In der Mathematik ist die Dimension eines Vektorraums V der cardinality (d. h. die Zahl von Vektoren) von einer Basis V.

Für jeden Vektorraum dort besteht eine Basis (wenn man das Axiom der Wahl annimmt), und alle Basen eines Vektorraums gleichen cardinality haben (sieh Dimensionslehrsatz für Vektorräume); infolgedessen wird die Dimension eines Vektorraums einzigartig definiert. Wir sagen V ist endlich-dimensional, wenn die Dimension V ist.

Die Dimension des Vektorraums V über Feld F kann als dunkel (V) oder als [V geschrieben werden: Lesen Sie F] "Dimension V über F". Wenn F aus dem Zusammenhang abgeleitet werden kann, häufig gerade sich (V) zu verdunkeln, wird geschrieben.

Beispiele

Der Vektorraum R hat

als eine Basis, und deshalb haben wir dunkel (R) = 3. Mehr allgemein, dunkel (R) = n, und noch mehr allgemein, dunkel (F) = n für jedes Feld F.

Die komplexen Zahlen C sind sowohl ein echter als auch komplizierter Vektorraum; wir haben dunkel (C) = 2 und dunkel (C) = 1. So hängt die Dimension vom Grundfeld ab.

Der einzige Vektorraum mit der Dimension 0 ist {0}, der Vektorraum, der nur aus seinem Nullelement besteht.

Tatsachen

Wenn W ein geradliniger Subraum V ist, dann verdunkeln Sie sich (W) verdunkeln sich  (V).

Um zu zeigen, dass zwei endlich-dimensionale Vektorräume gleich sind, verwendet man häufig das folgende Kriterium: Wenn V ein endlich-dimensionaler Vektorraum ist und W ein geradliniger Subraum V mit dem dunklen (W) = ist, verdunkeln sich (V), dann W = V.

R hat die Standardbasis {e..., e}, wo e die i-th Säule der entsprechenden Identitätsmatrix ist. Deshalb R

hat Dimension n.

Irgendwelche zwei Vektorräume über F dieselbe Dimension zu haben, sind isomorph. Jede bijektive Karte zwischen ihren Basen kann zu einer bijektiven geradlinigen Karte zwischen den Vektorräumen einzigartig erweitert werden. Wenn B ein Satz ist, kann ein Vektorraum mit der Dimension |B über F wie folgt gebaut werden: Nehmen Sie den Satz F aller Funktionen f: B  F solch dass f (b) = 0 für alle außer begrenzt vielen b in B. Diese Funktionen können hinzugefügt und mit Elementen von F multipliziert werden, und wir erhalten den gewünschten F-Vektorraum.

Ein wichtiges Ergebnis über Dimensionen wird durch den Lehrsatz der Reihe-Ungültigkeit für geradlinige Karten gegeben.

Wenn F/K eine Felderweiterung ist, dann ist F insbesondere ein Vektorraum über K. Außerdem ist jeder F-Vektorraum V auch ein K-Vektorraum. Die Dimensionen sind durch die Formel verbunden

:dim (V) = dunkel (F) verdunkeln sich (V).

Insbesondere jeder komplizierte Vektorraum der Dimension n ist ein echter Vektorraum der Dimension 2n.

Einige einfache Formeln verbinden die Dimension eines Vektorraums mit dem cardinality des Grundfeldes und dem cardinality des Raums selbst.

Wenn V ein Vektorraum über Feld F dann ist, die Dimension V durch dimV anzeigend, haben wir:

:If verdunkeln sich V, ist dann |V = |F begrenzt.

:If verdunkeln sich V, ist dann |V = max (|F, dimV) unendlich.

Generalisationen

Man kann einen Vektorraum als ein besonderer Fall eines matroid sehen, und in den Letzteren gibt es einen bestimmten Begriff der Dimension. Die Länge eines Moduls und die Reihe einer abelian Gruppe beide haben mehrere der Dimension von Vektorräumen ähnliche Eigenschaften.

Die Dimension von Krull eines Ersatzrings, genannt nach Wolfgang Krull (1899-1971), wird definiert, um die maximale Zahl von strengen Einschließungen in eine zunehmende Kette von Hauptidealen im Ring zu sein.

Spur

Die Dimension eines Vektorraums kann als die Spur des Identitätsmaschinenbedieners wechselweise charakterisiert werden. Zum Beispiel bittet Das um die Definition der Spur, aber erlaubt nützliche Generalisationen.

Erstens erlaubt es, einen Begriff der Dimension zu definieren, wenn man eine Spur, aber keinen natürlichen Sinn der Basis hat. Zum Beispiel kann man eine Algebra mit Karten (die Einschließung von Skalaren, genannt die Einheit) und einer Karte (entsprechend der Spur, genannt den counit) haben. Die Zusammensetzung ist ein Skalar (ein geradliniger Maschinenbediener auf einem 1-dimensionalen Raum zu sein), entspricht "Spur der Identität", und gibt einen Begriff der Dimension für eine abstrakte Algebra. In der Praxis in bialgebras verlangt man, dass diese Karte die Identität ist, die durch das Normalisieren des counit durch das Teilen durch die Dimension erhalten werden kann , so in diesen Fällen entspricht das unveränderliche Normalisieren zur Dimension.

Wechselweise kann man im Stande sein, die Spur von Maschinenbedienern auf einem unendlich-dimensionalen Raum zu nehmen; in diesem Fall wird eine (begrenzte) Spur definiert, wenn auch keine (begrenzte) Dimension besteht, und einen Begriff der "Dimension des Maschinenbedieners" gibt. Diese fallen unter dem Titelkopf von "Spur-Klassenmaschinenbedienern" auf einem Raum von Hilbert oder mehr allgemein Kernmaschinenbedienern auf einem Banachraum.

Eine feinere Generalisation soll die Spur einer Familie von Maschinenbedienern als eine Art "gedrehte" Dimension denken. Das kommt bedeutsam in der Darstellungstheorie vor, wo der Charakter einer Darstellung die Spur der Darstellung, folglich eine skalargeschätzte Funktion auf einer Gruppe ist, deren Wert auf der Identität die Dimension der Darstellung ist, weil eine Darstellung die Identität in der Gruppe zur Identitätsmatrix sendet: Man kann die anderen Werte des Charakters als "gedrehte" Dimensionen ansehen, und Analoga oder Generalisationen von Behauptungen über Dimensionen zu Behauptungen über Charaktere oder Darstellungen finden. Ein hoch entwickeltes Beispiel davon kommt in der Theorie des monströsen Mondscheins vor: Der j-invariant ist die abgestufte Dimension einer unendlich-dimensionalen abgestuften Darstellung der Ungeheuer-Gruppe, und das Ersetzen der Dimension mit dem Charakter gibt die Reihe von McKay-Thompson für jedes Element der Ungeheuer-Gruppe.

Siehe auch

• Basis (geradlinige Algebra)
• Topologische Dimension, auch genannt Lebesgue, der Dimension bedeckt
• Dimension von Fractal, auch genannt Dimension von Hausdorff
• Dimension von Krull

Links

• MIT geradliniger Algebra-Vortrag auf der Unabhängigkeit, Basis und Dimension durch Gilbert Strang an MIT OpenCourseWare