Henri Léon Lebesgue FRS (am 28. Juni 1875 - am 26. Juli 1941) war ein französischer Mathematiker, der wegen seiner Theorie der Integration am berühmtesten ist, die eine Generalisation des Konzepts des 17. Jahrhunderts der Integration — das Summieren des Gebiets zwischen einer Achse und der Kurve einer für diese Achse definierten Funktion war. Seine Theorie wurde ursprünglich in seiner Doktorarbeit Intégrale, longueur, aire ("Integriert, Länge, Gebiet") an der Universität von Nancy während 1902 veröffentlicht.

Persönliches Leben

Henry Lebesgue ist am 28. Juni 1875 in Beauvais, Oise geboren gewesen. Der Vater von Lebesgue war ein Setzer, und seine Mutter war ein Schullehrer. Seine Eltern haben zuhause eine Bibliothek versammelt, die der junge Henri im Stande gewesen ist zu verwenden. Leider ist sein Vater an Tuberkulose gestorben, als Lebesgue noch sehr jung war und seine Mutter ihn allein unterstützen musste. Als er ein bemerkenswertes Talent für die Mathematik in der Grundschule gezeigt hat, hat einer seiner Lehrer Vorkehrungen getroffen, dass Gemeinschaftsunterstützung seine Ausbildung am Collège de Beauvais und dann an Lycée Saint-Louis und Lycée Louis le-Grand in Paris fortgesetzt hat.

1894 wurde Lebesgue an École Normale Supérieure akzeptiert, wo er fortgesetzt hat, seine Energie auf die Studie der Mathematik einzustellen, 1897 graduierend. Nach der Graduierung ist er an École Normale Supérieure seit zwei Jahren geblieben, in der Bibliothek arbeitend, wo er sich der Forschung über die Diskontinuität getan damals von René-Louis Baire, einem Schulabgänger der Schule bewusst geworden ist. Zur gleichen Zeit hat er seine Absolventenstudien an Sorbonne angefangen, wo er über die Arbeit von Émile Borel an der beginnenden Maß-Theorie und die Arbeit von Camille Jordan am Maß von Jordan erfahren hat. 1899 hat er sich zu einer lehrenden Position an Lycée Centrale in Nancy während die ständige Arbeit an seinem Doktorat bewegt. 1902 hat er seinen Dr. von Sorbonne mit der Samenthese auf dem "Integral, der Länge, dem Gebiet verdient" hat mit dem vierjährigen älteren Borel als Berater gehorcht.

Lebesgue hat die Schwester von einem seiner Studienkollegen geheiratet, und er und seine Frau hatten zwei Kinder, Suzanne und Jacques.

Nach dem Veröffentlichen seiner These wurde Lebesgue 1902 eine Position an der Universität von Rennes angeboten, dort bis 1906 lesend, als er sich zur Fakultät von Wissenschaften der Universität von Poitiers bewegt hat. 1910 hat sich Lebesgue zu Sorbonne als ein maître de conférences bewegt, dem Professor gefördert, der mit 1919 anfängt. 1921 hat er Sorbonne verlassen, um Professor der Mathematik am Collège de France zu werden, wo er gelesen hat und wirklich für den Rest seines Lebens geforscht hat. 1922 wurde er zu einem Mitglied von Académie française gewählt. Henri Lebesgue ist am 26. Juli 1941 in Paris gestorben.

Mathematische Karriere

Das erste Papier von Lebesgue wurde 1898 veröffentlicht und wurde "Sur l'approximation des fonctions" betitelt. Es hat sich mit dem Lehrsatz von Weierstrass auf der Annäherung an dauernde Funktionen durch Polynome befasst. Zwischen März 1899 und April 1901 hat Lebesgue sechs Zeichen in Comptes Rendus veröffentlicht. Der erste von diesen, die zu seiner Entwicklung der Integration von Lebesgue ohne Beziehung sind, hat sich mit der Erweiterung des Lehrsatzes von Baire zu Funktionen von zwei Variablen befasst. Die folgenden fünf haben sich mit auf ein Flugzeug anwendbaren Oberflächen befasst, das Gebiet dessen verdrehen Vielecke, Oberflächenintegrale des minimalen Gebiets mit einem gegebenen gebunden, und das Endzeichen hat die Definition der Integration von Lebesgue für etwas Funktion f (x) gegeben. Die große These von Lebesgue, Intégrale, longueur, aire, mit der vollen Rechnung dieser Arbeit, ist im Annali di Matematica 1902 erschienen. Das erste Kapitel entwickelt die Theorie des Maßes (sieh Borel messen). Im zweiten Kapitel definiert er das Integral sowohl geometrisch als auch analytisch. Die folgenden Kapitel breiten die Zeichen von Comptes Rendus aus, die sich mit Länge, Gebiet und anwendbaren Oberflächen befassen. Das Endkapitel befasst sich hauptsächlich mit dem Problem des Plateaus. Wie man betrachtet, ist diese Doktorarbeit einer der von einem Mathematiker jemals geschriebenen feinsten.

Seine Vorträge von 1902 bis 1903 wurden in eine "Fläche von Borel" Primitive von Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions gesammelt Das Problem der als die Suche nach einer primitiven Funktion betrachteten Integration ist der Grundgedanke des Buches. Lebesgue wirft das Problem der Integration in seinem historischen Zusammenhang auf, Cauchy, Dirichlet und Riemann anredend. Lebesgue präsentiert sechs Bedingungen, die es wünschenswert ist, dass das Integral befriedigen sollte, von denen der letzte ist, "Wenn die Folge f (x) Zunahmen zur Grenze f (x), das Integral von f (x) zum Integral von f (x) neigt." Lebesgue zeigt, dass seine Bedingungen zur Theorie des Maßes und der messbaren Funktionen und der analytischen und geometrischen Definitionen des Integrals führen.

Er hat neben trigonometrischen Funktionen mit seinem 1903-Papier "Sur les séries trigonométriques" gedreht. Er hat drei Hauptlehrsätze in dieser Arbeit präsentiert: dass eine trigonometrische Reihe

das Darstellen einer begrenzten Funktion ist eine Reihe von Fourier, dass der n Koeffizient von Fourier zur Null (das Lemma von Riemann-Lebesgue) neigt, und dass eine Reihe von Fourier Integrable-Begriff durch den Begriff ist. In 1904-1905 Lebesgue Vorlesungen gehalten wieder am Collège de France dieses Mal auf der trigonometrischen Reihe und hat er fortgesetzt, seine Vorträge in einer anderen der "Flächen von Borel" zu veröffentlichen. In dieser Fläche behandelt er wieder das Thema in seinem historischen Zusammenhang. Er erklärt auf der Reihe von Fourier, Theorie des Kantoren-Riemann, der Poisson integriert und das Problem von Dirichlet.

In einer 1910-Zeitung, "Befasst sich Représentation trigonométrique approchée des fonctions satisfaisant eine une Bedingung de Lipschitz" mit der Reihe von Fourier von Funktionen, die eine Bedingung von Lipschitz mit einer Einschätzung der Größenordnung des Rest-Begriffes befriedigen. Er beweist auch, dass das Lemma von Riemann-Lebesgue ein bestmögliches Ergebnis für dauernde Funktionen ist, und etwas Behandlung Konstanten von Lebesgue gibt.

Lebesgue hat einmal, "Réduites à des théories générales, Schönheit von les mathématiques seraient une forme ohne contenu geschrieben." ("Reduziert auf allgemeine Theorien würde Mathematik eine schöne Form ohne Inhalt sein.")

In der mit dem Maß theoretischen Analyse und den verwandten Zweigen der Mathematik verallgemeinert das Lebesgue-Stieltjes Integral Integration von Riemann-Stieltjes und Lebesgue, die vielen Vorteile der Letzteren in einem allgemeineren mit dem Maß theoretischen Fachwerk bewahrend.

Während des Kurses seiner Karriere hat Lebesgue auch Raubzüge in die Bereiche der komplizierten Analyse und Topologie gemacht. Er hatte auch eine Unstimmigkeit mit Borel (hat teilweise heftig genannt) hinsichtlich der wirksamen Berechnung. Jedoch, diese geringen Raubzüge, die im Vergleich mit seinen Beiträgen zur echten Analyse blass sind; seine Beiträge zu diesem Feld hatten einen enormen Einfluss auf die Gestalt des Feldes heute, und seine Methoden sind ein wesentlicher Teil der modernen Analyse geworden.

Die Theorie von Lebesgue der Integration

Das ist eine nicht technische Behandlung aus einem historischen Gesichtspunkt; sieh die Integration des Artikels Lebesgue für eine technische Behandlung aus einem mathematischen Gesichtspunkt.

Integration ist eine mathematische Operation, die der informellen Idee entspricht, das Gebiet unter dem Graphen einer Funktion zu finden. Die erste Theorie der Integration wurde von Archimedes im 3. Jahrhundert v. Chr. mit seiner Methode von Quadraturen entwickelt, aber das konnte nur in beschränkten Verhältnissen mit einem hohen Grad der geometrischen Symmetrie angewandt werden. Im 17. Jahrhundert haben Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz unabhängig die Idee entdeckt, dass Integration grob der inverse Betrieb der Unterscheidung, das letzte Wesen eine Weise war zu messen, wie schnell sich eine Funktion an jedem gegebenen Punkt auf dem Graphen geändert hat. Das hat Mathematikern erlaubt, eine breite Klasse von Integralen zum ersten Mal zu berechnen. Jedoch, verschieden von der Methode von Archimedes, die auf der Euklidischen Geometrie basiert hat, hatte die Integralrechnung des Newtons und Leibniz kein strenges Fundament.

Im 19. Jahrhundert hat Augustin Cauchy schließlich eine strenge Theorie von Grenzen und Bernhard Riemann gefolgt darauf entwickelt, indem er formalisiert hat, was jetzt den integrierten Riemann genannt wird. Um dieses Integral zu definieren, füllt man das Gebiet unter dem Graphen mit kleineren und kleineren Rechtecken und nimmt die Grenze der Summen der Gebiete der Rechtecke in jeder Bühne. Für einige Funktionen, jedoch, nähert sich das Gesamtgebiet dieser Rechtecke keiner einzelnen Zahl. Als solcher haben sie keinen integrierten Riemann.

Lebesgue hat eine neue Methode der Integration erfunden, dieses Problem zu beheben.

Anstatt die Gebiete von Rechtecken zu verwenden, die den Fokus auf dem Gebiet der Funktion stellen, hat Lebesgue auf den codomain der Funktion für seine grundsätzliche Einheit des Gebiets geschaut.

Die Idee von Lebesgue war, zuerst das Integral dafür zu bauen, was er einfache Funktionen, messbare Funktionen genannt hat, die nur begrenzt viele Werte nehmen.

Dann hat er es für mehr komplizierte Funktionen als das am wenigsten obere definiert, das aller Integrale von einfachen Funktionen gebunden ist, die kleiner sind als die fragliche Funktion.

Integration von Lebesgue hat das Eigentum, dass jede begrenzte Funktion, die über einen begrenzten Zwischenraum mit einem Riemann definiert ist, integriert auch Lebesgue integriert hat, und für jene Funktionen die zwei Integrale zustimmen.

Aber es gibt viele Funktionen mit integriertem Lebesgue, die keinen integrierten Riemann haben.

Als ein Teil der Entwicklung der Integration von Lebesgue hat Lebesgue das Konzept des Maßes erfunden, das die Idee von der Länge von Zwischenräumen bis eine sehr große Klasse von Sätzen, genannt messbare Mengen erweitert (so, genauer sind einfache Funktionen Funktionen, die eine begrenzte Zahl von Werten nehmen, und jeder Wert auf einer messbaren Menge genommen wird).

Die Technik von Lebesgue, um ein Maß in ein Integral zu verwandeln, verallgemeinert leicht zu vielen anderen Situationen, zum modernen Feld der Maß-Theorie führend.

Das Lebesgue Integral ist an einer Rücksicht unzulänglich.

Der integrierte Riemann verallgemeinert dem unpassenden Riemann, der integriert ist, um Funktionen zu messen, deren Gebiet der Definition nicht ein geschlossener Zwischenraum ist.

Das Lebesgue Integral integriert viele dieser Funktionen (immer dieselbe Antwort wieder hervorbringend, als es getan hat), aber nicht sie alle.

Für Funktionen auf der echten Linie ist integrierter Henstock ein noch allgemeinerer Begriff von integrierten (gestützt auf der Theorie von Riemann aber nicht Lebesgue), der sowohl Integration von Lebesgue als auch unpassende Integration von Riemann unterordnet.

Jedoch hängt integrierter Henstock von spezifischen Einrichtungseigenschaften der echten Linie ab und so verallgemeinert nicht, um Integration in mehr zu erlauben

allgemeine Räume (sagen Sammelleitungen), während sich integrierter Lebesgue bis zu solche Räume ganz natürlich ausstreckt.

Siehe auch

• Beherrschter Konvergenz-Lehrsatz
• Lebesgue, der Dimension bedeckt
• Lebesgue spitzen an
• Das Zahl-Lemma von Lebesgue
• Stachel von Lebesgue
• Lebesgue unveränderlich (Interpolation)

Links