In der Mathematik, der logarithmischen integrierten Funktion oder dem integrierten Logarithmus li (x) ist eine spezielle Funktion. Es kommt in Problemen der Physik vor und hat Zahl theoretische Bedeutung, im Primzahl-Lehrsatz als eine Schätzung der Zahl von Primzahlen weniger als ein gegebene Wert vorkommend.

Integrierte Darstellung

Das logarithmische Integral ließ eine integrierte Darstellung für alle positiven reellen Zahlen durch das bestimmte Integral definieren:

:

Hier, zeigt den natürlichen Logarithmus an. Die Funktion hat eine Eigenartigkeit an t = 1, und das Integral für x> 1 muss als ein Hauptwert von Cauchy interpretiert werden:

:

Gleichen Sie logarithmisches Integral aus

Der Ausgleich logarithmisches Integral oder Eulerian logarithmisches Integral wird als definiert

:

oder

:

Als solcher ist die integrierte Darstellung im Vorteil, die Eigenartigkeit im Gebiet der Integration zu vermeiden.

Diese Funktion ist eine sehr gute Annäherung an die Zahl von Primzahlen weniger als x.

Reihe-Darstellung

Die Funktion li (x) ist mit integriertem Exponentialei (x) über die Gleichung verbunden

:

der für x> 1 gültig ist. Diese Identität stellt eine Reihe-Darstellung von li (x) als zur Verfügung

:

\gamma + \ln u + \sum_ {n=1} ^\\infty {u^ {n }\\über n \cdot n!}

\quad \text {für} u \ne 0 \; </Mathematik>

wo γ  0.57721 56649 01532... das Euler-Mascheroni unveränderliche Gamma ist. Eine schneller konvergente Reihe wegen Ramanujan ist

:

{\\rm li} (x) =

\gamma

+ \ln \ln x

+ \sqrt {x} \sum_ {n=1} ^\\infty

\frac {(-1) ^ {n-1} (\ln x) ^n} {n! \, 2^ {n-1} }\

\sum_ {k=0} ^ {\\lfloor (n-1)/2 \rfloor} \frac {1} {2k+1}.

</Mathematik>

Spezielle Werte

Die Funktion li (x) hat eine einzelne positive Null; es kommt an x  1.45136 92348 vor...; diese Zahl ist als die Ramanujan-Soldner Konstante bekannt.

li (2)  1.045163 780117 492784 844588 889194 613136 522615 578151 …

Das ist, wo die unvollständige Gammafunktion ist. Es muss als der Hauptwert von Cauchy der Funktion verstanden werden.

Asymptotische Vergrößerung

Das asymptotische Verhalten für x   ist

:

wo die große O Notation ist. Die volle asymptotische Vergrößerung ist

:oder: