In der Mathematik, spezifisch abstrakten Algebra, sind die Isomorphismus-Lehrsätze drei Lehrsätze, die die Beziehung zwischen Quotienten, Homomorphismus und Subgegenständen beschreiben. Versionen der Lehrsätze bestehen für Gruppen, Ringe, Vektorräume, Module, Liegen Algebra und verschiedene andere algebraische Strukturen. In der universalen Algebra können die Isomorphismus-Lehrsätze zum Zusammenhang von Algebra und Kongruenzen verallgemeinert werden.

Geschichte

Die Isomorphismus-Lehrsätze wurden in etwas Allgemeinheit für den Homomorphismus von Modulen von Emmy Noether in ihrer Zeitung Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern formuliert, der 1927 in Mathematische Annalen veröffentlicht wurde. Weniger allgemeine Versionen dieser Lehrsätze können in der Arbeit von Richard Dedekind und vorherigen Vorträgen von Noether gefunden werden.

Drei Jahre später hat B.L. van der Waerden seine einflussreiche Algebra, das erste abstrakte Algebra-Lehrbuch veröffentlicht, das die jetzt traditionelle Gruppenringfeld-Annäherung an das Thema gebracht hat. Van der Waerden hat Vorträge durch Noether auf der Gruppentheorie und Emil Artin auf der Algebra, sowie ein Seminar kreditiert, das von Artin, Wilhelm Blaschke, Otto Schreier und van der Waerden selbst auf Idealen als die Hauptverweisungen geführt ist. Die drei Isomorphismus-Lehrsätze, genannt Homomorphismus-Lehrsatz, und zwei Gesetze des Isomorphismus, wenn angewandt, auf Gruppen, erscheinen ausführlich.

Gruppen

Wir setzen zuerst die drei Isomorphismus-Lehrsätze im Zusammenhang von Gruppen fest. Bemerken Sie, dass einige Quellen das Numerieren der zweiten und dritten Lehrsätze schalten. Manchmal wird der Gitter-Lehrsatz den vierten Isomorphismus-Lehrsatz oder den Ähnlichkeitslehrsatz genannt.

Behauptung der Lehrsätze

Der erste Isomorphismus-Lehrsatz

Lassen Sie G und H Gruppen sein, und φ zu lassen: G  H, ein Homomorphismus sein. Dann:

1. Der Kern von φ ist eine normale Untergruppe von G,
2. Das Image von φ ist eine Untergruppe von H und
3. Das Image von φ ist zur Quotient-Gruppe G / ker (φ) isomorph.

Insbesondere wenn φ surjective dann H ist, ist zu G / ker (φ) isomorph.

Der zweite Isomorphismus-Lehrsatz

Lassen Sie G eine Gruppe sein. Lassen Sie S eine Untergruppe von G sein, und N eine normale Untergruppe von G sein zu lassen. Dann:

1. Das Produkt SN ist eine Untergruppe von G,
2. Die Kreuzung S  N ist eine normale Untergruppe von S und
3. Die Quotient-Gruppen (SN) / N und S / (S  N) sind isomorph.

Technisch ist es für N nicht notwendig, eine normale Untergruppe zu sein, so lange S eine Untergruppe des normalizer von N ist. In diesem Fall ist die Kreuzung S  N nicht eine normale Untergruppe von G, aber es ist noch eine normale Untergruppe von S.

Der dritte Isomorphismus-Lehrsatz

Lassen Sie G eine Gruppe sein. Lassen Sie N und K normale Untergruppen von G mit sein

:K ⊆ N ⊆ G.

Dann

1. Der Quotient N / K ist eine normale Untergruppe des Quotienten G / K, und
2. Die Quotient-Gruppe (G / K) / (N / K) ist zu G / N isomorph.

Diskussion

Der erste Isomorphismus-Lehrsatz folgt aus der Kategorie theoretische Tatsache, dass die Kategorie von Gruppen (normaler epi, mono abspielbar)-factorizable ist; mit anderen Worten bilden der normale epimorphisms und der monomorphisms ein factorization System für die Kategorie. Das wird im Ersatzdiagramm im Rand gewonnen, der die Gegenstände und morphisms zeigt, dessen Existenz aus dem morphism f abgeleitet werden kann: GH. Das Diagramm zeigt, dass jeder morphism in der Kategorie von Gruppen einen Kern in der Kategorie theoretischer Sinn hat; der willkürliche morphism f Faktoren in, wo ι ein monomorphism und π ist, ist ein epimorphism (in einer conormal Kategorie, alle epimorphisms sind normal). Das wird im Diagramm durch einen Gegenstand vertreten, und ein monomorphism (sind Kerne immer monomorphisms), die die kurze genaue Folge vollenden, die vom zum oberen Recht auf das Diagramm verlassenen niedrigeren läuft. Der Gebrauch der genauen Folge-Tagung rettet uns davon, die Null morphisms von zu H ziehen zu müssen, und.

Wenn die Folge richtiger Spalt ist (d. h. es gibt einen morphism σ, der zu einem π-preimage von sich kartografisch darstellt), dann ist G das halbdirekte Produkt der normalen Untergruppe und der Untergruppe. Wenn es gespalten verlassen wird (d. h., dort besteht einige solch, dass), dann muss es auch richtiger Spalt sein, und ist eine direkte Produktzergliederung von G. Im Allgemeinen bezieht die Existenz eines richtigen Spalts die Existenz eines linken Spalts nicht ein; aber in einer abelian Kategorie (wie die abelian Gruppen) sind linke Spalte und richtige Spalte durch das zerreißende Lemma gleichwertig, und ein richtiger Spalt ist genügend, um eine Zergliederung der direkten Summe zu erzeugen. In einer abelian Kategorie sind alle monomorphisms auch normal, und das Diagramm kann durch eine zweite kurze genaue Folge erweitert werden.

Im zweiten Isomorphismus-Lehrsatz das Produkt ist SN die Verbindungslinie von S und N im Gitter von Untergruppen von G, während die Kreuzung S  N das Entsprechen ist.

Der dritte Isomorphismus-Lehrsatz wird durch das neun Lemma zu abelian Kategorien und allgemeineren Karten zwischen Gegenständen verallgemeinert. Es wird manchmal den "Lehrsatz des Studenten im ersten Jahr" informell genannt, weil "sogar ein Student im ersten Jahr es ausrechnen konnte: Annullieren Sie gerade Ks!"

Ringe

Die Behauptungen der Lehrsätze für Ringe sind mit dem Begriff einer normalen durch den Begriff eines Ideales ersetzten Untergruppe ähnlich.

Der erste Isomorphismus-Lehrsatz

Lassen Sie R und S Ringe sein, und φ zu lassen: R  S, ein Ringhomomorphismus sein. Dann:

1. Der Kern von φ ist ein Ideal von R,
2. Das Image von φ ist ein Subring von S und
3. Das Image von φ ist zum Quotient-RingR / ker (φ) isomorph.

Insbesondere wenn φ surjective dann S ist, ist zu R / ker (φ) isomorph.

Der zweite Isomorphismus-Lehrsatz

Lassen Sie R ein Ring sein. Lassen Sie S ein Subring von R sein, und mich ein Ideal von R sein zu lassen. Dann:

1. Die Summe S + ich = {s + ich s  S ich ist  I} ein Subring von R,
2. Die Kreuzung S  bin ich ein Ideal von S und
3. Die Quotient-Ringe (S + I) / ich und S / (S  I) sind isomorph.

Der dritte Isomorphismus-Lehrsatz

Lassen Sie R ein Ring sein. Lassen Sie A und B Ideale von R mit sein

:B ⊆ ⊆ R.

Dann

1. Der Satz / B ist ein Ideal des Quotienten R / B, und
2. Der Quotient-Ring (R / B) / (/B) ist zu R / A isomorph.

Module

Die Behauptungen der Isomorphismus-Lehrsätze für Module sind besonders einfach, da es möglich ist, ein Quotient-Modul von jedem Untermodul zu bilden. Die Isomorphismus-Lehrsätze für Vektorräume und abelian Gruppen sind spezielle Fälle von diesen. Für Vektorräume folgen alle diese Lehrsätze aus dem Lehrsatz der Reihe-Ungültigkeit.

Für alle folgenden Lehrsätze wird das Wort "Modul" "R-Modul" bedeuten, wo R ein fester Ring ist.

Der erste Isomorphismus-Lehrsatz

Lassen Sie M und N Module sein, und φ zu lassen: M  N, ein Homomorphismus sein. Dann:

1. Der Kern von φ ist ein Untermodul der M,
2. Das Image von φ ist ein Untermodul von N und
3. Das Image von φ ist zum Quotient-Modul M / ker (φ) isomorph.

Insbesondere wenn φ surjective dann N ist, ist zur M / ker (φ) isomorph.

Der zweite Isomorphismus-Lehrsatz

Lassen Sie M ein Modul sein, und S und T Untermodule der M sein zu lassen. Dann:

1. Die Summe S + T = {s + t s  S, t  T} ist ein Untermodul der M,
2. Die Kreuzung S  T ist ein Untermodul von S und
3. Die Quotient-Module (S + T) / T und S / (S  T) sind isomorph.

Der dritte Isomorphismus-Lehrsatz

Lassen Sie M ein Modul sein. Lassen Sie S und T Untermodule der M mit sein

:T ⊆ S ⊆ M.

Dann

1. Der Quotient S / T ist ein Untermodul des Quotienten M / T, und
2. Der Quotient (M / T) / (S / T) ist zur M / S isomorph.

Allgemein

Um das zur universalen Algebra zu verallgemeinern, müssen normale Untergruppen durch Kongruenzen ersetzt werden.

Eine Kongruenz auf einer Algebra ist eine Gleichwertigkeitsbeziehung, die eine Subalgebra von ausgestatteten mit der teilklugen Operationsstruktur ist. Man kann den Satz von Gleichwertigkeitsklassen in eine Algebra desselben Typs machen, indem man die Operationen über Vertreter definiert; das wird bestimmt sein, da eine Subalgebra dessen ist.

Der erste Isomorphismus-Lehrsatz

Lassen Sie, ein Algebra-Homomorphismus zu sein. Dann ist das Image dessen eine Subalgebra dessen, die Beziehung (der Kern) ist eine Kongruenz auf, und die Algebra und ist isomorph.

Der zweite Isomorphismus-Lehrsatz

In Anbetracht einer Algebra hat eine Subalgebra, und eine Kongruenz darauf, gelassen, die Spur in und die Sammlung von Gleichwertigkeitsklassen zu sein, die sich schneiden.

Dann ist (i) eine Kongruenz darauf, (ii) ist eine Subalgebra, und (iii) die Algebra ist zur Algebra isomorph.

Der dritte Isomorphismus-Lehrsatz

Lassen Sie, eine Algebra und zwei Kongruenz-Beziehungen auf dem solchem dass zu sein. Dann ist eine Kongruenz darauf, und ist dazu isomorph.

Siehe auch

• Schmetterling-Lemma, manchmal genannt den vierten Isomorphismus-Lehrsatz
• Gitter-Lehrsatz, manchmal genannt den vierten Isomorphismus-Lehrsatz
• Das Aufspalten des Lemmas, das den ersten Isomorphismus-Lehrsatz für Spalt-Folgen raffiniert

Zeichen

• Emmy Noether, Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern, Mathematische Annalen 96 (1927) p. 26-61
• Colin McLarty, 'der 'Satz von Emmy Noether Theoretische' Topologie: Von Dedekind bis den Anstieg von functors' in Der Architektur der Modernen Mathematik: Aufsätze in der Geschichte und Philosophie (editiert von Jeremy Gray und José Ferreirós), Presse der Universität Oxford (2006) p. 211-35.

Außenverbindungen

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