In der Physik, Navier-schürt Gleichungen, genannt nach Claude-Louis Navier und George Gabriel Stokes, beschreiben Sie die Bewegung von flüssigen Substanzen. Diese Gleichungen entstehen daraus, das zweite Gesetz von Newton auf die flüssige Bewegung zusammen anzuwenden in der Annahme, dass die flüssige Betonung die Summe eines sich verbreitenden klebrigen Begriffes (proportional zum Anstieg der Geschwindigkeit) plus ein Druck-Begriff ist.

Die Gleichungen sind nützlich, weil sie die Physik von vielen Dingen vom akademischen und wirtschaftlichen Interesse beschreiben. Sie können verwendet werden, um das Wetter, die Ozeanströme, den Wasserfluss in einer Pfeife und Luftstrom um einen Flügel zu modellieren. Navier-schürt Gleichungen in ihrer vollen und vereinfachten Form-Hilfe mit dem Design des Flugzeuges und der Autos, der Studie des Blutflusses, des Designs von Kraftwerken, der Analyse der Verschmutzung und vieler anderer Dinge. Verbunden mit den Gleichungen von Maxwell können sie verwendet werden, um magnetohydrodynamics zu modellieren und zu studieren.

Navier-schürt Gleichungen sind auch vom großen Interesse an einem rein mathematischen Sinn. Etwas überraschend, in Anbetracht ihrer breiten Reihe des praktischen Gebrauches, haben Mathematiker noch nicht bewiesen, dass in drei Dimensionslösungen immer (Existenz) bestehen, oder dass, wenn sie dann bestehen, sie keine Eigenartigkeit (Glätte) enthalten. Diese werden genannt Navier-schürt Existenz und Glätte-Probleme. Das Tonmathematik-Institut hat dieses der sieben wichtigsten offenen Probleme in der Mathematik genannt und hat einen Preis von 1,000,000 US$ für eine Lösung oder ein Gegenbeispiel angeboten.

Geschwindigkeitsfeld

Navier-schürt Gleichungen diktieren nicht Position, aber eher Geschwindigkeit. Eine Lösung Navier-schürt Gleichungen wird ein Geschwindigkeitsfeld oder Fluss-Feld genannt, das eine Beschreibung der Geschwindigkeit der Flüssigkeit an einem gegebenen Punkt in der Zeit und Raum ist. Sobald das Geschwindigkeitsfeld dafür gelöst wird, können andere Mengen von Interesse (wie Durchfluss oder Schinderei-Kraft) gefunden werden. Das ist davon verschieden, was man normalerweise in der klassischen Mechanik sieht, wo Lösungen normalerweise Schussbahnen der Position von a oder Ablenkung eines Kontinuums sind. Das Studieren der Geschwindigkeit statt der Position hat mehr Sinn für eine Flüssigkeit; jedoch zu Vergegenwärtigungszwecken kann man verschiedene Schussbahnen schätzen.

Eigenschaften

Nichtlinearität

Navier-schürt Gleichungen sind nichtlineare teilweise Differenzialgleichungen in fast jeder echten Situation. In einigen Fällen, wie eindimensionaler Fluss und Schürt Fluss (oder kriechender Fluss), die Gleichungen können zu geradlinigen Gleichungen vereinfacht werden. Die Nichtlinearität macht die meisten Probleme schwierig oder unmöglich zu lösen und ist der Hauptmitwirkende zur Turbulenz dass das Gleichungsmodell.

Die Nichtlinearität ist wegen der convective Beschleunigung, die eine Beschleunigung ist, die mit der Änderung in der Geschwindigkeit über die Position vereinigt ist. Folglich wird jeder Convective-Fluss, entweder unruhig oder nicht, Nichtlinearität einschließen. Ein Beispiel von convective, aber laminar (nichtunruhiger) Fluss würde der Durchgang einer klebrigen Flüssigkeit (zum Beispiel, Öl) durch eine kleine konvergierende Schnauze sein. Solche Flüsse, ob genau lösbar oder nicht, können häufig gründlich studiert und verstanden werden.

Turbulenz

Turbulenz ist das zeitabhängige chaotische in vielen Flüssigkeitsströmungen gesehene Verhalten. Es wird allgemein geglaubt, dass es wegen der Trägheit der Flüssigkeit als Ganzes ist: der Höhepunkt der zeitabhängigen und convective Beschleunigung; folglich neigen Flüsse, wo Trägheitseffekten klein sind, dazu, laminar zu sein (die Zahl von Reynolds misst, wie viel der Fluss durch die Trägheit betroffen wird). Ihm wird geglaubt, obwohl nicht bekannt mit der Gewissheit, die Gleichungen Navier-schürt, Turbulenz richtig beschreiben.

Die numerische Lösung Navier-schürt Gleichungen für den unruhigen Fluss, ist und wegen der bedeutsam verschiedenen Skalen der Mischen-Länge äußerst schwierig, die am unruhigen Fluss beteiligt werden, verlangt die stabile Lösung davon solch eine feine Ineinandergreifen-Entschlossenheit, dass die rechenbetonte Zeit bedeutsam unausführbar für die Berechnung wird (sieh Direkte numerische Simulation). Versuche, unruhigen Fluss mit einem laminar solver zu lösen, laufen normalerweise auf eine zeitunsichere Lösung hinaus, die scheitert, passend zusammenzulaufen. Um das zeitdurchschnittliche Gleichungen solcher als zu entgegnen, Navier-schürt das Reynolds-durchschnittliche Gleichungen (RANS), der mit Turbulenz-Modellen ergänzt ist, werden in praktischen Anwendungen der rechenbetonten flüssigen Dynamik (CFD) verwendet, wenn man unruhige Flüsse modelliert. Einige Modelle schließen den Spalart-Allmaras, k-ω (K-Omega), k-ε (K-Epsilon) und SST Modelle ein, die eine Vielfalt von zusätzlichen Gleichungen hinzufügen, um Verschluss zu den RANS Gleichungen zu bringen. Eine andere Technik, um numerisch zu lösen, Navier-schürt Gleichung ist die Große Wirbel-Simulation (LES). Diese Annäherung ist rechenbetont teurer als die RANS Methode (rechtzeitig und Computergedächtnis), aber erzeugt bessere Ergebnisse, da die größeren unruhigen Skalen ausführlich aufgelöst werden.

Anwendbarkeit

Zusammen mit ergänzenden Gleichungen (zum Beispiel, Bewahrung der Masse) und gut formulierte Grenzbedingungen, Navier-schürt Gleichungen scheinen, flüssige Bewegung genau zu modellieren; sogar unruhige Flüsse scheinen (durchschnittlich), mit echten Weltbeobachtungen übereinzustimmen.

Navier-schürt Gleichungen nehmen an, dass die Flüssigkeit, die wird studiert, ein Kontinuum ist (es ist ungeheuer teilbar und von Partikeln wie Atome oder Moleküle nicht gelassen), und bewegt sich an relativistischen Geschwindigkeiten nicht. An sehr kleinen Skalen oder unter äußersten Bedingungen werden echte aus getrennten Molekülen gemachte Flüssigkeiten Ergebnisse erzeugen, die von den dauernden Flüssigkeiten verschieden sind, die durch modelliert sind, Navier-schürt Gleichungen. Abhängig von der Zahl von Knudsen des Problems, der statistischen Mechanik oder vielleicht sogar kann molekulare Dynamik eine passendere Annäherung sein.

Eine andere Beschränkung ist einfach die komplizierte Natur der Gleichungen. Geprüfte Formulierungen der Zeit bestehen für allgemeine flüssige Familien, aber die Anwendung Navier-schürt Gleichungen zu weniger allgemeinen Familien neigt dazu, auf sehr komplizierte Formulierungen hinauszulaufen, die ein Gebiet der aktuellen Forschung sind. Deshalb werden diese Gleichungen gewöhnlich für Newtonsche Fluide geschrieben. Das Studieren solcher Flüssigkeiten ist "einfach", weil das Viskositätsmodell damit endet, geradlinig zu sein; aufrichtig allgemeine Modelle für den Fluss anderer Arten von Flüssigkeiten (wie Blut) tun nicht bezüglich 2012, bestehen.

Abstammung und Beschreibung

Die Abstammung Navier-schürt Gleichungen beginnt mit einer Anwendung des zweiten Gesetzes von Newton: Bewahrung des Schwungs (häufig neben der Masse und Energiebewahrung), für einen willkürlichen Teil der Flüssigkeit geschrieben werden. In einem Trägheitsbezugssystem ist die allgemeine Form der Gleichungen der flüssigen Bewegung:

wo v die Fluss-Geschwindigkeit ist, ist ρ die flüssige Dichte, p ist der Druck, ist der (deviatoric) Spannungstensor, und f vertritt Körperkräfte (pro Einheitsvolumen) das Folgen der Flüssigkeit und dem  ist der del Maschinenbediener. Das ist eine Behauptung der Bewahrung des Schwungs in einer Flüssigkeit, und es ist eine Anwendung des zweiten Gesetzes von Newton zu einem Kontinuum; tatsächlich ist diese Gleichung auf jedes nichtrelativistische Kontinuum anwendbar und ist als die Schwung-Gleichung von Cauchy bekannt.

Diese Gleichung wird häufig mit dem materiellen abgeleiteten Dv/Dt geschrieben, es mehr offenbar machend, dass das eine Behauptung des zweiten Gesetzes von Newton ist:

:

Die linke Seite der Gleichung beschreibt Beschleunigung, und kann aus zeitabhängigen oder convective Effekten (auch die Effekten von Nichtträgheitskoordinaten wenn Gegenwart) zusammengesetzt werden. Die richtige Seite der Gleichung ist tatsächlich eine Summierung von Körperkräften (wie Ernst) und Abschweifung der Betonung (Druck und Scherspannung).

Beschleunigung von Convective

Eine sehr bedeutende Eigenschaft Navier-schürt Gleichungen ist die Anwesenheit der convective Beschleunigung: die Wirkung der Zeit unabhängige Beschleunigung einer Flüssigkeit in Bezug auf den Raum. Während individuelle flüssige Partikeln tatsächlich zeitabhängige Beschleunigung erfahren, ist die convective Beschleunigung des Fluss-Feldes eine Raumwirkung, ein Beispiel, das Flüssigkeit ist, die in einer Schnauze beschleunigt. Beschleunigung von Convective wird durch die nichtlineare Menge vertreten:

:

der entweder als oder als mit der Tensor-Ableitung des Geschwindigkeitsvektoren interpretiert werden kann, den Beide Interpretationen demselben Ergebnis geben, unabhängig des Koordinatensystems — zur Verfügung gestellt wird als die kovariante Ableitung interpretiert.

Interpretation als (v·&nabla) v

Der Konvektionsbegriff wird häufig als geschrieben

:

wo der advektive Maschinenbediener verwendet wird. Gewöhnlich wird diese Darstellung bevorzugt, weil es einfacher ist als dasjenige in Bezug auf die Tensor-Ableitung

Interpretation als v · (∇v)

Hier ist die Tensor-Ableitung des Geschwindigkeitsvektoren, der in Kartesianischen Koordinaten zum Bestandteil durch den Teilanstieg gleich ist. Der Konvektionsbegriff, durch eine Vektor-Rechnungsidentität, kann ohne eine Tensor-Ableitung ausgedrückt werden:

:

Die Form hat Nutzen im rotationsfreien Fluss, wo die Locke der Geschwindigkeit (hat vorticity genannt), der Null gleich ist.

Unabhängig von welcher Flüssigkeit befasst wird, convective Beschleunigung ist eine nichtlineare Wirkung. Beschleunigung von Convective ist in den meisten Flüssen da (Ausnahmen schließen eindimensionalen Incompressible-Fluss ein), aber seine dynamische Wirkung wird im kriechenden Fluss ignoriert (auch genannt Schürt Fluss).

Betonungen

Die Wirkung der Betonung in der Flüssigkeit wird durch und Begriffe vertreten; das sind Anstiege von Oberflächenkräften, die Betonungen in einem Festkörper analog sind. wird den Druck-Anstieg genannt und entsteht aus dem isotropischen Teil des Spannungstensors. Dieser Teil wird durch normale Betonungen gegeben, die in fast allen Situationen, dynamisch auftauchen oder nicht. Der anisotropic Teil des Spannungstensors verursacht, der herkömmlich klebrige Kräfte beschreibt; für den Incompressible-Fluss ist das nur eine scheren Wirkung. So, ist der deviatoric Spannungstensor, und der Spannungstensor ist gleich:

:

wo 3×3 Identitätsmatrix ist. Interessanterweise, nur der Anstieg von Druck-Sachen, nicht der Druck selbst. Die Wirkung des Druck-Anstiegs besteht dass Flüssigkeitsströmungen vom Hochdruck bis Tiefdruck darin.

Die Betonung nennt p und ist noch unbekannt, so ist die allgemeine Form der Gleichungen der Bewegung nicht verwendbar, um Probleme zu beheben. Außer den Gleichungen der Bewegung — des zweiten Gesetzes des Newtons — ist ein Kraft-Modell erforderlich, die Betonungen mit der flüssigen Bewegung verbindend. Deshalb werden Annahmen auf dem spezifischen Verhalten einer Flüssigkeit (gestützt auf natürlichen Beobachtungen) gemacht und haben gegolten, um die Betonungen in Bezug auf die anderen Fluss-Variablen, wie Geschwindigkeit und Dichte anzugeben.

Navier-schürt Gleichungen ergeben sich aus den folgenden Annahmen auf dem deviatoric Spannungstensor:

• die Deviatoric-Betonung verschwindet für eine Flüssigkeit ruhig, und - durch galiläischen invariance - hängt auch direkt von der Fluss-Geschwindigkeit selbst, aber nur von Raumableitungen der Fluss-Geschwindigkeit nicht ab
• in Navier-schürt Gleichungen, die Deviatoric-Betonung wird als das Produkt des Tensor-Anstiegs der Fluss-Geschwindigkeit mit einem Viskositätstensor ausgedrückt, d. h.:

wie man

• annimmt, ist die Flüssigkeit, als gültig für Benzin und einfache Flüssigkeiten isotropisch, und ist folglich ein isotropischer Tensor; außerdem, da der deviatoric Spannungstensor symmetrisch ist, stellt es sich heraus, dass es in Bezug auf zwei dynamische Skalarviskosität μ und μ ausgedrückt werden kann ":
• der deviatoric Spannungstensor hat Nullspur, so für einen dreidimensionalen Fluss 2μ + 3μ" = 0

Infolgedessen, in Navier-schürt Gleichungen der deviatoric Spannungstensor hat die folgende Form:

:

mit der Menge zwischen Klammern der nichtisotropische Teil der Rate des Deformationstensors braucht Die dynamische Viskosität μ nicht unveränderlich zu sein - im Allgemeinen hängt es von Bedingungen wie Temperatur ab, und Druck, und in der Turbulenz, das Konzept der Wirbel-Viskosität modellierend, wird verwendet, um dem Durchschnitt deviatoric Betonung näher zu kommen.

Der Druck p wird durch den Gebrauch einer Gleichung des Staates modelliert. Für den speziellen Fall eines Incompressible-Flusses beschränkt der Druck den Fluss auf solche Art und Weise, dass das Volumen von flüssigen Elementen unveränderlich ist: Isochoric-Fluss, der auf ein solenoidal Geschwindigkeitsfeld mit hinausläuft

Andere Kräfte

Das Vektorfeld vertritt Körperkräfte. Normalerweise bestehen diese aus nur Ernst-Kräften, aber können andere Typen (wie elektromagnetische Kräfte) einschließen. In einem Nichtträgheitskoordinatensystem können andere "Kräfte" wie das, das mit dem Drehen von Koordinaten vereinigt ist, eingefügt werden.

Häufig sind diese Kräfte so genannte konservative Kräfte und können vertreten werden, weil der Anstieg von etwas Skalarmenge, mit dem Ernst in der z Richtung zum Beispiel der Anstieg dessen ist. Da Druck nur als ein Anstieg auftaucht, deutet das an, dass das Beheben eines Problems ohne jede solche Körperkraft ausbessert werden kann, um die Körperkraft durch das Verwenden eines modifizierten Drucks einzuschließen, den Druck- und Kraft-Begriffe auf der rechten Seite Navier-schüren, Gleichung werden

:

Andere Gleichungen

Navier-schürt Gleichungen sind ausschließlich eine Behauptung der Bewahrung des Schwungs. Um Flüssigkeitsströmung völlig zu beschreiben, ist mehr Information erforderlich (wie viel von den Annahmen gemacht abhängt). Diese Zusatzinformation kann Grenzdaten (kapillare Oberfläche ohne Gleiten, usw.), die Bewahrung der Masse, die Bewahrung der Energie und/oder eine Gleichung des Staates einschließen.

Unabhängig von den Fluss-Annahmen ist eine Behauptung der Bewahrung der Masse allgemein notwendig. Das wird durch die Massenkontinuitätsgleichung erreicht, die in seiner allgemeinsten Form als gegeben ist:

:

oder, mit der substantivischen Ableitung:

:

Fluss von Incompressible von Newtonschen Fluiden

Eine Vereinfachung der resultierenden Strömungsgleichungen wird erhalten, wenn man einen incompressible Fluss eines Newtonschen Fluids denkt. Die Annahme von incompressibility schließt die Möglichkeit des Tons oder der Stoß-Wellen aus, um vorzukommen; so ist diese Vereinfachung ungültig, wenn diese Phänomene wichtig sind. Die Incompressible-Fluss-Annahme hält normalerweise gut selbst wenn, sich mit einer "komprimierbaren" Flüssigkeit — wie Luft bei der Raumtemperatur — an niedrigen Machzahlen (selbst wenn befassend, bis zu ungefähr dem Mach 0.3 fließend). Die Incompressible-Fluss-Annahme und das Annehmen unveränderlicher Viskosität, in Betracht zu ziehen, Navier-schürt Gleichungen werden in der Vektor-Form lesen:

Hier vertritt f "andere" Körperkräfte (Kräfte pro Einheitsvolumen), wie Ernst oder Zentrifugalkraft. Der Scherspannungsbegriff wird die nützliche Menge (ist der Vektor Laplacian), wenn die Flüssigkeit incompressible, homogen und Newtonisch angenommen wird, wo die (unveränderliche) dynamische Viskosität ist.

Es lohnt sich gut, die Bedeutung jedes Begriffes zu beobachten (vergleichen Sie sich mit der Schwung-Gleichung von Cauchy):

:

\overbrace {\\rho \Big (

\underbrace {\\frac {\\teilweiser \mathbf {v}} {\\teilweise t\} _ {\

\begin {smallmatrix }\

\text {Unsicherer }\\\

\text {Beschleunigung }\

\end {smallmatrix}} +

\underbrace {\\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v}} _ {\

\begin {smallmatrix }\

\text {Convective} \\

\text {Beschleunigung }\

\end {smallmatrix} }\\Groß)} ^ {\\Text {Trägheit (pro Volumen)}} =

\overbrace {\\underbrace {-\nabla p} _ {\

\begin {smallmatrix }\

\text {Druck} \\

\text {Anstieg }\

\end {smallmatrix}} +

\underbrace {\\mu \nabla^2 \mathbf {v}} _ {\\Text {Viskosität}}} ^ {\\Text {Abschweifung der Betonung}} +

\underbrace {\\mathbf {f}} _ {\

\begin {smallmatrix }\

\text {Anderer} \\

\text {Körper} \\

\text {zwingt }\

\end {smallmatrix}}.

</Mathematik>

Bemerken Sie, dass nur die Convective-Begriffe für den incompressible Newtonischen Fluss nichtlinear sind. Die convective Beschleunigung ist eine Beschleunigung, die durch (vielleicht verursacht ist, unveränderlich) Änderung in der Geschwindigkeit über die Position, zum Beispiel die Geschwindigkeitsübertretung Flüssigkeit, die in eine konvergierende Schnauze eingeht. Obwohl individuelle flüssige Partikeln beschleunigt werden und so unter der unsicheren Bewegung sind, wird das Fluss-Feld (ein Geschwindigkeitsvertrieb) nicht notwendigerweise zeitabhängig sein.

Eine andere wichtige Beobachtung besteht darin, dass die Viskosität durch den Vektoren Laplacian des Geschwindigkeitsfeldes (interpretiert hier als der Unterschied zwischen der Geschwindigkeit an einem Punkt und der Mittelgeschwindigkeit in einem kleinen Volumen ringsherum) vertreten wird. Das deutet an, dass Newtonische Viskosität Verbreitung des Schwungs ist, arbeitet das auf die ziemlich gleiche Weise als die Verbreitung der Hitze, die in der Hitzegleichung gesehen ist (der auch Laplacian einschließt).

Wenn Temperatureffekten auch vernachlässigt werden, ist die einzige "andere" Gleichung (abgesondert von anfänglicher/Grenze Bedingungen) erforderlich die Massenkontinuitätsgleichung. Unter der incompressible Annahme ist Dichte eine Konstante, und hieraus folgt dass die Gleichung vereinfachen wird zu:

:

Das ist mehr spezifisch eine Behauptung der Bewahrung des Volumens (sieh Abschweifung).

Diese Gleichungen werden in 3 Koordinatensystemen allgemein verwendet: Kartesianisch, zylindrisch, und kugelförmig. Während die Kartesianischen Gleichungen scheinen, direkt von der Vektor-Gleichung oben zu folgen, Navier-schürt die Vektor-Form Gleichung schließt eine Tensor-Rechnung ein, was bedeutet, dass schreibend es in anderen Koordinatensystemen nicht so einfach ist wie das Tun so für Skalargleichungen (wie die Hitzegleichung).

Kartesianische Koordinaten

Die Vektor-Gleichung ausführlich, schreibend

:::

Bemerken Sie, dass Ernst als eine Körperkraft verantwortlich gewesen worden ist, und die Werte von g, g, g von der Orientierung des Ernstes in Bezug auf den gewählten Satz von Koordinaten abhängen werden.

Die Kontinuitätsgleichung liest:

:

Wenn der Fluss am Steady-State-ist, ändert sich in Bezug auf die Zeit nicht. Die Kontinuitätsgleichung wird reduziert auf:

:

Wenn der Fluss incompressible ist, unveränderlich ist und sich in Bezug auf die Zeit und Raum nicht ändert. Die Kontinuitätsgleichung wird reduziert auf:

:

Die Geschwindigkeitsbestandteile (die abhängigen Variablen, die für zu lösen sind), werden normalerweise u, v, w genannt. Dieses System von vier Gleichungen umfasst die meistens verwendete und studierte Form. Obwohl verhältnismäßig kompakter, als andere Darstellungen ist das noch ein nichtlineares System von teilweisen Differenzialgleichungen, für die Lösungen schwierig sind vorzuherrschen.

Zylindrische Koordinaten

Eine Änderung von Variablen auf den Kartesianischen Gleichungen wird die folgenden Schwung-Gleichungen für r, und z nachgeben:

:

r:\; \; \rho \left (\frac {\\teilweiser u_r} {\\teilweise t\+ u_r \frac {\\teilweiser u_r} {\\teilweise r\+ \frac {u_ {\\phi}} {r} \frac {\\teilweiser u_r} {\\teilweiser \phi} + u_z \frac {\\teilweiser u_r} {\\teilweise z\-\frac {u_ {\\phi} ^2} {r }\\Recht) =

- \frac {\\teilweise p\{\\teilweise r\+

\mu \left [\frac {1} {r }\\frac {\\teilweise} {\\teilweiser r }\\ist (r \frac {\\teilweiser u_r} {\\teilweiser r }\\Recht) + \frac {1} {r^2 }\\frac {\\Partial^2 u_r} {\\teilweiser \phi^2} + \frac {\\Partial^2 u_r} {\\teilweiser z^2}-\frac {u_r} {R^2}-\frac {2} {r^2 }\\frac {\\teilweiser u_\phi} {\\teilweiser \phi} \right] + \rho g_r </Mathematik> abgereist

:

\phi: \; \;\rho \left (\frac {\\teilweiser u_ {\\phi}} {\\teilweise t\+ u_r \frac {\\teilweiser u_ {\\phi}} {\\teilweise r\+ \frac {u_ {\\phi}} {r} \frac {\\teilweiser u_ {\\phi}} {\\teilweiser \phi} + u_z \frac {\\teilweiser u_ {\\phi}} {\\teilweise z\+ \frac {u_r u_ {\\phi}} {r }\\Recht) =

- \frac {1} {r }\\frac {\\teilweiser p} {\\teilweiser \phi} +

\mu \left [\frac {1} {r }\\frac {\\teilweise} {\\teilweiser r }\\ist (r \frac {\\teilweiser u_ {\\phi}} {\\teilweiser r }\\Recht) + \frac {1} {r^2 }\\frac {\\Partial^2 u_ {\\phi}} {\\teilweiser \phi^2} + \frac {\\Partial^2 u_ {\\phi}} {\\teilweiser z^2} + \frac {2} {r^2 }\\frac {\\teilweiser u_r} {\\teilweiser \phi} - \frac {u_ {\\phi}} {r^2 }\\Recht] + \rho g_ {\\phi} </Mathematik> abgereist

:

z:\; \; \rho \left (\frac {\\teilweiser u_z} {\\teilweise t\+ u_r \frac {\\teilweiser u_z} {\\teilweise r\+ \frac {u_ {\\phi}} {r} \frac {\\teilweiser u_z} {\\teilweiser \phi} + u_z \frac {\\teilweiser u_z} {\\teilweiser z }\\Recht) =

- \frac {\\teilweise p\{\\teilweise z\+ \mu \left [\frac {1} {r }\\frac {\\teilweise} {\\teilweiser r }\\ist (r \frac {\\teilweiser u_z} {\\teilweiser r }\\Recht) + \frac {1} {r^2 }\\frac {\\Partial^2 u_z} {\\teilweiser \phi^2} + \frac {\\Partial^2 u_z} {\\teilweiser z^2 }\\Recht] + \rho g_z abgereist. </math>

Die Ernst-Bestandteile werden allgemein Konstanten, jedoch für die meisten Anwendungen keiner sein, der die Koordinaten gewählt werden, so dass die Ernst-Bestandteile unveränderlich sind, oder es angenommen wird, dass Ernst durch ein Druck-Feld entgegengewirkt wird (zum Beispiel, wird der Fluss in der horizontalen Pfeife normalerweise ohne Ernst und ohne einen vertikalen Druck-Anstieg behandelt). Die Kontinuitätsgleichung ist:

:

\frac {\\partial\rho} {\\teilweise t\+

\frac {1} {r }\\frac {\\teilweise} {\\teilweiser r }\\ist (\rho r u_r\right) + abgereist

\frac {1} {r }\\frac {\\teilweise (\rho u_\phi)} {\\teilweiser \phi} +

\frac {\\teilweise (\rho u_z)} {\\teilweise z\= 0. </math>

Diese zylindrische Darstellung des incompressible Navier-schürt Gleichungen ist meistens gesehen (das erste zweit, das oben Kartesianisch ist). Zylindrische Koordinaten werden gewählt, um die Symmetrie auszunutzen, so dass ein Geschwindigkeitsbestandteil verschwinden kann. Ein sehr allgemeiner Fall ist Axisymmetric-Fluss mit der Annahme keiner tangentialen Geschwindigkeit , und die restlichen Mengen sind unabhängig:

:

\rho \left (\frac {\\teilweiser u_r} {\\teilweise t\+ u_r \frac {\\teilweiser u_r} {\\teilweise r\+ u_z \frac {\\teilweiser u_r} {\\teilweiser z }\\Recht) =

- \frac {\\teilweise p\{\\teilweise r\+

\mu \left [\frac {1} {r }\\frac {\\teilweise} {\\teilweiser r }\\ist (r \frac {\\teilweiser u_r} {\\teilweiser r }\\Recht) + \frac {\\Partial^2 u_r} {\\teilweiser z^2} - \frac {u_r} {r^2 }\\Recht] + \rho g_r </Mathematik> abgereist

:

\rho \left (\frac {\\teilweiser u_z} {\\teilweise t\+ u_r \frac {\\teilweiser u_z} {\\teilweise r\+ u_z \frac {\\teilweiser u_z} {\\teilweiser z }\\Recht) =

- \frac {\\teilweise p\{\\teilweise z\+ \mu \left [\frac {1} {r }\\frac {\\teilweise} {\\teilweiser r }\\ist (r \frac {\\teilweiser u_z} {\\teilweiser r }\\Recht) + \frac {\\Partial^2 u_z} {\\teilweiser z^2 }\\Recht] + \rho g_z </Mathematik> abgereist

:

\frac {1} {r }\\frac {\\teilweise} {\\teilweiser r }\\ist (r u_r\right) + \frac {\\teilweiser u_z} {\\teilweise z\= 0 abgereist. </math>

Kugelförmige Koordinaten

In kugelförmigen Koordinaten sind die r, ϕ, und θ Schwung-Gleichungen (bemerken Sie die verwendete Tagung: θ ist polarer Winkel oder colatitude, 0  θ  π):

:

r:\; \; \rho \left (\frac {\\teilweiser u_r} {\\teilweise t\+ u_r \frac {\\teilweiser u_r} {\\teilweise r\+ \frac {u_ {\\phi}} {r \sin (\theta)} \frac {\\teilweiser u_r} {\\teilweiser \phi} + \frac {u_ {\\theta}} {r} \frac {\\teilweiser u_r} {\\teilweiser \theta} - \frac {u_ {\\phi} ^2 + u_ {\\theta} ^2} {r }\\Recht) =-\frac {\\teilweise p\{\\teilweise r\+ \rho g_r + </Mathematik>

::

\mu \left [

\frac {1} {R^2} \frac {\\teilweise} {\\teilweiser r }\\ist (R^2 \frac {\\teilweiser u_r} {\\teilweiser r }\\Recht) + abgereist

\frac {1} {R^2 \sin (\theta) ^2} \frac {\\Partial^2 u_r} {\\teilweiser \phi^2} +

\frac {1} {R^2 \sin (\theta)} \frac {\\teilweise} {\\teilweiser \theta }\\ist (\sin (\theta) \frac {\\teilweiser u_r} {\\teilweiser \theta }\\Recht) - abgereist

2 \frac {u_r + \frac {\\teilweiser u_ {\\theta}} {\\teilweiser \theta} + u_ {\\theta} \cot (\theta)} {r^2} -

\frac {2} {R^2 \sin (\theta)} \frac {\\teilweiser u_ {\\phi}} {\\teilweiser \phi }\

\right]

</Mathematik>:

\phi: \; \;\rho \left (\frac {\\teilweiser u_ {\\phi}} {\\teilweise t\+ u_r \frac {\\teilweiser u_ {\\phi}} {\\teilweise r\+ \frac {u_ {\\phi}} {r \sin (\theta)} \frac {\\teilweiser u_ {\\phi}} {\\teilweiser \phi} + \frac {u_ {\\theta}} {r} \frac {\\teilweiser u_ {\\phi}} {\\teilweiser \theta} + \frac {u_r u_ {\\phi} + u_ {\\phi} u_ {\\theta} \cot (\theta)} {r }\\Recht) =-\frac {1} {r \sin (\theta)} \frac {\\teilweise p\{\\teilweiser \phi} + \rho g_ {\\phi} + </Mathematik>

::\mu \left [

\frac {1} {R^2} \frac {\\teilweise} {\\teilweiser r }\\ist (R^2 \frac {\\teilweiser u_ {\\phi}} {\\teilweiser r }\\Recht) + abgereist

\frac {1} {R^2 \sin (\theta) ^2} \frac {\\Partial^2 u_ {\\phi}} {\\teilweiser \phi^2} +

\frac {1} {R^2 \sin (\theta)} \frac {\\teilweise} {\\teilweiser \theta }\\ist (\sin (\theta) \frac {\\teilweiser u_ {\\phi}} {\\teilweiser \theta }\\Recht) + abgereist

\frac {2 \sin (\theta) \frac {\\teilweiser u_r} {\\teilweiser \phi} + 2 \cos (\theta) \frac {\\teilweiser u_ {\\theta}} {\\teilweiser \phi} - u_ {\\phi}} {R^2 \sin (\theta) ^2 }\

\right]</Mathematik>:

\theta: \; \;\rho \left (\frac {\\teilweiser u_ {\\theta}} {\\teilweise t\+ u_r \frac {\\teilweiser u_ {\\theta}} {\\teilweise r\+ \frac {u_ {\\phi}} {r \sin (\theta)} \frac {\\teilweiser u_ {\\theta}} {\\teilweiser \phi} + \frac {u_ {\\theta}} {r} \frac {\\teilweiser u_ {\\theta}} {\\teilweiser \theta} + \frac {u_r u_ {\\theta} - u_ {\\phi} ^2 \cot (\theta)} {r }\\Recht) =-\frac {1} {r} \frac {\\teilweise p\{\\teilweiser \theta} + \rho g_ {\\theta} + </Mathematik>

::\mu \left [

\frac {1} {R^2} \frac {\\teilweise} {\\teilweiser r }\\ist (R^2 \frac {\\teilweiser u_ {\\theta}} {\\teilweiser r }\\Recht) + abgereist

\frac {1} {R^2 \sin (\theta) ^2} \frac {\\Partial^2 u_ {\\theta}} {\\teilweiser \phi^2} +

\frac {1} {R^2 \sin (\theta)} \frac {\\teilweise} {\\teilweiser \theta }\\ist (\sin (\theta) \frac {\\teilweiser u_ {\\theta}} {\\teilweiser \theta }\\Recht) + abgereist

\frac {2} {R^2} \frac {\\teilweiser u_r} {\\teilweiser \theta} -

\frac {u_ {\\theta} + 2 \cos (\theta) \frac {\\teilweiser u_ {\\phi}} {\\teilweiser \phi}} {R^2 \sin (\theta) ^2 }\

\right].

</Mathematik>

Massenkontinuität wird lesen:

:

\frac {\\teilweiser \rho} {\\teilweise t\+

\frac {1} {r^2 }\\frac {\\teilweise} {\\teilweiser r }\\ist (\rho R^2 u_r\right) + abgereist

\frac {1} {r \sin (\theta) }\\frac {\\teilweiser \rho u_\phi} {\\teilweiser \phi} +

\frac {1} {r \sin (\theta) }\\frac {\\teilweise} {\\teilweiser \theta }\\ist (\sin (\theta) \rho u_\theta\right) = 0 abgereist. </math>

Diese Gleichungen konnten durch, zum Beispiel, Factoring von den klebrigen Begriffen (ein bisschen) zusammengepresst werden. Jedoch würde das Tun so die Struktur von Laplacian und anderen Mengen unerwünscht verändern.

Strom-Funktionsformulierung

Die Einnahme der Locke Navier-schürt Gleichung läuft auf die Beseitigung des Drucks hinaus. Das ist besonders leicht zu sehen, ob 2. Kartesianischer Fluss angenommen wird (und keine Abhängigkeit von irgendetwas auf z), wo die Gleichungen abnehmen zu:

::

Das erste in Bezug auf y unterscheidend werden das zweite in Bezug auf x und die resultierenden Gleichungen Abstriche zu machen, Druck und jede konservative Kraft beseitigen. Das Definieren des Stroms fungiert durch

:

läuft auf Massenkontinuität hinaus, die unbedingt zufriedene (gegeben die Strom-Funktion ist dauernd), und dann incompressible Newtonischer 2. Schwung, und Massenbewahrung bauen sich in eine Gleichung ab:

:

wo der (2.) biharmonic Maschinenbediener ist und die kinematische Viskosität ist. Wir können auch das kompakt das Verwenden der Determinante von Jacobian ausdrücken:

:

Diese einzelne Gleichung zusammen mit passenden Grenzbedingungen beschreibt 2. Flüssigkeitsströmung, nur kinematische Viskosität als ein Parameter nehmend. Bemerken Sie, dass die Gleichung für das Kriechen Ergebnisse überflutet, wenn die linke Seite Null angenommen wird.

Im Axisymmetric-Fluss Schürt eine andere Strom-Funktionsformulierung, genannt Strom-Funktion, kann verwendet werden, um die Geschwindigkeitsbestandteile eines Incompressible-Flusses mit einer Skalarfunktion zu beschreiben.

Geschwindigkeitsformulierung ohne Druck

Der incompressible Navier-schürt Gleichung ist eine algebraische Differenzialgleichung, die ungünstige Eigenschaft habend, dass es keinen ausführlichen Mechanismus gibt, für den Druck rechtzeitig vorzubringen. Folglich ist viel Anstrengung ausgegeben worden, um den Druck von allen oder einem Teil des rechenbetonten Prozesses zu beseitigen. Die Strom-Funktionsformulierung beseitigt oben den Druck (im 2.) auf Kosten des Einführens höherer Ableitungen und Beseitigung der Geschwindigkeit, die die primäre Variable von Interesse ist.

Der incompressible Navier-schürt Gleichung, ist die Summe von zwei orthogonalen Gleichungen, zerlegbar

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wo und solenoidal und rotationsfreie Vorsprung-Maschinenbediener sind, die befriedigen und

und sind die nichtkonservativen und konservativen Teile der Körperkraft. Dieses Ergebnis folgt aus dem Helmholtz Lehrsatz (auch bekannt als der Hauptsatz der Vektor-Rechnung). Die erste Gleichung ist ein pressureless Regelung der Gleichung für die Geschwindigkeit, während die zweite Gleichung für den Druck eine funktionelle von der Geschwindigkeit ist und mit dem Druck Gleichung von Poisson verbunden ist.

Die ausführliche funktionelle Form des Vorsprung-Maschinenbedieners im 3D wird vom Helmholtz Lehrsatz gefunden

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mit einer ähnlichen Struktur im 2. So ist die Regierungsgleichung eine Integro-Differenzialgleichung und nicht günstig für die numerische Berechnung.

Eine gleichwertige schwache oder abweichende Form der Gleichung, herausgestellt, dieselbe Geschwindigkeitslösung wie zu erzeugen, Navier-schürt Gleichung, wird, durch gegeben

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für Testfunktionen ohne Abschweifung, die passende Grenzbedingungen befriedigen. Hier werden die Vorsprünge durch den orthogonality des solenoidal und der rotationsfreien Funktionsräume vollbracht. Der getrennten Form davon wird der begrenzten Element-Berechnung des Flusses ohne Abschweifung nahe bevorstehend angepasst, wie wir in der folgenden Abteilung sehen werden. Dort werden wir im Stande sein, die Frage zu richten, "Wie gibt man Druck-gesteuerte (Poiseuille) Probleme mit einem pressureless Regelung der Gleichung an?"

Die Abwesenheit von Druck-Kräften von der regierenden Geschwindigkeitsgleichung demonstriert, dass die Gleichung nicht eine dynamische, aber eher eine kinematische Gleichung ist, wo die Bedingung ohne Abschweifung der Rolle eines Bewahrungsgesetzes dient. Das alle würden scheinen, die häufigen Behauptungen zu widerlegen, dass der incompressible Druck die Bedingung ohne Abschweifung geltend macht.

Getrennte Geschwindigkeit

Mit dem Verteilen des Problem-Gebiets und Definieren von Basisfunktionen auf dem verteilten Gebiet ist die getrennte Form der Regierungsgleichung,

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Es ist wünschenswert, Basisfunktionen zu wählen, die die wesentliche Eigenschaft des Incompressible-Flusses widerspiegeln - müssen die Elemente ohne Abschweifung sein. Während die Geschwindigkeit die Variable von Interesse ist, ist die Existenz der Strom-Funktion oder des Vektor-Potenzials durch den Helmholtz Lehrsatz notwendig. Weiter, um Flüssigkeitsströmung ohne einen Druck-Anstieg zu bestimmen, kann man den Unterschied von Strom-Funktionswerten über einen 2. Kanal oder die Linie angeben, die des tangentialen Bestandteils des Vektor-Potenzials um den Kanal im 3D, der Fluss integriert ist, der durch den Lehrsatz von Stokes wird gibt. Diskussion wird auf den 2. im folgenden eingeschränkt.

Wir schränken weiter Diskussion auf dauernden Hermite begrenzte Elemente ein, die mindestens Grade der Freiheit der ersten Ableitung haben. Damit kann man eine Vielzahl des Kandidaten dreieckige und rechteckige Elemente von der Teller biegenden Literatur ziehen.

Diese Elemente haben Ableitungen als Bestandteile des Anstiegs. Im 2. sind der Anstieg und die Locke eines Skalars klar orthogonal, durch die Ausdrücke, gegeben

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\nabla\times\phi = \left [\frac {\\teilweiser \phi} {\\teilweise y\, \,-\frac {\\teilweiser \phi} {\\teilweiser x }\\Recht] ^T. </Mathematik>

Das Übernehmen dauernder Teller biegender Elemente, das Austauschen der abgeleiteten Grade der Freiheit und das Ändern des Zeichens des

verwenden Sie man gibt viele Familien von Strom-Funktionselementen.

Die Einnahme der Locke der Skalarstrom-Funktionselemente gibt Geschwindigkeitselemente ohne Abschweifung. Die Voraussetzung dass der Strom

Funktionselemente, dauernd sein, versichern, dass der normale Bestandteil der Geschwindigkeit über Element-Schnittstellen, alles dauernd ist, was für die verschwindende Abschweifung auf diesen Schnittstellen notwendig ist.

Grenzbedingungen sind einfach zu gelten. Die Strom-Funktion ist auf Oberflächen ohne Flüsse mit Geschwindigkeitsbedingungen ohne Gleiten auf Oberflächen unveränderlich.

Strom-Funktionsunterschiede über offene Kanäle bestimmen den Fluss. Keine Grenzbedingungen sind an offenen Grenzen notwendig, obwohl konsequente Werte mit einigen Problemen verwendet werden können. Das sind alle Bedingungen von Dirichlet.

Die algebraischen zu lösenden Gleichungen sind einfach sich niederzulassen, aber sind natürlich nichtlinear, Wiederholung der linearized Gleichungen verlangend..

Ähnliche Rücksichten gelten für drei Dimensionen, aber die Erweiterung vom 2. ist wegen der Vektor-Natur des Potenzials nicht unmittelbar, und dort besteht keine einfache Beziehung zwischen dem Anstieg und der Locke, wie im 2. der Fall gewesen ist.

Druck-Wiederherstellung

Die Besserung des Drucks vom Geschwindigkeitsfeld ist leicht. Die getrennte schwache Gleichung für den Druck-Anstieg, ist

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wo die Funktionen des Tests/Gewichts rotationsfrei sind. Jedes übereinstimmende begrenzte Skalarelement kann verwendet werden. Jedoch kann das Druck-Anstieg-Feld auch von Interesse sein. In diesem Fall kann man Skalarelemente von Hermite für den Druck verwenden. Für die Funktionen des Tests/Gewichts würde man die rotationsfreien Vektor-Elemente obtainied aus dem Anstieg des Druck-Elements wählen.

Komprimierbarer Fluss von Newtonschen Fluiden

Es gibt einige Phänomene, die mit der flüssigen Verdichtbarkeit nah verbunden werden. Eines der offensichtlichen Beispiele ist gesund. Die Beschreibung solcher Phänomene verlangt, dass allgemeinere Präsentation Gleichung Navier-schürt, die flüssige Verdichtbarkeit in Betracht zieht. Wenn Viskosität eine Konstante angenommen wird, erscheint ein zusätzlicher Begriff, wie gezeigt, hier:

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wo der Volumen-Viskositätskoeffizient, auch bekannt als die Hauptteil-Viskosität ist. Dieser zusätzliche Begriff verschwindet für eine incompressible Flüssigkeit, wenn die Abschweifung des Flusses Null gleichkommt.

Anwendung auf spezifische Probleme

Navier-schürt Gleichungen, selbst wenn geschrieben ausführlich für spezifische Flüssigkeiten, in der Natur ziemlich allgemein sind und ihre richtige Anwendung auf spezifische Probleme sehr verschieden sein kann. Das ist teilweise, weil es eine enorme Vielfalt von Problemen gibt, die, im Intervall von so einfachem modelliert werden können wie der Vertrieb des statischen Drucks zu so kompliziertem wie mehrphasiger durch die Oberflächenspannung gesteuerter Fluss.

Allgemein beginnt die Anwendung auf spezifische Probleme mit einigen Fluss-Annahmen und anfänglicher/Grenze Bedingungsformulierung, dem kann von der Skala-Analyse gefolgt werden, um weiter das Problem zu vereinfachen. Zum Beispiel, nach dem Annehmen unveränderlich, parallel, ein dimensionaler, nonconvective Druck gesteuerter Fluss zwischen parallelen Tellern, ist das resultierende schuppige (ohne Dimension) Grenzwertproblem:

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Die Grenzbedingung ist keine Gleitbedingung. Dieses Problem wird für das Fluss-Feld leicht behoben:

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Von diesem Punkt vorwärts können mehr Mengen von Interesse, wie klebrige Schinderei-Kraft oder Nettodurchfluss leicht erhalten werden.

Schwierigkeiten können entstehen, wenn das Problem ein bisschen mehr kompliziert wird. Eine anscheinend bescheidene Drehung auf dem parallelen Fluss würde oben der radiale Fluss zwischen parallelen Tellern sein; das schließt Konvektion und so Nichtlinearität ein. Das Geschwindigkeitsfeld kann durch eine Funktion vertreten werden, die befriedigen muss:

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Diese gewöhnliche Differenzialgleichung ist, was erhalten wird, wenn Navier-schürt, werden Gleichungen geschrieben, und die Fluss-Annahmen angewandt (zusätzlich, der Druck-Anstieg wird für gelöst). Der nichtlineare Begriff macht das ein sehr schwieriges Problem, analytisch zu lösen (eine lange implizite Lösung kann gefunden werden, der elliptische Integrale und Wurzeln von Kubikpolynomen einschließt). Probleme mit der wirklichen Existenz von Lösungen entstehen für R> 1.41 (ungefähr; das ist nicht die Quadratwurzel 2), der Parameter R die Zahl von Reynolds mit passend gewählten Skalen zu sein. Das ist ein Beispiel von Fluss-Annahmen, die ihre Anwendbarkeit und ein Beispiel der Schwierigkeit in "hohen" Zahl-Flüssen von Reynolds verlieren.

Genaue Lösungen Navier-schüren Gleichungen

Einige genaue Lösungen Navier-schüren Gleichungen bestehen. Beispiele von degenerierten Fällen — mit den nichtlinearen Begriffen in Navier-schüren Gleichungen, die der Null gleich sind — sind Poiseuille-Strömung, Fluss von Couette und der Schwingungs-Schüren Grenzschicht. Sondern auch interessantere Beispiele, Lösungen der vollen nichtlinearen Gleichungen, bestehen; zum Beispiel der Taylor-grüne Wirbelwind.

Bemerken Sie, dass die Existenz dieser genauen Lösungen nicht andeutet, dass sie stabil sind: Turbulenz kann sich an höheren Zahlen von Reynolds entwickeln.

Eine dreidimensionale Steady-Statewirbelwind-Lösung

Ein nettes Steady-Statebeispiel ohne Eigenartigkeiten kommt daraus, den Fluss entlang den Linien von Hopf fibration zu denken. Lassen Sie r ein unveränderlicher Radius zur inneren Rolle sein. Durch einen Satz von Lösungen wird gegeben:

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\rho (x, y, z) = \frac {3B} {r^2+x^2+y^2+z^2 }\

</Mathematik>:

p (x, y, z) = \frac {-a^2b} {(r^2+x^2+y^2+z^2) ^3 }\

</Mathematik>:

\mathbf {v} (x, y, z) = \frac {(r^2+x^2+y^2+z^2) ^2 }\\beginnen {pmatrix} 2 (-ry+xz) \\2 (rx+yz) \\r^2-x^2-y^2+z^2 \end {pmatrix }\

</Mathematik>:

g=0

</Mathematik>:

\mu=0

</Mathematik>

für willkürliche Konstanten A und B. Das ist eine Lösung in einem nichtklebrigen Benzin (komprimierbare Flüssigkeit), wessen Dichte, Geschwindigkeiten und Druck zur vom Ursprung weiten Null gehen. (Bemerken Sie, dass das nicht eine Lösung des Tonmillennium-Problems ist, weil sich das auf incompressible Flüssigkeiten bezieht, wo eine Konstante ist.) Lohnt es sich auch darauf hinzuweisen, dass die Bestandteile des Geschwindigkeitsvektoren genau diejenigen vom Pythagoreischen vierfachen parametrization sind. Andere Wahlen der Dichte und des Drucks sind mit demselben Geschwindigkeitsfeld möglich:

Diagramme von Wyld

Diagramme von Wyld sind Buchhaltungsgraphen, die entsprechen, Navier-schürt Gleichungen über eine Unruhe-Vergrößerung der grundsätzlichen Kontinuum-Mechanik. Ähnlich den Diagrammen von Feynman in der Quant-Feldtheorie sind diese Diagramme eine Erweiterung der Technik von Keldysh für Nichtgleichgewichtsprozesse in der flüssigen Dynamik. Mit anderen Worten teilen diese Diagramme Graphen den (häufig) unruhigen Phänomenen in unruhigen Flüssigkeiten zu, indem sie aufeinander bezogen erlaubt wird und flüssige Partikeln aufeinander gewirkt wird, um stochastischen Prozessen zu folgen, die pseudozufälligen Funktionen im Wahrscheinlichkeitsvertrieb vereinigt sind.

Navier-schürt Gleichungsgebrauch in Spielen

Navier-schürt Gleichungen werden umfassend in Videospielen verwendet, um ein großes Angebot an natürlichen Phänomenen zu modellieren. Diese schließen Simulationen von Effekten wie Wasser, Feuer ein, rauchen usw. Viele der verwendeten Durchführungen basieren auf dem Samenpapier "Flüssige Echtzeitdynamik für Spiele" durch J. Stam. Neuere Durchführungen, die auf dieser Arbeit gestützt sind, die auf dem GPU im Vergleich mit der Zentraleinheit geführt ist, und erreichen einen viel höheren Grad der Leistung.

Siehe auch

Referenzen

Außenverbindungen

• Vereinfachte Abstammung Navier-schürt Gleichungen
• Millennium-Preis-Problem-Beschreibung.
• CFD Online-Softwareliste Navier-schürt Eine Kompilation von Codes, einschließlich solvers.