In der Mathematik und abstrakten Algebra studiert Gruppentheorie die algebraischen als Gruppen bekannten Strukturen.

Das Konzept einer Gruppe ist zur abstrakten Algebra zentral: Andere wohl bekannte algebraische Strukturen, wie Ringe, Felder und Vektorräume können alle als Gruppen gesehen werden, die mit zusätzlichen Operationen und Axiomen ausgestattet sind. Gruppen kehren überall in der Mathematik wieder, und die Methoden der Gruppentheorie haben viele Teile der Algebra stark beeinflusst. Geradlinige algebraische Gruppen und Lügen Gruppen sind zwei Zweige der Gruppentheorie, die enorme Fortschritte erfahren haben und Sachgebiete in ihrem eigenen Recht geworden sind.

Verschiedene physische Systeme, wie Kristalle und das Wasserstoffatom, können von Symmetrie-Gruppen modelliert werden. So haben Gruppentheorie und die nah zusammenhängende Darstellungstheorie viele Anwendungen in der Physik und Chemie.

Eines der wichtigsten mathematischen Ergebnisse des 20. Jahrhunderts war die zusammenarbeitende Anstrengung, mehr als 10,000 Zeitschriftenseiten aufnehmend, und hat größtenteils zwischen 1960 und 1980 veröffentlicht, das hat in einer ganzen Klassifikation von begrenzten einfachen Gruppen kulminiert.

Geschichte

Gruppentheorie hat drei historische Hauptquellen: Zahlentheorie, die Theorie von algebraischen Gleichungen und Geometrie. Das mit der Zahl theoretische Ufer wurde von Leonhard Euler begonnen, und durch die Arbeit von Gauss an der Modularithmetik und dem Zusatz und den multiplicative mit quadratischen Feldern verbundenen Gruppen entwickelt. Frühe Ergebnisse über Versetzungsgruppen wurden von Lagrange, Ruffini und Abel auf ihrer Suche nach allgemeinen Lösungen polynomischer Gleichungen des hohen Grads erhalten. Évariste Galois hat den Begriff "Gruppe" ins Leben gerufen und hat eine Verbindung hergestellt, die jetzt als Theorie von Galois, zwischen der werdenden Theorie von Gruppen und Feldtheorie bekannt ist. In der Geometrie sind Gruppen zuerst wichtig in der projektiven Geometrie und, später, nicht-euklidischen Geometrie geworden. Das Erlangen Programm von Felix Klein hat Gruppentheorie verboten, das Ordnungsprinzip der Geometrie zu sein.

Galois war in den 1830er Jahren erst, um Gruppen anzustellen, um die Lösbarkeit von polynomischen Gleichungen zu bestimmen. Arthur Cayley und Augustin Louis Cauchy haben diese Untersuchungen weiter gestoßen, indem sie die Theorie der Versetzungsgruppe geschaffen haben. Die zweite historische Quelle für Gruppen stammt von geometrischen Situationen. In einem Versuch, zu Griffen mit der möglichen Geometrie (wie euklidische, hyperbolische oder projektive Geometrie) das Verwenden der Gruppentheorie zu kommen, hat Felix Klein das Programm von Erlangen begonnen. Sophus Liegen 1884, angefangen, Gruppen (jetzt genannt zu verwenden, Liegen Gruppen) beigefügt analytischen Problemen. Drittens waren Gruppen (zuerst implizit und später ausführlich) verwendet in der Theorie der algebraischen Zahl.

Das verschiedene Spielraum dieser frühen Quellen ist auf verschiedene Begriffe von Gruppen hinausgelaufen. Die Theorie von Gruppen wurde vereinigt, 1880 anfangend. Seitdem ist der Einfluss der Gruppentheorie jemals gewachsen, die Geburt der abstrakten Algebra am Anfang des 20. Jahrhunderts, der Darstellungstheorie und vieler einflussreicherer Nebenprodukt-Gebiete verursachend. Die Klassifikation von begrenzten einfachen Gruppen ist ein riesengroßer Körper der Arbeit von der Mitte des 20. Jahrhunderts, alle begrenzten einfachen Gruppen klassifizierend.

Hauptklassen von Gruppen

Die Reihe von Gruppen, die betrachten werden, hat sich von begrenzten Versetzungsgruppen und speziellen Beispielen von Matrixgruppen zu abstrakten Gruppen allmählich ausgebreitet, die durch eine Präsentation durch Generatoren und Beziehungen angegeben werden können.

Versetzungsgruppen

Die erste Klasse von Gruppen, um eine systematische Studie zu erleben, war Versetzungsgruppen. In Anbetracht jedes Satzes X und einer Sammlung G Bijektionen X in sich (bekannt als Versetzungen), der unter Zusammensetzungen und Gegenteilen geschlossen wird, ist G eine Gruppe, die X folgt. Wenn X aus n Elementen besteht und G aus allen Versetzungen besteht, ist G die symmetrische Gruppe S; im Allgemeinen ist jede Versetzungsgruppe G eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe X. Ein früher Aufbau wegen Cayley hat jede Gruppe als eine Versetzungsgruppe ausgestellt, sich (X = G) mittels der linken regelmäßigen Darstellung folgend.

In vielen Fällen kann die Struktur einer Versetzungsgruppe mit den Eigenschaften seiner Handlung auf dem entsprechenden Satz studiert werden. Zum Beispiel auf diese Weise beweist man, dass für n  5 die Wechselgruppe A einfach ist, d. h. keine richtigen normalen Untergruppen zulässt. Diese Tatsache spielt eine Schlüsselrolle in der Unmöglichkeit, eine allgemeine algebraische Gleichung des Grads n &ge zu lösen; 5 in Radikalen.

Matrixgruppen

Die folgende wichtige Klasse von Gruppen wird von Matrixgruppen oder geradlinigen Gruppen gegeben. Hier ist G ein Satz, der aus invertible matrices des gegebenen Auftrags n über Feld K besteht, das unter den Produkten und Gegenteilen geschlossen wird. Solch eine Gruppe folgt dem n-dimensional Vektorraum K durch geradlinige Transformationen. Diese Handlung macht Matrixgruppen begrifflich ähnlich Versetzungsgruppen, und die Geometrie der Handlung kann nützlich ausgenutzt werden, um Eigenschaften der Gruppe G zu gründen.

Transformationsgruppen

Versetzungsgruppen und Matrixgruppen sind spezielle Fälle von Transformationsgruppen: Gruppen, die einem bestimmten Raum X Bewahrung seiner innewohnenden Struktur folgen. Im Fall von Versetzungsgruppen, X ist ein Satz; für Matrixgruppen, X ist ein Vektorraum. Das Konzept einer Transformationsgruppe ist nah mit dem Konzept einer Symmetrie-Gruppe verbunden: Transformationsgruppen bestehen oft aus allen Transformationen, die eine bestimmte Struktur bewahren.

Die Theorie von Transformationsgruppen bildet eine Brücke-Verbindungsgruppentheorie mit der Differenzialgeometrie. Eine lange Linie der Forschung, mit der Lüge und Klein entstehend, denkt Gruppenhandlungen auf Sammelleitungen durch homeomorphisms oder diffeomorphisms. Die Gruppen selbst können getrennt oder dauernd sein.

Abstrakte Gruppen

Die meisten Gruppen, die in der ersten Stufe der Entwicklung der Gruppentheorie betrachtet sind, waren "konkret", durch Zahlen, Versetzungen oder matrices begriffen. Erst als das Ende des neunzehnten Jahrhunderts, dass die Idee von einer abstrakten Gruppe als ein Satz mit Operationen, die ein bestimmtes System von Axiomen befriedigen, begonnen hat zu ergreifen. Eine typische Weise, eine abstrakte Gruppe anzugeben, ist durch eine Präsentation durch Generatoren und Beziehungen,

:

Einer bedeutenden Quelle von abstrakten Gruppen wird durch den Aufbau einer Faktor-Gruppe, oder Quotient-Gruppe, G/H, von einer Gruppe G durch eine normale Untergruppe H gegeben. Klassengruppen von Feldern der algebraischen Zahl waren unter den frühsten Beispielen von Faktor-Gruppen von viel Interesse an der Zahlentheorie. Wenn eine Gruppe G eine Versetzungsgruppe auf einem Satz X, die Faktor-Gruppe ist, folgt G/H X nicht mehr; aber die Idee von einer abstrakten Gruppe erlaubt einer, sich über diese Diskrepanz nicht zu sorgen.

Die Änderung der Perspektive vom Beton bis abstrakte Gruppen macht es natürlich, Eigenschaften von Gruppen zu denken, die einer besonderen Verwirklichung, oder auf der modernen Sprache, invariant unter dem Isomorphismus, sowie den Klassen der Gruppe mit einem gegebenen solches Eigentum unabhängig sind: begrenzte Gruppen, periodische Gruppen, einfache Gruppen, lösbare Gruppen, und so weiter. Anstatt Eigenschaften einer individuellen Gruppe zu erforschen, bemüht man sich, Ergebnisse einzusetzen, die für eine ganze Klasse von Gruppen gelten. Das neue Paradigma war der höchsten Bedeutung für die Entwicklung der Mathematik: Es hat die Entwicklung der abstrakten Algebra in den Arbeiten von Hilbert, Emil Artin, Emmy Noether und Mathematikern ihrer Schule ahnen lassen.

Topologische und algebraische Gruppen

Eine wichtige Weiterentwicklung des Konzepts einer Gruppe kommt vor, wenn G mit der zusätzlichen Struktur, namentlich, von einem topologischen Raum, differentiable Sammelleitung oder algebraische Vielfalt ausgestattet ist. Wenn die Gruppenoperationen M (Multiplikation) und ich (Inversion),

:

sind

mit dieser Struktur vereinbar, d. h. sind dauernd, glatt oder regelmäßig (im Sinne der algebraischen Geometrie) Karten dann G werden eine topologische Gruppe, eine Lüge-Gruppe oder eine algebraische Gruppe.

Die Anwesenheit der Extrastruktur verbindet diese Typen von Gruppen mit anderen mathematischen Disziplinen und bedeutet, dass mehr Werkzeuge in ihrer Studie verfügbar sind. Topologische Gruppen bilden ein natürliches Gebiet für die abstrakte harmonische Analyse, wohingegen Liegen, sind Gruppen (oft begriffen als Transformationsgruppen) die Hauptstützen der Differenzialgeometrie und einheitlichen Darstellungstheorie. Bestimmten Klassifikationsfragen, die im Allgemeinen nicht gelöst werden können, kann genähert und für spezielle Unterklassen von Gruppen aufgelöst werden. So, kompakt verbunden Liegen Gruppen sind völlig klassifiziert worden. Es gibt eine fruchtbare Beziehung zwischen unendlichen abstrakten Gruppen und topologischen Gruppen: Wann auch immer eine Gruppe Γ als ein Gitter in einer topologischen Gruppe G begriffen werden kann, geben die Geometrie und Analyse, die G gehört, wichtige Ergebnisse über Γ nach. Eine verhältnismäßig neue Tendenz in der Theorie von begrenzten Gruppen nutzt ihre Verbindungen mit topologischen Kompaktgruppen (pro-begrenzte Gruppen) aus: zum Beispiel hat ein einzelner p-adic analytische Gruppe G eine Familie von Quotienten, die begrenzte P-Gruppen von verschiedenen Ordnungen sind, und Eigenschaften von G in die Eigenschaften seiner begrenzten Quotienten übersetzen.

Kombinatorische und geometrische Gruppentheorie

Gruppen können unterschiedlich beschrieben werden. Begrenzte Gruppen können beschrieben werden, indem sie den Gruppentisch niederschreiben, der aus allen möglichen Multiplikationen besteht. Eine wichtigere Weise, eine Gruppe zu definieren, ist durch Generatoren und Beziehungen, auch genannt die Präsentation einer Gruppe. In Anbetracht jedes Satzes F Generatoren {g}, die freie Gruppe, die durch F surjects auf die Gruppe G erzeugt ist. Der Kern dieser Karte wird Untergruppe von Beziehungen genannt, die durch eine Teilmenge D erzeugt sind. Die Präsentation wird gewöhnlich durch F | D  angezeigt. Zum Beispiel kann die Gruppe Z = a |  durch ein Element (gleich +1 oder −1) und keine Beziehungen, weil n erzeugt werden · 1 ist nie 0 gleich, wenn n Null nicht ist. Eine Schnur, die aus Generator-Symbolen und ihren Gegenteilen besteht, wird ein Wort genannt.

Kombinatorische Gruppentheorie studiert Gruppen von der Perspektive von Generatoren und Beziehungen. Es ist besonders nützlich, wo Endlichkeitsannahmen, zum Beispiel begrenzt erzeugte Gruppen oder begrenzt präsentierte Gruppen zufrieden sind (d. h. außerdem die Beziehungen begrenzt sind). Das Gebiet macht von der Verbindung von Graphen über ihre grundsätzlichen Gruppen Gebrauch. Zum Beispiel kann man zeigen, dass jede Untergruppe einer freien Gruppe frei ist.

Es gibt mehrere natürliche Fragen, die daraus entstehen, eine Gruppe durch seine Präsentation zu geben. Das Wortproblem fragt, ob zwei Wörter effektiv dasselbe Gruppenelement sind. Indem man das Problem mit Maschinen von Turing verbindet, kann man zeigen, dass es im Allgemeinen keinen Algorithmus gibt, diese Aufgabe lösend. Ein anderer ist allgemein härteres, algorithmisch unlösliches Problem das Gruppenisomorphismus-Problem, das fragt, ob zwei durch verschiedene Präsentationen gegebene Gruppen wirklich isomorph sind. Zum Beispiel kann die zusätzliche Gruppe Z ganzer Zahlen auch durch präsentiert werden

:;

es kann nicht offensichtlich sein, dass diese Gruppen isomorph sind.

Geometrische Gruppentheorie greift diese Probleme aus einem geometrischen Gesichtspunkt, entweder durch die Betrachtung von Gruppen als geometrische Gegenstände, oder durch die Entdeckung passender geometrischer Gegenstände an, denen eine Gruppe folgt. Die erste Idee wird genau mittels des Graphen von Cayley gemacht, dessen Scheitelpunkte Gruppenelementen entsprechen und Ränder richtiger Multiplikation in der Gruppe entsprechen. In Anbetracht zwei Elemente baut man das Wort metrisch gegeben durch die Länge des minimalen Pfads zwischen den Elementen. Ein Lehrsatz von Milnor und Svarc sagt dann, dass gegeben eine Gruppe G, auf eine angemessene Weise auf einem metrischen Raum X zum Beispiel handelnd, eine Kompaktsammelleitung, dann G quasiisometrisch ist (d. h. ähnlich vom weiten aussieht) zum Raum X.

Darstellung von Gruppen

Der Ausspruch, dass eine Gruppe G einem Satz X Mittel folgt, dass jedes Element eine bijektive Karte auf einem Satz in einem mit der Gruppenstruktur vereinbaren Weg definiert. Wenn X mehr Struktur hat, ist es nützlich, diesen Begriff weiter einzuschränken: Eine Darstellung von G auf einem Vektorraum V ist ein Gruppenhomomorphismus:

:ρ: G → GL (V),

wo GL (V) aus den invertible geradlinigen Transformationen V besteht. Mit anderen Worten zu jedem Gruppenelement wird g ein automorphism ρ (g) solch dass ρ (g)  ρ (h) = ρ (gh) für jeden h in G zugeteilt.

Diese Definition kann in zwei Richtungen verstanden werden, von denen beide ganze neue Gebiete der Mathematik verursachen. Einerseits kann es neue Information über die Gruppe G nachgeben: Häufig wird die Gruppenoperation in G abstrakt gegeben, aber über ρ entspricht es der Multiplikation von matrices, der sehr ausführlich ist. Andererseits, in Anbetracht einer gut verstandenen Gruppe, die einem komplizierten Gegenstand folgt, vereinfacht das die Studie des fraglichen Gegenstands.

Zum Beispiel, wenn G begrenzt ist, ist es bekannt, dass sich V oben in nicht zu vereinfachende Teile zersetzt. Diese Teile sind viel leichter der Reihe nach lenksam als der Ganze V (über das Lemma von Schur).

In Anbetracht einer Gruppe G fragt Darstellungstheorie dann, welche Darstellungen von G bestehen. Es gibt mehrere Einstellungen, und die verwendeten Methoden und erhaltenen Ergebnisse sind in jedem Fall ziemlich verschieden: Darstellungstheorie von begrenzten Gruppen und Darstellungen von Lüge-Gruppen sind zwei Hauptsubgebiete der Theorie. Die Gesamtheit von Darstellungen wird durch die Charaktere der Gruppe geregelt. Zum Beispiel können Polynome von Fourier als die Charaktere von U (1), die Gruppe von komplexen Zahlen des absoluten Werts 1 interpretiert werden, dem L-Raum von periodischen Funktionen folgend.

Verbindung von Gruppen und Symmetrie

In Anbetracht eines strukturierten Gegenstands X jeder Sorte ist eine Symmetrie des Gegenstands auf sich kartografisch darzustellen, der die Struktur bewahrt. Das kommt in vielen Fällen, zum Beispiel vor

1. Wenn X ein Satz ohne zusätzliche Struktur ist, ist eine Symmetrie eine bijektive Karte vom Satz bis sich, Versetzungsgruppen verursachend.
2. Wenn der Gegenstand X eine Reihe von Punkten im Flugzeug mit seiner metrischen Struktur oder einem anderem metrischem Raum ist, ist eine Symmetrie eine Bijektion des Satzes zu sich, der die Entfernung zwischen jedem Paar von Punkten (eine Isometrie) bewahrt. Die entsprechende Gruppe wird Isometrie-Gruppe X genannt.
3. Wenn stattdessen Winkel bewahrt werden, spricht man von Conformal-Karten. Karten von Conformal verursachen Gruppen von Kleinian zum Beispiel.
4. Symmetries werden auf geometrische Gegenstände nicht eingeschränkt, aber schließen algebraische Gegenstände ebenso ein. Zum Beispiel, die Gleichung

::

:has die zwei Lösungen, und. In diesem Fall ist die Gruppe, die die zwei Wurzeln austauscht, die Gruppe von Galois, die der Gleichung gehört. Jede polynomische Gleichung in einer Variable hat eine Gruppe von Galois, die eine bestimmte Versetzungsgruppe auf seinen Wurzeln ist.

Die Axiome einer Gruppe formalisieren die wesentlichen Aspekte der Symmetrie. Symmetries bilden eine Gruppe: Sie werden geschlossen, weil, wenn Sie eine Symmetrie eines Gegenstands nehmen, und dann eine andere Symmetrie anwenden, das Ergebnis noch eine Symmetrie sein wird. Die Identität, die den befestigten Gegenstand behält, ist immer eine Symmetrie eines Gegenstands. Die Existenz von Gegenteilen wird durch das Aufmachen der Symmetrie versichert, und der associativity kommt aus der Tatsache, dass symmetries Funktionen auf einem Raum sind, und die Zusammensetzung von Funktionen assoziativ ist.

Der Lehrsatz von Frucht sagt, dass jede Gruppe die Symmetrie-Gruppe von einem Graphen ist. So ist jede abstrakte Gruppe wirklich der symmetries von einem ausführlichen Gegenstand.

Der Ausspruch von, "die Struktur" eines Gegenstands zu bewahren, kann genau durch das Arbeiten in einer Kategorie gemacht werden. Karten, die die Struktur bewahren, sind dann der morphisms, und die Symmetrie-Gruppe ist die automorphism Gruppe des fraglichen Gegenstands.

Anwendungen der Gruppentheorie

Anwendungen der Gruppentheorie sind im Überfluss. Fast alle Strukturen in der abstrakten Algebra sind spezielle Fälle von Gruppen. Ringe können zum Beispiel als abelian Gruppen (entsprechend der Hinzufügung) zusammen mit einer zweiten Operation (entsprechend der Multiplikation) angesehen werden. Deshalb unterliegt Gruppe theoretische Argumente großen Teilen der Theorie jener Entitäten.

Theorie von Galois verwendet Gruppen, um den symmetries der Wurzeln eines Polynoms (oder genauer der automorphisms der Algebra zu beschreiben, die durch diese Wurzeln erzeugt sind). Der Hauptsatz der Theorie von Galois stellt eine Verbindung zwischen algebraischen Felderweiterungen und Gruppentheorie zur Verfügung. Es gibt ein wirksames Kriterium für die Lösbarkeit von polynomischen Gleichungen in Bezug auf die Lösbarkeit der entsprechenden Gruppe von Galois. Zum Beispiel ist S, die symmetrische Gruppe in 5 Elementen, nicht lösbar, der andeutet, dass die allgemeine quintic Gleichung von Radikalen in der Weise nicht gelöst werden kann, wie Gleichungen des niedrigeren Grads können. Die Theorie, eine der historischen Wurzeln der Gruppentheorie seiend, wird noch fruchtbar angewandt, um neue Ergebnisse in Gebieten wie Klassenfeldtheorie nachzugeben.

Algebraische Topologie ist ein anderes Gebiet, das prominent Gruppen zu den Gegenständen vereinigt, für die sich die Theorie interessiert. Dort werden Gruppen verwendet, um bestimmten invariants von topologischen Räumen zu beschreiben. Sie werden "invariants" genannt, weil sie auf solche Art und Weise definiert werden, dass sie sich nicht ändern, wenn der Raum etwas Deformierung unterworfen wird. Zum Beispiel "zählt" die grundsätzliche Gruppe, wie viele Pfade im Raum im Wesentlichen verschieden sind. Die Poincaré-Vermutung, die in 2002/2003 durch Grigori Perelman bewiesen ist, ist eine prominente Anwendung dieser Idee. Der Einfluss ist nicht Einrichtungs-, dennoch. Zum Beispiel macht algebraische Topologie von Eilenberg-MacLane Räumen Gebrauch, die Räume mit vorgeschriebenen homotopy Gruppen sind. Ähnlich algebraische K-Theorie-Anteile auf eine entscheidende Weise beim Klassifizieren von Räumen von Gruppen. Schließlich zeigt der Name der Verdrehungsuntergruppe einer unendlichen Gruppe das Vermächtnis der Topologie in der Gruppentheorie.

Algebraische Geometrie und Geheimschrift verwenden ebenfalls Gruppentheorie auf viele Weisen. Varianten von Abelian sind oben eingeführt worden. Die Anwesenheit der Gruppenoperation gibt Zusatzinformation nach, die diese Varianten besonders zugänglich macht. Sie dienen auch häufig als ein Test auf neue Vermutungen. Der eindimensionale Fall, nämlich elliptische Kurven werden im besonderen Detail studiert. Sie sind sowohl theoretisch als auch praktisch faszinierend. Sehr große Gruppen der in der Geheimschrift der Elliptischen Kurve gebauten Hauptordnung dienen für die öffentliche Schlüsselgeheimschrift. Methoden von Cryptographical dieser Art ziehen aus der Flexibilität der geometrischen Gegenstände, folglich ihre Gruppenstrukturen zusammen mit der komplizierten Struktur dieser Gruppen einen Nutzen, die den getrennten Logarithmus sehr hart machen, um zu rechnen. Eines der frühsten Verschlüsselungsprotokolle, der Ziffer von Caesar, kann auch als eine (sehr leichte) Gruppenoperation interpretiert werden. In einer anderen Richtung, toric Varianten sind algebraische durch einen Ring gefolgte Varianten. Toroidal embeddings haben kürzlich zu Fortschritten in der algebraischen Geometrie in der besonderen Entschlossenheit von Eigenartigkeiten geführt.

Theorie der algebraischen Zahl ist ein spezieller Fall der Gruppentheorie dadurch im Anschluss an die Regierungen der Letzteren. Zum Beispiel, die Produktformel von Euler

:\begin {richten }\aus

\sum_ {n\geq 1 }\\frac {1} {n^s} & = \prod_ {p \text {erst}} \frac {1} {1-p^ {-s}} \\

\end {richten }\aus

\! </Mathematik>

gewinnt die Tatsache, dass sich jede ganze Zahl auf eine einzigartige Weise in die Blüte zersetzt. Der Misserfolg dieser Behauptung für allgemeinere Ringe verursacht Klassengruppen und regelmäßige Blüte, die in der Behandlung von Kummer des Letzten Lehrsatzes von Fermat zeigt.

• Das Konzept der Gruppe von Lie (genannt nach dem Mathematiker Sophus Lie) ist in der Studie von Differenzialgleichungen und Sammelleitungen wichtig; sie beschreiben den symmetries von dauernden geometrischen und analytischen Strukturen. Die Analyse auf diese und anderen Gruppen wird harmonische Analyse genannt. Maßnahmen von Haar, der Integrale invariant laut der Übersetzung in einer Gruppe von Lie ist, werden für die Muster-Anerkennung und anderen Bildverarbeitungstechniken verwendet.
• In combinatorics werden der Begriff der Versetzungsgruppe und das Konzept der Gruppenhandlung häufig verwendet, um das Zählen von einer Reihe von Gegenständen zu vereinfachen; sieh im Lemma des besonderen Burnsides.
• Die Anwesenheit des 12-Periodizitäten-im Kreis von Fünfteln gibt Anwendungen der elementaren Gruppentheorie in der Musikmengenlehre nach.
• In der Physik sind Gruppen wichtig, weil sie den symmetries beschreiben, dem die Gesetze der Physik scheinen zu folgen. Gemäß dem Lehrsatz von Noether entspricht jede Symmetrie eines physischen Systems einem Bewahrungsgesetz des Systems. Physiker interessieren sich sehr für Gruppendarstellungen besonders Lüge-Gruppen, da diese Darstellungen häufig den Weg zu den "möglichen" physischen Theorien anspitzen. Beispiele des Gebrauches von Gruppen in der Physik schließen das Standardmodell ein, messen Theorie, die Gruppe von Lorentz und die Gruppe von Poincaré.
• In der Chemie und Material-Wissenschaft werden Gruppen verwendet, um Kristallstrukturen, regelmäßige Polyeder und den symmetries von Molekülen zu klassifizieren. Die zugeteilten Punkt-Gruppen können dann verwendet werden, um physikalische Eigenschaften (wie Widersprüchlichkeit und chirality), spektroskopische Eigenschaften (besonders nützlich für die Spektroskopie von Raman und Infrarotspektroskopie) zu bestimmen, und molekularen orbitals zu bauen.

Siehe auch

• Gruppe (Mathematik)
• Wörterverzeichnis der Gruppentheorie
• Liste von Gruppentheorie-Themen

Referenzen

• Zeigt den Vorteil der Generalisierung von der Gruppe zu groupoid.

• Ein einleitender Studententext im Geist von Texten von Gallian oder Herstein, Gruppen, Ringe, integrierte Gebiete, Felder und Theorie von Galois bedeckend. Freier herunterladbarer PDF mit der offenen Quelle GFDL Lizenz.
• Befördert den praktischen Wert der Gruppentheorie durch das Erklären, wie es zu symmetries in der Physik und den anderen Wissenschaften hinweist.

• Ronan M., 2006. Symmetrie und das Ungeheuer. Presse der Universität Oxford. Internationale Standardbuchnummer 0-19-280722-6. Für Hilfsdiakonen. Beschreibt die Suche, um die grundlegenden Bausteine für begrenzte Gruppen zu finden.

• Eine zeitgenössische Standardverweisung.
• Billig und ziemlich lesbar, aber hat etwas in der Betonung, dem Stil und der Notation datiert.

Links

• Geschichte des abstrakten Gruppenkonzepts

• Höher dimensionale Gruppentheorie Das präsentiert eine Ansicht von der Gruppentheorie als Niveau eine einer Theorie, die sich in allen Dimensionen ausstreckt, und hat Anwendungen in der homotopy Theorie und zu höheren dimensionalen nonabelian Methoden für lokale-zu-global Probleme.
• Plus der Lehrer und das Studentenpaket: Gruppentheorie Dieses Paket bringt alle Artikel über die Gruppentheorie von Plus, die Online-Mathematik-Zeitschrift zusammen, die durch das Millennium-Mathematik-Projekt an der Universität des Cambridges erzeugt ist, Anwendungen und neue Durchbrüche erforschend, und ausführliche Definitionen und Beispiele von Gruppen gebend.
• US-Marine-Akademie-Gruppentheorie führt Eine allgemeine Einführung in die Gruppentheorie mit von Tony Gaglione geschriebenen Übungen.