In der Mathematik ist das Dreieck von Pascal eine Dreiecksreihe der binomischen Koeffizienten in einem Dreieck. Es wird nach dem französischen Mathematiker Blaise Pascal in viel von der Westwelt genannt, obwohl andere Mathematiker es wenige Jahrhunderte vor ihm in Indien, Griechenland, dem Iran, China, Deutschland und Italien studiert haben.

Die Reihen des Dreiecks des Pascal werden herkömmlich aufgezählt, mit der Reihe n = 0 oben anfangend. Die Einträge in jeder Reihe werden vom linken Anfang mit k = 0 numeriert und werden gewöhnlich hinsichtlich der Zahlen in den angrenzenden Reihen erschüttert. Ein einfacher Aufbau des Dreiecks geht auf die folgende Weise weiter. Auf der Reihe 0, schreiben Sie nur die Nummer 1. Dann, um die Elemente von folgenden Reihen zu bauen, fügen Sie die Zahl oben und nach links mit der Zahl oben und zum Recht hinzu, den neuen Wert zu finden. Wenn entweder die Zahl nach rechts oder verlassen nicht da ist, setzen Sie eine Null in seinem Platz ein. Zum Beispiel ist die erste Zahl in der ersten Reihe 0 + 1 = 1, wohingegen die Nummern 1 und 3 in der dritten Reihe hinzugefügt werden, um die Nummer 4 in der vierten Reihe zu erzeugen.

Dieser Aufbau ist mit den binomischen Koeffizienten durch die Regel des Pascal verbunden, die das wenn sagt

:

dann

:

für jede natürliche Zahl n und jede ganze Zahl k zwischen 0 und n.

Das Dreieck des Pascal hat höhere dimensionale Generalisationen. Die dreidimensionale Version wird die Pyramide des Pascal oder das Tetraeder des Pascal genannt, während die allgemeinen Versionen den simplices des Pascal genannt werden.

Geschichte

Der Satz von Zahlen, die das Dreieck des Pascal bilden, war vor Pascal weithin bekannt. Jedoch hat Pascal viele Anwendungen davon entwickelt und war das erste, um die ganze Information zusammen in seiner Abhandlung, Traité du triangle arithmétique (1653) zu organisieren. Die Zahlen sind ursprünglich aus hinduistischen Studien von combinatorics und binomischen Zahlen und der Studie der Griechen von figurate Zahlen entstanden.

Die frühsten ausführlichen Bilder eines Dreiecks von binomischen Koeffizienten kommen im 10. Jahrhundert in Kommentaren zu Chandas Shastra, einem Alten Indianerbuch auf der sanskritischen Prosodie vor, die von Pingala in oder vor geschrieben ist, dem 2. Jahrhundert v. Chr., Während die Arbeit von Pingala nur in Bruchstücken, dem Kommentator Halayudha, ungefähr 975 überlebt, hat das Dreieck verwendet, um dunkle Verweisungen auf Meru-prastaara, die "Treppe Gestells Meru" zu erklären. Es wurde auch begriffen, dass die seichten Diagonalen des Dreiecks zu den Fibonacci-Zahlen resümieren. In 1068 wurden vier Säulen der ersten sechzehn Reihen vom Mathematiker Bhattotpala gegeben, der die kombinatorische Bedeutung begriffen hat.

Um dieselbe Zeit wurde es in Persien (der Iran) vom persischen Mathematiker, Al-Karaji (953-1029) besprochen. Es wurde später vom persischen Dichter-Astronomen-Mathematiker Omar Khayyám (1048-1131) wiederholt; so wird das Dreieck das Dreieck von Khayyam-Pascal oder einfach das Dreieck von Khayyam im Iran genannt. Mehrere mit dem Dreieck verbundene Lehrsätze waren einschließlich des binomischen Lehrsatzes bekannt. Khayyam hat eine Methode verwendet, die n-ten Wurzeln gestützt auf der binomischen Vergrößerung, und deshalb auf den binomischen Koeffizienten zu finden.

Im 13. Jahrhundert hat Yang Hui (1238-1298) das arithmetische Dreieck präsentiert, das dasselbe als das Dreieck des Pascal ist. Das Dreieck des Pascal wird das Dreieck von Yang Hui in China genannt. Das Dreieck von "Yang Hui" war in China am Anfang des 11. Jahrhunderts vom chinesischen Mathematiker Jia Xian (1010-1070) bekannt.

Petrus Apianus (1495-1552) hat das Dreieck auf dem Titelbild seines Buches auf Geschäftsberechnungen im 16. Jahrhundert veröffentlicht. Das ist die erste Aufzeichnung des Dreiecks in Europa.

In Italien wird es das Dreieck von Tartaglia genannt, das für den italienischen algebraist Niccolò Fontana Tartaglia (1500-77) genannt ist. Tartaglia wird die allgemeine Formel zugeschrieben, um Kubikpolynome, zu lösen (der tatsächlich von Scipione del Ferro sein kann, aber von Gerolamo Cardano 1545 veröffentlicht wurde).

Pascals Traité du triangle arithmétique (Abhandlung auf dem Arithmetischen Dreieck) wurde postum 1665 veröffentlicht. Darin hat Pascal mehrere Ergebnisse gesammelt, die dann über das Dreieck bekannt sind, und hat sie verwendet, um Probleme in der Wahrscheinlichkeitstheorie zu beheben. Das Dreieck wurde später nach Pascal von Pierre Raymond de Montmort (1708) genannt, wer es "Table de M. Pascal pour les combinaisons" genannt hat (Französisch: Der Tisch von Herrn Pascal für Kombinationen) und Abraham de Moivre (1730), wer es "Triangulum Arithmeticum PASCALIANUM" genannt hat (Latein: Pascals Arithmetisches Dreieck), der der moderne Westname geworden ist.

Binomische Vergrößerungen

Das Dreieck des Pascal bestimmt die Koeffizienten, die in binomischen Vergrößerungen entstehen. Für ein Beispiel, denken Sie die Vergrößerung

: (x + y) = x + 2xy + y = 1xy + 2xy + 1xy.

Bemerken Sie, dass die Koeffizienten die Zahlen in der Reihe zwei des Dreiecks des Pascal sind: 1, 2, 1.

Im Allgemeinen, wenn ein Binom wie x + y zu einer positiven Macht der ganzen Zahl erhoben wird, haben wir:

: (x + y) = Axt + axy + axy +... + axy + ja,

wo die Koeffizienten in dieser Vergrößerung genau die Zahlen auf der Reihe n des Dreiecks des Pascal sind. Mit anderen Worten,

:

Das ist der binomische Lehrsatz.

Bemerken Sie, dass die komplette richtige Diagonale des Dreiecks des Pascal dem Koeffizienten von y in diesen binomischen Vergrößerungen entspricht, während die folgende Diagonale dem Koeffizienten von xy und so weiter entspricht.

Um zu sehen, wie sich der binomische Lehrsatz auf den einfachen Aufbau des Dreiecks des Pascal bezieht, denken Sie das Problem, die Koeffizienten der Vergrößerung (x + 1) in Bezug auf die entsprechenden Koeffizienten (x + 1) zu berechnen (y = 1 für die Einfachheit untergehend). Nehmen Sie dann das an

:

Jetzt

:

Die zwei Summierungen können wie folgt reorganisiert werden:

:\begin {richten }\aus

& \sum_ {i=0} ^ {n} a_ {ich} X^ {i+1} + \sum_ {i=0} ^n a_i x^i \\

& {} = \sum_ {i=1} ^ {n+1} a_ {i-1} x^ {ich} + \sum_ {i=0} ^n a_i x^i \\

& {} = \sum_ {i=1} ^ {n} a_ {i-1} x^ {ich} + \sum_ {i=1} ^n a_i x^i + a_0x^0 + a_ {n} X^ {n+1} \\

& {} = \sum_ {i=1} ^ {n} (a_ {i-1} + a_i) x^ {ich} + a_0x^0 + a_ {n} X^ {n+1} \\

& {} = \sum_ {i=1} ^ {n} (a_ {i-1} + a_i) x^ {ich} + x^0 + x^ {n+1 }\

\end {richten }\aus</Mathematik>

(wegen wie die Aufhebung eines Polynoms zu einer Macht, = = 1 arbeitet).

Wir haben jetzt einen Ausdruck für das Polynom (x + 1) in Bezug auf die Koeffizienten (x + 1) (diese sind als), der ist, was wir brauchen, wenn wir eine Linie in Bezug auf die Linie darüber ausdrücken wollen. Rufen Sie zurück, dass alle Begriffe in einer Diagonale, die vom ober verlassenen bis das niedrigere Recht geht, derselben Macht von x entsprechen, und dass Begriffe die Koeffizienten des Polynoms (x + 1) sind, und wir die Koeffizienten (x + 1) bestimmen. Jetzt, für irgendwelchen gegeben ich nicht 0 oder n + 1, ist der Koeffizient des X-Begriffes im Polynom (x + 1) gleich (die Zahl oben und links von der zu bestimmenden Zahl, da es auf derselben Diagonale ist) + (die Zahl zum unmittelbaren Recht auf die erste Zahl). Das ist tatsächlich die einfache Regel, um das Dreieck des Pascal Reihe-für-Reihe zu bauen.

Es ist nicht schwierig, dieses Argument in einen Beweis (durch die mathematische Induktion) vom binomischen Lehrsatz zu verwandeln. Seitdem

(+ b) = b (a/b + 1) sind die Koeffizienten in der Vergrößerung des allgemeinen Falls identisch.

Eine interessante Folge des binomischen Lehrsatzes wird durch das Setzen beider Variablen x und y gleich einer erhalten. In diesem Fall wissen wir dass (1 + 1) = 2, und so

:

Mit anderen Worten ist die Summe der Einträge in der n-ten Reihe des Dreiecks des Pascal die n-te Macht 2.

Kombinationen

Eine zweite nützliche Anwendung des Dreiecks des Pascal ist in der Berechnung von Kombinationen. Zum Beispiel können die Zahl-Kombinationen von n Dingen genommene k auf einmal (hat n genannt, wählen k), durch die Gleichung gefunden werden

:

Aber das ist auch die Formel für eine Zelle des Dreiecks des Pascal. Anstatt die Berechnung durchzuführen, kann man einfach den passenden Zugang im Dreieck nachschlagen. Nehmen Sie zum Beispiel an, dass eine Basketball-Mannschaft 10 Spieler hat und wie viel Wege wissen will, dort sind, 8 auszuwählen. Vorausgesetzt dass wir die erste Reihe haben und der erste Zugang hintereinander 0 numeriert hat, ist die Antwort Zugang 8 in der Reihe 10: 45. D. h. die Lösung von 10 wählt 8 ist 45.

Beziehung zum binomischen Vertrieb und den Gehirnwindungen

Wenn geteilt, durch 2 wird die n-te Reihe des Dreiecks des Pascal der binomische Vertrieb im symmetrischen Fall wo p = 1/2. Durch den Hauptgrenzwertsatz nähert sich dieser Vertrieb der Normalverteilung als n Zunahmen. Das kann auch durch die Verwendung der Formel von Stirling auf den factorials gesehen werden, der an der Formel für Kombinationen beteiligt ist.

Das ist mit der Operation der getrennten Gehirnwindung auf zwei Weisen verbunden. Erstens entspricht polynomische Multiplikation genau getrennter Gehirnwindung, so dass wiederholt convolving die Folge {..., 0, 0, 1, 1, 0, 0...} mit sich entspricht Machtergreifungen 1 + x, und folglich zum Erzeugen der Reihen des Dreiecks. Zweitens, wiederholt convolving die Vertriebsfunktion für eine zufällige Variable mit sich entspricht dem Rechnen der Vertriebsfunktion für eine Summe von n unabhängigen Kopien dieser Variable; das ist genau die Situation, für die der Hauptgrenzwertsatz gilt, und folglich zur Normalverteilung in der Grenze führt.

Muster und Eigenschaften

Das Dreieck des Pascal hat viele Eigenschaften und enthält viele Muster von Zahlen.

Reihen

Wenn

• sie alle Ziffern in einer einzelnen Reihe hinzufügt, hat jede aufeinander folgende Reihe zweimal den Wert der Reihe, die ihm vorangeht. Zum Beispiel hat Reihe 1 einen Wert von 1, Reihe 2 hat einen Wert von 2, Reihe 3 hat einen Wert von 4, und so weiter. Das ist, weil jeder Artikel in der Reihe zwei Sachen in der folgenden Reihe erzeugt: ein verlassener und ein Recht.
• Der Wert einer Reihe, wenn jeder Zugang als ein dezimaler Platz betrachtet wird (und Zahlen, die größer sind als 9 vorgetragene entsprechend), ist eine Macht 11 (11, für die Reihe n). So, in der Reihe zwei, '1,2,1' wird 11, während '1,5,10,10,5,1' in der Reihe fünf (nach dem Tragen) 161,051 wird, der 11 ist. Dieses Eigentum wird durch das Setzen x = '10' in der binomischen Vergrößerung (x + 1) und die Anpassung von Werten dem dezimalen System erklärt. Aber x kann gewählt werden, um Reihen zu erlauben, Werte in jeder Basis - wie Basis 3 zu vertreten; 1 2 1 ['1,2,1'] = 4 (16), 2 1 0 1 ['1,3,3,1'] = 4 (64) - oder Basis 9; 1 2 1 = 10 (100), 1 3 3 1 = 10 (1000) und 1 6 2 1 5 1 ['1,5,10,10,5,1'] = 10 (100,000). Insbesondere (sieh folgendes Eigentum), für x = bleibt 1 Platz-Wert unveränderlich (1=1). So können Einträge einfach in der Interpretation des Werts einer Reihe hinzugefügt werden.
• Die Summe der Elemente der Reihe M ist 2 gleich. Zum Beispiel ist die Summe der Elemente der Reihe 5 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16, der 2 = 16 gleich ist. Das folgt aus dem binomischen Lehrsatz, der oben bewiesen ist, angewandt auf (1 + 1).
• Wenn Reihen numeriert werden, mit n = 0 anfangend, ist die Summe der Elemente in der Reihe einfach 2, so trägt Reihe 0 zu 2 = 1 bei, trägt Reihe 1 zu 2 = 2, usw. bei.
• Einige der Zahlen im Dreieck des Pascal entsprechen zu Zahlen im Lozanić's Dreieck.
• Die Summe der Quadrate der Elemente der Reihe n kommt dem mittleren Element der Reihe (2n  1) gleich. Zum Beispiel, 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 70. In der allgemeinen Form:

::

• Ein anderes interessantes Muster ist, dass auf jeder Reihe M, wo M, der mittlere Begriff minus der Begriff zwei Punkte nach links seltsam ist, einer katalanischen Zahl, spezifisch (M + 1)/2 katalanische Zahl gleichkommt. Zum Beispiel: Auf der Reihe 5, 6  1 = 5, der die 3. katalanische Zahl, und (5 + 1)/2 = 3 ist.
• Ein anderes interessantes Eigentum des Dreiecks des Pascal besteht darin, dass in Reihen, wo die zweite Zahl (sofort im Anschluss an '1') erst ist, alle Begriffe in dieser Reihe außer 1s Vielfachen dieser Blüte sind. Das kann leicht, seitdem wenn bewiesen werden, hat dann keine Faktoren bis auf 1 und es. Jeder Zugang im Dreieck ist eine ganze Zahl so deshalb definitionsgemäß und ist Faktoren dessen. Jedoch gibt es keinen möglichen Weg selbst kann im Nenner auftauchen, so deshalb (oder ein Vielfache davon) muss im Zähler verlassen werden, den kompletten Zugang ein Vielfache dessen machend.
• Gleichheit: Fangen Sie An, die Reihe von 0 zu numerieren. Um sonderbare Begriffe in der n-ten Reihe aufzuzählen, wandeln Sie n zur Dualzahl um. Lassen Sie x die Zahl 1s in der binären Darstellung sein. Dann wird die Zahl von sonderbaren Begriffen 2 sein.

Diagonalen

Die Diagonalen des Dreiecks des Pascal enthalten die figurate Zahlen von simplices:

• Die Diagonalen, die entlang dem verlassenen und den richtigen Rändern gehen, enthalten nur 1's.
• Die Diagonalen neben den Rand-Diagonalen enthalten die natürlichen Zahlen in der Ordnung.
• Das Bewegen nach innen, das folgende Paar von Diagonalen enthält die Dreieckszahlen in der Ordnung.
• Das folgende Paar von Diagonalen enthält die vierflächigen Zahlen in der Ordnung, und das folgende Paar gibt pentatope Zahlen.

::

P_0 (n) &= P_d (0) = 1, \\

P_d (n) &= P_d (n-1) + P_ {d-1} (n) \\

&= \sum_ {i=0} ^n P_ {d-1} (i) = \sum_ {i=0} ^d P_i (n-1).

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Die Symmetrie des Dreiecks deutet an, dass der n d-dimensional Zahl dem d n-dimensional Zahl gleich ist.

Eine alternative Formel, die recursion nicht einschließt, ist wie folgt:

::

:where n ist das Steigen factorial.

Die geometrische Bedeutung einer Funktion P ist: P (1) = 1 für den ganzen d. Bauen Sie ein d-dimensional Dreieck (ein 3-dimensionales Dreieck ist ein Tetraeder) durch das Stellen von zusätzlichen Punkten unter einem anfänglichen Punkt, entsprechend P (1) = 1. Legen Sie diese Punkte, die gewissermaßen dem Stellen von Zahlen im Dreieck des Pascal analog sind. Um P (x) zu finden, haben Sie insgesamt x Punkte, die die Zielgestalt zusammensetzen. P (x) kommt dann der Gesamtzahl von Punkten in der Gestalt gleich. Ein 0-dimensionales Dreieck ist ein Punkt, und ein 1-dimensionales Dreieck ist einfach eine Linie, und deshalb P (x) = 1 und P (x) = x, der die Folge von natürlichen Zahlen ist. Die Zahl von Punkten in jeder Schicht entspricht P (x).

Das Rechnen einer individuellen Reihe oder Diagonale allein

Dieser Algorithmus ist eine Alternative zur Standardmethode, individuelle Zellen mit factorials zu berechnen. Am verlassenen anfangend, ist der Wert der ersten Zelle 1. Für jede Zelle danach wird der Wert durch das Multiplizieren des Werts an seiner linken Seite durch einen sich langsam ändernden Bruchteil bestimmt:

:

wo r = Reihe + 1, mit 0 oben, und c = die Säule anfangend, mit 0 links anfangend. Zum Beispiel, um Reihe 5, r = 6 zu berechnen. Der erste Wert ist 1. Der folgende Wert ist 1 × 5/1 = 5. Der Zähler nimmt durch einen und die Nenner-Zunahmen durch eine mit jedem Schritt ab. So 5 × 4/2 = 10. Dann 10 × 3/3 = 10. Dann 10 × 2/4 = 5. Dann 5 × 1/5 = 1. Bemerken Sie, dass die letzte Zelle immer 1 gleich ist, wird die Endmultiplikation für die Vollständigkeit der Reihe eingeschlossen.

Ein ähnliches Muster besteht auf einer Diagonale nach unten. Wenn Sie mit demjenigen und der natürlichen Zahl in der folgenden Zelle anfangen, bilden Sie einen Bruchteil. Um die folgende Zelle zu bestimmen, vergrößern Sie den Zähler und Nenner jeder durch einen, und dann multiplizieren Sie das vorherige Ergebnis mit dem Bruchteil. Zum Beispiel bildet die Reihe, die mit 1 und 7 anfängt, einen Bruchteil von 7/1. Die folgende Zelle ist 7 × 8/2 = 28. Die folgende Zelle ist 28 × 9/3 = 84. (Bemerken Sie, dass für jede individuelle Reihe es nur notwendig ist, halb (zusammengetrieben) die Begriffe in der Reihe wegen der Symmetrie zu rechnen.)

Gesamte Muster und Eigenschaften

• Das erhaltene Muster durch das Färben nur der ungeraden Zahlen im Dreieck des Pascal ähnelt nah dem fractal genannt das Dreieck von Sierpinski. Diese Ähnlichkeit wird immer genauer, weil mehr Reihen betrachtet werden; in der Grenze, als die Zahl der Reihe-Annäherungsunendlichkeit ist das resultierende Muster das Dreieck von Sierpinski, einen festen Umfang annehmend. Mehr allgemein konnten Zahlen verschieden gemäß gefärbt werden, ob sie Vielfachen 3, 4, usw. sind; das läuft auf andere ähnliche Muster hinaus.
• Stellen Sie sich vor, dass jede Zahl im Dreieck ein Knoten in einem Bratrost ist, der mit den angrenzenden Zahlen oben und darunter verbunden wird. Jetzt für jeden Knoten im Bratrost, zählen Sie die Zahl von Pfaden auf es gibt im Bratrost (ohne denselben Weg zurückzuverfolgen), die diesen Knoten mit dem Spitzenknoten (1) des Dreiecks verbinden. Die Antwort ist die zu diesem Knoten vereinigte Zahl von Pascal. Die Interpretation der Zahl im Dreieck des Pascal als die Zahl von Pfaden zu dieser Zahl vom Tipp bedeutet, dass auf einem wie ein Dreieck gestalteten Spielausschuss von Plinko die Wahrscheinlichkeit des Gewinnens näher das Zentrum schätzt, wird höher sein als das Gewinnen von Preisen an den Rändern.
• Ein Eigentum des Dreiecks wird offenbart, wenn die Reihen nach links gerechtfertigt werden. Im Dreieck unten resümiert die Diagonale gefärbt Bänder zu aufeinander folgenden Fibonacci-Zahlen.

::

Aufbau als Exponential-Matrix

Wegen seines einfachen Aufbaus durch factorials kann eine sehr grundlegende Darstellung des Dreiecks des Pascal in Bezug auf die Exponential-Matrix gegeben werden: Das Dreieck des Pascal ist die Exponential-von der Matrix, die die Folge 1, 2, 3, 4, … auf seiner Subdiagonale und Null überall sonst hat.

Zahl der Elemente von polytopes

Das Dreieck des Pascal kann als eine Nachschlagetabelle für die Zahl der Elemente (wie Ränder und Ecken) innerhalb eines polytope (wie ein Dreieck, ein Tetraeder, ein Quadrat und ein Würfel) verwendet werden.

Wollen wir beginnen, indem Sie die 3. Linie des Dreiecks des Pascal, mit Werten 1, 3, 3, 1 denken. Ein 2-dimensionales Dreieck hat ein 2-dimensionales Element (selbst), drei 1-dimensionale Elemente (Linien oder Ränder), und drei 0-dimensionale Elemente (Scheitelpunkte oder Ecken). Die Bedeutung der endgültigen Nummer (1) ist schwieriger, zu erklären (aber unten zu sehen). Mit unserem Beispiel weitergehend, hat ein Tetraeder ein 3-dimensionales Element (selbst), vier 2-dimensionale Elemente (Gesichter), sechs 1-dimensionale Elemente (Ränder) und vier 0-dimensionale Elemente (Scheitelpunkte). Endgültigen 1 wieder hinzufügend, entsprechen diese Werte der 4. Reihe des Dreiecks (1, 4, 6, 4, 1). Linie 1 entspricht einem Punkt, und Linie 2 entspricht einem Liniensegment (dyad). Dieses Muster geht zu willkürlich hoch dimensionierten Hypertetraeder (bekannt als simplices) weiter.

Um zu verstehen, warum dieses Muster besteht, muss man zuerst verstehen, dass der Prozess, ein N-Simplex von (n  1) zu bauen - Simplex daraus besteht, einfach einen neuen Scheitelpunkt zu den Letzteren, eingestellt solch hinzuzufügen, dass dieser neue Scheitelpunkt außerhalb des Raums des ursprünglichen Simplexes und Anschließens davon zu allen ursprünglichen Scheitelpunkten liegt. Als ein Beispiel, ziehen Sie den Fall in Betracht, ein Tetraeder von einem Dreieck, den Letzteren zu bauen, deren Elemente durch die Reihe 3 des Dreiecks des Pascal aufgezählt werden: 1 Gesicht, 3 Ränder und 3 Scheitelpunkte (wird die Bedeutung endgültigen 1 kurz erklärt). Um ein Tetraeder von einem Dreieck zu bauen, stellen wir einen neuen Scheitelpunkt über dem Flugzeug des Dreiecks ein und verbinden diesen Scheitelpunkt mit allen drei Scheitelpunkten des ursprünglichen Dreiecks.

Die Zahl eines gegebenen dimensionalen Elements im Tetraeder ist jetzt die Summe von zwei Zahlen: Zuerst hat die Zahl dieses Elements im ursprünglichen Dreieck plus die Zahl von neuen Elementen gefunden, von denen jedes auf Elemente einer weniger Dimension vom ursprünglichen Dreieck gebaut wird. So, im Tetraeder, ist die Zahl von Zellen (polyedrische Elemente) 0 (das ursprüngliche Dreieck besitzt niemanden) + 1 (gebaut auf das einzelne Gesicht des ursprünglichen Dreiecks) = 1; die Zahl von Gesichtern ist 1 (das ursprüngliche Dreieck selbst) + 3 (die neuen Gesichter, jeder, der auf einen Rand des ursprünglichen Dreiecks gebaut ist) = 4; die Zahl von Rändern ist 3 (vom ursprünglichen Dreieck) + 3 (die neuen Ränder, jeder, der auf einen Scheitelpunkt des ursprünglichen Dreiecks gebaut ist) = 6; die Zahl von neuen Scheitelpunkten ist 3 (vom ursprünglichen Dreieck) + 1 (der neue Scheitelpunkt, der hinzugefügt wurde, um das Tetraeder vom Dreieck zu schaffen), = 4. Dieser Prozess, die Zahl der Elemente einer gegebenen Dimension zu denjenigen einer weniger Dimension zu summieren, um die Zahl vom ersteren zu erreichen, der im folgenden höheren Simplex gefunden ist, ist zum Prozess gleichwertig, zwei angrenzende Zahlen hintereinander des Dreiecks des Pascal zu summieren, um die Zahl unten nachzugeben. So wird die Bedeutung der endgültigen Nummer (1) hintereinander des Dreiecks des Pascal verstanden als das Darstellen des neuen Scheitelpunkts, der zum durch diese Reihe vertretenen Simplex hinzugefügt werden soll, um das folgende höhere durch die folgende Reihe vertretene Simplex nachzugeben. Dieser neue Scheitelpunkt wird mit jedem Element im ursprünglichen Simplex angeschlossen, um ein neues Element einer höherer Dimension im neuen Simplex nachzugeben, und das ist der Ursprung des Musters, das gefunden ist, dazu identisch zu sein, das im Dreieck des Pascal gesehen ist.

Ein ähnliches Muster wird in Zusammenhang mit Quadraten im Vergleich mit Dreiecken beobachtet. Um das Muster zu finden, muss man ein Analogon zum Dreieck des Pascal bauen, dessen Einträge die Koeffizienten (x + 2), statt (x + 1) sind. Es gibt ein Paar Weisen, das zu tun. Das einfachere soll mit der Reihe 0 = 1 und Reihe 1 = 1, 2 beginnen. Fahren Sie fort, die analogen Dreiecke gemäß der folgenden Regel zu bauen:

:

D. h. wählen Sie ein Paar von Zahlen ordnungsmäßig des Dreiecks des Pascal, aber verdoppeln Sie dasjenige links vor dem Hinzufügen. Das läuft hinaus:

1

1 2

1 4 4

1 6 12 8

1 8 24 32 16

1 10 40 80 80 32

1 12 60 160 240 192 64

1 14 84 280 560 672 448 128

Die andere Weise, dieses Dreieck zu verfertigen, soll mit dem Dreieck des Pascal anfangen und jeden Zugang mit 2 multiplizieren, wo k die Position in der Reihe der gegebenen Zahl ist. Zum Beispiel ist der 2. Wert in der Reihe 4 des Dreiecks des Pascal 6 (der Hang 1s entspricht dem zeroth Zugang in jeder Reihe). Um den Wert zu bekommen, der in der entsprechenden Position im analogen Dreieck wohnt, multiplizieren Sie 6 um 2 = 6 × 2 = 6 × 4 = 24. Jetzt wo das analoge Dreieck gebaut worden ist, kann die Zahl der Elemente jeder Dimension, die einen willkürlich dimensionierten Würfel zusammensetzen (hat einen Hyperwürfel genannt), vom Tisch in einem dem Dreieck des Pascal analogen Weg gelesen werden. Zum Beispiel ist die Zahl von 2-dimensionalen Elementen in einem 2-dimensionalen Würfel (ein Quadrat) ein, die Zahl von 1-dimensionalen Elementen (Seiten oder Linien) ist 4, und die Zahl von 0-dimensionalen Elementen (Punkte oder Scheitelpunkte) ist 4. Das vergleicht die 2. Reihe des Tisches (1, 4, 4). Ein Würfel hat 1 Würfel, 6 Gesichter, 12 Ränder und 8 Scheitelpunkte, der der folgenden Linie des analogen Dreiecks entspricht (1, 6, 12, 8). Dieses Muster geht unbestimmt weiter.

Um

zu verstehen, warum dieses Muster zuerst besteht, erkennen Sie an, dass der Aufbau eines N-Würfels von (n  1) - Würfel durch das einfache Kopieren der ursprünglichen Zahl und die Verlegung davon eine Entfernung (für einen regelmäßigen N-Würfel, die Rand-Länge) orthogonal zum Raum der ursprünglichen Zahl, dann das Anschließen jedes Scheitelpunkts der neuen Zahl zu seinem entsprechenden Scheitelpunkt des Originals getan wird. Dieser anfängliche Verdoppelungsprozess ist der Grund, warum, um die dimensionalen Elemente eines N-Würfels aufzuzählen, man das erste von einem Paar von Zahlen hintereinander dieses Analogons des Dreiecks des Pascal vor dem Summieren verdoppeln muss, um die Zahl unten nachzugeben. Die Initiale, die sich so verdoppelt, gibt die Zahl von "ursprünglichen" Elementen nach, die im folgenden höheren N-Würfel und wie zuvor zu finden sind, neue Elemente werden auf diejenigen einer weniger Dimension (Ränder auf Scheitelpunkte, Gesichter auf Ränder, usw.) gebaut. Wieder vertritt die letzte Zahl einer Reihe die Zahl von neuen Scheitelpunkten, die hinzuzufügen sind, um den folgenden höheren N-Würfel zu erzeugen.

In diesem Dreieck, der Summe der Elemente der Reihe ist M 3 gleich. Wieder, um die Elemente der Reihe 5 als ein Beispiel zu verwenden: der dem gleich ist.

Fourier verwandelt sich von der Sünde (x)/x

Wie festgesetzt, vorher sind die Koeffizienten (x + 1) die n-te Reihe des Dreiecks. Jetzt sind die Koeffizienten (x  1) dasselbe, außer dass das Zeichen von +1 bis 1 und zurück wieder abwechselt. Nach der passenden Normalisierung kommt dasselbe Muster von Zahlen im Fourier vor verwandeln sich der Sünde (x)/x. Genauer: Wenn n sogar ist, nehmen Sie den echten Teil des Umgestaltens, und wenn n seltsam ist, nehmen Sie imaginären Teil. Dann ist das Ergebnis eine Schritt-Funktion, deren Werte (angemessen normalisiert) durch die n-te Reihe des Dreiecks mit dem Wechseln von Zeichen gegeben werden. Zum Beispiel, die Werte der Schritt-Funktion, die sich aus ergibt

:

setzen Sie die 4. Reihe des Dreiecks, mit dem Wechseln von Zeichen zusammen. Das ist eine Generalisation des folgenden grundlegenden Ergebnisses (häufig verwendet in der Elektrotechnik):

:

ist die Frachtwaggon-Funktion. Die entsprechende Reihe des Dreiecks ist Reihe 0, die aus gerade der Nummer 1 besteht.

Wenn n zu 2 oder zu 3 mod 4 kongruent ist, dann fangen die Zeichen mit 1 an. Tatsächlich entspricht die Folge der (normalisierten) ersten Begriffe den Mächten von mir, der Zyklus um die Kreuzung der Äxte mit dem Einheitskreis im komplizierten Flugzeug:

:::

Elementarer Zellautomat

Das durch einen elementaren Zellautomaten erzeugte Muster mit der Regel 60 ist genau das Dreieck des Pascal von reduziertem modulo der binomischen Koeffizienten 2 (schwarze Zellen entsprechen sonderbaren binomischen Koeffizienten). Regel 102 erzeugt auch dieses Muster, wenn schleifende Nullen weggelassen werden. Regel 90 erzeugt dasselbe Muster, aber mit einer leeren Zelle, die jeden Zugang in den Reihen trennt.

Erweiterungen

Das Dreieck des Pascal kann zu negativen Reihennummern erweitert werden.

Schreiben Sie zuerst das Dreieck in der folgenden Form:

Dann erweitern Sie die Säule 1s aufwärts:

Jetzt die Regel:

:

kann umgeordnet werden zu:

:

der Berechnung der anderen Einträge für negative Reihen erlaubt:

Diese Erweiterung bewahrt das Eigentum, dass die Werte in der mth als eine Funktion von n angesehenen Säule durch eine Ordnung M Polynom, nämlich passend

sind:

{n \choose M} = \frac {1} {M! }\\prod_ {k=0} ^ {m-1} (n-k) = \frac {1} {M! }\\prod_ {k=1} ^ {M} (n-k+1)

</Mathematik>.

Diese Erweiterung bewahrt auch das Eigentum, dessen die Werte in der n-ten Reihe den Koeffizienten entsprechen:

:

(1+x) ^n = \sum_ {k=0} ^\\infty {n \choose k} X^k \quad |x |

Zum Beispiel:

:

(1+x) ^ {-2} = 1-2x+3x^2-4x^3 +\cdots \quad |x |

Eine andere Auswahl, um das Dreieck des Pascal zu negativen Reihen zu erweitern, kommt daraus, die andere Linie 1s zu erweitern:

Die Verwendung derselben Regel führt wie zuvor

zu

Bemerken Sie, dass diese Erweiterung auch die Eigenschaften dass ebenso hat

:

exp\begin {pmatrix }\

. &. &. &. &. \\

1 &. &. &. &. \\

. & 2 &. &. &. \\

. &. & 3 &. &. \\

. &. &. & 4 &.

\end {pmatrix} =

\begin {pmatrix }\

1 &. &. &. &. \\

1 & 1 &. &. &. \\

1 & 2 & 1 &. &. \\

1 & 3 & 3 & 1 &. \\

1 & 4 & 6 & 4 & 1

\end {pmatrix}, </Mathematik>

wir haben

:exp\begin {pmatrix }\

. &. &. &. &. &. &. &. &. &. \\

- 4 &. &. &. &. &. &. &. &. &. \\

. &-3 &. &. &. &. &. &. &. &. \\

. &. &-2 &. &. &. &. &. &. &. \\

. &. &. &-1 &. &. &. &. &. &. \\

. &. &. &. & 0 &. &. &. &. &. \\

. &. &. &. &. & 1 &. &. &. &. \\

. &. &. &. &. &. & 2 &. &. &. \\

. &. &. &. &. &. &. & 3 &. &. \\

. &. &. &. &. &. &. &. & 4 &.

\end {pmatrix} =\begin {pmatrix }\

1 &. &. &. &. &. &. &. &. &. \\

- 4 & 1 &. &. &. &. &. &. &. &. \\

6 &-3 & 1 &. &. &. &. &. &. &. \\

- 4 & 3 &-2 & 1 &. &. &. &. &. &. \\

1 &-1 & 1 &-1 & 1 &. &. &. &. &. \\

. &. &. &. &. & 1 &. &. &. &. \\

. &. &. &. &. & 1 & 1 &. &. &. \\

. &. &. &. &. & 1 & 2 & 1 &. &. \\

. &. &. &. &. & 1 & 3 & 3 & 1 &. \\

. &. &. &. &. & 1 & 4 & 6 & 4 & 1

\end {pmatrix} </Mathematik>

Außerdem ebenso resümierend entlang dem tiefer verlassenen zu ober-richtigen Diagonalen der Matrix von Pascal gibt die Fibonacci-Zahlen nach, dieser zweite Typ der Erweiterung resümiert noch zu den Fibonacci-Zahlen für den negativen Index.

Jede dieser Erweiterungen kann erreicht werden, wenn wir definieren

:

und nehmen Sie bestimmte Grenzen der Gammafunktion.

Siehe auch

• Bohnenmaschine, "der quincunx" von Francis Galton
• Binomische Vergrößerung
• Dreieck von Euler
• Das Dreieck von Floyd
• Leibniz harmonisches Dreieck
• Vielfältigkeit von Einträgen im Dreieck des Pascal (die Vermutung von Singmaster)
• Matrix von Pascal
• Die Pyramide des Pascal
• Das Simplex des Pascal
• Proton NMR, eine Anwendung des Dreiecks des Pascal
• Davidsstern-Lehrsatz
• Trinom-Vergrößerung

Notationen

Außenverbindungen

• Die Alte Methode-Karte der Sieben Multiplizierenden Quadrate (vom Ssu Yuan Yü Chien von Chu Shi-Chieh, 1303, die ersten neun Reihen des Dreiecks des Pascal zeichnend)

,

• Durchführung des Dreiecks von Pascal in Java - mit der Konvertierung von höheren Ziffern zu einzelnen Ziffern.
• Die Abhandlung des Pascal auf dem Arithmetischen Dreieck (Seitenimages der Abhandlung des Pascal, 1655; Zusammenfassung)
• Frühster bekannter Gebrauch von einigen der Wörter der Mathematik (P)
• Leibniz und Dreiecke von Pascal
• Punktmuster, das Dreieck des Pascal und der Lehrsatz von Lucas
• Omar Khayyam der Mathematiker
• Info auf dem Dreieck des Pascal
• Erklärung des Dreiecks des Pascal und allgemeine Ereignisse, einschließlich der Verbindung zur interaktiven Version, die # Reihen angibt, um anzusehen
• Durchführung des Dreiecks von Pascal in SQL