In der Mathematik, dem Gebiet der Definition oder ist einfach das Gebiet einer Funktion der Satz "des Eingangs" oder der Argument-Werte, für die die Funktion definiert wird. D. h. die Funktion stellt eine "Produktion" oder Wert für jedes Mitglied des Gebiets zur Verfügung.

Zum Beispiel ist das Gebiet des Kosinus der Satz aller reellen Zahlen, während das Gebiet der Quadratwurzel nur aus Zahlen größer oder gleich 0 besteht (komplexe Zahlen in beiden Fällen ignorierend). Für eine Funktion, deren Gebiet eine Teilmenge der reellen Zahlen ist, wenn die Funktion in einem xy Kartesianischen Koordinatensystem vertreten wird, wird das Gebiet auf der X-Achse vertreten.

Formelle Definition

In Anbetracht einer Funktion f:XY ist der Satz X das Gebiet von f; der Satz Y ist der codomain von f. Im Ausdruck f (x), x ist das Argument, und f (x) ist der Wert. Man kann an ein Argument als ein Eingang zur Funktion und der Wert als die Produktion denken.

Das Image (hat manchmal die Reihe genannt), f ist der Satz aller Werte, die durch f für den ganzen möglichen x angenommen sind; das ist der Satz. Das Image von f kann derselbe Satz wie der codomain sein, oder es kann eine richtige Teilmenge davon sein. Es ist im Allgemeinen kleiner als der codomain; es ist der ganze codomain, wenn, und nur wenn f eine Surjective-Funktion ist.

Eine bestimmte Funktion muss jedes Element seines Gebiets zu einem Element seines codomain tragen. Zum Beispiel, die Funktion f definiert durch

: f (x) = 1/x

hat keinen Wert für f (0).

So kann der Satz aller reellen Zahlen nicht sein Gebiet sein.

In Fällen wie das wird die Funktion entweder auf oder die "Lücke definiert wird" durch das ausführliche Definieren f (0) zugestopft.

Wenn wir die Definition von f zu erweitern

: f (x) = 1/x, für x  0,

: f (0) = 0,

dann wird f für alle reellen Zahlen definiert, und sein Gebiet ist.

Jede Funktion kann auf eine Teilmenge seines Gebiets eingeschränkt werden.

Die Beschränkung von g: Ein  B zu S, wo S  A, wird g | geschrieben: S  B.

Natürliches Gebiet

Das natürliche Gebiet einer Formel ist der Satz von Werten, für die es, normalerweise innerhalb des reals, aber manchmal unter den ganzen Zahlen oder komplexen Zahlen definiert wird. Zum Beispiel ist das natürliche Gebiet der Quadratwurzel der nichtnegative reals, wenn betrachtet, als eine Funktion der reellen Zahl. Wenn man ein natürliches Gebiet denkt, wird der Satz von möglichen Werten der Funktion normalerweise seine Reihe genannt.

Gebiet einer teilweisen Funktion

Es gibt zwei verschiedene Bedeutungen im aktuellen mathematischen Gebrauch für den Begriff des Gebiets einer teilweisen Funktion von X bis Y, d. h. eine Funktion von einer Teilmenge X X zu Y. Die meisten Mathematiker, einschließlich recursion Theoretiker, gebrauchen den Begriff "Gebiet von f" für den Satz X aller Werte x solch, dass f (x) definiert wird. Aber einige, besonders Kategorie-Theoretiker, denken, dass das Gebiet X, ohne Rücksicht darauf ist, ob f (x) für jeden x in X besteht.

Kategorie-Theorie

In der Kategorie-Theorie befasst man sich mit morphisms statt Funktionen. Morphisms sind Pfeile von einem Gegenstand bis einen anderen. Das Gebiet jedes morphism ist der Gegenstand, von dem ein Pfeil anfängt. In diesem Zusammenhang vieler Satz müssen theoretische Ideen über Gebiete aufgegeben oder mindestens abstrakter formuliert werden. Zum Beispiel muss der Begriff, einen morphism auf eine Teilmenge seines Gebiets einzuschränken, modifiziert werden. Sieh Subgegenstand für mehr.

Echte und komplizierte Analyse

In der echten und komplizierten Analyse ist ein Gebiet eine offene verbundene Teilmenge eines echten oder komplizierten Vektorraums.

In teilweisen Differenzialgleichungen ist ein Gebiet eine offene verbundene Teilmenge des euklidischen Raums R, wo das Problem aufgeworfen wird, d. h., wo die unbekannte Funktion (En) definiert wird.

Mehr Beispiele

• Funktion wird für alle definiert.
• Funktion, wo der Satz aller komplexen Zahlen ist, wird für den ganzen x definiert.
• Funktion wird für den ganzen definiert

Siehe auch

• Reihe (Mathematik)
• Codomain
• Surjective fungieren
• Injective fungieren
• Bijektion
• Bereichszergliederung
• Gebiet von Lipschitz
• Wirksames Gebiet