In der Kategorie-Theorie, einem Zweig der Mathematik, stellt eine natürliche Transformation eine Weise zur Verfügung, einen functor in einen anderen umzugestalten, während sie die innere Struktur (d. h. die Zusammensetzung von morphisms) von den beteiligten Kategorien respektiert. Folglich, wie man betrachten kann, ist eine natürliche Transformation "morphism functors". Tatsächlich kann diese Intuition formalisiert werden, um so genannte functor Kategorien zu definieren. Natürliche Transformationen, sind nach Kategorien und functors, einem der grundlegendsten Begriffe der Kategorie-Theorie und erscheinen folglich in der Mehrheit seiner Anwendungen.

Definition

Wenn F und G functors zwischen den Kategorien C und D sind, dann eine natürliche Transformation η von F bis G-Partner zu jedem Gegenstand X in C ein morphism zwischen Gegenständen von D, genannt den Bestandteil von η an X, solch, dass für jeden morphism wir haben:

:

Diese Gleichung kann durch das Ersatzdiagramm günstig ausgedrückt werden

Wenn sowohl F als auch G Kontravariante sind, werden die horizontalen Pfeile in diesem Diagramm umgekehrt. Wenn η eine natürliche Transformation von F bis G ist, schreiben wir auch oder. Das wird auch durch den Ausspruch ausgedrückt, dass die Familie von morphisms in X natürlich ist.

Wenn, für jeden Gegenstand X in C, der morphism η ein Isomorphismus in D ist, dann, wie man sagt, ist η (oder manchmal natürliche Gleichwertigkeit oder Isomorphismus von functors). Zwei functors F und G werden natürlich isomorph oder einfach isomorph genannt, wenn dort ein natürlicher Isomorphismus von F bis G besteht.

Eine infranatural Transformation η von F bis G ist einfach eine Familie von morphisms. So ist eine natürliche Transformation eine infranatural Transformation für der für jeden morphism. Der naturalizer von η, nat (η), ist die größte Unterkategorie von C, der alle Gegenstände von C enthält, auf dem η auf eine natürliche Transformation einschränkt.

Beispiele

Entgegengesetzte Gruppe

Behauptungen wie

: "Jede Gruppe ist zu seiner entgegengesetzten Gruppe" natürlich isomorph

haben Sie an moderner Mathematik Überfluss. Wir werden jetzt die genaue Bedeutung dieser Behauptung sowie seines Beweises geben. Betrachten Sie die Kategorie als Grp aller Gruppen mit dem Gruppenhomomorphismus als morphisms. Wenn (G, *) eine Gruppe ist, definieren wir seine entgegengesetzte Gruppe (G, *) wie folgt: G ist derselbe Satz wie G, und die Operation * wird dadurch definiert. Alle Multiplikationen in G werden so "umgedreht". Das Formen der entgegengesetzten Gruppe wird (kovariant!) functor von Grp bis Grp, wenn wir für einen Gruppenhomomorphismus definieren. Bemerken Sie, dass f tatsächlich ein Gruppenhomomorphismus von G bis H ist:

:f (* b) = f (b * a) = f (b) * f (a) = f (a) * f (b).

Der Inhalt der obengenannten Behauptung ist:

: "Die Identität functor ist zum Gegenteil functor natürlich isomorph."

Um das zu beweisen, müssen wir Isomorphismus für jede Gruppe G, solch zur Verfügung stellen, dass das obengenannte Diagramm pendelt. Satz. Die Formeln und Show, dass η ein Gruppenhomomorphismus ist, der sein eigenes Gegenteil ist. Um den naturality zu beweisen, fangen wir mit einem Gruppenhomomorphismus und Show, d. h. für alle in G an. Das ist seitdem wahr, und jeder Gruppenhomomorphismus hat das Eigentum.

Doppelt Doppel-eines begrenzten dimensionalen Vektorraums

Wenn K ein Feld ist, dann für jeden Vektorraum V über K haben wir eine "natürliche" injective geradlinige Karte vom Vektorraum in seinen doppelten Doppel-. Diese Karten sind im folgenden Sinn "natürlich": Die doppelte Doppeloperation ist ein functor, und die Karten sind die Bestandteile einer natürlichen Transformation von der Identität functor zum doppelten Doppelfunctor.

Gegenbeispiel: Doppel-eines endlich-dimensionalen Vektorraums

Jeder endlich-dimensionale Vektorraum ist zu seinem Doppelraum isomorph, aber dieser Isomorphismus verlässt sich auf eine willkürliche Wahl des Isomorphismus (zum Beispiel, über die Auswahl einer Basis und dann Einnahme des Isomorphismus, diese Basis an die entsprechende Doppelbasis sendend). Es gibt im Allgemeinen keinen natürlichen Isomorphismus zwischen einem endlich-dimensionalen Vektorraum und seinem Doppelraum. Jedoch haben zusammenhängende Kategorien (mit der zusätzlichen Struktur und den Beschränkungen der Karten) wirklich einen natürlichen Isomorphismus, wie beschrieben, unten.

Der Doppelraum eines endlich-dimensionalen Vektorraums ist wieder ein endlich-dimensionaler Vektorraum derselben Dimension, und diese sind so isomorph, da Dimension der einzige invariant von endlich-dimensionalen Vektorräumen über ein gegebenes Feld ist. Jedoch, ohne zusätzliche Daten (wie eine Basis), gibt es keine gegebene Karte von einem Raum bis seinen Doppel-, und so verlangt solch ein Isomorphismus eine Wahl und ist "nicht natürlich". Auf der Kategorie von endlich-dimensionalen Vektorräumen und geradlinigen Karten kann man einen infranatural Isomorphismus von Vektorräumen bis ihren Doppel-definieren, indem man einen Isomorphismus für jeden Raum wählt (sagen Sie, indem Sie eine Basis für jeden Vektorraum wählen und den entsprechenden Isomorphismus nehmen), aber das wird keine natürliche Transformation definieren. Intuitiv ist das, weil es eine Wahl streng verlangt hat, weil jede solche Wahl des Isomorphismus mit allen geradlinigen Karten nicht pendeln wird; sieh für die ausführliche Diskussion.

Von endlich-dimensionalen Vektorräumen (als Gegenstände) und der Doppelfunctor anfangend, kann man einen natürlichen Isomorphismus definieren, aber das verlangt zuerst das Hinzufügen der zusätzlichen Struktur, dann die Karten aus "allen geradlinigen Karten" zu "geradlinigen Karten einschränkend, die diese Struktur respektieren". Ausführlich, für jeden Vektorraum, verlangen Sie, dass er mit den Daten eines Isomorphismus zu seinem Doppel-Mit anderen Worten kommt, nehmen Sie als Gegenstand-Vektorräume mit einer nichtdegenerierten bilinearen Form Das definiert einen infranatural Isomorphismus (Isomorphismus für jeden Gegenstand). Man schränkt dann die Karten auf nur jene Karten ein, die mit diesen Isomorphismus eintauschen (schränkt auf den naturalizer von η ein), mit anderen Worten, schränken Sie auf die Karten ein, die die bilineare Form nicht ändern: Die resultierende Kategorie, mit Gegenständen endlich-dimensionale Vektorräume mit einer nichtdegenerierten bilinearen Form und geradlinige Karten gestalten diese Rücksicht die bilineare Form um, durch den Aufbau hat einen natürlichen Isomorphismus von der Identität bis den Doppel-(jeder Raum hat einen Isomorphismus zu seinem Doppel-, und die Karten in der Kategorie sind erforderlich zu pendeln). Angesehen in diesem Licht verwandelt sich dieser Aufbau (tragen bei, für jeden Gegenstand, schränken Sie Karten ein, um mit diesen zu pendeln), ist völlig allgemein, und hängt von keinen besonderen Eigenschaften von Vektorräumen ab.

In dieser Kategorie (endlich-dimensionale Vektorräume mit einer nichtdegenerierten bilinearen Form, geradlinige Karten gestalten diese Rücksicht die bilineare Form um), kann die Doppel-von einer Karte zwischen Vektorräumen als ein Umstellen identifiziert werden. Häufig aus Gründen vom geometrischen Interesse wird das zu einer Unterkategorie durch das Verlangen spezialisiert, dass die nichtdegenerierten bilinearen Formen zusätzliche Eigenschaften, solcher als symmetrisch seiend (orthogonaler matrices), symmetrisch und positiv bestimmt (Skalarprodukt-Raum), symmetrischer sesquilinear (Räume von Hermitian) haben, - symmetrisch und völlig isotropisch (symplectic Vektorraum), usw. - in allen diesen Kategorien verdrehen, wird ein Vektorraum mit seinem Doppel-durch die nichtdegenerierte bilineare Form natürlich identifiziert.

Tensor-hom adjunction

Betrachten Sie die Kategorie als Ab von abelian Gruppen und Gruppenhomomorphismus. Für alle abelian Gruppen X Y und Z haben wir einen Gruppenisomorphismus

:.

Dieser Isomorphismus ist im Sinn "natürlich", dass sie eine natürliche Transformation zwischen beteiligtem functors der zwei definieren.

Das ist formell der Tensor-hom adjunction, und ist ein archetypisches Beispiel eines Paares von adjoint functors. Natürliche Transformationen entstehen oft in Verbindung mit adjoint functors, und tatsächlich, adjoint werden functors durch einen bestimmten natürlichen Isomorphismus definiert. Zusätzlich kommt jedes Paar von adjoint functors ausgestattet mit zwei natürlichen Transformationen (allgemein nicht Isomorphismus) hat die Einheit und counit genannt.

Unnatürlicher Isomorphismus

Der Begriff einer natürlichen Transformation, ist und Staaten (informell) kategorisch, dass eine besondere Karte zwischen functors durchweg über eine komplette Kategorie getan werden kann. Informell wird eine besondere Karte (besonders ein Isomorphismus) zwischen individuellen Gegenständen (nicht komplette Kategorien) einen "natürlichen Isomorphismus" genannt, implizit bedeutend, dass sie wirklich auf der kompletten Kategorie definiert wird, und eine natürliche Transformation von functors definiert; das Formalisieren dieser Intuition war ein Motivieren-Faktor in der Entwicklung der Kategorie-Theorie. Umgekehrt kann eine besondere Karte zwischen besonderen Gegenständen einen unnatürlichen Isomorphismus genannt werden (oder "dieser Isomorphismus ist" nicht natürlich), wenn die Karte zu einer natürlichen Transformation auf der kompletten Kategorie nicht erweitert werden kann. In Anbetracht eines Gegenstands X, ein functor G (für die Einfachheit der erste functor nehmend, um die Identität zu sein), und ein Isomorphismus-Beweis von unnaturality wird durch das Geben eines automorphism am leichtesten gezeigt, der mit diesem Isomorphismus (so) nicht pendelt. Stärker, wenn man beweisen möchte, dass X und G (X) ohne Berücksichtigung eines besonderen Isomorphismus nicht natürlich isomorph sind, verlangt das Vertretung dass für jeden Isomorphismus η, es gibt einige, mit dem es nicht pendelt; in einigen Fällen ein einzelner automorphism Arbeiten für den ganzen Kandidat-Isomorphismus η, während in anderen Fällen man zeigen muss, wie man einen verschiedenen für jeden Isomorphismus baut. Die Karten der Kategorie spielen eine entscheidende Rolle - irgendwelche infranatural verwandeln sich ist natürlich, wenn die einzigen Karten die Identitätskarte zum Beispiel sind.

Das ist ähnlich (aber kategorischer) zu Konzepten in der Gruppentheorie oder Modul-Theorie, wo eine gegebene Zergliederung eines Gegenstands in eine direkte Summe "nicht natürlich" oder eher "nicht einzigartig ist", weil automorphisms bestehen, die die Zergliederung der direkten Summe nicht bewahren - sieh Struktur-Lehrsatz für begrenzt erzeugte Module über ein Hauptideal domain#Uniqueness zum Beispiel.

Einige Autoren unterscheiden notationally, mit  für einen natürlichen Isomorphismus und  für einen unnatürlichen Isomorphismus, = für die Gleichheit (gewöhnlich Gleichheit von Karten) vorbestellend.

Operationen mit natürlichen Transformationen

Wenn und natürliche Transformationen zwischen functors sind, dann können wir sie zusammensetzen, um eine natürliche Transformation zu bekommen. Das wird componentwise getan:. Diese "vertikale Zusammensetzung" der natürlichen Transformation ist assoziativ und hat eine Identität, und erlaubt, die Sammlung des ganzen functors selbst als eine Kategorie zu denken (sieh unten unter Kategorien von Functor).

Natürliche Transformationen haben auch eine "horizontale Zusammensetzung". Wenn eine natürliche Transformation zwischen functors ist und eine natürliche Transformation zwischen functors ist, dann erlaubt die Zusammensetzung von functors eine Zusammensetzung von natürlichen Transformationen. Diese Operation ist auch mit der Identität assoziativ, und die Identität fällt damit für die vertikale Zusammensetzung zusammen. Die zwei Operationen sind durch eine Identität verbunden, die vertikale Zusammensetzung mit der horizontalen Zusammensetzung austauscht.

Wenn eine natürliche Transformation zwischen functors ist, und ein anderer functor ist, dann können wir die natürliche Transformation bilden, indem wir definieren

:

Wenn andererseits ein functor ist, wird die natürliche Transformation durch definiert

:

Kategorien von Functor

Wenn C eine Kategorie ist und ich eine kleine Kategorie bin, können wir die functor Kategorie C bilden, als Gegenstände der ganze functors von mir bis C und als morphisms die natürlichen Transformationen zwischen jenen functors habend. Das bildet eine Kategorie seitdem für jeden functor F es gibt eine Identität natürliche Transformation (der jedem Gegenstand X die Identität morphism auf F (X) zuteilt) und die Zusammensetzung von zwei natürlichen Transformationen (die "vertikale Zusammensetzung" oben) wieder eine natürliche Transformation ist.

Der Isomorphismus in C ist genau der natürliche Isomorphismus. D. h. eine natürliche Transformation ist ein natürlicher Isomorphismus, wenn, und nur wenn dort eine natürliche solche Transformation dass besteht und.

Die functor Kategorie C ist besonders nützlich, wenn ich aus einem geleiteten Graphen entstehe. Zum Beispiel, wenn ich die Kategorie des geleiteten Graphen bin, dann hat C als Gegenstände der morphisms von C, und ein morphism zwischen und in C ist ein Paar von morphisms und in solchem C, dass das "Quadrat pendelt", d. h.

Mehr allgemein kann man die 2-Kategorien-Cat deren bauen

• 0 Zellen (Gegenstände) sind die kleinen Kategorien,
• 1 Zellen (Pfeile) zwischen zwei Gegenständen und sind der functors von zu,
• 2 Zellen zwischen zwei 1 Zellen (functors) und sind die natürlichen Transformationen von dazu.

Die horizontalen und vertikalen Zusammensetzungen sind die Zusammensetzungen zwischen natürlichen Transformationen beschrieben vorher. Eine functor Kategorie ist dann einfach eine Hom-Kategorie in dieser Kategorie (Kleinheitsprobleme beiseite).

Lemma von Yoneda

Wenn X ein Gegenstand einer lokal kleinen Kategorie C ist, dann definiert die Anweisung einen kovarianten functor. Dieser functor wird wiederpräsentabel genannt (mehr allgemein, ein wiederpräsentabler functor ist jeder functor, der natürlich zu diesem functor für eine passende Wahl X isomorph ist). Die natürlichen Transformationen von einem wiederpräsentablen functor bis einen willkürlichen functor sind völlig bekannt und leicht zu beschreiben; das ist der Inhalt des Lemmas von Yoneda.

Historische Zeichen

Wie man

sagt, hat sich Saunders Mac Lane, einer der Gründer der Kategorie-Theorie, geäußert, "Ich habe Kategorien nicht erfunden, um functors zu studieren; ich habe sie erfunden, um natürliche Transformationen zu studieren." Da die Studie von Gruppen ohne eine Studie des Homomorphismus nicht abgeschlossen ist, so ist die Studie von Kategorien ohne die Studie von functors nicht abgeschlossen. Der Grund für die Anmerkung von Mac Lane besteht darin, dass die Studie von functors selbst ohne die Studie von natürlichen Transformationen nicht abgeschlossen ist.

Der Zusammenhang der Bemerkung der Mac Lane war die axiomatische Theorie der Homologie. Wie man zeigen konnte, sind verschiedene Weisen, Homologie zu bauen, zusammengefallen: Zum Beispiel im Fall von einem simplicial Komplex haben die Gruppen definiert direkt würde zu denjenigen der einzigartigen Theorie isomorph sein. Was ohne die Sprache von natürlichen Transformationen nicht leicht ausgedrückt werden kann, ist, wie Homologie-Gruppen mit morphisms zwischen Gegenständen vereinbar sind, und wie zwei gleichwertige Homologie-Theorien nicht nur dieselben Homologie-Gruppen, sondern auch denselben morphisms zwischen jenen Gruppen haben.

Siehe auch

• Transformation von Extranatural

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