Das Abtasttheorem von Nyquist-Shannon, nach Harry Nyquist und Claude Shannon, ist ein grundsätzliches Ergebnis im Feld der Informationstheorie, im besonderen Fernmeldewesen und der Signalverarbeitung. Stichprobenerhebung ist der Prozess, ein Signal (zum Beispiel, eine Funktion der dauernden Zeit oder des Raums) in eine numerische Folge (eine Funktion der diskreten Zeit oder des Raums) umzuwandeln. Die Version von Shannon der Lehrsatz-Staaten:

Der Lehrsatz wird das Abtasttheorem von Nyquist allgemein genannt; seitdem es auch unabhängig von E. T. Whittaker, von Vladimir Kotelnikov, und durch andere entdeckt wurde, ist es auch bekannt als Nyquist-Shannon-Kotelnikov, Whittaker-Shannon-Kotelnikov, Whittaker Nyquist Kotelnikov Shannon, WKS, usw., Abtasttheorem, sowie der Grundsätzliche Lehrsatz der Interpolationstheorie. Darauf wird häufig einfach als das Abtasttheorem verwiesen.

Hauptsächlich zeigt der Lehrsatz, dass ein bandlimited analoges Signal von einer unendlichen Folge von Proben vollkommen wieder aufgebaut werden kann, wenn die ausfallende Rate 2B Proben pro Sekunde zu weit geht, wo B die höchste Frequenz des ursprünglichen Signals ist. Wenn ein Signal einen Bestandteil an genau B Hertz enthält, dann bestimmen Proben, die an genau 1 / (2B) Sekunden unter Drogeneinfluss sind, das Signal, die Behauptung von Shannon nichtsdestoweniger nicht völlig. Diese genügend Bedingung, kann wie besprochen, bei der Stichprobenerhebung von Nichtbasisband-Signalen unten geschwächt werden.

Neuere Behauptungen des Lehrsatzes achten manchmal darauf, die Gleichheitsbedingung auszuschließen; d. h. die Bedingung besteht darin, wenn x (t) keine Frequenzen höher enthält als oder gleich B; diese Bedingung ist Shannon gleichwertig außer, wenn die Funktion einen unveränderlichen sinusförmigen Bestandteil an genau der Frequenz B einschließt.

Der Lehrsatz nimmt eine Idealisierung jeder wirklichen Situation an, weil es nur für Signale gilt, die für die unendliche Zeit probiert werden; irgendwelcher zeitbeschränkter x (t) kann nicht vollkommen bandlimited sein. Vollkommene Rekonstruktion ist für das idealisierte Modell, aber nur eine Annäherung für wirkliche Signale und Stichprobenverfahren, obgleich in der Praxis häufig ein sehr gutes mathematisch möglich.

Der Lehrsatz führt auch zu einer Formel für die Rekonstruktion des ursprünglichen Signals. Der konstruktive Beweis des Lehrsatzes führt zu einem Verstehen des aliasing, der vorkommen kann, wenn ein ausfallendes System die Bedingungen des Lehrsatzes nicht befriedigt.

Das Abtasttheorem stellt eine genügend Bedingung, aber nicht eine notwendige für die vollkommene Rekonstruktion zur Verfügung. Das Feld der komprimierten Abfragung stellt eine strengere ausfallende Bedingung zur Verfügung, wenn, wie man bekannt, das zu Grunde liegende Signal spärlich ist. Komprimierte Abfragung gibt spezifisch einen sub-Nyquist ausfallendes Kriterium nach.

Einführung

Ein Signal oder Funktion sind bandlimited, wenn es keine Energie an Frequenzen höher enthält als ein bandlimit oder Bandbreite B. Das Abtasttheorem behauptet, dass, in Anbetracht solch eines Bandlimited-Signals, die gleichförmig getrennten Proben unter Drogeneinfluss eine ganze Darstellung des Signals sind, so lange die ausfallende Rate größer ist als zweimal die Bandbreite B. Um diese Konzepte zu formalisieren, lassen Sie x (t) vertreten ein dauernd-maliges Signal, und X (f), der dauernde Fourier sein, verwandeln sich dieses Signals:

:Wie man

sagt, ist das Signal x (t) bandlimited zu einer einseitigen Basisband-Bandbreite, B, wenn

: für alle oder, gleichwertig.

Dann ist die genügend Bedingung für genauen reconstructability von Proben an einer gleichförmigen ausfallenden Rate f (in Proben pro Einheitszeit):

:

Die Menge 2B wird die Rate von Nyquist genannt und ist ein Eigentum des Bandlimited-Signals, während f/2 die Frequenz von Nyquist genannt wird und ein Eigentum dieses ausfallenden Systems ist.

Der Zeitabstand zwischen aufeinander folgenden Proben wird den ausfallenden Zwischenraum genannt:

:

und die Proben von x (t) werden durch x (nT) für Werte der ganzen Zahl von n angezeigt. Das Abtasttheorem führt zu einem Verfahren, für den ursprünglichen x (t) von den Proben wieder aufzubauen, und setzt genügend Bedingungen für solch eine Rekonstruktion fest, um genau zu sein.

Der ausfallende Prozess

Der Lehrsatz beschreibt zwei Prozesse in der Signalverarbeitung: Ein ausfallender Prozess, in dem ein dauerndes Zeitsignal zu einem Signal der diskreten Zeit und einem Rekonstruktionsprozess umgewandelt wird, in dem das ursprüngliche dauernde Signal vom Signal der diskreten Zeit wieder erlangt wird.

Das dauernde Signal ändert sich mit der Zeit (oder Raum in einem digitalisierten Image oder eine andere unabhängige Variable in einer anderen Anwendung), und der ausfallende Prozess wird durch das Messen des Werts des dauernden Signals jeder T Einheiten der Zeit durchgeführt (oder Raum), der den ausfallenden Zwischenraum genannt wird. Stichprobenerhebung läuft auf eine Folge von Zahlen, genannt Proben hinaus, um das ursprüngliche Signal zu vertreten. Jeder Musterwert wird mit dem Moment rechtzeitig vereinigt, als es gemessen wurde. Das Gegenstück des ausfallenden Zwischenraums (1/T) ist angezeigter f der ausfallenden Frequenz, der in Proben pro Einheit der Zeit gemessen wird. Wenn T in Sekunden ausgedrückt wird, dann wird f im Hertz ausgedrückt.

Rekonstruktion

Die Rekonstruktion des ursprünglichen Signals ist ein Interpolationsprozess, der mathematisch ein dauernd-maliges Signal x (t) von den getrennten Proben x (nT) und in Zeiten zwischen den Beispielmomenten nT definiert.

• Das Verfahren: Jeder Musterwert wird mit der erkletterten Sinc-Funktion multipliziert, so dass die Nulldurchgänge der Sinc-Funktion in den ausfallenden Momenten vorkommen, und dass der Mittelpunkt der sinc Funktion zur Zeit dieser Probe, nT ausgewechselt wird. Alle diese ausgewechselten und schuppigen Funktionen werden dann zusammen hinzugefügt, um das ursprüngliche Signal wieder zu erlangen. Die schuppigen und zeitausgewechselten Sinc-Funktionen sind das dauernde Bilden der Summe von diesen auch dauernd, so ist das Ergebnis dieser Operation ein dauerndes Signal. Dieses Verfahren wird durch die Interpolationsformel von Whittaker-Shannon vertreten.
• Die Bedingung: Das bei diesem Rekonstruktionsprozess erhaltene Signal kann keine Frequenzen höher haben als eine Hälfte der ausfallenden Frequenz. Gemäß dem Lehrsatz wird das wieder aufgebaute Signal das ursprüngliche Signal vergleichen vorausgesetzt, dass das ursprüngliche Signal keine Frequenzen an oder über dieser Grenze enthält. Diese Bedingung wird das Kriterium von Nyquist, oder manchmal die Bedingung von Raabe genannt.

Wenn das ursprüngliche Signal einen einer Hälfte der ausfallenden Rate gleichen Frequenzbestandteil enthält, ist die Bedingung nicht zufrieden. Das resultierende wieder aufgebaute Signal kann einen Bestandteil an dieser Frequenz haben, aber der Umfang und die Phase dieses Bestandteils werden allgemein den ursprünglichen Bestandteil nicht vergleichen.

Diese Rekonstruktion oder Interpolation mit sinc Funktionen sind nicht das einzige Interpolationsschema. Tatsächlich ist es in der Praxis unmöglich, weil es das Summieren einer unendlichen Zahl von Begriffen verlangt. Jedoch ist es die Interpolationsmethode, die in der Theorie genau irgendwelchen gegeben bandlimited x (t) mit jedem bandlimit B/2 des Signals wieder aufbaut, vollkommene Rekonstruktion zu berücksichtigen. Das ober gebunden ist die Frequenz von Nyquist, hat f angezeigt.

• Beide dieser Fälle deuten an, dass das Signal, probiert zu werden, bandlimited sein muss; d. h. jeder Bestandteil dieses Signals, das eine Frequenz über einem gebundenen bestimmten hat, sollte Null, oder mindestens genug in der Nähe von der Null sein, um uns zu erlauben, seinen Einfluss auf die resultierende Rekonstruktion zu vernachlässigen. Im ersten Fall kann die Bedingung von bandlimitation des probierten Signals durch das Annehmen eines Modells des Signals vollbracht werden, das in Bezug auf die Frequenzbestandteile analysiert werden kann, die es enthält; zum Beispiel enthalten Töne, die von einem sprechenden Menschen normalerweise gemacht werden, sehr kleine Frequenzbestandteile an oder über 10 Kilohertz, und es ist dann zur Probe solch ein Audiosignal mit einer ausfallenden Frequenz von mindestens 20 Kilohertz genügend. Für den zweiten Fall müssen wir versichern, dass das probierte Signal solcher bandlimited ist, dass Frequenzbestandteile an oder über der Hälfte der ausfallenden Frequenz vernachlässigt werden können. Das wird gewöhnlich mittels eines passenden Filters des niedrigen Passes vollbracht; zum Beispiel, wenn es zu Beispielrede-Wellenformen an 8 Kilohertz gewünscht wird, sollten die Signale zuerst lowpass sein, der zu unter 4 Kilohertz gefiltert ist.
• In der Praxis kann keine der zwei Behauptungen des Abtasttheorems, das oben beschrieben ist, völlig zufrieden sein, und keiner kann die Rekonstruktionsformel genau durchgeführt werden. Der Rekonstruktionsprozess, der mit erkletterten und verzögerten Sinc-Funktionen verbunden ist, kann als Ideal beschrieben werden. Es kann in der Praxis nicht begriffen werden, da es andeutet, dass jede Probe zum wieder aufgebauten Signal an fast allen Zeitpunkten beiträgt, das Summieren einer unendlichen Zahl von Begriffen verlangend. Statt dessen muss ein Typ der Annäherung der Sinc-Funktionen, die in der Länge begrenzt sind, verwendet werden. Der Fehler, der der Sinc-Funktionsannäherung entspricht, wird Interpolationsfehler genannt. Praktische zum Analogon digitale Konverter erzeugen weder erkletterte und verzögerte Sinc-Funktionen noch ideale Impulse (das, wenn ideal gefilterter niedriger Pass das ursprüngliche Signal nachgeben würde), aber eine Folge von schuppigen und verzögerten Rechteckimpulsen. Diese praktische piecewise-unveränderliche Produktion kann modelliert werden, weil eine Nullordnung Filter gesteuert durch die Folge von schuppigen und verzögerten dirac Impulsen verwiesen auf in der mathematischen Basisabteilung unten hält. Ein sich formender Filter wird manchmal verwendet, nachdem die DAC mit der Nullordnung halten, um eine bessere gesamte Annäherung zu machen.
• Außerdem, in der Praxis, kann ein Signal vollkommen bandlimited nie sein, da ideale "Backsteinmauer"-Filter nicht begriffen werden können. Alle praktischen Filter können nur Frequenzen außerhalb einer bestimmten Reihe verdünnen, sie völlig nicht entfernen. Zusätzlich dazu kann ein "zeitbeschränktes" Signal bandlimited nie sein. Das bedeutet, dass, selbst wenn eine ideale Rekonstruktion gemacht werden konnte, das wieder aufgebaute Signal genau das ursprüngliche Signal nicht sein würde. Der Fehler, der dem Misserfolg von bandlimitation entspricht, wird aliasing genannt.
• Das Abtasttheorem sagt nicht, was geschieht, wenn die Bedingungen und Verfahren nicht genau entsprochen werden, aber sein Beweis deutet ein analytisches Fachwerk an, in dem der non-ideality studiert werden kann. Ein Entwerfer eines Systems, das sich mit Stichprobenerhebungs- und Rekonstruktionsprozessen befasst, braucht ein gründliches Verstehen des Signals, insbesondere sein Frequenzinhalt, die ausfallende Frequenz probiert zu werden, wie das Signal in Bezug auf die Interpolation und die Voraussetzung für den Gesamtrekonstruktionsfehler, einschließlich aliasing, Stichprobenerhebung, Interpolation und anderer Fehler wieder aufgebaut wird. Diese Eigenschaften und Rahmen müssen eventuell sorgfältig abgestimmt werden, um ein nützliches System zu erhalten.

Aliasing

Die Summierungsformel von Poisson zeigt, dass die Proben, x (nT), der Funktion x (t) genügend sind, um eine periodische Summierung der Funktion X (f) zu schaffen. Das Ergebnis ist:

der eine periodische Funktion und seine gleichwertige Darstellung als eine Reihe von Fourier ist, deren Koeffizienten x [n] sind. Diese Funktion ist auch bekannt als die diskrete Zeit Fourier verwandelt sich (DTFT). Wie gezeichnet, in Abbildungen 3, 4, und 8 werden Kopien X (f) durch Vielfachen von f ausgewechselt und durch die Hinzufügung verbunden.

Wenn Nyquist, der Bedingung probiert, angrenzendes Kopie-Übergreifen nicht zufrieden ist, und es im Allgemeinen nicht möglich ist, einen eindeutigen X (f) wahrzunehmen. Jeder Frequenzbestandteil über f/2 ist von einem Bestandteil der niedrigeren Frequenz, genannt einen Decknamen nicht zu unterscheidend, der mit einer der Kopien vereinigt ist. In solchen Fällen erzeugt die Rekonstruktionstechnik, die unten beschrieben ist, den Decknamen, aber nicht den ursprünglichen Bestandteil.

Für einen sinusförmigen Bestandteil genau der Hälfte der ausfallenden Frequenz wird der Bestandteil im allgemeinen Decknamen zu einem anderen sinusoid derselben Frequenz, aber mit einer verschiedenen Phase und Umfang.

Um aliasing zu verhindern oder zu reduzieren, können zwei Sachen gemacht werden:

1. Vergrößern Sie die ausfallende Rate, zum obengenannten zweimal einige oder alle Frequenzen, die aliasing sind.
2. Führen Sie einen Antialiasing-Filter ein oder machen Sie den Antialiasing-Filter strenger.

Der Antialiasing-Filter schränkt die Bandbreite von x (t) ein, um Nyquist zu befriedigen, der Kriterium probiert. Solch eine Beschränkung arbeitet in der Theorie, aber ist nicht genau realisierbar, weil realisierbare Filter immer etwas Leckage von hohen Frequenzen erlauben werden. Jedoch kann die Leckage-Energie klein genug gemacht werden, so dass die aliasing Effekten unwesentlich sind.

Anwendung auf mehrvariable Signale und Images

Das Abtasttheorem wird gewöhnlich für Funktionen einer einzelnen Variable formuliert. Folglich ist der Lehrsatz auf zeitabhängige Signale direkt anwendbar und wird normalerweise in diesem Zusammenhang formuliert. Jedoch kann das Abtasttheorem auf eine aufrichtige Weise zu Funktionen von willkürlich vielen Variablen erweitert werden. Images von Grayscale werden häufig zum Beispiel als zweidimensionale Reihe (oder matrices) reeller Zahlen vertreten, die die Verhältnisintensitäten von Pixeln (Bildelemente) vertreten, die an den Kreuzungen der Reihe und Säulenbeispielpositionen gelegen sind. Infolgedessen verlangen Images zwei unabhängige Variablen oder Indizes, um jedes Pixel einzigartig — ein für die Reihe, und ein für die Säule anzugeben.

Farbenimages bestehen normalerweise aus einer Zusammensetzung von drei getrennten grayscale Images, ein, um jede der drei primären Farben — rot, grün, und blau, oder RGB für den kurzen zu vertreten. Andere colorspaces das Verwenden von 3 Vektoren für Farben schließen HSV, LABORATORIUM, XYZ usw. ein. Ein colorspaces solcher als zyan, Purpurrot, gelb, und schwarz (CMYK) kann Farbe durch vier Dimensionen vertreten. Alle von diesen werden als Vektor-geschätzte Funktionen über ein zweidimensionales probiertes Gebiet behandelt.

Ähnlich eindimensionalen Signalen der diskreten Zeit können Images auch unter aliasing leiden, wenn die ausfallende Entschlossenheit oder Pixel-Dichte, unzulänglich ist. Zum Beispiel, eine Digitalfotographie eines gestreiften Hemdes mit hohen Frequenzen (mit anderen Worten, ist die Entfernung zwischen den Streifen klein), kann aliasing des Hemdes verursachen, wenn es durch den Bildsensor der Kamera probiert wird. Der aliasing erscheint als ein moiré Muster. Die "Lösung" der höheren Stichprobenerhebung im Raumgebiet für diesen Fall würde dem Hemd näher rücken sollen, einen höheren Entschlossenheitssensor zu verwenden, oder das Image vor dem Erwerben davon mit dem Sensor optisch zu verschmieren.

Ein anderes Beispiel wird nach links in den Ziegelmustern gezeigt. Das Spitzenimage zeigt die Effekten, wenn die Bedingung des Abtasttheorems nicht zufrieden ist. Wenn Software ein Image wiedererklettert (derselbe Prozess, der den Daumennagel schafft, der im niedrigeren Image gezeigt ist), führt es tatsächlich das Image durch einen Filter des niedrigen Passes zuerst und dann downsamples das Image, um auf ein kleineres Image hinauszulaufen, das das moiré Muster nicht ausstellt. Das Spitzenimage ist, was geschieht, wenn das Image downsampled ohne Entstörung des niedrigen Passes ist: Aliasing-Ergebnisse.

Die Anwendung des Abtasttheorems zu Images sollte mit der Sorge gemacht werden. Zum Beispiel ist der ausfallende Prozess in jedem Standardbildsensor (CCD oder CMOS Kamera) von der Ideal-Stichprobenerhebung relativ weit, die die Bildintensität an einem einzelnen Punkt messen würde. Stattdessen haben diese Geräte ein relativ großes Sensorgebiet an jedem Beispielpunkt, um genügend Betrag des Lichtes zu erhalten. Mit anderen Worten hat jeder Entdecker eine Punkt-Ausbreitungsfunktion der begrenzten Breite. Die analoge optische Bildintensitätsfunktion, die durch das Sensorgerät probiert wird, ist nicht in allgemeinem bandlimited, und die nichtideale Stichprobenerhebung ist selbst ein nützlicher Typ des Filters des niedrigen Passes, obwohl nicht immer genügend, um genug hohe Frequenzen zu entfernen, um aliasing genug zu reduzieren. Wenn das Gebiet des ausfallenden Punkts (die Größe des Pixel-Sensors) nicht groß genug ist, um genügend Antialiasing zur Verfügung zu stellen, wird ein getrennter Antialiasing-Filter (optischer Filter des niedrigen Passes) normalerweise in ein Kamerasystem eingeschlossen, um weiter das optische Image zu verschmieren. Trotz Images, die diese Probleme in Bezug auf das Abtasttheorem haben, kann der Lehrsatz verwendet werden, um die Grundlagen unten und Stichprobenerhebung von Images zu beschreiben.

Downsampling

Wenn ein Signal downsampled ist, kann das Abtasttheorem über den Kunstgriff angerufen werden, eine hypothetische dauernd-malige Rekonstruktion wiederzuprobieren. Das Nyquist Kriterium muss noch in Bezug auf das neue tiefer ausfallende Frequenz zufrieden sein, um aliasing zu vermeiden. Um den Anforderungen des Lehrsatzes zu entsprechen, muss das Signal gewöhnlich einen Filter des niedrigen Passes der passenden Abkürzungsfrequenz als ein Teil der downsampling Operation durchführen. Dieser Filter des niedrigen Passes, der aliasing verhindert, wird einen Antialiasing-Filter genannt.

Kritische Frequenz

Um die Notwendigkeit von f> 2B zu illustrieren, denken Sie den sinusoid:

:

Mit f = 2B oder gleichwertig T = 1 / (2B) wird durch die Proben gegeben:

:\begin {richten }\aus

x (nT) &= \cos (\pi n) \cos (\theta) - \underbrace {\\Sünde (\pi n)} _ {0 }\\Sünde (\theta) = \cos (\pi n) \cos (\theta).

\end {richten }\aus</Mathematik>

Jene Proben können von den Proben nicht bemerkenswert sein:

:

Aber für jeden solchen θ, dass |cos (θ) | (t) verschiedene Umfänge und verschiedene Phase haben. Zweideutigkeiten wie das sind der Grund für die strenge Ungleichheit der Bedingung des Abtasttheorems.

Das mathematische Denken für den Lehrsatz

Aus Abbildungen 3 und 8 ist es dass offenbar, wenn es kein Übergreifen der Kopien (auch bekannt als "Images") von X (f), der k = gibt, kann 0 Begriff X (f) durch das Produkt wieder erlangt werden:

: wo:

:

H braucht (f) nicht im Gebiet genau definiert zu werden, weil X (f) Null in diesem Gebiet ist. Jedoch ist der Grenzfall wenn B = f/2, die Frequenz von Nyquist. Eine Funktion, die dafür und alle weniger strengen Fälle genügend ist, ist:

:

wo rect (u) die rechteckige Funktion ist.

Deshalb:

:

::: (von, oben).

:::

Die ursprüngliche Funktion, die probiert wurde, kann durch ein Gegenteil wieder erlangt werden, das Fourier umgestaltet:

:

:::

:::

der die Interpolationsformel von Whittaker-Shannon ist. Es zeigt ausführlich, wie die Proben, x (nT), verbunden werden können, um x (t) wieder aufzubauen.

• Aus der Abbildung 8 ist es klar, dass größere-als-notwendig Werte von f (kleinere Werte von T), genannt Überstichprobenerhebung, keine Wirkung auf das Ergebnis der Rekonstruktion haben und den Vorteil des Verlassens des Zimmers für ein Übergang-Band haben, in dem H (f) frei ist, Zwischenwerte zu nehmen. Undersampling, der aliasing verursacht, ist nicht im Allgemeinen eine umkehrbare Operation.
• Theoretisch kann die Interpolationsformel als ein niedriger Pass-Filter durchgeführt werden, dessen Impuls-Antwort sinc (t/T) ist, und dessen Eingang ist, der eine durch die Signalproben abgestimmte Kamm-Funktion von Dirac ist. Praktisches Werkzeug der zum Analogon digitalen Konverter (DAC) eine Annäherung wie die Nullordnung hält. In diesem Fall kann Überstichprobenerhebung den Annäherungsfehler reduzieren.

Der ursprüngliche Beweis von Shannon

Der ursprüngliche von Shannon präsentierte Beweis ist elegant und ziemlich kurz, aber er bietet weniger intuitive Scharfsinnigkeit in die Subtilität von aliasing, sowohl unbeabsichtigt als auch absichtlich an. Das ursprüngliche Papier von Shannon zitierend, das f für die Funktion, F für das Spektrum und W für die Bandbreite-Grenze verwendet:

:Let, das Spektrum Dann sein

::

Wie man

annimmt, ist:since Null außerhalb des Bandes W. Wenn wir lassen

::

:where n ist jede positive oder negative ganze Zahl, wir erhalten

::

:On der verlassene sind Werte an den Stützstellen. Das Integral wird rechts als im Wesentlichen der n Koeffizient in einer Fourier-Reihenentwicklung der Funktion anerkannt, die den Zwischenraum-W zu W als eine grundsätzliche Periode nimmt. Das bedeutet, dass die Werte der Proben die Koeffizienten von Fourier in der Reihenentwicklung von So bestimmen, bestimmen ihnen, da Null für größere Frequenzen ist, als W, und für niedrigere Frequenzen bestimmt wird, wenn seine Koeffizienten von Fourier bestimmt werden. Aber bestimmt die ursprüngliche Funktion völlig, da eine Funktion bestimmt wird, wenn sein Spektrum bekannt ist. Deshalb bestimmen die ursprünglichen Proben die Funktion völlig.

Der Beweis von Shannon des Lehrsatzes ist an diesem Punkt abgeschlossen, aber er setzt fort, Rekonstruktion über Sinc-Funktionen zu besprechen, was wir jetzt die Interpolationsformel von Whittaker-Shannon, wie besprochen, oben nennen. Er leitet nicht ab oder beweist die Eigenschaften der Sinc-Funktion, aber diese wären für Ingenieure vertraut gewesen, die seine Arbeiten zurzeit lesen, seitdem die Paar-Beziehung von Fourier zwischen rect (die rechteckige Funktion) und sinc weithin bekannt war. Das Zitieren von Shannon:

:Let, die n Probe sein. Dann wird die Funktion vertreten durch:

::

Als im anderen Beweis verwandelt sich die Existenz des Fouriers vom ursprünglichen Signal wird angenommen, so sagt der Beweis nicht, ob sich das Abtasttheorem bis zu bandlimited stationäre Zufallsprozesse ausstreckt.

Stichprobenerhebung von Nichtbasisband-Signalen

Wie besprochen, durch Shannon:

:

D. h. eine genügend Bedingung ohne Verluste, um Signale zu probieren, die Basisband-Bestandteile nicht haben, besteht, der die Breite des Nichtnullfrequenzzwischenraums im Vergleich mit seinem höchsten Frequenzbestandteil einschließt. Sieh Stichprobenerhebung (Signalverarbeitung) für mehr Details und Beispiele.

Eine bandpass Bedingung besteht dass X (f) = 0, für den ganzen nichtnegativen f außerhalb des offenen Bandes von Frequenzen darin:

::

für eine natürliche Zahl N. Diese Formulierung schließt die normale Basisband-Bedingung als der Fall N=0 ein.

Die entsprechende Interpolationsfunktion ist die Impuls-Antwort eines idealen Backsteinmauer-Bandfilters (im Vergleich mit der idealen Backsteinmauer lowpass Filter, der oben verwendet ist) mit Abkürzungen an den oberen und niedrigeren Rändern des angegebenen Bandes, das der Unterschied zwischen einem Paar von lowpass Impuls-Antworten ist:

::

Andere Generalisationen, zum Beispiel zu Signalen, die vielfache aneinander nichtgrenzende Bänder besetzen, sind ebenso möglich. Sogar die am meisten verallgemeinerte Form des Abtasttheorems hat nachweisbar wahr gegenteilig nicht. D. h. man kann nicht beschließen, dass Information gerade notwendigerweise verloren wird, weil die Bedingungen des Abtasttheorems nicht zufrieden sind; von einer Technikperspektive, jedoch, ist es allgemein sicher anzunehmen, dass, wenn das Abtasttheorem dann nicht zufrieden ist, Information am wahrscheinlichsten verloren wird.

Ungleichförmige Stichprobenerhebung

Die ausfallende Theorie von Shannon kann für den Fall von ungleichförmigen Proben, d. h. Proben nicht genommen ebenso unter Drogeneinfluss rechtzeitig verallgemeinert werden. Der Shannon, der Theorie für ungleichförmige ausfallende Staaten probiert, dass ein Band-beschränktes Signal von seinen Proben vollkommen wieder aufgebaut werden kann, wenn die durchschnittliche ausfallende Rate die Bedingung von Nyquist befriedigt. Deshalb, obwohl gleichförmig Proben unter Drogeneinfluss auf leichtere Rekonstruktionsalgorithmen hinauslaufen können, ist es nicht eine notwendige Bedingung für die vollkommene Rekonstruktion.

Die allgemeine Theorie für das Nichtbasisband und die ungleichförmigen Proben wurde 1967 von Landau entwickelt. Er hat bewiesen, dass, um grob zu paraphrasieren, die durchschnittliche ausfallende Rate (Uniform oder sonst) zweimal die besetzte Bandbreite des Signals sein muss, annehmend, dass es a priori bekannt ist, welcher Teil des Spektrums besetzt wurde.

Gegen Ende der 1990er Jahre wurde diese Arbeit teilweise erweitert, um Signale dessen zu bedecken, als der Betrag der besetzten Bandbreite bekannt war, aber der wirkliche besetzte Teil des Spektrums war unbekannt. In den 2000er Jahren wurde eine ganze Theorie entwickelt

(sieh die Abteilung Außer Nyquist unten) das Verwenden hat Abfragung zusammengepresst. Insbesondere die Theorie, mit der Signalverarbeitungssprache, wird in dieser 2009-Zeitung beschrieben. Sie, zeigen unter anderem, dass, wenn die Frequenzpositionen unbekannt sind, dann ist es für die Probe mindestens an zweimal den Kriterien von Nyquist notwendig; mit anderen Worten müssen Sie mindestens einen Faktor 2 bezahlen, für die Position des Spektrums nicht zu wissen. Bemerken Sie, dass minimale ausfallende Voraussetzungen Stabilität nicht notwendigerweise versichern.

Außer Nyquist

Das Abtasttheorem von Nyquist-Shannon stellt eine genügend Bedingung für die Stichprobenerhebung und Rekonstruktion eines Band-beschränkten Signals zur Verfügung. Wenn Rekonstruktion über die Interpolationsformel von Whittaker-Shannon getan wird, ist das Kriterium von Nyquist auch eine notwendige Bedingung, aliasing, im Sinn dass zu vermeiden, wenn Proben an einer langsameren Rate genommen werden als zweimal die Band-Grenze, dann gibt es einige Signale, die nicht richtig wieder aufgebaut werden. Jedoch, wenn weitere Beschränkungen dem Signal auferlegt werden, dann kann das Kriterium von Nyquist eine notwendige Bedingung nicht mehr sein.

Ein nichttriviales Beispiel, Extraannahmen über das Signal auszunutzen, wird durch das neue Feld der komprimierten Abfragung angeführt, die volle Rekonstruktion mit einem sub-Nyquist ausfallende Rate berücksichtigt. Spezifisch gilt das für Signale, die spärlich (oder komprimierbar sind) in einem Gebiet. Als ein Beispiel befasst sich zusammengepresste Abfragung mit Signalen, die eine niedrige gesamte Bandbreite haben können (sagen Sie die wirksame Bandbreite EB), aber die Frequenzpositionen, sind aber nicht alle zusammen in einem einzelnen Band unbekannt, so dass die passband Technik nicht gilt. Mit anderen Worten ist das Frequenzspektrum spärlich. Traditionell ist die notwendige ausfallende Rate so 2B. Mit zusammengepressten Abfragungstechniken konnte das Signal vollkommen wieder aufgebaut werden, wenn es an einer Rate probiert wird, die ein bisschen größer ist als 2EB. Die Kehrseite dieser Annäherung ist, dass Rekonstruktion durch eine Formel, aber stattdessen durch die Lösung eines konvexen Optimierungsprogramms nicht mehr gegeben wird, das gut studierte, aber nichtlineare Methoden verlangt.

Historischer Hintergrund

Das Abtasttheorem wurde durch die Arbeit von Harry Nyquist 1928 einbezogen ("Bestimmte Themen in der Telegraf-Übertragungstheorie"), in dem er gezeigt hat, dass bis zu 2B unabhängige Pulsproben durch ein System der Bandbreite B gesandt werden konnten; aber er hat das Problem der Stichprobenerhebung und Rekonstruktion von dauernden Signalen nicht ausführlich gedacht. Über dieselbe Zeit hat Karl Küpfmüller ein ähnliches Ergebnis gezeigt, und hat die Sinc-Funktionsimpuls-Antwort eines Band beschränkenden Filters, über sein Integral, die Schritt-Antwort Integralsinus besprochen; dieser bandlimiting- und Rekonstruktionsfilter, der zum Abtasttheorem so zentral ist, wird manchmal einen Filter von Küpfmüller (aber selten so in Englisch) genannt.

Das Abtasttheorem, im Wesentlichen ein Doppel-vom Ergebnis von Nyquist, wurde von Claude E. Shannon 1949 ("Kommunikation in Gegenwart vom Geräusch") bewiesen.

V. A. Kotelnikov hat ähnliche Ergebnisse 1933 veröffentlicht ("Auf der Übertragungskapazität des 'Äthers' und Kabel in elektrischen Kommunikationen", Übersetzung aus dem Russen), wie den Mathematiker E. T. Whittaker 1915 ("Vergrößerungen der Interpolationstheorie", "Theorie der Kardinalfunktionen"), J. M. Whittaker 1935 ("Funktionstheorie von Interpolatory"), und Gabor 1946 ("Theorie der Kommunikation") getan hat.

Andere Entdecker

Andere, die unabhängig entdeckt oder Rollen in der Entwicklung des Abtasttheorems gespielt haben, sind in mehreren historischen Artikeln zum Beispiel von Jerri und von Lüke besprochen worden. Zum Beispiel weist Lüke darauf hin, dass H. Raabe, ein Helfer zu Küpfmüller, den Lehrsatz in seinem 1939-Dr. Doktorarbeit bewiesen hat; der Begriff Bedingung von Raabe ist gekommen, um mit dem Kriterium für die eindeutige Darstellung vereinigt zu werden (Rate probierend, die größer ist als zweimal die Bandbreite).

Meijering erwähnt mehrere andere Entdecker und Namen in einem Paragrafen und Paar von Kommentaren:

Wie hingewiesen, durch Higgins [135] sollte das Abtasttheorem wirklich in zwei Teilen, wie getan, oben betrachtet werden: Das erste Angeben der Tatsache, dass eine Bandlimited-Funktion durch seine Proben, das zweite Beschreiben völlig bestimmt wird, wie man die Funktion mit seinen Proben wieder aufbaut. Beide Teile des Abtasttheorems wurden in einer etwas verschiedenen Form von J. M. Whittaker [350, 351, 353] und vor ihm auch von Ogura [241, 242] gegeben. Sie waren wahrscheinlich der Tatsache nicht bewusst, dass der erste Teil des Lehrsatzes schon in 1897 von Borel [25] festgesetzt worden war. Da wir, um diese Zeit auch verwendeter Borel gesehen haben, was bekannt als die grundsätzliche Reihe geworden ist. Jedoch scheint er, die Verbindung [135] nicht gemacht zu haben. In späteren Jahren ist es bekannt geworden, dass das Abtasttheorem vor Shannon der russischen Nachrichtengemeinschaft von Kotel'nikov [173] präsentiert worden war. In mehr impliziter, wörtlicher Form war es auch in der deutschen Literatur von Raabe [257] beschrieben worden. Mehrere Autoren [33, 205] haben erwähnt, dass Someya [296] den Lehrsatz in der japanischen Literaturparallele zu Shannon eingeführt hat. In der englischen Literatur hat Weston [347] es unabhängig von Shannon um dieselbe Zeit eingeführt.

Mehrere Autoren, im Anschluss an den Schwarzen [16], haben behauptet, dass dieser erste Teil des Abtasttheorems noch früher von Cauchy, in einer Zeitung [41] veröffentlicht 1841 festgesetzt wurde. Jedoch enthält das Papier von Cauchy solch eine Behauptung nicht, wie von Higgins [135] hingewiesen worden ist.

Demzufolge der Entdeckung der mehreren unabhängigen Einführungen des Abtasttheorems haben Leute angefangen, sich auf den Lehrsatz durch das Umfassen der Namen der oben erwähnten Autoren zu beziehen, auf solche Slogans wie "das Abtasttheorem von Whittaker-Kotel'nikov Shannon (WKS)" [155] oder sogar "das Abtasttheorem von Whittaker Kotel'nikov Raabe Shannon Someya" [33] hinauslaufend. Um Verwirrung vielleicht zu vermeiden, ist das beste Ding zu tun, es als das Abtasttheorem zu kennzeichnen, "anstatt zu versuchen, einen Titel zu finden, der allen Klägern" [136] gerecht wird.

Warum Nyquist?

Genau, wie, wenn, oder warum Harry Nyquist seinen Namen dem Abtasttheorem beifügen lassen hat, dunkel bleibt. Der Begriff ist Abtasttheorem von Nyquist (kapitalisiert so) schon in 1959 in einem Buch von seinem ehemaligen Arbeitgeber, Glockenlaboratorien erschienen, und ist wieder 1963, und nicht erschienen hat 1965 Kapital angehäuft. Es war das Abtasttheorem von Shannon schon in 1954, sondern auch gerade das Abtasttheorem durch mehrere andere Bücher am Anfang der 1950er Jahre genannt worden.

1958 haben Blackman und Tukey das 1928-Papier von Nyquist als eine Verweisung für das Abtasttheorem der Informationstheorie zitiert, wenn auch dieses Papier Stichprobenerhebung und Rekonstruktion von dauernden Signalen nicht behandelt, wie andere getan haben. Ihr Wörterverzeichnis von Begriffen schließt diese Einträge ein:

:Sampling-Lehrsatz (der Informationstheorie)

: Das Ergebnis von Nyquist, dass Daten equi-unter-Drogeneinfluss, mit zwei oder mehr Punkten pro Zyklus der höchsten Frequenz, Rekonstruktion von Band-beschränkten Funktionen erlauben. (Sieh Grundsätzlichen Lehrsatz.)

:Cardinal-Lehrsatz (der Interpolationstheorie)

: Eine genaue Behauptung der Bedingungen, unter denen an einem doppelt unendlichen Satz von Punkten ebenso unter Drogeneinfluss gegebene Werte interpoliert werden können, um eine dauernde Band-beschränkte Funktion mithilfe von der Funktion nachzugeben

::

Genau, was "das Ergebnis von Nyquist", auf das sie sich beziehen, mysteriös bleibt.

Als Shannon festgesetzt hat und das Abtasttheorem in seiner 1949-Zeitung gemäß Meijering bewiesen hat, "hat er sich auf den kritischen ausfallenden Zwischenraum T = 1 / (2W) als der Zwischenraum von Nyquist entsprechend dem Band W als Anerkennung für die Entdeckung von Nyquist der grundsätzlichen Wichtigkeit von diesem Zwischenraum im Zusammenhang mit der Telegrafie bezogen." Das erklärt den Namen von Nyquist auf dem kritischen Zwischenraum, aber nicht auf dem Lehrsatz.

Ähnlich wurde der Name von Nyquist der Rate von Nyquist 1953 von Harold S. Black beigefügt:

: "Wenn die wesentliche Frequenzreihe auf B Zyklen pro Sekunde beschränkt wird, 2B wurde von Nyquist als die maximale Zahl von Codeelementen pro Sekunde gegeben, die eindeutig aufgelöst werden konnten, annehmend, dass die Maximaleinmischung weniger ein halber Quant-Schritt ist. Diese Rate wird allgemein Signal-an der Rate von Nyquist genannt, und 1 / (2B) ist ein Zwischenraum von Nyquist genannt worden." (kühn hinzugefügt für die Betonung; Kursive als im Original)

Gemäß dem OED kann das der Ursprung des Begriffes Rate von Nyquist sein. Im Gebrauch des Schwarzen ist es nicht eine ausfallende Rate, aber eine Signalrate.

Siehe auch

• Nyquist ISI Kriterium
• Das Gesetz von Hartley
• Rekonstruktion von Nulldurchgängen
• Nullordnung hält
• Der Cheung-Zeichen-Lehrsatz gibt Bedingungen an, wo die Wiederherstellung eines Signals durch das Abtasttheorem schlecht-aufgestellt werden kann.
• Balian-niedriger Lehrsatz, ein ähnlicher theoretischer, der auf ausfallenden Raten tiefer gebunden ist, aber der für die Zeitfrequenz gilt, verwandelt sich.

Zeichen

• J. R. Higgins: Fünf Novellen über die grundsätzliche Reihe, Meldung des AMS 12 (1985)
• V. A. Kotelnikov, "Auf der Tragfähigkeit des Äthers und der Leitung im Fernmeldewesen", Material für die Erste Vollvereinigungskonferenz für Fragen der Kommunikation, Izd. Rot. Upr. Svyazi RKKA, Moskau, 1933 (Russisch). (englische Übersetzung, PDF)
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• C. E. Shannon, "Kommunikation in Gegenwart vom Geräusch", Proc. Institut für Radioingenieure, vol. 37, Nr. 1, Seiten 10-21, Januar 1949. Nachdruck als klassisches Papier in: Proc. IEEE, Vol. 86, Nr. 2, (Febr 1998)
• Michael Unser: 50 Jahre nach Shannon, Proc ausfallend. IEEE, vol. 88, Nr. 4, Seiten 569-587, April 2000
• E. T. Whittaker, "Auf den Funktionen, Die durch die Vergrößerungen der Interpolationstheorie", Proc Vertreten werden. Royal Soc. Edinburgh, Sec. A, vol.35, Seiten 181-194, 1915
• J. M. Whittaker, Interpolatory Funktionstheorie, Cambridge Univ. Presse, Cambridge, England, 1935.

Links

• Das Lernen durch Simulationen Interaktive Simulation der Effekten der unzulänglichen Stichprobenerhebung
• Undersampling und eine Anwendung davon
• Die Stichprobenerhebung der Theorie für digitalen Audio-
• Zeitschrift, die der Ausfallenden Theorie gewidmet ist
• "Die Ursprünge des Abtasttheorems" durch Hans Dieter Lüke veröffentlicht im "IEEE" Zeitschrift-Kommunikationsapril 1999