Ein cycloid ist die Kurve, die durch einen Punkt auf dem Rand eines kreisförmigen Rades verfolgt ist, weil das Rad entlang einer Gerade rollt.

Es ist ein Beispiel eines Roulettes, eine Kurve, die durch eine Kurve erzeugt ist, die auf einer anderen Kurve rollt.

Der cycloid ist die Lösung des brachistochrone Problems (d. h. es ist die Kurve des schnellsten Abstiegs unter dem Ernst), und das zusammenhängende tautochrone Problem (d. h. die Periode eines Gegenstands im Abstieg ohne Reibung innerhalb dieser Kurve hängt von der Startposition des Gegenstands nicht ab).

Geschichte

Der cycloid wurde zuerst von Nicholas von Cusa und später von Mersenne studiert. Es wurde von Galileo 1599 genannt. 1634 hat G.P. de Roberval gezeigt, dass das Gebiet unter einem Bogen eines cycloid dreimal das Gebiet seines Erzeugen-Kreises ist. 1658 hat Christopher Wren gezeigt, dass die Länge eines Bogens eines cycloid viermal das Diameter seines Erzeugen-Kreises ist. Der cycloid ist "Die Helen von Geometers" genannt worden, weil es häufige Streite unter Mathematikern des 17. Jahrhunderts verursacht hat.

Gleichungen

Der cycloid durch den Ursprung, der durch einen Kreis des Radius r erzeugt ist, besteht aus den Punkten (x, y) mit

::

wo t ein echter Parameter entsprechend dem Winkel ist, durch den der rollende Kreis rotiert, in radians gemessen hat. Für gegebenen t lügt das Zentrum des Kreises an x = rt, y = r.

Für t und das Ersetzen lösend, würde die Kartesianische Gleichung sein

:

Der erste Bogen des cycloid besteht aus solchen Punkten dass

:

Wenn y als eine Funktion von x angesehen wird, ist der cycloid differentiable überall außer an den Spitzen, wo es die X-Achse mit der Ableitung schlägt, die dazu neigt, oder weil man sich einer Spitze nähert. Die Karte von t bis (x, y) ist eine Differentiable-Kurve oder parametrische Kurve der Klasse C und der Eigenartigkeit, wo die Ableitung 0 ist, ist eine gewöhnliche Spitze.

Der cycloid befriedigt die Differenzialgleichung:

:

Gebiet

Ein Bogen eines cycloid, der durch einen Kreis des Radius r erzeugt ist, kann durch parametrisiert werden

::

mit

:

Seitdem

:

wir finden, dass das Gebiet unter dem Bogen ist

:

&= \int_ {t=0} ^ {t=2 \pi} y \, dx = \int_ {t=0} ^ {t=2 \pi} r^2 (1-\cos t) ^2 \, dt \\

&= \left. R^2 \left (\frac {3} {2} t-2\sin t + \frac {1} {2} \cos t \sin t\right) \right |_ {t=0} ^ {t=2\pi} \\

&= 3 \pi r^2.

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Kreisbogen-Länge

Die Kreisbogen-Länge S eines Bogens wird durch gegeben

:

S &= \int_ {t=0} ^ {t=2 \pi} \left (\left (\frac {dy} {dt }\\Recht) ^2 +\left (\frac {dx} {dt }\\Recht) ^2\right) ^ {1/2} \, dt \\

&= \int_ {t=0} ^ {t=2 \pi} r \sqrt {2-2\cos (t)} \, dt \\

&= \int_ {t=0} ^ {t=2 \pi} 2r \sin\left (\frac {t} {2 }\\Recht) \, dt \\

&= 8 r.

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Pendel von Cycloidal

Wenn ein einfaches Pendel von der Spitze eines umgekehrten cycloid aufgehoben, solch wird, dass die "Schnur" zwischen den angrenzenden Kreisbogen des cycloid beschränkt wird, und die Länge des Pendels dass von der Hälfte der Kreisbogen-Länge des cycloid gleich ist (d. h. zweimal das Diameter des Erzeugen-Kreises), verfolgt der Bob des Pendels auch einen cycloid Pfad. Solch ein cycloidal Pendel ist unabhängig vom Umfang isochron. Durch die Gleichung der Bewegung wird gegeben:

::

Der holländische Mathematiker des 17. Jahrhunderts Christiaan Huygens hat entdeckt und hat diese Eigenschaften des cycloid in der Suche zum Design von genaueren Pendel-Uhren für den Gebrauch in der Navigation bewiesen.

Zusammenhängende Kurven

Mehrere Kurven sind mit dem cycloid verbunden.

• Verkürzter cycloid: Hier ist der Punkt, der die Kurve verfolgt, innerhalb des Kreises, der auf einer Linie rollt.
• Pro-später cycloid: Hier ist der Punkt, der die Kurve verfolgt, außerhalb des Kreises, der auf einer Linie rollt.
• Trochoid: Bezieht sich auf einigen der cycloid, des verkürzten cycloid und des pro-späten cycloid.
• Hypocycloid: Der Punkt ist am Rand des Kreises, der nicht auf einer Linie, aber innerhalb eines anderen Kreises rollt.
• Epicycloid: Der Punkt ist am Rand des Kreises, der nicht auf einer Linie, aber außerhalb eines anderen Kreises rollt.
• Hypotrochoid: Weil hypocycloid, aber der Punkt am Rand seines Kreises nicht zu sein braucht.
• Epitrochoid: Weil epicycloid, aber der Punkt am Rand seines Kreises nicht zu sein braucht.

Alle diese Kurven sind Roulettes mit einem entlang einer gleichförmigen Krümmung gerollten Kreis. Der cycloid, epicycloids, und hypocycloids haben das Eigentum, dass jeder seinem evolute ähnlich ist. Wenn q das Produkt dieser Krümmung mit dem Radius des Kreises, unterzeichnet positiv für epi- und negativ für hypo-ist, dann ist das curve:evolute Ähnlichkeitsverhältnis 1 + 2q.

Das klassische Spielzeug von Spirograph verfolgt hypotrochoid und Epitrochoid-Kurven.

Verwenden Sie in der Architektur

Der cycloidal Bogen wurde vom Architekten Louis Kahn in seinem Design für das Kimbell Kunstmuseum im Fort Worth, Texas verwendet. Es wurde auch im Design des Zentrums von Hopkins in Hanover, New Hampshire verwendet.

Siehe auch

• Epicycloid
• Epitrochoid
• Hypocycloid
• Hypotrochoid
• Spirograph

Weiterführende Literatur

• Eine Anwendung von der Physik: Ghatak, A. & Mahadevan, L. Die Crack Street: Das cycloidal Kielwasser eines Zylinders, der durch eine Platte reißt. Physische Rezensionsbriefe, 91, (2003). link.aps.org
• Edward Kasner & James Newman (1940) Mathematik und die Einbildungskraft, Seiten 196-200, Simon & Schuster.

Außenverbindungen

• Wiederbekommen am 27. April 2007.
• Cycloids an der Knoten-Kürzung
• Eine Abhandlung auf Dem Cycloid und allen Formen von Cycloidal-Kurven, Monografie durch Richard A. Proctor, ist Bakkalaureus der philosophischen Fakultät durch die Universität von Cornell Bibliothek dahingeeilt.
• Cycloid Kurven durch Sean Madsen mit Beiträgen durch David von Seggern, Wolfram-Demonstrationsprojekt.
• Cycloid auf PlanetPTC (Mathcad