Topologische Gruppe

In der Mathematik ist eine topologische Gruppe eine Gruppe G zusammen mit einer Topologie auf solchem G, dass die binäre Operation der Gruppe und die umgekehrte Funktion der Gruppe dauernde Funktionen in Bezug auf die Topologie sind. Eine topologische Gruppe ist ein mathematischer Gegenstand sowohl mit einer algebraischen Struktur als auch mit einer topologischen Struktur. So kann man algebraische Operationen wegen der Gruppenstruktur durchführen, und man kann über dauernde Funktionen wegen der Topologie sprechen.

Topologische Gruppen, zusammen mit dauernden Gruppenhandlungen, werden verwendet, um dauernde symmetries zu studieren, die viele Anwendungen zum Beispiel in der Physik haben.

Formelle Definition

Eine topologische Gruppe G ist ein topologischer Raum, und gruppieren Sie sich solch dass die Gruppenoperationen des Produktes:

:

und Einnahme von Gegenteilen:

:

sind dauernde Funktionen. Hier, G × G wird als ein topologischer Raum durch das Verwenden der Produkttopologie angesehen.

Obwohl nicht ein Teil dieser Definition, viele Autoren verlangen, dass die Topologie auf G Hausdorff ist; das entspricht der Identitätskarte, die eine geschlossene Einschließung (folglich auch ein cofibration) ist. Die Gründe und einige gleichwertige Bedingungen, werden unten besprochen. Schließlich ist das nicht eine ernste Beschränkung - jede topologische Gruppe kann Hausdorff auf eine kanonische Mode gemacht werden.

Auf der Sprache der Kategorie-Theorie können topologische Gruppen kurz als Gruppengegenstände in der Kategorie von topologischen Räumen ebenso definiert werden, dass gewöhnliche Gruppen Gruppengegenstände in der Kategorie von Sätzen sind. Bemerken Sie, dass die Axiome in Bezug auf die Karten (binäres Produkt, unäres Gegenteil und nullary Identität) gegeben werden, folglich sind kategorische Definitionen. Das Hinzufügen der weiteren Voraussetzung von Hausdorff (und cofibration) entspricht Raffinierung zu einer Musterkategorie.

Homomorphismus

Ein Homomorphismus zwischen zwei topologischen Gruppen G und H ist gerade ein dauernder Gruppenhomomorphismus G H. Ein Isomorphismus von topologischen Gruppen ist ein Gruppenisomorphismus, der auch ein homeomorphism der zu Grunde liegenden topologischen Räume ist. Das ist stärker als das einfache Verlangen eines dauernden Gruppenisomorphismus - das Gegenteil muss auch dauernd sein. Es gibt Beispiele von topologischen Gruppen, die als gewöhnliche Gruppen, aber nicht als topologische Gruppen isomorph sind. Tatsächlich ist jede nichtgetrennte topologische Gruppe auch eine topologische Gruppe, wenn betrachtet, mit der getrennten Topologie. Die zu Grunde liegenden Gruppen

sind dasselbe, aber als topologische Gruppen dort ist nicht ein Isomorphismus.

Topologische Gruppen, zusammen mit ihrem Homomorphismus, bilden eine Kategorie.

Beispiele

Jede Gruppe kann in eine topologische Gruppe trivial gemacht werden, indem sie es mit der getrennten Topologie denkt; solche Gruppen werden getrennte Gruppen genannt. In diesem Sinn ordnet die Theorie von topologischen Gruppen die von gewöhnlichen Gruppen unter.

Die reellen Zahlen R, zusammen mit der Hinzufügung als Operation und seine übliche Topologie, bilden eine topologische Gruppe. Mehr allgemein ist Euklidischer N-Raum R mit der Hinzufügung und Standardtopologie eine topologische Gruppe. Mehr allgemein noch sind die zusätzlichen Gruppen aller topologischen Vektorräume, wie Banach spaces oder Räume von Hilbert, topologische Gruppen.

Die obengenannten Beispiele sind der ganze abelian. Beispiele von non-abelian topologischen Gruppen werden von den klassischen Gruppen angeführt. Zum Beispiel die allgemeine geradlinige Gruppe kann GL (n, R) des ganzen invertible n-by-n matrices mit echten Einträgen als eine topologische Gruppe mit der definierten Topologie durch die Betrachtung von GL (n, R) als eine Teilmenge des Euklidischen Raums R. angesehen werden

Ein Beispiel einer topologischen Gruppe, die nicht eine Lüge-Gruppe ist, wird durch die rationalen Zahlen Q mit der von R geerbten Topologie angeführt. Das ist ein zählbarer Raum, und er hat die getrennte Topologie nicht. Für ein nonabelian Beispiel, betrachten Sie die Untergruppe von Folgen von R als erzeugt durch zwei Folgen durch vernunftwidrige Vielfachen 2π über verschiedene Äxte.

In jeder Algebra von Banach mit der multiplicative Identität bildet der Satz von invertible Elementen eine topologische Gruppe unter der Multiplikation.

Eigenschaften

Die algebraischen und topologischen Strukturen einer topologischen Gruppe wirken auf nichttriviale Weisen aufeinander. Zum Beispiel in jeder topologischen Gruppe sind der Identitätsbestandteil (d. h. der verbundene Bestandteil, der das Identitätselement enthält), eine geschlossene normale Untergruppe. Das ist, weil, wenn C der Identitätsbestandteil ist, a*C der Bestandteil von G (die Gruppe) ist, a enthaltend. Tatsächlich hat die Sammlung von allen cosets verlassen (oder Recht cosets) C in G ist der Sammlung aller Bestandteile von G gleich. Deshalb wird die Quotient-Topologie, die durch die Quotient-Karte von G bis G/C veranlasst ist, völlig getrennt.

Die Inversionsoperation auf einer topologischen Gruppe G ist ein homeomorphism von G bis sich. Ebenfalls, wenn jedes Elements von G, dann linke oder richtige Multiplikation durch Erträge ein homeomorphism G  G zu sein.

Jede topologische Gruppe kann als ein gleichförmiger Raum auf zwei Weisen angesehen werden; die linke Gleichförmigkeit verwandelt alle linken Multiplikationen in gleichförmig dauernde Karten, während die richtige Gleichförmigkeit ganz richtig Multiplikationen in gleichförmig dauernde Karten wird. Wenn G nicht abelian ist, dann brauchen diese zwei nicht zusammenzufallen. Die gleichförmigen Strukturen erlauben, über Begriffe wie Vollständigkeit, gleichförmige Kontinuität und gleichförmige Konvergenz auf topologischen Gruppen zu sprechen.

Als ein gleichförmiger Raum ist jede topologische Gruppe völlig regelmäßig. Hieraus folgt dass, wenn eine topologische Gruppe T (Kolmogorov) dann ist, es bereits T (Hausdorff), sogar T (Tychonoff) ist.

Jede Untergruppe einer topologischen Gruppe ist selbst eine topologische Gruppe, wenn gegeben, die Subraumtopologie. Wenn H eine Untergruppe von G ist, ist der Satz von linkem oder richtigem cosets G/H ein topologischer Raum, wenn gegeben, die Quotient-Topologie (die feinste Topologie auf G/H, der den natürlichen Vorsprung q macht: G  G/H dauernd). Man kann dass die Quotient-Karte q zeigen: G  ist G/H immer offen.

Jede offene Untergruppe H wird auch geschlossen, da die Ergänzung von H der offene Satz ist, der von der Vereinigung von offenen Sätzen gH für g in G \H gegeben ist.

Wenn H eine normale Untergruppe von G ist, dann die Faktor-Gruppe, G/H wird eine topologische Gruppe, wenn gegeben, die Quotient-Topologie. Jedoch, wenn H in der Topologie von G nicht geschlossen wird, dann wird G/H nicht T sein, selbst wenn G ist. Es ist deshalb natürlich, sich zur Kategorie von T topologischen Gruppen einzuschränken, und die Definition von normalen zum normalen und geschlossenen einzuschränken.

Die von der gewöhnlichen Gruppentheorie bekannten Isomorphismus-Lehrsätze sind in der topologischen Einstellung nicht immer wahr. Das ist, weil ein bijektiver Homomorphismus kein Isomorphismus von topologischen Gruppen zu sein braucht. Die Lehrsätze sind gültig, wenn man bestimmte Beschränkungen der beteiligten Karten legt. Zum Beispiel stellt der erste Isomorphismus-Lehrsatz dass wenn f fest: G  ist H ein Homomorphismus dann G/ker (f) ist zu im (f) isomorph, wenn, und nur wenn die Karte f auf sein Image offen ist.

Wenn H eine Untergruppe von G dann ist, ist der Verschluss von H auch eine Untergruppe. Ebenfalls, wenn H eine normale Untergruppe ist, ist der Verschluss von H normal.

Eine topologische Gruppe G ist Hausdorff, wenn, und nur wenn die triviale Ein-Element-Untergruppe in G geschlossen wird. Wenn G nicht Hausdorff dann ist, kann man eine Gruppe von Hausdorff erhalten, indem man zum Quotient-Raum G/K passiert, wo K der Verschluss der Identität ist. Das ist zur Einnahme des Quotienten von Kolmogorov von G gleichwertig.

Die grundsätzliche Gruppe einer topologischen Gruppe ist immer abelian. Das ist ein spezieller Fall der Tatsache, dass die grundsätzliche Gruppe eines H-Raums abelian ist, da topologische Gruppen H-Räume sind.

Beziehung zu anderen Gebieten der Mathematik

Der besonderen Wichtigkeit in der harmonischen Analyse sind die lokal kompakten Gruppen, weil sie einen natürlichen Begriff des Maßes und integriert, gegeben durch das Maß von Haar zulassen. Die Theorie von Gruppendarstellungen ist fast für begrenzte Gruppen und für topologische Kompaktgruppen identisch. Im Allgemeinen σ-compact Baire sind topologische Gruppen lokal kompakt.

Generalisationen

Verschiedene Generalisationen von topologischen Gruppen können durch die Schwächung der Kontinuitätsbedingungen erhalten werden:

  • Eine halbtopologische Gruppe ist eine Gruppe G mit einer Topologie solch das für jeden c in G die zwei Funktionen G → G definiert dadurch und sind dauernd.
  • Eine quasitopologische Gruppe ist eine halbtopologische Gruppe, in der die Funktionselemente des kartografisch darstellenden zu ihren Gegenteilen auch dauernd ist.
  • Eine paratopologische Gruppe ist eine Gruppe mit einer solcher Topologie, dass die Gruppenoperation dauernd ist.

Siehe auch

Referenzen


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