In der abstrakten Algebra verallgemeinert die Idee von einem umgekehrten Element das Konzept einer Ablehnung, in Bezug auf die Hinzufügung und ein Gegenstück in Bezug auf die Multiplikation. Die Intuition ist eines Elements, das die Wirkung der Kombination mit einem anderen gegebenen Element 'aufmachen' kann. Während sich die genaue Definition eines umgekehrten Elements ändert, je nachdem die algebraische Struktur eingeschlossen hat, fallen diese Definitionen in einer Gruppe zusammen.

Formelle Definitionen

In einem unital Magma

Lassen Sie, ein Satz mit einer binären Operation (d. h., ein Magma) zu sein. Wenn ein Identitätselement dessen ist (d. h., ist S ein unital Magma), und, dann wird ein linkes Gegenteil dessen genannt und wird ein richtiges Gegenteil dessen genannt. Wenn ein Element sowohl ein linkes Gegenteil als auch ein richtiges Gegenteil dessen ist, dann ein zweiseitiges Gegenteil oder einfach ein Gegenteil, dessen genannt wird. Ein Element mit einem zweiseitigen Gegenteil darin wird invertible darin genannt. Einem Element mit einem umgekehrten Element nur auf einer Seite wird invertible, resp. Recht invertible verlassen. Wenn alle Elemente in S invertible sind, wird S eine Schleife genannt.

Gerade wie kann mehrere linke Identität oder mehrere richtige Identität haben, es ist für ein Element möglich, mehrere linke Gegenteile oder mehrere richtige Gegenteile zu haben (aber zu bemerken, dass ihre Definition oben eine zweiseitige Identität verwendet). Es kann sogar mehrere linke Gegenteile und mehrere richtige Gegenteile haben.

Wenn die Operation dann assoziativ ist, wenn ein Element sowohl ein linkes Gegenteil als auch ein richtiges Gegenteil hat, sind sie gleich. Mit anderen Worten in einem monoid hat jedes Element höchstens ein Gegenteil (wie definiert, in dieser Abteilung). In einem monoid ist der Satz (verlassen und Recht) invertible Elemente eine Gruppe, genannt die Gruppe von Einheiten, und angezeigt durch oder H.

Ein nach-links-invertible Element, ist und analog für das Recht nach-links-cancellative und zweiseitig.

In einer Halbgruppe

Die Definition in der vorherigen Abteilung verallgemeinert den Begriff des Gegenteils in der Gruppe hinsichtlich des Begriffs der Identität. Es ist auch, obgleich weniger offensichtlich, möglich, den Begriff eines Gegenteils durch das Fallen des Identitätselements, aber das Halten associativity, d. h. in einer Halbgruppe zu verallgemeinern.

In einer Halbgruppe wird ein Element x regelmäßiger (von Neumann) genannt, wenn dort ein Element z in solchem S dass xzx = x besteht; z wird manchmal ein Pseudogegenteil genannt. Ein Element y wird (einfach) ein Gegenteil von x wenn xyx = x und y = yxy genannt. Jedes regelmäßige Element hat mindestens ein Gegenteil: Wenn x = xzx dann es ist leicht nachzuprüfen, dass y = zxz ein Gegenteil von x, wie definiert, in dieser Abteilung ist. Ein anderer leicht, Tatsache zu beweisen: Wenn y ein Gegenteil von x dann e = xy ist und f = yx idempotents sind, der ee = e und ff = f ist. So verursacht jedes Paar von (gegenseitig) umgekehrten Elementen zwei idempotents, und ab = xf = x, Sie = fy = y, und e handelt als eine linke Identität auf x, während F-Taten eine richtige Identität und die linken/richtigen Rollen für y umgekehrt werden. Diese einfache Beobachtung kann mit den Beziehungen von Green verallgemeinert werden: Jeder idempotent e in einer willkürlichen Halbgruppe ist eine linke Identität für R und richtige Identität für L. Eine intuitive Beschreibung davon ist Tatsache ist, dass jedes Paar von gegenseitig umgekehrten Elementen eine lokale linke Identität, und beziehungsweise, eine lokale richtige Identität erzeugt.

In einem monoid ist der Begriff des Gegenteils, wie definiert, in der vorherigen Abteilung ausschließlich schmaler als die in dieser Abteilung gegebene Definition. Nur Elemente in H haben ein Gegenteil von der unital Magma-Perspektive, wohingegen für jeden idempotent e die Elemente von H ein Gegenteil, wie definiert, in dieser Abteilung haben. Laut dieser allgemeineren Definition brauchen Gegenteile nicht einzigartig zu sein (oder zu bestehen) in einer willkürlichen Halbgruppe oder monoid. Wenn alle Elemente regelmäßig sind, dann wird die Halbgruppe (oder monoid) regelmäßig genannt, und jedes Element hat mindestens ein Gegenteil. Wenn jedes Element genau ein Gegenteil, wie definiert, in dieser Abteilung hat, dann wird die Halbgruppe eine umgekehrte Halbgruppe genannt. Schließlich ist eine umgekehrte Halbgruppe mit nur einem idempotent eine Gruppe. Eine umgekehrte Halbgruppe kann ein fesselndes Element 0 haben, weil 000=0, wohingegen eine Gruppe nicht kann.

Außerhalb der Halbgruppentheorie wird ein einzigartiges Gegenteil, wie definiert, in dieser Abteilung manchmal ein Quasigegenteil genannt. Das wird allgemein gerechtfertigt, weil in den meisten Anwendungen (z.B alle Beispiele in diesem Artikel) associativity hält, der diesen Begriff eine Generalisation des linken/richtigen Gegenteils hinsichtlich einer Identität macht.

U-Halbgruppen

Eine natürliche Generalisation der umgekehrten Halbgruppe soll eine (willkürliche) unäre Operation ° solch dass (ein °) ° = für alle in S definieren; das dotiert S mit einem Typ

• I-Halbgruppen, in denen das Wechselwirkungsaxiom aa°a = ein ist
• *-semigroups, in dem das Wechselwirkungsaxiom (ab) ° = b°a ° ist. Solch eine Operation wird eine Involution genannt, und normalerweise durch * angezeigt.

Klar ist eine Gruppe sowohl eine I-Halbgruppe als auch *-semigroup. Umgekehrte Halbgruppen sind genau jene Halbgruppen, die beide I-Halbgruppen und *-semigroups sind. Eine Klasse von in der Halbgruppentheorie wichtigen Halbgruppen ist völlig regelmäßige Halbgruppen; das sind I-Halbgruppen, in denen zusätzlich aa ° = a°a hat; mit anderen Worten hat jedes Element pendelndes Pseudogegenteil ein °. Es gibt wenige konkrete Beispiele solcher Halbgruppen jedoch; die meisten sind völlig einfache Halbgruppen. Im Gegensatz gibt eine Klasse *-semigroups, *-regular Halbgruppen, eines von am besten bekannten Beispielen eines (einzigartigen) Pseudogegenteils, des Gegenteils von Moore-Penrose nach. In diesem Fall jedoch ist die Involution a* nicht das Pseudogegenteil. Eher ist das Pseudogegenteil von x das einzigartige Element y solch dass xyx = x, yxy = y, (xy) * = xy, (yx) * = yx. Da *-regular Halbgruppen umgekehrte Halbgruppen verallgemeinern, hat das einzigartige Element diesen Weg in *-regular definiert Halbgruppe wird das verallgemeinerte Gegenteil oder Gegenteil von Penrose-Moore genannt. In *-regular Halbgruppe S kann man sich identifizieren eine spezielle Teilmenge von idempotents F hat (S) ein P-System genannt; jedes Element der Halbgruppe hat genau ein Gegenteil a* solch, dass aa* und a*a in F (S) sind. Die P-Systeme von Yamada basieren auf den Begriff des Stammkunden, *-semigroup wie definiert, durch Nordahl und Scheiblich.

Beispiele

Alle Beispiele in dieser Abteilung beziehen assoziative Maschinenbediener ein, so werden wir die Begriffe linkes/richtiges Gegenteil für die unital Magma-basierte Definition und Quasigegenteil für seine allgemeinere Version gebrauchen.

Reelle Zahlen

Jede reelle Zahl hat ein zusätzliches Gegenteil (d. h. ein Gegenteil in Bezug auf die Hinzufügung) gegeben dadurch. Jede reelle Nichtnullzahl hat ein multiplicative Gegenteil (d. h. ein Gegenteil in Bezug auf die Multiplikation) gegeben durch (oder). Im Vergleich hat Null kein multiplicative Gegenteil, aber sie hat ein einzigartiges Quasigegenteil, 0 selbst.

Funktionen und teilweise Funktionen

Eine Funktion ist das linke (resp. Recht) Gegenteil einer Funktion (für die Funktionszusammensetzung), wenn und nur wenn (resp). ist die Identitätsfunktion auf dem Gebiet (resp. codomain) dessen. Das Gegenteil einer Funktion wird häufig geschrieben, aber diese Notation ist manchmal zweideutig. Nur Bijektionen haben zweiseitige Gegenteile, aber jede Funktion hat ein Quasigegenteil, d. h. die volle Transformation monoid ist regelmäßig. Der monoid von teilweisen Funktionen ist auch regelmäßig, wohingegen der monoid von injective teilweisen Transformationen die archetypische umgekehrte Halbgruppe ist.

Verbindungen von Galois

Die niedrigeren und oberen adjoints in (Eintönigkeit) Verbindung von Galois, L und G sind Quasigegenteile von einander, d. h. LGL = L und GLG = G und bestimmt man einzigartig den anderen. Sie werden nicht verlassen oder richtige Gegenteile von einander jedoch.

Matrices

Eine Quadratmatrix mit Einträgen in einem Feld ist invertible (im Satz des ganzen Quadrats matrices derselben Größe, unter der Matrixmultiplikation), wenn, und nur wenn seine Determinante von der Null verschieden ist. Wenn die Determinante dessen Null ist, ist es dafür unmöglich, ein einseitiges Gegenteil zu haben; deshalb bezieht ein linkes umgekehrtes oder richtiges Gegenteil die Existenz der anderen ein. Sieh invertible Matrix für mehr.

Mehr allgemein ist eine Quadratmatrix über einen Ersatzring invertible, wenn, und nur wenn seine Determinante invertible darin ist.

Nichtquadrat matrices der vollen Reihe hat einseitige Gegenteile:

• Weil wir ein linkes Gegenteil haben:
• Dafür

Das richtige Gegenteil kann verwendet werden, um kleinste Norm-Lösung der Axt = b zu bestimmen.

Keine an der Reihe unzulängliche Matrix hat irgendwelchen (sogar einseitig) Gegenteil. Jedoch besteht das Pseudogegenteil von Moore-Penrose für den ganzen matrices, und fällt mit dem verlassenen oder Recht (oder wahr) Gegenteil zusammen, wenn es besteht.

Als ein Beispiel von Matrixgegenteilen, ziehen Sie in Betracht:

:

\begin {bmatrix }\

1 & 2 & 3 \\

4 & 5 & 6

\end {bmatrix }\

</Mathematik>

Also, als M

: \begin {bmatrix }\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6

\end {bmatrix }\\cdot

\begin {bmatrix }\

1 & 4 \\

2 & 5 \\

3 & 6

\end {bmatrix }\ \begin {bmatrix }\

14 & 32 \\

32 & 77

\end {bmatrix }\</Mathematik>:

(AA^ {T}) ^ {-1 }\

\begin {bmatrix }\ 14 & 32 \\ 32 & 77

\end {bmatrix} ^ {-1 }\

\frac {1} {54} \begin {bmatrix }\

77 &-32 \\

- 32 & 14

\end {bmatrix }\</Mathematik>:

\frac {1} {54 }\\beginnen {bmatrix }\

1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end {bmatrix }\

\cdot

\begin {bmatrix }\ 77 &-32 \\ - 32 & 14 \end {bmatrix }\

\frac {1} {18 }\

\begin {bmatrix }\

- 17 & 8 \\

- 2 & 2 \\

13 &-4

\end {bmatrix }\

A^ {-1} _ \text {richtiger }\

</Mathematik>

Das linke Gegenteil, besteht weil nicht

: \begin {bmatrix }\ 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end {bmatrix }\

\cdot

\begin {bmatrix }\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end {bmatrix }\ \begin {bmatrix }\

17 & 22 & 27 \\

22 & 29 & 36 \\

27 & 36 & 45

\end {bmatrix},

</Mathematik>

der eine einzigartige Matrix ist und nicht umgekehrt werden kann.

Siehe auch

• Schleife
• Abteilungsring
• Einheit (rufen Theorie an)

Referenzen

• M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev, Monoids, Gesetze und Kategorien mit Anwendungen auf Kranz-Produkte und Graphen, De Gruyter Expositions in der Mathematik vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, internationale Standardbuchnummer 3-11-015248-7, p. 15 (def im unital Magma) und p. 33 (def in der Halbgruppe)
• enthält das ganze Halbgruppenmaterial hierin außer *-regular Halbgruppen.
• Drazin, M.P. Regelmäßige Halbgruppen mit der Involution, Proc. Symp. auf Regular Semigroups (DeKalb, 1979), 29-46
• Miyuki Yamada, P-Systeme in regelmäßigen Halbgruppen, Halbgruppenforum, 24 (1), Dezember 1982, Seiten 173-187
• Nordahl, T.E. und H.E. Scheiblich, Regelmäßig * Halbgruppen, Halbgruppenforum, 16 (1978), 369-377.