koordinaten für die Quelle sein, spitzen P an. Hier zeigt θ den Winkel mit der vertikalen Achse an, die gegen die übliche amerikanische mathematische Notation ist, aber mit physischer und europäischer Standardpraxis übereinstimmt. Dann wird die Lösung der Gleichung von Laplace innerhalb des Bereichs durch gegeben

:

wo

:

Eine einfache Folge dieser Formel ist dass, wenn u eine harmonische Funktion ist, dann ist der Wert von u am Zentrum des Bereichs der Mittelwert seiner Werte auf dem Bereich. Dieses Mittelwerteigentum deutet sofort an, dass eine nichtunveränderliche harmonische Funktion seinen maximalen Wert an einem Innenpunkt nicht annehmen kann.

Elektrostatik

Im freien Raum muss die Gleichung von Laplace jedes elektrostatischen Potenzials Null gleichkommen, da (Anklage-Dichte) Null im freien Raum ist.

Wenn wir

den Anstieg des elektrischen Potenzials nehmen, bekommen wir das elektrostatische Feld

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Die Abschweifung des elektrostatischen Feldes nehmend, erhalten wir die Gleichung von Poisson, die Anklage-Dichte und elektrisches Potenzial verbindet

:

Im besonderen Fall des leeren Raums nimmt die Gleichung von Poisson zur Gleichung von Laplace für das elektrische Potenzial ab.

Das Verwenden eines Einzigartigkeitslehrsatzes und die Vertretung, dass ein Potenzial die Gleichung von Laplace befriedigt (sollte die zweite Ableitung V Null d. h. im freien Raum sein), und des Potenzials haben die richtigen Werte an den Grenzen, das Potenzial wird dann einzigartig definiert.

Ein Potenzial, das die Gleichung von Laplace zusammen mit der Grenzbedingung nicht befriedigt, ist ein ungültiges elektrostatisches Potenzial.

Siehe auch

• Kugelförmiger harmonischer
• Quadratur-Gebiete
• Potenzielle Theorie
• Potenzieller Fluss
• Bateman gestaltet um
• Der Lehrsatz von Earnshaw verwendet die Gleichung von Laplace, um zu zeigen, dass stabile statische eisenmagnetische Suspendierung unmöglicher ist
• Vektor Laplacian

Links

• Laplace Gleichung (schätzen besondere Lösungen und Grenze Probleme), an EqWorld: Die Welt von Mathematischen Gleichungen.
• Laplace Differenzialgleichung auf PlanetMath
• Beispiel-anfängliche Grenze schätzt Probleme mit der Gleichung von Laplace von exampleproblems.com.
• Modul für die Gleichung von Laplace durch John H. Mathews
• Finden Sie heraus, wie durch die Gleichung von Laplace geregelte Grenzwertprobleme numerisch durch die Grenzelement-Methode behoben werden können