In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist das Lemma von Borel-Cantelli ein Lehrsatz über Folgen von Ereignissen. Im Allgemeinen ist es ein Ergebnis in der Maß-Theorie. Es wird nach Émile Borel und Francesco Paolo Cantelli genannt. Ein zusammenhängendes Ergebnis, manchmal genannt das zweite Lemma von Borel-Cantelli, ist ein teilweises gegenteilige vom ersten Lemma von Borel-Cantelli.

Behauptung des Lemmas für Wahrscheinlichkeitsräume

Lassen Sie (E) eine Folge von Ereignissen in einem Wahrscheinlichkeitsraum sein.

Die Lemma-Staaten von Borel-Cantelli:

:If die Summe der Wahrscheinlichkeiten des E ist begrenzter

::

:then, der die Wahrscheinlichkeit, dass ungeheuer viele von ihnen vorkommen, 0 ist, der, ist

::

Hier, "lim Mund voll" zeigt Grenze an, die der Folge von Ereignissen höher ist, und jedes Ereignis ist eine Reihe von Ergebnissen. D. h. lim Mund voll ist E der Satz von Ergebnissen, die ungeheuer oft innerhalb der unendlichen Folge von Ereignissen (E) vorkommen. Ausführlich,

:

Der Lehrsatz behauptet deshalb dass, wenn die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse E begrenzt ist, dann muss der Satz aller Ergebnisse, die ungeheuer oft "wiederholt" werden, mit der Wahrscheinlichkeitsnull vorkommen. Bemerken Sie, dass keine Annahme der Unabhängigkeit erforderlich ist.

Beispiel

Denken Sie (X) ist eine Folge von zufälligen Variablen mit Pr (X = 0) = 1/n für jeden n. Die Wahrscheinlichkeit, die X = 0 für ungeheuer viele n vorkommt, ist zur Wahrscheinlichkeit der Kreuzung von ungeheuer vielen [X = 0] Ereignisse gleichwertig. Die Kreuzung von ungeheuer vielen solchen Ereignissen ist eine Reihe von für sie alle üblichen Ergebnissen. Jedoch läuft die Summe Pr (X = 0) zu π/6  1.645 = zusammen das 0 Auftreten für ungeheuer viele n ist 0. Fast sicher (d. h., mit der Wahrscheinlichkeit 1), X ist Nichtnull für alle außer begrenzt vielen n.

Beweis

Lassen Sie (E) eine Folge von Ereignissen in einem Wahrscheinlichkeitsraum sein und anzunehmen, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten des E begrenzt ist. Das ist denken Sie:

:

Bemerken Sie, dass die Konvergenz dieser Summe einbezieht:

:

Deshalb, hieraus folgt dass:

:

\Pr\left (\limsup_ {n\to\infty} E_n\right) = \Pr (E_n \text {i.o.}) = \Pr\left (\bigcap_ {N=1} ^\\infty \bigcup_ {n=N} ^\\infty E_n\right)

\leq \inf_ {N \geq 1} \Pr\left (\bigcup_ {n=N} ^\\infty E_n\right) \leq \inf_ {N\geq 1} \sum_ {n=N} ^\\infty \Pr (E_n) = 0

</Mathematik>

wo die Abkürzung "i.o". zeigt "ungeheuer häufig an."

Allgemeine Maß-Räume

Für allgemeine Maß-Räume nimmt das Lemma von Borel-Cantelli die folgende Form an:

:Let &mu; seien Sie ein (positives) Maß auf einem Satz X, mit &sigma;-algebra F, und lassen Sie (A), eine Folge in F sein. Wenn

::

:then

::

Gegenteiliges Ergebnis

Ein zusammenhängendes Ergebnis, manchmal genannt das zweite Lemma von Borel-Cantelli, ist ein teilweises gegenteilige vom ersten Lemma von Borel-Cantelli. Die Lemma-Staaten: Wenn die Ereignisse E unabhängig sind und die Summe der Wahrscheinlichkeiten des E zur Unendlichkeit abweicht, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass ungeheuer viele von ihnen vorkommen, 1. Das ist:

:: Wenn und die Ereignisse, dann unabhängig

sind

Die Annahme der Unabhängigkeit kann zur pairwise Unabhängigkeit geschwächt werden, aber in diesem Fall ist der Beweis schwieriger.

Beispiel

Der unendliche Affe-Lehrsatz ist ein spezieller Fall dieses Lemmas.

Das Lemma kann angewandt werden, um einen Bedeckungslehrsatz in R zu geben. Spezifisch, wenn E eine Sammlung von Lebesgue messbare Teilmengen eines Kompaktsatzes in solchem R dass ist

:

dann gibt es eine Folge F davon übersetzt

:

solch dass

:

abgesondert von einer Reihe der Maß-Null.

Beweis

Nehmen Sie an, dass und die Ereignisse unabhängig sind. Es ist genügend, das Ereignis zu zeigen, dass der E für ungeheuer viele Werte von n nicht vorgekommen ist, hat Wahrscheinlichkeit 0. Das soll gerade sagen, dass es genügend ist, dem zu zeigen

:

Anmerkung dass:

:

1 - \Pr (\limsup_ {n \rightarrow \infty} E_n) &= 1 - \Pr\left (\{E_n\text {i.o. }\\}\\Recht) = \Pr\left (\{E_n \text {i.o. }\\} ^ {c }\\Recht) \\

& = \Pr\left (\left (\bigcap_ {N=1} ^ {\\infty} \bigcup_ {n=N} ^ {\\infty} E_n\right) ^ {c }\\Recht) = \Pr\left (\bigcup_ {N=1} ^ {\\infty} \bigcap_ {n=N} ^ {\\infty} E_n^ {c }\\Recht) \\

&= \Pr\left (\liminf_ {n \rightarrow \infty} E_n^ {c }\\Recht) = \lim_ {N \rightarrow \infty }\\Pr\left (\bigcap_ {n=N} ^ {\\infty} E_n^ {c }\\Recht)

\end {richten }\aus

</Mathematik>

es ist genug sich zu zeigen:. Seitdem er unabhängig gewesen ist:

:

\Pr\left (\bigcap_ {n=N} ^ {\\infty} E_n^ {c }\\Recht)

&= \prod^ {\\infty} _ {n=N }\\Pr\left (E_n^ {c }\\Recht) \\

&= ist \prod^ {\\infty} _ {n=N }\\(1-\Pr\left (E_n\right) \right) \\abgereist

&\\leq \prod^ {\\infty} _ {n=N }\\ist abgereist (1-\Pr (E_n) + \frac {(\Pr (E_n)) ^ {2}} {2!}-\frac {(\Pr (E_n)) ^ {3}} {3!} + \cdots\right) \\

& = ist \prod^ {\\infty} _ {n=N }\\abgereist (\sum^ {\\infty} _ {m=1 }\\frac {(-\pr (E_n)) ^ {M}} {M! }\\Recht) \\

&= \prod^ {\\infty} _ {n=N }\\exp\left (-\pr\left (E_n\right) \right) \\

&= \exp\left (-\sum^ {\\infty} _ {n=N }\\Pr (E_n) \right) \\

&= 0.

\end {richten }\aus</Mathematik>

Das vollendet den Beweis. Wechselweise können wir sehen, indem wir negativ der Logarithmus von beiden Seiten nehmen, um zu kommen:

:

\begin {richten }\aus

- \log\left (\Pr\left (\bigcap_ {n=N} ^ {\\infty} E_n^ {c }\\Recht) \right) &=-\log\left (\prod^ {\\infty} _ {n=N} (1-\Pr (E_n)) \right) \\

&= - \sum^ {\\infty} _ {n=N }\\Klotz (1-\Pr (E_n))

\end {richten }\aus</Mathematik>

Seitdem &minus;log (1 &minus; x)  x für den ganzen x> 0 folgt das Ergebnis ähnlich aus unserer Annahme das

Kopie

Ein anderes zusammenhängendes Ergebnis ist die so genannte Kopie des Lemmas von Borel-Cantelli. Es ist eine Kopie des

Das Lemma im Sinn, dass es eine notwendige und genügend Bedingung für den limsup gibt, um 1 durch das Ersetzen der Unabhängigkeitsannahme durch die völlig verschiedene Annahme zu sein, die Eintönigkeit ist, die für genug große Indizes zunimmt. Dieses Lemma sagt:

Lassen Sie, dass, solch

zu sein

und lassen Sie zeigen die Ergänzung dessen an. Dann kommt die Wahrscheinlichkeit von ungeheuer vielen vor (d. h. mindestens ein kommen vor) ist derjenige, wenn, und nur wenn dort eine ausschließlich zunehmende Folge von positiven solchen ganzen Zahlen dass besteht

:

Dieses einfache Ergebnis kann in Problemen solcher bezüglich des Beispiels diejenigen nützlich sein, die schlagende Wahrscheinlichkeiten für den stochastischen Prozess mit der Wahl der Folge gewöhnlich einschließen, die die Essenz ist.

. . .

• Durrett, Schober. "Wahrscheinlichkeit: Theorie und Beispiele." Duxbury hat Reihe, die Dritte Ausgabe, Bäche/Kohl von Thomson, 2005 vorgebracht.

Links

• Planet-Mathebeweis Bezieht Sich für einen einfachen Beweis des Lemmas von Borel Cantelli