In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist eine Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion (pdf) oder Dichte einer dauernden zufälligen Variable, eine Funktion, die die Verhältniswahrscheinlichkeit für diese zufällige Variable beschreibt, um einen gegebenen Wert zu übernehmen. Die Wahrscheinlichkeit für die zufällige Variable, um innerhalb eines besonderen Gebiets zu fallen, wird durch das Integral der Dichte dieser Variable über das Gebiet gegeben. Die Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion ist überall nichtnegativ, und sein Integral über den kompletten Raum ist einem gleich.

Die Begriffe "Wahrscheinlichkeitsvertriebsfunktion" und "Wahrscheinlichkeitsfunktion" sind auch manchmal gebraucht worden, um die Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion anzuzeigen. Jedoch ist dieser Gebrauch unter probabilists und Statistikern nicht normal. In anderen Quellen, "kann Wahrscheinlichkeitsvertriebsfunktion" verwendet werden, wenn der Wahrscheinlichkeitsvertrieb als eine Funktion über allgemeine Sätze von Werten definiert wird, oder kann er sich auf die kumulative Vertriebsfunktion beziehen, oder es kann eine Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion aber nicht die Dichte sein. Die weitere Verwirrung der Fachsprache besteht, weil Dichte-Funktion auch dafür verwendet worden ist, was hier die "Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion" genannt wird.

Absolut dauernder univariate Vertrieb

Eine Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion wird meistens mit dem absolut dauernden univariate Vertrieb vereinigt. Eine zufällige Variable X hat Dichte f, wo f eine nichtnegative Lebesgue-Integrable-Funktion, wenn ist:

:

Folglich, wenn F die kumulative Vertriebsfunktion X, dann ist:

:

und (wenn f an x dauernd ist)

,:

Intuitiv kann man an f (x) dx als seiend die Wahrscheinlichkeit von X Fallen innerhalb des unendlich kleinen Zwischenraums [x, x + dx] denken.

Formelle Definition

Diese Definition kann zu jedem Wahrscheinlichkeitsvertrieb mit der mit dem Maß theoretischen Definition der Wahrscheinlichkeit erweitert werden. Eine zufällige Variable X mit Werten in einem Maß-Raum

(gewöhnlich R mit den Sätzen von Borel als messbare Teilmengen) hat als Wahrscheinlichkeitsvertrieb das Maß XP auf: Die Dichte X in Bezug auf eine Verweisung misst μ darauf ist die Radon-Nikodym Ableitung:

:

D. h. f ist jede messbare Funktion mit dem Eigentum dass:

:

für jede messbare Menge.

Diskussion

Im dauernden univariate Fall oben ist das Bezugsmaß das Maß von Lebesgue. Die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion einer getrennten zufälligen Variable ist die Dichte in Bezug auf das Zählen-Maß über den Beispielraum (gewöhnlich der Satz von ganzen Zahlen oder eine Teilmenge davon).

Bemerken Sie, dass es nicht möglich ist, eine Dichte bezüglich eines willkürlichen Maßes zu definieren (d. h. man das Zählen-Maß als eine Verweisung für eine dauernde zufällige Variable nicht wählen kann). Außerdem, wenn es wirklich besteht, ist die Dichte fast überall einzigartig.

Weitere Details

Verschieden von einer Wahrscheinlichkeit kann eine Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion Werte übernehmen, die größer sind als einer; zum Beispiel hat die Rechteckverteilung auf dem Zwischenraum [0, ½] Wahrscheinlichkeitsdichte f (x) = 2 für 0  x  ½ und f (x) = 0 anderswohin.

Die Standardnormalverteilung hat Wahrscheinlichkeitsdichte

:

f (x) = \frac {1} {\\sqrt {2\pi} }\\; e^ {-x^2/2}.

</Mathematik>

Wenn eine zufällige Variable X gegeben wird und sein Vertrieb eine Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion f zulässt, dann kann der erwartete Wert von X (wenn es besteht) als berechnet werden

:

\operatorname {E} [X] = \int_ {-\infty} ^\\infty x \, f (x) \, dx.

</Mathematik>

Nicht jeder Wahrscheinlichkeitsvertrieb hat eine Dichte-Funktion: Der Vertrieb von getrennten zufälligen Variablen tut nicht; noch tut den Kantor-Vertrieb, wenn auch er keinen getrennten Bestandteil hat, d. h., positive Wahrscheinlichkeit keinem individuellen Punkt zuteilt.

Ein Vertrieb hat eine Dichte-Funktion, wenn, und nur wenn seine kumulative Vertriebsfunktion F (x) absolut dauernd ist. In diesem Fall: F ist fast überall differentiable, und seine Ableitung kann als Wahrscheinlichkeitsdichte verwendet werden:

:

\frac {d} {dx} F (x) = f (x).

</Mathematik>

Wenn ein Wahrscheinlichkeitsvertrieb eine Dichte zulässt, dann ist die Wahrscheinlichkeit jedes eines Punkts untergegangen ist Null; dasselbe hält für begrenzte und zählbare Sätze.

Zwei Wahrscheinlichkeitsdichten f und g vertreten denselben Wahrscheinlichkeitsvertrieb genau, wenn sie sich nur auf einer Reihe der Maß-Null von Lebesgue unterscheiden.

Im Feld der statistischen Physik wird eine nichtformelle neue Darlegung der Beziehung oben zwischen der Ableitung der kumulativen Vertriebsfunktion und der Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion allgemein als die Definition der Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion verwendet. Diese abwechselnde Definition ist der folgende:

Wenn dt eine ungeheuer kleine Zahl ist, ist die Wahrscheinlichkeit, die X innerhalb des Zwischenraums eingeschlossen wird (t, t + dt) f (t) dt gleich, oder:

:

\Pr (t

Verbindung zwischen dem getrennten und dauernden Vertrieb

Es ist möglich, bestimmte getrennte zufällige Variablen sowie zufällige Variablen zu vertreten, die sowohl einen dauernden als auch einen getrennten Teil mit einer verallgemeinerten Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion, durch das Verwenden der Delta-Funktion von Dirac einschließen. Lassen Sie uns zum Beispiel eine binäre getrennte zufällige Variable denken, die 1 oder 1 für Werte, mit der Wahrscheinlichkeit ½ jeder nimmt.

Die Dichte der mit dieser Variable vereinigten Wahrscheinlichkeit ist:

:

Mehr allgemein, wenn eine getrennte Variable n verschiedene Werte unter reellen Zahlen nehmen kann, dann ist die verbundene Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion:

:

wo x, …, x die getrennten für die Variable zugänglichen Werte sind und p, …, p die mit diesen Werten vereinigten Wahrscheinlichkeiten sind.

Das vereinigt wesentlich die Behandlung des getrennten und dauernden Wahrscheinlichkeitsvertriebs. Zum Beispiel berücksichtigt der obengenannte Ausdruck Bestimmung statistischer Eigenschaften solch einer getrennten Variable (solcher als sein bösartiges, seine Abweichung und sein kurtosis), von den für einen dauernden Vertrieb der Wahrscheinlichkeit gegebenen Formeln anfangend.

Familien von Dichten

Es ist für Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktionen (und Wahrscheinlichkeitsmassenfunktionen) üblich, parametrisiert zu werden, d. h. unangegeben (und vielleicht zufällig) Rahmen enthaltend. Zum Beispiel wird die Normalverteilung normalerweise in Bezug auf einen bösartigen und eine Abweichung parametrisiert:

:

f (x |\mu, \sigma^2) = \frac {1} {\\sigma\sqrt {2\pi}} e^ {-\frac {(x-\mu) ^2} {2\sigma^2} }\

</Mathematik>

Es ist wichtig, den Unterschied zwischen dem Gebiet einer Familie von Dichten und den Rahmen der Familie zu beachten. Verschiedene Werte der Rahmen beschreiben verschiedenen Vertrieb. Ein gegebener Satz von Rahmen beschreibt einen einzelnen Vertrieb, und das Gebiet ist die wirkliche zufällige Variable, die dieser Vertrieb beschreibt. Von der Perspektive eines gegebenen Vertriebs sind die Rahmen Konstanten und Faktoren in einer Dichte-Funktion, die nur Rahmen, aber nicht Variablen im Gebiet enthalten, sind ein Teil des Normalisierungsfaktors eines Vertriebs und außerhalb des Kerns des Vertriebs. Da die Rahmen Konstanten sind, eine Familie von Dichten in Bezug auf verschiedene Rahmen-Mittel einfach das Ersetzen der neuen Rahmen in die Formel auf die offensichtliche Weise wiederparametrisierend. Das Ändern des Gebiets einer Wahrscheinlichkeitsdichte ist jedoch heikler und verlangt mehr Arbeit: Sieh die Abteilung unten auf der Änderung von Variablen.

Dichten haben mit vielfachen Variablen verkehrt

Für dauernde zufällige Variablen X, …, X, ist es auch möglich, eine Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion zu definieren, die zum Satz als Ganzes häufig vereinigt ist, genannt gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion. Diese Dichte-Funktion wird als eine Funktion der n Variablen definiert, solch, dass, für jedes Gebiet D im n-dimensional Raum der Werte der Variablen X, …, X, die Wahrscheinlichkeit, dass eine Realisierung der Satz-Variable-Fälle innerhalb des Gebiets D ist

:

= \int_D f_ {X_1, \dots, X_N} (x_1, \ldots, x_N) \, dx_1 \cdots dx_N. </math>

Wenn F (x, …, x) = Pr (X  x, …, X  x) die kumulative Vertriebsfunktion des Vektoren ist (X, …, X), dann kann die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion als eine partielle Ableitung geschätzt werden

:

f (x) = \frac {\\partial^n F\{\\teilweiser x_1 \cdots \partial x_n} \bigg | _ x

</Mathematik>

Randdichten

Für i=1, 2, lassen …, n, f (x) die Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion sein, die mit der Variable X vereinigt ist, allein. Das wird die "Rand"-Dichte-Funktion genannt, und kann aus der Wahrscheinlichkeitsdichte abgeleitet werden, die mit den zufälligen Variablen X, …, X durch die Integrierung auf allen Werten des n  1 anderer Variablen vereinigt ist:

:

Unabhängigkeit

Dauernde zufällige Variablen X, …, das X Zulassen einer gemeinsamen Dichte sind der ganze Unabhängige von einander wenn und nur wenn

:

Folgeerscheinung

Wenn die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion eines Vektoren von n zufälligen Variablen factored in ein Produkt von n Funktionen einer Variable sein kann

:

(wo jeder f nicht notwendigerweise eine Dichte ist) dann, sind die n Variablen im Satz der ganze Unabhängige von einander, und die Randwahrscheinlichkeitsdichte-Funktion von jedem von ihnen wird durch gegeben

:

Beispiel

Dieses elementare Beispiel illustriert die obengenannte Definition von mehrdimensionalen Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktionen im einfachen Fall einer Funktion eine Reihe zwei Variablen. Lassen Sie uns einen 2-dimensionalen zufälligen Vektoren von Koordinaten (X, Y) nennen: Die Wahrscheinlichkeit, um im Viertel-Flugzeug von positivem x und y vorzuherrschen, ist

:

= \int_0^\\infty \int_0^\\infty f_ {X, Y} (x, y) \, dx \, dy. </math>

Abhängige Variablen und Änderung von Variablen

Wenn die Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion einer zufälligen Variable X als f (x) gegeben wird, ist es möglich (aber häufig nicht notwendig; sieh unten), die Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion von einer Variable zu berechnen. Das wird auch eine "Änderung der Variable" genannt und wird in der Praxis verwendet, um eine zufällige Variable der willkürlichen Gestalt mit einem bekannten (zum Beispiel Uniform) Zufallszahlengenerator zu erzeugen.

Wenn die Funktion g monotonisch ist, dann ist die resultierende Dichte-Funktion

:

Hier zeigt g die umgekehrte Funktion an.

Das folgt aus der Tatsache, dass die in einem Differenzialgebiet enthaltene Wahrscheinlichkeit invariant unter der Änderung von Variablen sein muss. Das, ist

:

oder

:

Für Funktionen, die nicht monotonisch sind, ist die Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion für y

:

wo n (y) die Zahl von Lösungen in x für die Gleichung ist, und g (y) diese Lösungen sind.

Es ist verführerisch zu denken, dass, um den erwarteten Wert E zu finden (g (X)) man zuerst die Wahrscheinlichkeitsdichte f von der neuen zufälligen Variable finden muss. Jedoch, anstatt zu schätzen

:

man kann stattdessen finden

:

Die Werte der zwei Integrale sind dasselbe in allen Fällen, in denen sowohl X als auch g (X) wirklich Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktionen haben. Es ist nicht notwendig, dass g eine isomorphe Funktion ist. In einigen Fällen wird das letzte Integral viel leichter geschätzt als der erstere.

Vielfache Variablen

Die obengenannten Formeln können zu Variablen verallgemeinert werden (den wir wieder y nennen werden) abhängig von mehr als einer anderer Variable. f (x, …, x) wird die Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion der Variablen anzeigen, von denen y abhängt, und die Abhängigkeit sein soll. Dann ist die resultierende Dichte-Funktion

:

wo das Integral über das komplette (n-1) ist - muss die dimensionale Lösung der subscripted Gleichung und des symbolischen dV durch einen parametrization dieser Lösung für eine besondere Berechnung ersetzt werden; die Variablen x, …, x sind dann natürlich Funktionen dieses parametrization.

Das ist auf das folgende, vielleicht intuitivere Darstellung zurückzuführen: Nehmen Sie An, dass x eine n-dimensional zufällige Variable mit der gemeinsamen Dichte f ist. Wenn, wo H ein bijektiver, differentiable Funktion ist, dann hat y Dichte g:

:

mit dem Differenzial betrachtet als Jacobian des Gegenteils von H, der an y bewertet ist.

Mit der Delta-Funktion (und Unabhängigkeit annehmend), wird dasselbe Ergebnis wie folgt formuliert.

Wenn die Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion von unabhängigen zufälligen Variablen X, als f (x) gegeben werden, ist es möglich, die Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion von einer Variable zu berechnen. Die folgende Formel stellt eine Verbindung zwischen der Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion von Y her, der durch f (y) und f (x) das Verwenden der Delta-Funktion von Dirac angezeigt ist:

:

Summen von unabhängigen zufälligen Variablen

Die Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion der Summe von zwei unabhängigen zufälligen Variablen U und V, von denen jeder eine Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion hat, ist die Gehirnwindung ihrer getrennten Dichte-Funktionen:

:

f_ {U+V} (x) = \int_ {-\infty} ^\\infty f_U (y) f_V (x - y) \, dy

\left (f_ {U} * f_ {V} \right) (x)

</Mathematik>

Es ist möglich, die vorherige Beziehung zu einer Summe von N unabhängigen zufälligen Variablen, mit Dichten U, …, U zu verallgemeinern:

:

f_ {U_ {1} + \ldots + U_ {N}} (x)

\left (f_ {U_ {1}} * \ldots * f_ {U_ {N}} \right) (x)

</Mathematik>

Das kann aus einer Zweiwegeänderung von Variablen abgeleitet werden, die Y=U+V und Z=V ähnlich zum Beispiel unten für den Quotienten von unabhängigen zufälligen Variablen einschließen.

Produkte und Quotienten von unabhängigen zufälligen Variablen

In Anbetracht zwei unabhängiger zufälliger Variablen U und V, von denen jeder eine Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion, die Dichte des Produktes Y=UV und Quotient hat, kann Y=U/V durch eine Änderung von Variablen geschätzt werden.

Beispiel: Quotient-Vertrieb

Um den Quotienten Y=U/V von zwei unabhängigen zufälligen Variablen U und V zu schätzen, definieren Sie die folgende Transformation:

::

Dann kann die gemeinsame Dichte p (Y, Z) durch eine Änderung von Variablen von U, V zu Y, Z geschätzt werden, und Y kann durch das Marginalisieren Z von der gemeinsamen Dichte abgeleitet werden.

Die umgekehrte Transformation ist

::

Die Jacobian Matrix dieser Transformation ist

:

\begin {vmatrix }\

\frac {\\teilweise U\{\\teilweise Y\& \frac {\\teilweise U\{\\teilweise Z\\\

\frac {\\teilweise V\{\\teilweise Y\& \frac {\\teilweise V\{\\teilweise Z\\\

\end {vmatrix }\

\begin {vmatrix }\

Z & Y \\

0 & 1 \\

\end {vmatrix }\

Z.

</Mathematik>

So:

:

Und der Vertrieb von Y kann durch das Marginalisieren Z geschätzt werden:

:

Bemerken Sie, dass diese Methode entscheidend verlangt, dass die Transformation von U, V zu Y, Z bijektiv sind. Die obengenannte Transformation entspricht das, weil Z direkt zurück zu V, und für einen gegebenen V der Quotient kartografisch dargestellt werden kann, ist U/V monotonisch. Das ist ähnlich der Fall für die Summe U+V, Unterschied U-V und Produkt UV.

Genau kann dieselbe Methode verwendet werden, um den Vertrieb anderer Funktionen von vielfachen unabhängigen zufälligen Variablen zu schätzen.

Beispiel: Quotient von zwei Standard normals

In Anbetracht zwei normaler Standardvariablen U und V kann der Quotient wie folgt geschätzt werden. Erstens haben die Variablen die folgenden Dichte-Funktionen:

::

Wir, verwandeln uns wie beschrieben, oben:

::

Das führt:

:\begin {richten }\aus

p (Y) &= \int_ {-\infty} ^ {\\infty} p_U (YZ) \, p_V (Z) \, |Z | \, dZ \\

&= \int_ {-\infty} ^ {\\infty} \frac {1} {\\sqrt {2\pi}} e^ {-Y^2Z^2/2} \frac {1} {\\sqrt {2\pi}} e^ {-Z^2/2} |Z | \, dZ \\

&= \int_ {-\infty} ^ {\\infty} \frac {1} {\\sqrt {2\pi}} e^ {-Y^2Z^2/2} \frac {1} {\\sqrt {2\pi}} e^ {-Z^2/2} |Z | \, dZ \\

&= \int_ {-\infty} ^ {\\infty} \frac {1} {2\pi} e^ {-(Y^2+1) Z^2/2} |Z | \, dZ \\

&= 2\int_ {0} ^ {\\infty} \frac {1} {2\pi} e^ {-(Y^2+1) Z^2/2} Z \, dZ \\

&= \int_ {0} ^ {\\infty} \frac {1} {\\Pi} e^ {-(Y^2+1) u} \, du \quad\quad \text {(lassen} u=Z^2/2\text {), }\\\

&=-\frac {1} {\\Pi (Y^2+1)} e^ {-(Y^2+1) u }\\Bigg] _ {u=0} ^ {\\infty} \\

&= \frac {1} {\\Pi (Y^2+1) }\

\end {richten }\aus</Mathematik>

Das ist ein Standardvertrieb von Cauchy.

Siehe auch

• Wahrscheinlichkeitsmasse fungiert
• Wahrscheinlichkeitsfunktion
• Dichte-Bewertung
• Sekundäres Maß
• Liste des Wahrscheinlichkeitsvertriebs

Bibliografie

:: Die erste Hauptabhandlungsmischen-Rechnung mit der Wahrscheinlichkeitstheorie, ursprünglich in Französisch: Théorie Analytique des Probabilités.

:: Das moderne mit dem Maß theoretische Fundament der Wahrscheinlichkeitstheorie; die ursprüngliche deutsche Version (Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitrechnung) ist 1933 erschienen.

:: Kapitel 7 bis 9 sind über dauernde Variablen. Dieses Buch wird mit der Theorie und den mathematischen Beweisen gefüllt.

Links