In der Mathematik ist eine Wechselgruppe die Gruppe von sogar Versetzungen eines begrenzten Satzes. Die Wechselgruppe auf dem Satz {1..., n} wird die Wechselgruppe des Grads n oder die Wechselgruppe auf n Briefen genannt und von A oder Alt (n) angezeigt.

Grundlegende Eigenschaften

Für n> 1 ist die Gruppe A die Umschalter-Untergruppe der symmetrischen Gruppe S mit dem Index 2 und hat deshalb n!/2-Elemente. Es ist der Kern des Unterschrift-Gruppenhomomorphismus sgn: S  {1, −1} erklärt unter der symmetrischen Gruppe.

Die Gruppe A ist abelian wenn und nur wenn n  3 und einfach wenn und nur wenn n = 3 oder n  5. A ist die kleinste non-abelian einfache Gruppe, Auftrag 60 und die kleinste nichtlösbare Gruppe habend.

Die Gruppe A hat einen Klein vier-Gruppen-V als eine richtige normale Untergruppe, nämlich die doppelten Umstellungen {(12) (34), (13) (24), (14) (23)}, und stellt zu, von der Folge In der Galois Theorie, dieser Karte kartografisch dar, oder eher entspricht die entsprechende Karte dem Verbinden des Wiederlösungsmittels von Lagrange, das zu einem quartic kubisch ist, der dem quartic Polynom erlaubt, von Radikalen, wie gegründet, von Lodovico Ferrari gelöst zu werden.

Klassen von Conjugacy

Als in der symmetrischen Gruppe bestehen die conjugacy Klassen in A aus Elementen mit derselben Zyklus-Gestalt. Jedoch, wenn die Zyklus-Gestalt nur aus Zyklen der sonderbaren Länge ohne zwei Zyklen dieselbe Länge besteht, wo Zyklen der Länge einer wird in den Zyklus-Typ eingeschlossen, dann es genau zwei conjugacy Klassen für diese Zyklus-Gestalt gibt.

Beispiele:

• die zwei Versetzungen (123) und (132) sind nicht paart sich in A, obwohl sie dieselbe Zyklus-Gestalt haben, und deshalb in S verbunden

sind

• die Versetzung (123) (45678) ist zu seinem Gegenteil (132) (48765) in A nicht verbunden, obwohl die zwei Versetzungen dieselbe Zyklus-Gestalt haben, so sind sie in S verbunden.

Gruppe von Automorphism

Für n> 3, abgesehen von n = 6, ist die automorphism Gruppe von A die symmetrische Gruppe S, mit der inneren automorphism Gruppe A und automorphism Außengruppe Z; der Außenautomorphism kommt aus der Konjugation durch eine sonderbare Versetzung.

Für n = 1 und 2 ist die automorphism Gruppe trivial. Für n = 3 ist die automorphism Gruppe Z, mit der trivialen inneren automorphism Gruppe und automorphism Außengruppe Z.

Die automorphism Außengruppe von A ist der Klein vier-Gruppen-V = Z × Z, und ist mit dem Außenautomorphism von S verbunden. Der zusätzliche Außenautomorphism in Tausch die 3 Zyklen (wie (123)) mit Elementen der Gestalt 3 (wie (123) (456)).

Außergewöhnlicher Isomorphismus

Es gibt etwas außergewöhnlichen Isomorphismus zwischen einigen der kleinen Wechselgruppen und kleine Gruppen des Typs Lie, besonders projektive spezielle geradlinige Gruppen. Diese sind:

• A ist zu PSL (3) und die Symmetrie-Gruppe der chiral vierflächigen Symmetrie isomorph.
• A ist zu PSL (4), PSL (5), und die Symmetrie-Gruppe von chiral icosahedral Symmetrie isomorph. (Sieh für einen indirekten Isomorphismus, eine Klassifikation von einfachen Gruppen des Auftrags 60, und hier für einen direkten Beweis zu verwenden).
• A ist zu PSL (9) und PSp (2)' isomorph
• A ist zu PSL (2) isomorph

Offensichtlicher ist A zur zyklischen Gruppe Z und dem A, A isomorph, und A sind zur trivialen Gruppe isomorph (der auch SL (q) =PSL (q) für jeden q) ist.

Beispiele S und A

Untergruppen

A ist die kleinste Gruppe, die demonstriert, dass der gegenteilige vom Lehrsatz von Lagrange im Allgemeinen nicht wahr ist: In Anbetracht einer begrenzten Gruppe G und eines Teilers d |G, dort besteht keine Untergruppe von G mit dem Auftrag d notwendigerweise: Die Gruppe G = A, des Auftrags 12, hat keine Untergruppe des Auftrags 6. Eine Untergruppe von drei Elementen (erzeugt durch eine zyklische Folge von drei Gegenständen) mit jedem zusätzlichen Element erzeugt die ganze Gruppe.

Gruppenhomologie

Die Gruppenhomologie der Wechselgruppen stellt Stabilisierung, als in der stabilen homotopy Theorie aus: Für genug großen n ist es unveränderlich. Jedoch gibt es eine niedrige dimensionale außergewöhnliche Homologie. Bemerken Sie, dass die Homologie der symmetrischen Gruppe ähnliche Stabilisierung, aber ohne die niedrigen dimensionalen Ausnahmen (zusätzliche Homologie-Elemente) ausstellt.

H: Abelianization

Die erste Homologie-Gruppe fällt mit abelianization, und zusammen (da vollkommen ist, abgesehen von den zitierten Ausnahmen) ist so:

: dafür;

:;

:;

: dafür.

Das wird direkt wie folgt leicht gesehen. wird durch 3 Zyklen erzeugt - so sind die einzigen nichttrivialen Abelianization-Karten, da Elemente des Auftrags 3 zu Elementen des Auftrags 3 kartografisch darstellen müssen - und für alle 3 Zyklen verbunden sind, so müssen sie zu demselben Element im abelianization kartografisch darstellen, da Konjugation in abelian Gruppen trivial ist. So muss ein 3-Zyklen-wie (123) zu demselben Element wie sein Gegenteil (321) kartografisch darstellen, aber muss so zur Identität kartografisch darstellen, wie es dann Ordnung haben muss, die sich 2 und 3 teilt, so ist der abelianization trivial.

Dafür

H: Schur Vermehrer

Die Schur Vermehrer der Wechselgruppen (im Fall, wo n mindestens 5 ist) sind die zyklischen Gruppen des Auftrags 2, außer im Fall, wo n entweder 6 oder 7 ist, in welchem Fall es auch einen dreifachen Deckel gibt. In diesen Fällen, dann, ist der Vermehrer von Schur (die zyklische Gruppe) des Auftrags 6. Diese wurden zuerst darin geschätzt.

: dafür;: dafür;: dafür;: dafür.

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