Der Nash, der Lehrsätze einbettet (oder Lehrsätze einbettet), genannt nach John Forbes Nash, stellt fest, dass jede Sammelleitung von Riemannian in einen Euklidischen Raum isometrisch eingebettet werden kann. Isometrisch bedeutet, die Länge jedes Pfads zu bewahren. Zum Beispiel gibt das Verbiegen, ohne eine Seite Papier sich zu strecken oder zu reißen, ein isometrisches Einbetten der Seite in den Euklidischen Raum, weil gestützte Kurven die Seite denselben arclength jedoch behält, wird die Seite gebogen.

Der erste Lehrsatz ist für unaufhörlich differentiable (C) embeddings und das zweite für analytischen embeddings oder embeddings, die von der Klasse C, 3 &le glatt sind; k ≤ ∞. diese zwei Lehrsätze sind von einander sehr verschieden; der erste hat einen sehr einfachen Beweis und ist sehr gegenintuitiv, während der Beweis des zweiten sehr technisch ist, aber das Ergebnis ist überhaupt nicht überraschend.

Der C Lehrsatz wurde 1954, der C-Lehrsatz 1956 veröffentlicht. Der echte analytische Lehrsatz wurde zuerst von Nash 1966 behandelt; sein Argument wurde beträchtlich dadurch vereinfacht. (Eine lokale Version dieses Ergebnisses wurde von Élie Cartan und Maurice Janet in den 1920er Jahren bewiesen.) Im echten analytischen Fall können die Glanzschleifen-Maschinenbediener (sieh unten) im Gegenteil-Funktionsargument von Nash durch Schätzungen von Cauchy ersetzt werden. Der Beweis von Nash des C-Falls wurde später in den H-Grundsatz und Nash-Moser impliziter Funktionslehrsatz extrapoliert. Ein vereinfachter Beweis des zweiten Nashs, der Lehrsatz einbettet, wurde davon erhalten, wer den Satz von nichtlinearen teilweisen Differenzialgleichungen zu einem elliptischen System reduziert hat, auf das der Zusammenziehungslehrsatz des kartografisch darstellenden angewandt werden konnte.

Lehrsatz von Nash-Kuiper (C das Einbetten des Lehrsatzes)

Lehrsatz. Lassen Sie (M, g), eine Sammelleitung von Riemannian und ƒ:M &rarr zu sein; R ein kurzes C-Einbetten (oder Immersion) in den Euklidischen Raum R, wo n  m+1. Dann für den willkürlichen ε> 0 gibt es ein Einbetten (oder Immersion) ƒ: M → 'R, der ist

: (i) in der Klasse C,

: (ii) isometrisch: für irgendwelche zwei Vektoren v, w ∈ T (M) im Tangente-Raum an x ∈ M,

::

: (iii) ε-close zu

::|ƒ (x) − ƒ (x) | - in eine willkürlich kleine Nachbarschaft im 2m-dimensional Euklidischen Raum einbettend.

Der Lehrsatz wurde von John Nash mit der Bedingung n  m+2 statt n  m+1 ursprünglich bewiesen und von Nicolaas Kuiper durch einen relativ leichten Trick verallgemeinert.

Der Lehrsatz hat viele gegenintuitive Implikationen. Zum Beispiel, hieraus folgt dass jede geschlossene orientierte Oberfläche von Riemannian C sein kann, der isometrisch in einen willkürlich kleinen Ball im 3-Räume-Euklidischen eingebettet ist (vom Gauss-Häubchen-Lehrsatz, gibt es kein solches C-Einbetten). Und, dort bestehen Sie C isometrischer embeddings des Hyperbelflugzeugs in R.

C das Einbetten des Lehrsatzes

Die technische Behauptung ist wie folgt: Wenn M eine gegebene M dimensionale Sammelleitung von Riemannian ist (analytisch oder der Klasse C, 3 ≤ k ≤ &infin), dann dort besteht eine Nummer n (mit n ≤ M (3m+11)/2, wenn M eine Kompaktsammelleitung oder n &le ist; M (m+1) (3m+11)/2, wenn M eine Nichtkompaktsammelleitung ist), und eine injective Karte f: M → R (auch analytisch oder der Klasse C) solch, dass für jeden Punkt p der M die Ableitung df eine geradlinige Karte vom Tangente-Raum TM zu R ist, der mit dem gegebenen Skalarprodukt auf TM und dem Standardpunktprodukt von R im folgenden Sinn vereinbar ist:

: ⟨ u, v ⟩ = df (u) · df (v)

für alle Vektoren u, v in TM.

Das ist ein unentschiedenes System von teilweisen Differenzialgleichungen (PDEs).

Der Nash, der Lehrsatz einbettet, ist ein globaler Lehrsatz im Sinn, dass die ganze Sammelleitung in R. eingebettet wird

Ein lokaler Einbetten-Lehrsatz ist viel einfacher und kann verwendend des impliziten Funktionslehrsatzes der fortgeschrittenen Rechnung bewiesen werden.

Der Beweis des globalen Einbetten-Lehrsatzes verlässt sich auf die weit reichende Generalisation von Nash des impliziten Funktionslehrsatzes, des Lehrsatzes von Nash-Moser und der Methode von Newton mit dem Postbedingen.

Die Grundidee der Lösung von Nash des Einbetten-Problems ist der Gebrauch der Methode von Newton, die Existenz einer Lösung des obengenannten Systems von PDEs zu beweisen.

Die Methode von normalem Newton scheitert, wenn angewandt, auf das System zusammenzulaufen;

Nash verwendet durch die Gehirnwindung definierte Glanzschleifen-Maschinenbediener, um die Wiederholung von Newton zusammenlaufen zu lassen: Das ist die Methode von Newton mit dem Postbedingen.

Die Tatsache, dass diese Technik eine Lösung ausstattet, ist an sich ein Existenz-Lehrsatz und vom unabhängigen Interesse.

Es gibt auch eine ältere Methode genannt die Wiederholung von Kantorovich, die die Methode von Newton direkt (ohne die Einführung von Glanzschleifen-Maschinenbedienern) verwendet.

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