Messbare Funktion

In der Mathematik, besonders in der Maß-Theorie, sind messbare Funktionen Struktur bewahrende Funktionen zwischen messbaren Räumen; als solcher bilden sie einen natürlichen Zusammenhang für die Theorie der Integration. Spezifisch, wie man sagt, ist eine Funktion zwischen messbaren Räumen messbar, wenn das Vorimage jeder messbaren Menge messbar, der Situation von dauernden Funktionen zwischen topologischen Räumen analog ist.

Diese Definition kann jedoch irreführend einfach sein, weil spezielle Sorge bezüglich - beteiligte Algebra genommen werden muss. Insbesondere wenn, wie man sagt, eine Funktion messbarer Lebesgue ist, was gemeint wird, wirklich ist das

ist eine messbare Funktion — d. h. das Gebiet und die Reihe vertreten verschieden - Algebra auf demselben zu Grunde liegenden Satz (hier ist die Sigma-Algebra von messbaren Mengen von Lebesgue, und ist die Algebra von Borel auf). Infolgedessen braucht die Zusammensetzung von Lebesgue-messbaren Funktionen nicht Lebesgue-messbar zu sein.

Durch die Tagung, wie man annimmt, wird ein topologischer Raum mit der durch seine offenen Teilmengen erzeugten Algebra von Borel, wenn sonst nicht angegeben, ausgestattet. Meistens wird dieser Raum die reellen Zahlen oder komplexen Zahlen sein. Zum Beispiel ist eine reellwertige messbare Funktion eine Funktion, für die das Vorimage jedes Satzes von Borel messbar ist. Eine Komplex-geschätzte messbare Funktion wird analog definiert. In der Praxis verwenden einige Autoren messbare Funktionen, sich nur auf reellwertige messbare Funktionen in Bezug auf die Algebra von Borel zu beziehen.

Wenn die Werte der Funktion in einem unendlich-dimensionalen Vektorraum statt R oder C liegen, gewöhnlich werden andere Definitionen von measurability, wie schwacher measurability und Bochner measurability verwendet.

In der Wahrscheinlichkeitstheorie vertritt die Sigma-Algebra häufig den Satz der verfügbaren Information, und eine Funktion (in diesem Zusammenhang eine zufällige Variable) ist messbar, wenn, und nur wenn es ein Ergebnis vertritt, das gestützt auf der verfügbaren Information kenntlich ist. Im Gegensatz werden Funktionen, die nicht messbarer Lebesgue sind, allgemein pathologisch mindestens im Feld der Analyse betrachtet.

Formelle Definition

Lassen Sie und seien Sie messbare Räume, meinend, dass und Sätze sind, die mit jeweiligen Sigma-Algebra ausgestattet sind und. Eine Funktion

:

wird gesagt, wenn für jeden messbar zu sein. Der Begriff von measurability hängt von den Sigma-Algebra ab und. Um diese Abhängigkeit zu betonen, wenn eine messbare Funktion ist, werden wir schreiben

:

Spezielle messbare Funktionen

  • Wenn und Räume von Borel sind, wird eine messbare Funktion auch eine Funktion von Borel genannt. Dauernde Funktionen sind Funktionen von Borel, aber nicht alle Funktionen von Borel sind dauernd. Jedoch ist eine messbare Funktion fast eine dauernde Funktion; sieh den Lehrsatz von Luzin. Wenn eine Funktion von Borel zufällig eine Abteilung von einer Karte ist, wird es eine Abteilung von Borel genannt.
  • Eine Lebesgue messbare Funktion ist eine messbare Funktion, wo die Sigma-Algebra von messbaren Mengen von Lebesgue ist, und die Algebra von Borel auf den komplexen Zahlen ist. Messbare Funktionen von Lebesgue sind von Interesse in der mathematischen Analyse, weil sie integriert werden können.
  • Zufällige Variablen sind definitionsgemäß messbare auf Beispielräumen definierte Funktionen.

Eigenschaften von messbaren Funktionen

  • Die Summe und das Produkt von zwei Komplex-geschätzten messbaren Funktionen sind messbar. So ist der Quotient, so lange es keine Abteilung durch die Null gibt.
  • Die Zusammensetzung von messbaren Funktionen ist messbar; d. h., wenn und messbare Funktionen sind, dann so ist. Aber sieh die Verwahrung, Lebesgue-messbare Funktionen in der Einführung zu betrachten.
  • Das (pointwise) Supremum, infimum, Grenze höher, und Grenze, die einer Folge (nämlich, zählbar viele) reellwertiger messbarer Funktionen untergeordnet ist, ist alle ebenso messbar.
  • Die pointwise Grenze einer Folge von messbaren Funktionen ist messbar; bemerken Sie, dass die entsprechende Behauptung für dauernde Funktionen stärkere Bedingungen verlangt als pointwise Konvergenz wie gleichförmige Konvergenz. (Das ist richtig, wenn das Gegengebiet der Elemente der Folge ein metrischer Raum ist. Es ist im Allgemeinen falsch; sieh Seiten 125 und 126 dessen.)

Nichtmessbare Funktionen

Reellwertige in Anwendungen gestoßene Funktionen neigen dazu, messbar zu sein; jedoch ist es nicht schwierig, nichtmessbare Funktionen zu finden.

  • So lange es nichtmessbare Mengen in einem Maß-Raum gibt, gibt es nichtmessbare Funktionen von diesem Raum. Wenn ein messbarer Raum ist und eine nichtmessbare Menge ist, d. h. wenn, dann ist die Anzeigefunktion nichtmessbar (wo mit der Algebra von Borel wie gewöhnlich ausgestattet wird), da das Vorimage der messbaren Menge die nichtmessbare Menge ist. Hier wird durch gegeben
:

1 & \text {wenn} x \in \\

0 & \text {sonst }\

\end {Fälle} </Mathematik>

  • Jede nichtunveränderliche Funktion kann nichtmessbar durch das Ausrüsten des Gebiets und der Reihe mit dem passenden - Algebra gemacht werden. Wenn eine willkürliche nichtunveränderliche, reellwertige Funktion ist, dann nichtmessbar ist, wenn mit der homogenen Algebra ausgestattet wird, da das Vorimage jedes Punkts in der Reihe eine richtige, nichtleere Teilmenge dessen ist, und deshalb darin nicht liegt.

Siehe auch

  • Vektorräume von messbaren Funktionen: die Räume
  • Maß bewahrendes dynamisches System

Referenzen


John Abbott (Begriffserklärung) / Daten des Doktors der Medizin
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