Wirkliche Unendlichkeit ist die Idee, dass Zahlen oder ein anderer Typ des mathematischen Gegenstands, eine wirkliche, vollendete Gesamtheit bilden können; nämlich, ein Satz. Folglich, in der Philosophie der Mathematik, ist die Abstraktion der wirklichen Unendlichkeit mit der Annahme von unendlichen Entitäten, wie der Satz aller natürlichen Zahlen oder eine unendliche Folge von rationalen Zahlen, als gegeben Gegenstände verbunden.

Aristoteles potenziell-wirkliche Unterscheidung

Aristoteles hat das Thema der Unendlichkeit in der Physik und in der Metaphysik behandelt. Aristoteles hat zwischen der Unendlichkeit hinsichtlich der Hinzufügung und hinsichtlich der Abteilung unterschieden.

Aristoteles hat auch zwischen der wirklichen und potenziellen Unendlichkeit unterschieden. Eine wirkliche Unendlichkeit ist etwas, was vollendet und bestimmt wird und aus ungeheuer vielen Elementen, und gemäß Aristoteles, einer paradoxen Idee sowohl in der Theorie als auch in der Natur besteht. Hinsichtlich der Hinzufügung, einer potenziell unendlichen Folge oder einer Reihe ist potenziell endlos; eine potenziell endlose Reihe zu sein, bedeutet, dass ein Element immer zur Reihe nach einem anderen und diesem Prozess hinzugefügt werden kann hinzuzufügen, dass Elemente nie erschöpft werden.

Als ein Beispiel einer potenziell unendlichen Reihe in der Rücksicht zur Zunahme kann eine Zahl immer nach einem anderen in der Reihe hinzugefügt werden, die 1,2,3 anfängt... aber der Prozess des Hinzufügens immer mehr von Zahlen kann nicht erschöpft oder vollendet werden, weil es kein Ende zum Prozess gibt.

Hinsichtlich der Abteilung ist eine potenziell unendliche Reihe von Abteilungen z.B diejenige, die als 1, 0.5, 0.25, 0.125, 0.0625 anfängt. Gemäß Aristoteles läuft der Prozess der Abteilung nie ab, und der Grenzwert 0 wird nie erreicht, obwohl die Abteilung fortgesetzt werden kann, so lange man will. Das ist ein entscheidender Unterschied zum transfinitists, die mit dem wirklichen Begriff anfangen, dass der Grenzwert besteht und erreicht wird (das soll nicht sagen, dass 0 nicht bestehen würde; Null steht zur Verfügung).

Im Gegensatz zur potenziellen Unendlichkeit, allen Elementen eines wirklich unendlichen (= transfinit) Satz werden angenommen, zusammen gleichzeitig als eine vollendete Gesamtheit zu bestehen. Der Begriff 'transfiniter' sollte statt 'des wirklich unendlichen' gebraucht werden, um die transfiniten Sätze anzuzeigen, weil der mit dem Satz theoretische Begriff der wirklichen Unendlichkeit nichts hat, um mit der Verwirklichung in der Natur zu tun.

Opposition von der Schule von Intuitionist

Die mathematische Bedeutung des Begriffes "wirklicher" in der wirklichen Unendlichkeit ist mit bestimmtem, vollendetem, erweitertem oder existenziellem synonymisch, aber für den physisch vorhandenen nicht falsch zu sein. Die Frage entweder natürlichen Zahlen oder reellen Zahlen formen sich bestimmte Sätze ist deshalb der Frage dessen unabhängig, ob unendliche Dinge physisch in der Natur bestehen.

Befürworter von intuitionism, von Kronecker vorwärts, weisen den Anspruch zurück, dass es wirklich unendliche mathematische Gegenstände oder Sätze gibt. (Außerdem gemäß Aristoteles kann eine vollendete Unendlichkeit nicht gerade als eine Idee in der Meinung eines Menschen bestehen.) Folglich bauen sie die Fundamente der Mathematik in einem Weg wieder auf, der die Existenz der wirklichen Unendlichkeit nicht annimmt. Andererseits akzeptiert konstruktive Analyse wirklich die Existenz der vollendeten Unendlichkeit der ganzen Zahlen.

Für intuitionists wird Unendlichkeit als Potenzial beschrieben; mit diesem Begriff synonymische Begriffe werden oder konstruktiv. Zum Beispiel beschreibt Stephen Kleene den Begriff eines Maschinenbandes von Turing als "ein geradliniges Band, das in beiden Richtungen (potenziell) unendlich ist." Zum Zugriffsgedächtnis auf dem Band bewegt eine Maschine von Turing ein gelesener Kopf entlang ihm in begrenzt vielen Schritten: Das Band ist deshalb nur seitdem "potenziell" unendlich, während es immer die Fähigkeit gibt, einen anderen Schritt zu machen, wird Unendlichkeit selbst nie wirklich erreicht.

Klassische Mathematiker akzeptieren allgemein wirkliche Unendlichkeit. Georg Cantor ist der bedeutendste Mathematiker, der wirkliche Unendlichkeit verteidigt hat, das Absolute Unendliche mit dem Gott ausgleichend. Er hat entschieden, dass es für natürliche Zahlen und reelle Zahlen möglich ist, bestimmte Sätze zu sein, und dass, wenn man das Axiom der Euklidischen Endlichkeit zurückweist (der feststellt, dass Aktualitäten, einzeln und in Anhäufungen, notwendigerweise begrenzt sind) dann einer an keinem Widerspruch beteiligt wird.

Das philosophische Problem der wirklichen Unendlichkeit betrifft, ob der Begriff zusammenhängend ist und Epistemically-Ton.

Geschichte

Der alte griechische Begriff für das potenzielle oder unpassende Unendliche war apeiron (unbegrenzt oder unbestimmt) im Gegensatz zum wirklichen oder richtigen unendlichen aphorismenon. Apeiron steht entgegengesetzt dem, das einen peras (Grenze) hat. Diese Begriffe werden heute durch den potenziell unendlichen und das wirklich unendliche beziehungsweise angezeigt.

Aristoteles summiert die Ansichten von seinen Vorgängern auf der Unendlichkeit so:

Das Thema wurde durch Aristoteles Rücksicht des apeiron im Zusammenhang der Mathematik und Physik (die Studie der Natur) übertragen.

1. Nach der Natur der Zeit - dafür ist unendlich.
2. Von der Abteilung von Umfängen - für die Mathematiker verwenden auch den Begriff des Unendliches.
3. Wenn die Ankunft, um zu sein, und das Vergehen nicht zu Ende geht, ist es nur weil, dass, von dem Dinge kommen, um zu sein, unendlich ist.
4. Weil das beschränkte immer seine Grenze in etwas findet, so dass es keine Grenze geben muss, wenn alles immer durch etwas anderes von sich beschränkt wird.
5. Am allermeisten soll ein Grund, der eigenartig passend ist und die Schwierigkeit präsentiert, die von jedem - nicht nur Zahl sondern auch mathematische Umfänge gefühlt wird, und was außerhalb des Himmels ist, unendlich sein, weil sie nie in unserem Gedanken zu Ende gehen. (Aristoteles [1])

Scholastische Philosophen

Die überwältigende Mehrheit von scholastischen Philosophen hat an der Devise Infinitum actu nicht datur geklebt. Das bedeutet, dass es nur (das Entwickeln, unpassend, "syncategorematic") potenzielle Unendlichkeit, aber nicht (befestigt, richtig, "categorematic") wirkliche Unendlichkeit gibt. Es gab Ausnahmen jedoch zum Beispiel in England.

Während der Renaissance und vor frühen modernen Zeiten waren die Stimmen für die wirkliche Unendlichkeit ziemlich selten.

Die Mehrheit ist mit dem wohl bekannten Zitat von Gauss übereingestimmt:

Die drastische Änderung wurde von Bolzano und Cantor im 19. Jahrhundert initialisiert.

Bernard Bolzano, der den Begriff des Satzes eingeführt hat (in Deutsch: Menge), und Georg Cantor, der Mengenlehre eingeführt hat, hat der allgemeinen Einstellung entgegengesetzt. Cantor hat drei Bereiche der Unendlichkeit unterschieden: (1) die Unendlichkeit des Gottes (den er den "absolutum" genannt hat), (2) die Unendlichkeit der Wirklichkeit (den er "Natur" genannt hat), und (3) die transfiniten Zahlen und Sätze der Mathematik.

Klassische Mengenlehre

Klassische Mengenlehre akzeptiert den Begriff der wirklichen, vollendeten Unendlichkeit. Jedoch protestieren einige finitist Philosophen der Mathematik und constructivists gegen den Begriff.

Referenzen

• "Unendlichkeit" an Der Geschichte von MacTutor des Mathematik-Archivs, die Geschichte des Begriffs der Unendlichkeit einschließlich des Problems der wirklichen Unendlichkeit behandelnd.
• Aristoteles, Physik

• Bernard Bolzano, 1851, Paradoxien des Unendlichen, Wiedermuschel, Leipzig.
• Bernard Bolzano 1837, Wissenschaftslehre, Sulzbach.
• Georg Cantor in E. Zermelo (Hrsg.). 1966, Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philsophischen Inhalts, Olms, Hildesheim.
• Richard Dedekind 1960 War sind und war sollen sterben Zahlen? Vieweg, Braunschweig.
• Adolf Abraham Fraenkel 1923 sterben Einleitung darin Mengenlehre, Springer, Berlin.
• Adolf Abraham Fraenkel, Y. Bar-Hillel, A. Levy 1984, Fundamente der Mengenlehre, 2. edn. das Nördliche Holland, Amsterdam New York.
• Stephen C. Kleene 1952 (1971-Ausgabe, 10. Druck), Einführung in Metamathematics, North-Holland Publishing Company, Amsterdam New York. Internationale Standardbuchnummer 0-444-10088-1.
• H. Meschkowski 1981, Georg Cantor: Leben, Werk und Wirkung (2. Aufl.), BI, Mannheim.
• H. Meschkowski, W. Nilson (Hrsg). 1991, Georg Cantor - Briefe, Springer, Berlin.
• W. Mückenheim 2006, Die Mathematik des Unendlichen, Mixbecher, Aachen.
• Abraham Robinson 1979, Ausgewählte Papiere, Vol. 2, W.A.J. Luxemburg, S. Koerner (Hrsg). das Nördliche Holland, Amsterdam.
• R. Sponsel: Material zur Kontoverse um das Unendliche