In der Mathematik ist eine Injective-Funktion eine Funktion, die Klarheit bewahrt: Es stellt nie verschiedene Elemente seines Gebiets zu demselben Element seines codomain kartografisch dar. Mit anderen Worten wird jedes Element des codomain der Funktion zu durch höchstens ein Element seines Gebiets kartografisch dargestellt. Wenn außerdem alle Elemente im codomain tatsächlich zu durch ein Element des Gebiets kartografisch dargestellt werden, dann, wie man sagt, ist die Funktion bijektiv (sieh Zahlen).

Eine Injective-Funktion wird eine Einspritzung genannt, und wird auch gesagt, eine isomorphe Funktion zu sein (um mit der isomorphen Ähnlichkeit, d. h. einer bijektiven Funktion nicht verwirrt zu sein). Gelegentlich wird eine Injective-Funktion von X bis Y mit einem Pfeil mit einem Schwanz mit Stacheln angezeigt. Der Satz von Injective-Funktionen von X bis Y kann Y angezeigt werden, auf den das Verwenden einer Notation zurückzuführen gewesen ist, der gewöhnt gewesen ist, um factorial Mächte seitdem zu fallen, wenn X und Y begrenzte Sätze mit beziehungsweise der M und den n Elementen sind, ist die Zahl von Einspritzungen von X bis Y n (sieh den twelvefold Weg).

Eine Funktion f, der nicht injective ist, wird manchmal many-one genannt. (Jedoch wird diese Fachsprache auch manchmal verwendet, "um einzeln geschätzt" zu bedeuten, d. h. jedes Argument wird zu höchstens einem Wert kartografisch dargestellt; das ist für jede Funktion der Fall, aber wird verwendet, um die Opposition mit mehrgeschätzten Funktionen zu betonen, die nicht wahre Funktionen sind.)

Ein monomorphism ist eine Generalisation einer Injective-Funktion in der Kategorie-Theorie.

Definition

Lassen Sie f eine Funktion sein, deren Gebiet ein Satz A ist. Die Funktion f ist injective wenn für den ganzen a und b in A, wenn f (a) = f (b), dann = b; d. h. f (a) = f bezieht (b) = b ein. Gleichwertig, wenn ein  b, dann f (a)  f (b).

Symbolisch,

der zum contrapositive, logisch gleichwertig

Beispiele

• Für jeden Satz X und jede Teilmenge S X ist die Einschließungskarte (der jedes Element s von S zu sich sendet) injective. Insbesondere ist die Identitätsfunktion immer injective (und tatsächlich bijektiv).
• Wenn das Gebiet X =  oder X nur ein Element hat, ist die Funktion immer injective.
• Die Funktion f: R  R definiert durch f (x) = 2x + 1 ist injective.
• Die Funktion g: R  R definiert durch g (x) = ist x nicht injective, weil (zum Beispiel) g (1) = 1 = g (1). Jedoch, wenn g wiederdefiniert wird, so dass sein Gebiet die nichtnegativen reellen Zahlen ist, dann ist g injective.
• Die Exponentialfunktion exp: R  R definiert durch exp (x) = ist e injective (aber nicht surjective, weil kein echter Wert zu einer negativen Zahl kartografisch darstellt).
• Der natürliche Logarithmus fungiert ln: (0, )  R definiert durch x ↦ ln x ist injective.
• Die Funktion g: R  R definiert durch g (x) = x − x ist nicht injective, seitdem, zum Beispiel, g (0) = g (1).

Mehr allgemein, wenn X und Y beide die echte Linie R, dann eine Injective-Funktion f sind: R  ist R derjenige, dessen Graph durch jede horizontale Linie mehr nie durchgeschnitten wird als einmal. Dieser Grundsatz wird den horizontalen Linientest genannt.

Einspritzungen können aufgemacht werden

Funktionen mit linken Gegenteilen sind immer Einspritzungen. D. h. gegeben f: X  Y, wenn es eine Funktion g gibt: Y  X solch dass, für jeden x ∈ X

:g (f (x)) = x (f kann durch g aufgemacht werden)

dann ist f injective. In diesem Fall wird f eine Abteilung von g genannt, und g wird eine Wiedertraktion von f genannt.

Umgekehrt hat jede Einspritzung f mit dem nichtleeren Gebiet ein linkes Gegenteil g (in der herkömmlichen Mathematik). Bemerken Sie, dass g kein ganzes Gegenteil von f sein kann, weil die Zusammensetzung in der anderen Ordnung, f  g, die Identität auf Y nicht sein kann. Mit anderen Worten ist eine Funktion, die aufgemacht oder wie f "umgekehrt" werden "kann", nicht notwendigerweise invertible (bijektiv). Einspritzungen sind "umkehrbar", aber nicht immer invertible.

Obwohl es unmöglich ist, einen non-injective (und deshalb Informationsverlieren) Funktion umzukehren, kann man mindestens ein "Quasigegenteil" davon erhalten, das eine vielfach geschätzte Funktion ist.

Einspritzungen können invertible gemacht werden

Tatsächlich, um einen injective zu drehen, fungieren f: X  Y in einen bijektiven (folglich invertible) Funktion, es genügt, um seinen codomain Y durch seine wirkliche Reihe J = f (X) zu ersetzen. D. h. lassen Sie g: X  J solch dass g (x) = f (x) für den ganzen x in X; dann ist g bijektiv. Tatsächlich kann f factored als incl  g sein, wo incl die Einschließungsfunktion von J in Y ist.

Andere Eigenschaften

• Wenn f und g beide injective sind, dann ist f  g injective.
• Wenn g  f injective ist, dann ist f injective (aber g braucht nicht zu sein).
• f: X  Y sind injective wenn und nur wenn, in Anbetracht irgendwelcher Funktionen g, h: W  X, wann auch immer f  g = f  h, dann g = h. Mit anderen Worten, injective Funktionen sind genau der monomorphisms im Kategorie-Satz von Sätzen.
• Wenn f: X  Y sind injective, und A ist eine Teilmenge X, dann f (f (A)) = A. So kann A von seinem Image f (A) wieder erlangt werden.
• Wenn f: X  Y sind injective und A, und B sind beide Teilmengen X, dann f (Ein  B) = f (A)  f (B).
• Jede Funktion h: W  kann Y als h = f  g für eine passende Einspritzung f und Surjektion g zersetzt werden. Diese Zergliederung ist bis zum Isomorphismus einzigartig, und von f kann als die Einschließungsfunktion der Reihe h (W) h als eine Teilmenge des codomain Y h gedacht werden.
• Wenn f: X  Y sind eine Injective-Funktion, dann hat Y mindestens so viele Elemente wie X, im Sinne Grundzahlen. Insbesondere wenn, außerdem, es eine Einspritzung von dazu gibt, dann und haben dieselbe Grundzahl. (Das ist als der Cantor-Bernstein-Schroeder Lehrsatz bekannt.)
• Wenn sowohl X als auch Y mit derselben Zahl der Elemente, dann f begrenzt sind: X  Y sind injective, wenn, und nur wenn f surjective ist (in welchem Fall f bijektiv ist).
• Eine Injective-Funktion, die ein Homomorphismus zwischen zwei algebraischen Strukturen ist, ist ein Einbetten.
• Verschieden von surjectivity, der eine Beziehung zwischen dem Graphen einer Funktion und seinem codomain ist, ist injectivity ein Eigentum des Graphen der Funktion allein; d. h. ob eine Funktion f injective ist, kann entschieden werden, indem es nur den Graphen (und nicht der codomain) f gedacht wird.

Beweis isomorpher Funktionen

Wir sind häufig erforderlich zu beweisen, dass eine Funktion, f, isomorph ist. Ein Beweis davon hängt ab, wie die Funktion präsentiert wird, und welche Eigenschaften die Funktion hält.

Für Funktionen, die durch eine Formel gegeben werden, gibt es eine Grundidee.

Wir verwenden den contrapositive der Definition von isomorphen, nämlich dass wenn f (x) =f (y), dann u=v.

Hier ist ein Beispiel:

f=2x+3

Beweis: Lässt f: XY. Nehmen Sie f (u) =f (v) an. So 2x+3=2y+3 => 2x=2y => x=y. Definitionsgemäß ist f isomorph. Q.E.D.

Es gibt vielfache andere Methoden zu beweisen, dass eine Funktion isomorph ist. Für exmples, in der Rechnung, wenn f differentiable ist, dann ist es genügend zu zeigen, dass die Ableitung immer positiv oder immer negativ ist. In der geradlinigen Algebra, wenn f eine geradlinige Transformation ist, ist es genügend zu zeigen, dass der Kern von f nur den Nullvektoren enthält. Wenn f eine Funktion mit dem begrenzten Gebiet ist, ist es genügend, die Liste von Images jedes Bereichselements durchzuschauen und zu überprüfen, dass kein Image zweimal auf der Liste vorkommt.

Siehe auch

• Surjective fungieren
• Bijektive Funktion
• Modul von Injective
• Bijektion, Einspritzung und Surjektion
• Horizontaler Linientest
• Injective metrischer Raum

Zeichen

• p. 17 ff.

• p. 38 ff.

Links

• Frühster Gebrauch von Einigen der Wörter der Mathematik: Der Zugang auf der Einspritzung, Surjektion und Bijektion hat die Geschichte der Einspritzung und verwandten Begriffe.