In der Geometrie, einer affine Transformation oder Affine-Karte oder einer Sympathie (vom Latein, affinis, "verbunden mit") ist eine Transformation, die Geraden bewahrt (d. h. alle Punkte, die auf einer Linie am Anfang noch liegen, liegen auf einer Linie, nachdem Transformation) und Verhältnisse von Entfernungen zwischen Punkten, die auf einer Gerade (z.B liegen, der Mittelpunkt eines Liniensegmentes der Mittelpunkt nach der Transformation bleibt). Es bewahrt Winkel oder Längen nicht notwendigerweise.

Übersetzung, geometrische Zusammenziehung, Vergrößerung, Ausdehnung, Nachdenken, Folge, mäht Ähnlichkeitstransformationen, und spiralförmige Ähnlichkeiten sind alle affine Transformationen, wie ihre Kombinationen sind.

Eine affine Transformation ist zu einer geradlinigen von einer Übersetzung gefolgten Transformation gleichwertig.

Mathematische Definition

Eine Affine-Karte zwischen zwei affine Räumen ist eine Karte, die auf Vektoren handelt, die von Paaren von Punkten als eine geradlinige Transformation definiert sind. Nämlich, dort besteht eine geradlinige Transformation φ solch dass für jedes Paar von Punkten:

:

oder

:

Wenn ein Ursprung gewählt wird, und sein Image anzeigt, dann bedeutet das dass für jeden Vektoren:

:

Wenn ein Ursprung auch gewählt wird, kann das als eine affine Transformation zersetzt werden, die, nämlich sendet

:

gefolgt von der Übersetzung durch einen Vektoren.

Der Beschluss besteht darin, der heuristisch aus einer Übersetzung und einer geradlinigen Karte besteht.

Eine andere Definition ist: In Anbetracht zwei affine Räume und, über dasselbe Feld, ist eine Funktion eine Affine-Karte, wenn und nur wenn für jede Familie von belasteten Punkten im solchem, dass wir haben

:

Mit anderen Worten, Konserven barycenters.

Im endlich-dimensionalen Fall kann eine Affine-Karte in Koordinaten durch eine Matrix (das Beschreiben φ) zusammen mit dem Vektoren angegeben werden.

Eine affine Transformation bewahrt

1. Die collinearity Beziehung zwischen Punkten; d. h. Punkte, die auf derselben Linie liegen (hat Collinear-Punkte genannt), setzen fort, collinear nach der Transformation zu sein
2. Verhältnisse von Vektoren entlang einer Linie; d. h. weil verschiedener collinear das Verhältnis dessen anspitzt und dasselbe als dieser ist und.
3. Mehr allgemein barycenters von belasteten Sammlungen von Punkten.

Darstellung

Gewöhnliche Vektor-Algebra verwendet Matrixmultiplikation, um geradlinige Transformationen und Vektor-Hinzufügung zu vertreten, um Übersetzungen zu vertreten. Mit einer vermehrten Matrix und einem vermehrten Vektoren ist es möglich, das beides Verwenden einer einzelnen Matrixmultiplikation zu vertreten. Die Technik verlangt, dass alle Vektoren mit "1" am Ende vermehrt werden, und alle matrices mit einer Extrareihe von Nullen am Boden, einer Extrasäule — dem Übersetzungsvektoren — nach rechts, und "1" an der niedrigeren richtigen Ecke vermehrt werden. Wenn A eine Matrix, ist

:

\begin {bmatrix} \vec {y} \\1 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix} A & \vec {b} \\\0, \ldots, 0 & 1 \end {bmatrix} \begin {bmatrix} \vec {x} \\1 \end {bmatrix }\

</Mathematik>

ist

zum folgenden gleichwertig

:

\vec {y} = Ein \vec {x} + \vec {b}.

</Mathematik>

Die obengenannte erwähnte vermehrte Matrix wird affine Transformationsmatrix oder projektive Transformationsmatrix genannt (weil es auch verwendet werden kann, um Projektive Transformationen durchzuführen).

Diese Darstellung stellt den Satz des ganzen invertible affine Transformationen als das halbdirekte Produkt von K und GL (n, k) aus. Das ist eine Gruppe unter der Operation der Zusammensetzung von Funktionen, genannt die affine Gruppe.

Gewöhnliche Matrixvektor-Multiplikation stellt immer den Ursprung zum Ursprung kartografisch dar, und konnte deshalb eine Übersetzung nie vertreten, in der der Ursprung zu einem anderen Punkt notwendigerweise kartografisch dargestellt werden muss. Indem man die zusätzliche Koordinate "1" an jedem Vektoren anhängt, denkt man im Wesentlichen, dass der Raum als eine Teilmenge eines Raums mit einer zusätzlichen Dimension kartografisch dargestellt wird. In diesem Raum besetzt der ursprüngliche Raum die Teilmenge, in der die zusätzliche Koordinate 1 ist. So kann der Ursprung des ursprünglichen Raums daran gefunden werden (0,0... 0, 1). Eine Übersetzung innerhalb des ursprünglichen Raums mittels einer geradlinigen Transformation des hoch-dimensionalen Raums ist dann (spezifisch, eine scheren Transformation) möglich. Die Koordinaten im hoch-dimensionalen Raum sind ein Beispiel von homogenen Koordinaten. Wenn der ursprüngliche Raum Euklidisch ist, ist der höhere dimensionale Raum ein echter projektiver Raum.

Der Vorteil, homogene Koordinaten zu verwenden, besteht darin, dass man jede Zahl von affine Transformationen in eine verbinden kann, indem man den jeweiligen matrices multipliziert. Dieses Eigentum wird umfassend in der Computergrafik und Computervision verwendet.

Eigenschaften

Eine affine Transformation ist invertible, wenn, und nur wenn A invertible ist. In der Matrixdarstellung ist das Gegenteil:

:

\begin {bmatrix} A^ {-1} &-a^ {-1 }\\vec {b} \\\0, \ldots, 0 & 1 \end {bmatrix }\

</Mathematik>

Die invertible affine Transformationen (eines affine Raums auf sich) bilden die affine Gruppe, die die allgemeine geradlinige Gruppe des Grads n als Untergruppe hat und selbst eine Untergruppe der allgemeinen geradlinigen Gruppe des Grads n + 1 ist.

Die Ähnlichkeitstransformationen bilden die Untergruppe, wo A Skalarzeiten eine orthogonale Matrix ist. Wenn, und nur wenn die Determinante von A 1 oder 1 dann ist, die Transformation ist Equi-Flächen-kartografisch darzustellen. Solche Transformationen formen sich eine Untergruppe hat die equi-affine Gruppe genannt

Das Kombinieren beider Bedingungen wir haben die Isometrien, die Untergruppe von beiden, wo A eine orthogonale Matrix ist.

Jede dieser Gruppen hat eine Untergruppe von Transformationen, die Orientierung bewahren: Diejenigen, wo die Determinante von A positiv ist. Im letzten Fall ist das im 3D die Gruppe von starren Körperbewegungen (richtige Folgen und reine Übersetzungen).

Für jede Matrix sind die folgenden Vorschläge gleichwertig:

• Ein  bin ich invertible
• Ein nicht hat einen eigenvalue gleichen 1
• für den ganzen b hat die Transformation genau einen festen Punkt
• es gibt einen b, für den die Transformation genau einen festen Punkt hat
• Affine-Transformationen mit der Matrix A können als eine geradlinige Transformation mit einem Punkt als Ursprung geschrieben werden

Wenn es einen festen Punkt gibt, können wir das als der Ursprung nehmen, und die affine Transformation nimmt zu einer geradlinigen Transformation ab. Das kann es leichter machen, die Transformation zu klassifizieren und zu verstehen. Zum Beispiel ist das Beschreiben einer Transformation als eine Folge durch einen bestimmten Winkel in Bezug auf eine bestimmte Achse leichter, eine Idee vom gesamten Verhalten der Transformation zu bekommen, als das Beschreiben davon als eine Kombination einer Übersetzung und einer Folge. Jedoch hängt das von Anwendung und Zusammenhang ab. Das Beschreiben solch einer Transformation für einen Gegenstand neigt dazu, mehr Sinn in Bezug auf die Folge über eine Achse durch das Zentrum dieses Gegenstands zu haben, der mit einer Übersetzung, aber nicht durch gerade eine Folge in Bezug auf einen entfernten Punkt verbunden ist. Als ein Beispiel: "Bewegen Sie sich 200 M der nördlich und lassen Sie 90 ° gegen den Uhrzeigersinn", aber nicht die Entsprechung "in Bezug auf den Punkt 141 M nach Nordwesten rotieren, lassen Sie 90 ° gegen den Uhrzeigersinn rotieren".

Transformationen von Affine im 2. ohne festen Punkt (so, wo A eigenvalue 1 hat) sind:

• reine Übersetzungen
• das Schuppen in einer gegebenen Richtung, in Bezug auf eine Linie in einer anderen Richtung (nicht notwendigerweise rechtwinklig), verbunden mit der Übersetzung, die nicht rein in der Richtung auf das Schuppen ist; der Einteilungsfaktor ist der andere eigenvalue; die Einnahme, die in einem verallgemeinerten Sinn "klettert", es schließt die Fälle ein, dass der Einteilungsfaktor Null (Vorsprung) und negativ ist; der Letztere schließt Nachdenken, und verbunden mit der Übersetzung ein es schließt Gleiten-Nachdenken ein.
• mähen Sie verbunden mit der Übersetzung, die nicht rein in der Richtung auf das Scheren ist (es gibt keinen anderen eigenvalue als 1; es hat algebraische Vielfältigkeit 2, aber geometrische Vielfältigkeit 1)

Transformation von Affine des Flugzeugs

Um sich die allgemeine affine Transformation des Euklidischen Flugzeugs zu vergegenwärtigen, nehmen Sie etikettierte Parallelogramme ABCD und ABCD . Was für die Wahlen von Punkten gibt es eine affine Transformation T des Flugzeugs, das zu Einem  und jedem Scheitelpunkt ähnlich nimmt. Angenommen, dass wir den degenerierten Fall ausschließen, wo ABCD Nullgebiet hat, gibt es einen einzigartigen solche affine Transformation T. Einen ganzen Bratrost von auf ABCD gestützten Parallelogrammen herausziehend, wird das Image T (P) jedes Punkts P durch die Anmerkung bestimmt, dass T (A) = Ein , T angewandt auf das Liniensegment AB ist AB , T angewandt auf das Liniensegment AC, AC  ist, und T Skalarvielfachen von Vektoren respektiert, die an A. [Gestützt sind, wenn A, E, F collinear dann sind, ist die Verhältnis-Länge (NIEDERFREQUENZ) / Länge (AE) der Länge gleich (AF )/length (AE ).] Geometrisch gestaltet T den Bratrost um, der auf ABCD dazu gestützt ist, das in ABCD  gestützt ist.

Transformationen von Affine respektieren Längen oder Winkel nicht; sie multiplizieren Gebiet mit einem unveränderlichen Faktor

:area von ABCD  / Gebiet von ABCD.

Ein gegebener T kann entweder (Rücksicht-Orientierung) direkt, oder (Rückorientierung) indirekt sein, und das kann durch seine Wirkung auf unterzeichnete Gebiete (wie definiert, zum Beispiel, durch das Kreuzprodukt von Vektoren) bestimmt werden.

Beispiele von affine Transformationen

Transformation von Affine über ein begrenztes Feld

Die folgende Gleichung drückt eine affine Transformation in GF (2) (mit "+" aus, XOR vertretend):

:

\{\\,' \,\} = M\{\\, \,\} + \{\\, v \,\},

</Mathematik>

wo [M] die Matrix ist

:

\begin {bmatrix }\

1&0&0&0&1&1&1&1 \\

1&1&0&0&0&1&1&1 \\

1&1&1&0&0&0&1&1 \\

1&1&1&1&0&0&0&1 \\

1&1&1&1&1&0&0&0 \\

0&1&1&1&1&1&0&0 \\

0&0&1&1&1&1&1&0 \\

0&0&0&1&1&1&1&1

\end {bmatrix }\

</Mathematik>

und {v} ist der Vektor

:

\begin {bmatrix} 1 \\1 \\0 \\0 \\0 \\1 \\1 \\0 \end {bmatrix}.

</Mathematik>

Zum Beispiel, die affine Transformation des Elements = y + y + y + y = {11001010} in der großen-endian binären Notation = {CA} in der großen-endian hexadecimal Notation, wird wie folgt berechnet:

::::::::

So, {ein } = y + y + y + y + y + 1 = {11101101} = {HRSG.}.

Transformation von Affine in der Flugzeug-Geometrie

In  wird die am Recht gezeigte Transformation mit der Karte vollbracht, die gegeben ist durch:

:

Das Umwandeln der drei Eckpunkte des ursprünglichen Dreiecks (im Rot) gibt drei neue Punkte, die das neue Dreieck (im Blau) bilden. Diese Transformation verdreht und übersetzt das ursprüngliche Dreieck.

Tatsächlich sind alle Dreiecke mit einander durch affine Transformationen verbunden. Das ist auch für alle Parallelogramme, aber nicht für alle Vierseite wahr.

Siehe auch

• Die Transformationsmatrix für eine affine Transformation
• Geometrie von Affine
• Transformation von Homothetic
• Ähnlichkeitstransformation
• Geradlinige Transformation (ist die zweite Bedeutung affine Transformation in 1D)
• 3D-Vorsprung
• Wohnung (Geometrie)

Referenzen

Links

• Geometrische Operationen: Affine verwandeln sich, R. Fisher, S. Perkins, A. Walker und E. Wolfart.
• Affine verwandeln sich durch Bernard Vuilleumier, Wolfram-Demonstrationsprojekt.
• Affine Transformation auf PlanetMath
• Freie Affine Transformationssoftware