In der Mathematik ist eine abelian Kategorie eine Kategorie, in der morphisms und Gegenstände hinzugefügt werden können, und in dem Kerne und cokernels bestehen und wünschenswerte Eigenschaften haben. Das Motivieren-Prototyp-Beispiel einer abelian Kategorie ist die Kategorie von abelian Gruppen, Ab. Die Theorie ist in einem versuchsweisen Versuch entstanden, mehrere cohomology Theorien von Alexander Grothendieck zu vereinigen. Kategorien von Abelian sind sehr stabile Kategorien, zum Beispiel sind sie regelmäßig, und sie befriedigen das Schlange-Lemma. Die Klasse von Kategorien von Abelian wird unter mehreren kategorischen Aufbauten, zum Beispiel, der Kategorie von Kettenkomplexen einer Kategorie von Abelian geschlossen, oder die Kategorie von functors von einer kleinen Kategorie bis eine Kategorie von Abelian ist Abelian ebenso. Diese Stabilitätseigenschaften machen sie unvermeidlich in der homological Algebra und darüber hinaus; die Theorie hat Hauptanwendungen in der algebraischen Geometrie, cohomology und reine Kategorie-Theorie. Kategorien von Abelian werden nach Niels Henrik Abel genannt.

Definitionen

Eine Kategorie ist abelian wenn

• es hat einen Nullgegenstand,
• es hat alle binären Produkte und binären coproducts und
• der ganze monomorphisms und epimorphisms sind normal.

Diese Definition ist zur folgenden "stückchenweisen" Definition gleichwertig:

• Eine Kategorie ist vorzusätzlich, wenn sie über die monoidal Kategorie Ab von abelian Gruppen bereichert wird. Das bedeutet, dass alle Hom-Sätze abelian Gruppen sind und die Zusammensetzung von morphisms bilinear ist.
• Eine vorzusätzliche Kategorie ist zusätzlich, wenn jeder begrenzte Satz von Gegenständen einen biproduct hat. Das bedeutet, dass wir begrenzte direkte Summen und direkte Produkte bilden können.
• Eine zusätzliche Kategorie ist preabelian, wenn jeder morphism sowohl einen Kern als auch einen cokernel hat.
• Schließlich ist eine preabelian Kategorie abelian, wenn jeder monomorphism und jeder epimorphism normal sind. Das bedeutet, dass jeder monomorphism ein Kern von einem morphism ist, und jeder epimorphism ein cokernel von einem morphism ist.

Bemerken Sie, dass die bereicherte Struktur auf Hom-Sätzen eine Folge der drei Axiome der ersten Definition ist. Das hebt die foundational Relevanz der Kategorie von Gruppen von Abelian in der Theorie und seiner kanonischen Natur hervor.

Das Konzept der genauen Folge entsteht natürlich in dieser Einstellung, und es stellt sich heraus, dass genaue functors, d. h. der functors Bewahrung genauer Folgen in verschiedenen Sinnen, der relevante functors zwischen Kategorien von Abelian sind. Dieses Genauigkeitskonzept ist axiomatized in der Theorie von genauen Kategorien gewesen, einen ganz besonderen Fall von regelmäßigen Kategorien bildend.

Beispiele

• Wie oben erwähnt ist die Kategorie aller abelian Gruppen eine abelian Kategorie. Die Kategorie von allen hat begrenzt abelian Gruppen erzeugt ist auch eine abelian Kategorie, wie die Kategorie aller begrenzten abelian Gruppen ist.
• Wenn R ein Ring ist, dann ist die Kategorie von allen verlassen (oder Recht) Module über R eine abelian Kategorie. Tatsächlich kann es gezeigt werden, dass jede kleine abelian Kategorie zu einer vollen Unterkategorie solch einer Kategorie von Modulen (der Einbetten-Lehrsatz von Mitchell) gleichwertig ist.
• Wenn R ein nach-links-noetherian Ring ist, dann ist die Kategorie begrenzt erzeugter linker Module über R abelian. Insbesondere die Kategorie begrenzt erzeugter Module über einen noetherian Ersatzring ist abelian; auf diese Weise, abelian Kategorien tauchen in der Ersatzalgebra auf.
• Als spezielle Fälle der zwei vorherigen Beispiele: Die Kategorie von Vektorräumen über ein festes Feld k ist abelian, wie die Kategorie von endlich-dimensionalen Vektorräumen über k ist.
• Wenn X ein topologischer Raum ist, dann die Kategorie von allen (echt oder kompliziert) Vektor-Bündel auf X sind nicht gewöhnlich eine abelian Kategorie, weil es monomorphisms geben kann, die nicht Kerne sind.
• Wenn X ein topologischer Raum ist, dann ist die Kategorie aller Bündel von abelian Gruppen auf X eine abelian Kategorie. Mehr allgemein ist die Kategorie von Bündeln von abelian Gruppen auf einer Seite von Grothendieck eine abelian Kategorie. Auf diese Weise, abelian Kategorien tauchen in der algebraischen Topologie und algebraischen Geometrie auf.
• Wenn C eine kleine Kategorie ist und A eine abelian Kategorie, dann die Kategorie des ganzen functors von C bis Formen eine abelian Kategorie ist. Wenn C klein und, dann die Kategorie des ganzen Zusatzes functors von C bis auch Formen eine abelian Kategorie vorzusätzlich ist. Der Letztere ist eine Generalisation des R-Modul-Beispiels, da ein Ring als eine vorzusätzliche Kategorie mit einem einzelnen Gegenstand verstanden werden kann.

Die Axiome von Grothendieck

In seinem Artikel Tôhoku hat Grothendieck vier zusätzliche Axiome verzeichnet (und ihr duals), den eine abelian Kategorie A befriedigen könnte. Diese Axiome sind noch in der üblichen Anwendung bis jetzt. Sie sind der folgende:

• AB3) Für jeden Satz Gegenstände von A besteht der coproduct *A in (d. h. A ist cocomplete).
• AB4) A befriedigt AB3), und der coproduct einer Familie von monomorphisms ist ein monomorphism.
• AB5) A befriedigt AB3), und gefilterte colimits von genauen Folgen sind genau.

und ihr duals

• AB3 *) Für jeden Satz Gegenstände von A besteht der Produkt-PAPA in (d. h. A ist abgeschlossen).
• AB4 *) A befriedigt AB3 *), und das Produkt einer Familie von epimorphisms ist ein epimorphism.
• AB5 *) A befriedigt AB3 *), und gefilterte Grenzen von genauen Folgen sind genau.

Axiom-AB1) und AB2) wurden auch gegeben. Sie sind, was eine zusätzliche Kategorie abelian macht. Spezifisch:

• AB1) Jeder morphism hat einen Kern und einen cokernel.
• AB2) Für jeden morphism f ist der kanonische morphism von coim f zu im f ein Isomorphismus.

Grothendieck hat auch Axiomen AB6 gegeben) und AB6 *).

Elementare Eigenschaften

In Anbetracht jedes Paares A, B Gegenstände in einer abelian Kategorie, gibt es eine spezielle Null morphism von bis B.

Das kann als das Nullelement des Hom-Satzes Hom (A, B) definiert werden, da das eine abelian Gruppe ist.

Wechselweise kann es als die einzigartige Zusammensetzung A-> 0-> B definiert werden, wo 0 der Nullgegenstand der abelian Kategorie ist.

In einer abelian Kategorie kann jeder morphism f als die Zusammensetzung eines von einem monomorphism gefolgten epimorphism geschrieben werden.

Dieser epimorphism wird den coimage von f genannt, während der monomorphism das Image von f genannt wird.

Subgegenstände und Quotient-Gegenstände sind in abelian Kategorien wohl erzogen.

Zum Beispiel ist der poset von Subgegenständen jedes gegebenen Gegenstands A ein begrenztes Gitter.

Jede abelian Kategorie A ist ein Modul über die monoidal Kategorie begrenzt erzeugter abelian Gruppen; d. h. wir können ein Tensor-Produkt einer begrenzt erzeugten abelian Gruppe G und jedes Gegenstands A bilden.

Die abelian Kategorie ist auch ein comodule; Hom (G, A) kann als ein Gegenstand von A interpretiert werden.

Wenn A abgeschlossen ist, dann können wir die Voraussetzung entfernen, dass G begrenzt erzeugt werden; am meisten allgemein können wir uns formen finitary hat Grenzen in A bereichert.

Zusammenhängende Konzepte

Kategorien von Abelian sind die allgemeinste Einstellung für die homological Algebra.

Alle in diesem Feld verwendeten Aufbauten, sind wie genaue Folgen, und besonders kurze genaue Folgen und abgeleiteter functors wichtig.

Wichtige Lehrsätze, die in allen abelian Kategorien gelten, schließen das fünf Lemma (und das kurze fünf Lemma als ein spezieller Fall), sowie das Schlange-Lemma (und das neun Lemma als ein spezieller Fall) ein.

Geschichte

Kategorien von Abelian wurden durch (unter dem Namen der "genauen Kategorie") eingeführt, und um verschiedene cohomology Theorien zu vereinigen. Zurzeit gab es eine cohomology Theorie für Bündel und eine cohomology Theorie für Gruppen. Die zwei wurden verschieden definiert, aber sie hatten ähnliche Eigenschaften. Tatsächlich wurde viel Kategorie-Theorie als eine Sprache entwickelt, um diese Ähnlichkeiten zu studieren. Grothendieck hat die zwei Theorien vereinigt: Sie beide, entstehen wie abgeleitet, functors auf abelian Kategorien; die abelian Kategorie von Bündeln von abelian Gruppen auf einem topologischen Raum und die abelian Kategorie von G-Modulen für eine gegebene Gruppe G.