In der Mathematik, mehr spezifisch in der Ringtheorie, ist ein maximales Ideal ein Ideal, das (in Bezug auf die Satz-Einschließung) unter allen richtigen Idealen maximal ist. Mit anderen Worten bin ich ein maximales Ideal eines Rings R, wenn es keine anderen Ideale gibt, die zwischen mir und R enthalten sind.

Maximale Ideale sind wichtig, weil die Quotient-Ringe von maximalen Idealen einfache Ringe sind, und im speziellen Fall von unital Ersatzringen sie auch Felder sind.

In der Nichtersatzringtheorie wird ein maximales richtiges Ideal analog definiert als, ein maximales Element im poset von richtigen richtigen Idealen zu sein, und ähnlich wird ein maximales linkes Ideal definiert, um ein maximales Element des poset von richtigen linken Idealen zu sein. Seitdem derjenige Partei ergriffen hat, ist maximales Ideal A, der Quotient nicht notwendigerweise zweiseitig R/A ist nicht notwendigerweise ein Ring, aber es ist ein einfaches Modul über R. Wenn R ein einzigartiges maximales richtiges Ideal hat, dann ist R als ein lokaler Ring bekannt, und das maximale richtige Ideal ist auch das einzigartige maximale linke und einzigartige maximale zweiseitige Ideal des Rings, und ist tatsächlich der Jacobson radikaler J(R).

Es ist für einen Ring möglich, ein einzigartiges maximales Ideal zu haben und noch zu fehlen, einzigartiger maximaler hat Ideale Partei ergriffen: Zum Beispiel, im Ring 2 durch 2 Quadrat matrices über ein Feld, ist das Nullideal ein maximales Ideal, aber es gibt viele maximale richtige Ideale.

Definition

Es gibt andere gleichwertige Weisen, die Definition von maximalen einseitigen und maximalen zweiseitigen Idealen auszudrücken. In Anbetracht eines Rings R und eines richtigen Ideales I von R (der ich  R ist) bin ich ein maximales Ideal von R, wenn einige der folgenden gleichwertigen Bedingungen hält:

• Dort besteht kein anderes richtiges Ideal J von R so dass ich  J.
• Für jedes Ideal J mit mir  J, entweder J = ich oder J = R.
• Der Quotient-Ring R/I ist ein einfacher Ring.

Es gibt eine analoge Liste für einseitige Ideale, für die nur die rechten Versionen gegeben werden. Für ein richtiges Ideal eines Rings R sind die folgenden Bedingungen zu A gleichwertig, der ein maximales richtiges Ideal von R ist:

• Dort besteht kein anderes richtiges richtiges Ideal B von R so dass Ein  B.
• Für jedes richtige Ideal B mit Einem  B, entweder B = A oder B = R.
• Das Quotient-Modul R/A ist ein einfaches Recht R Modul.

Maximale richtige/linke/zweiseitige Ideale sind der Doppelbegriff zu diesem von minimalen Idealen.

Beispiele

• Im Ring Z ganzer Zahlen sind die maximalen Ideale die durch eine Primzahl erzeugten Hauptideale.
• Mehr allgemein sind alle Nichtnullhauptideale in einem idealen Hauptgebiet maximal.
• Die maximalen Ideale des polynomischen Rings über ein algebraisch geschlossenes Feld K sind das Ideal der Form. Dieses Ergebnis ist als der schwache nullstellensatz bekannt.

Eigenschaften

• Ein wichtiges Ideal des Rings hat gerufen der radikale Jacobson kann mit dem maximalen Recht (oder maximal verlassen) Ideale definiert werden.
• Wenn R ein unital Ersatzring mit einer idealen M ist, dann k = ist R/m ein Feld, wenn, und nur wenn M ein maximales Ideal ist. In diesem Fall ist R/m als das Rückstand-Feld bekannt. Diese Tatsache kann in Non-Unital-Ringen scheitern. Zum Beispiel, ist ein maximales Ideal darin, aber ist nicht ein Feld.
• Wenn L ein maximales linkes Ideal ist, dann ist R/L ein einfaches verlassenes R Modul. Umgekehrt in Ringen mit der Einheit ist irgendwelcher einfach abgereist R Modul entsteht dieser Weg. Beiläufig zeigt das, dass eine Sammlung von Vertretern von einfachen abgereist ist, R Module ist wirklich ein Satz, da sie in die Ähnlichkeit mit einem Teil des Satzes von maximalen linken Idealen von R gestellt werden kann.
• Der Lehrsatz von Krull (1929): Jeder Ring mit einer multiplicative Identität hat ein maximales Ideal. Das Ergebnis ist auch wahr, wenn "Ideal" durch das "richtige Ideal" ersetzt wird oder "Ideal verlassen hat". Mehr allgemein ist es wahr, dass jede Nichtnull begrenzt Modul erzeugt hat, hat ein maximales Untermodul. Nehmen Sie an, dass ich ein Ideal bin, das nicht R ist (beziehungsweise, ist A ein richtiges Ideal, das nicht R ist). Dann ist R/I ein Ring mit der Einheit, (beziehungsweise, R/A ist ein begrenzt erzeugtes Modul), und so können die obengenannten Lehrsätze auf den Quotienten angewandt werden, um zu beschließen, dass es ein maximales Ideal (beziehungsweise maximales richtiges Ideal) R gibt, der mich (beziehungsweise, A) enthält.
• Der Lehrsatz von Krull kann für Ringe ohne Einheit scheitern. Ein radikaler Ring, d. h. ein Ring, in dem der radikale Jacobson der komplette Ring ist, hat keine einfachen Module und hat folglich keine maximalen richtigen oder linken Ideale.
• In einem Ersatzring mit der Einheit ist jedes maximale Ideal ein Hauptideal. Das gegenteilige ist nicht immer wahr: Zum Beispiel in jedem integrierten Nichtfeldgebiet ist das Nullideal ein Hauptideal, das nicht maximal ist. Ersatzringe, in denen Hauptideale maximal sind, sind als nulldimensionale Ringe bekannt, wo die verwendete Dimension die Dimension von Krull ist.

Generalisation

Für ein R Modul A ein maximales Untermodul ist die M von A ein Untermodul MA für der für jedes andere Untermodul N, wenn MNA dann N=M oder N=A. Gleichwertig ist M ein maximales Untermodul, wenn, und nur wenn das Quotient-Modul A/M ein einfaches Modul ist. Klar sind die maximalen richtigen Ideale eines Rings R genau die maximalen Untermodule des Moduls R.

Verschieden von Ringen mit der Einheit jedoch hat ein Modul maximale Untermodule nicht notwendigerweise. Jedoch, wie bemerkt, oben, haben begrenzt erzeugte Nichtnullmodule maximale Untermodule, und auch projektive Module haben maximale Untermodule.

Als mit Ringen kann man den Radikalen eines Moduls mit maximalen Untermodulen definieren.

Außerdem können maximale Ideale durch das Definieren einer maximalen sub-bimodule M eines bimodule B verallgemeinert werden, um ein richtiger sub-bimodule der M zu sein, die durch keinen anderen richtigen sub-bimodule der M enthalten wird. Also, die maximalen Ideale von R sind genau der maximale sub-bimodules des bimodule R.