Das System von hyperreellen Zahlen vertritt eine strenge Methode, die unendlichen und unendlich kleinen Mengen zu behandeln. Die hyperreals oder umgangssprachlicher reals, *R, sind eine Erweiterung der reellen Zahlen R, der Zahlen enthält, die größer sind als irgendetwas der Form

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Solch eine Zahl ist unendlich, und sein Gegenteil ist unendlich klein. Der Begriff "hyperechter" wurde [sic] von Edwin Hewitt 1948 eingeführt..

Die hyperreellen Zahlen befriedigen den Übertragungsgrundsatz, eine strenge Version des heuristischen Gesetzes von Leibniz der Kontinuität. Der Übertragungsgrundsatz stellt fest, dass die wahren ersten Ordnungsbehauptungen über R auch in *R gültig sind. Zum Beispiel hält das Ersatzgesetz der Hinzufügung, x + y = y + x, für den hyperreals, wie es für den reals tut; da R ein echtes geschlossenes Feld ist, *R auch. Seitdem für alle ganzen Zahlen n hat man auch für alle hyperganzen Zahlen H. Der Übertragungsgrundsatz für Ultramächte ist eine Folge von Łoś' Lehrsatz von 1955.

Sorgen über die logische Stichhaltigkeit von Argumenten, die infinitesimals einschließen, gehen auf die alte griechische Mathematik mit Euklid zurück, der solche Beweise durch mit anderen Techniken wie die Methode der Erschöpfung ersetzt. In den 1960er Jahren hat Abraham Robinson bewiesen, dass die hyperreals logisch entsprochen haben, wenn, und nur wenn die reals waren. Das hat gestellt, um die Angst ausruhen zu lassen, dass jeder Beweis, der infinitesimals einschließt, ungesund sein könnte, vorausgesetzt, dass sie gemäß den logischen Regeln manipuliert wurden, die Robinson skizziert hat.

Die Anwendung von hyperreellen Zahlen und insbesondere dem Übertragungsgrundsatz zu Problemen der Analyse wird Sonderanalyse genannt. Eine unmittelbare Anwendung ist die Definition der grundlegenden Konzepte der Analyse solcher als abgeleitet und integriert auf eine direkte Mode, ohne über logische Komplikationen von vielfachem quantifiers zu gehen. So wird die Ableitung von f (x) für einen unendlich kleinen, wo der St. (&middot) zeigt die Standardteil-Funktion an, die zu jedem begrenzten hyperechten das einzigartige echte ungeheuer in der Nähe davon vereinigt.

Der Übertragungsgrundsatz

Die Idee vom hyperechten System ist, die reellen Zahlen R zu erweitern, um ein System *R zu bilden, der unendlich klein und unendliche Zahlen einschließt, aber ohne einige der elementaren Axiome der Algebra zu ändern. Jede Behauptung der Form "für jede Nummer x.." das ist für den reals wahr ist auch für den hyperreals wahr. Zum Beispiel gilt das Axiom, das "für jede Nummer x, x + 0 = x" noch festsetzt. Dasselbe ist für die Quantifizierung über mehrere Zahlen, z.B, "für irgendwelche Nummern x und y, xy = yx wahr." Diese Fähigkeit, Behauptungen vom reals bis den hyperreals vorzutragen, wird den Übertragungsgrundsatz genannt. Jedoch, Behauptungen der Form "für jeden Satz von Zahlen S..." kann nicht vortragen. Die einzigen Eigenschaften, die sich zwischen dem reals und dem hyperreals unterscheiden, sind diejenigen, die sich auf die Quantifizierung über Sätze oder andere Strukturen des höheren Niveaus wie Funktionen und Beziehungen verlassen, die normalerweise aus Sätzen gebaut werden. Jeder echte Satz, Funktion und Beziehung haben seine natürliche hyperechte Erweiterung, dieselben Eigenschaften der ersten Ordnung befriedigend. Die Arten von logischen Sätzen, die dieser Beschränkung der Quantifizierung folgen, werden Behauptungen in der Logik der ersten Ordnung genannt.

Der Übertragungsgrundsatz bedeutet jedoch nicht, dass R und *R identisches Verhalten haben. Zum Beispiel, in *R dort besteht ein Element ω solch dass

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aber es gibt keine solche Zahl in R. Das ist möglich, weil die Existenz solch einer Zahl als eine erste Ordnungsbehauptung nicht ausgedrückt werden kann.

Verwenden Sie in der Analyse

Rechnung mit algebraischen Funktionen

Informelle Notationen für nichtechte Mengen sind in der Rechnung in zwei Zusammenhängen historisch erschienen: als infinitesimals wie dx und als das Symbol , verwendet, zum Beispiel, in Grenzen der Integration von unpassenden Integralen.

Da ein Beispiel des Übertragungsgrundsatzes, die Behauptung dass für jede Nichtnull Nummer x, 2x  x, für die reellen Zahlen wahr ist, und es in der durch den Übertragungsgrundsatz erforderlichen Form ist, so ist es auch für die hyperreellen Zahlen wahr. Das zeigt, dass es nicht möglich ist, ein allgemeines Symbol wie  für alle unendlichen Mengen im hyperechten System zu verwenden; unendliche Mengen unterscheiden sich im Umfang von anderen unendlichen Mengen und infinitesimals von anderem infinitesimals.

Ähnlich ist der zufällige Gebrauch von 1/0 =  ungültig, da der Übertragungsgrundsatz für die Behauptung gilt, dass die Abteilung durch die Null unbestimmt ist. Die strenge Kopie solch einer Berechnung würde dass sein, wenn ε unendlich klein ist, dann ist 1/ε unendlich.

Für jede begrenzte hyperreelle Zahl x wird sein Standardteil, der St. x, als die einzigartige reelle Zahl definiert, die sich davon nur unendlich klein unterscheidet. Die Ableitung einer Funktion y (x) wird nicht als dy/dx, aber als der Standardteil von dy/dx definiert.

Zum Beispiel, um die Ableitung f&prime zu finden; (x) der Funktion f (x) = x, lassen Sie dx ein unendlich kleiner sein. Dann,

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Der Gebrauch des Standardteils in der Definition der Ableitung ist eine strenge Alternative zur traditionellen Praxis, das Quadrat einer unendlich kleinen Menge zu vernachlässigen. Nach der dritten Linie der Unterscheidung oben hätte die typische Methode von Newton im Laufe des 19. Jahrhunderts einfach den Dx-Begriff verwerfen sollen. Im hyperechten System,

dx  0, seitdem dx ist Nichtnull, und der Übertragungsgrundsatz kann auf die Behauptung angewandt werden, dass das Quadrat jeder Nichtnullzahl Nichtnull ist. Jedoch ist die Menge dx im Vergleich zu dx unendlich klein klein; d. h. das hyperechte System enthält eine Hierarchie von unendlich kleinen Mengen.

Integration

Eine Weise, ein bestimmtes Integral im hyperechten System zu definieren, ist als der Standardteil einer unendlichen Summe auf einem hyperbegrenzten Gitter definiert als a, + dx, + 2dx... + ndx, wo dx unendlich klein ist, ist n ein Unendliche hypernatürlich, und die niedrigeren und oberen Grenzen der Integration sind a und b = + n dx.

Eigenschaften

Die hyperreals *R bilden ein bestelltes Feld, das den reals R als ein Teilfeld enthält. Verschieden vom reals bilden die hyperreals keinen metrischen Standardraum, aber auf Grund von ihrer Ordnung tragen sie eine Ordnungstopologie.

Der Gebrauch des bestimmten Artikels im Ausdruck die hyperreellen Zahlen sind darin etwas irreführend, gibt es nicht ein einzigartiges bestelltes Feld, auf das in den meisten Behandlungen verwiesen wird.

Jedoch zeigt ein 2003-Vortrag von Kanovei und Shelah, dass es einen definierbaren, zählbar gesättigt (Bedeutung ω-saturated, aber nicht natürlich zählbar) elementare Erweiterung des reals gibt, der deshalb einen guten Anspruch auf den Titel der hyperreellen Zahlen hat. Außerdem ist das Feld, das durch den Ultramacht-Aufbau beim Raum aller echten Folgen erhalten ist, bis zum Isomorphismus einzigartig, wenn man die Kontinuum-Hypothese annimmt.

Die Bedingung, ein hyperechtes Feld zu sein, ist eine stärkere als dieser, ein echtes geschlossenes Feld zu sein, das ausschließlich R enthält. Es ist auch stärker als dieser, ein superechtes Feld im Sinne Dales und Woodin zu sein.

Entwicklung

Der hyperreals kann entweder axiomatisch oder durch konstruktiver orientierte Methoden entwickelt werden. Die Essenz der axiomatischen Annäherung soll (1) die Existenz von mindestens einer unendlich kleiner Zahl, und (2) die Gültigkeit des Übertragungsgrundsatzes behaupten. Im folgenden Paragraph geben wir einen ausführlichen Umriss einer konstruktiveren Annäherung. Diese Methode erlaubt, den hyperreals, wenn gegeben, zu bauen, ein mit dem Satz theoretischer Gegenstand hat einen Ultrafilter genannt, aber der Ultrafilter selbst kann nicht ausführlich gebaut werden. (Kanovei und Shelah haben eine Methode gefunden, die einen ausführlichen Aufbau auf Kosten einer bedeutsam mehr komplizierten Behandlung gibt.)

Vom Newton bis Robinson

Als Newton und (ausführlicher) Leibniz Differenziale eingeführt hat, haben sie infinitesimals verwendet, und diese wurden noch als nützlich von späteren Mathematikern wie Euler und Cauchy betrachtet. Dennoch waren diese Konzepte vom Anfang, der als Verdächtiger namentlich durch George Berkeley gesehen ist. Die Kritik von Berkeley hat auf eine wahrgenommene Verschiebung in der Hypothese in der Definition der Ableitung in Bezug auf infinitesimals im Mittelpunkt gestanden (oder fluxions), wo, wie man annimmt, dx Nichtnull am Anfang der Berechnung ist, und an seinem Beschluss verschwindet (sieh Geister von verstorbenen Mengen für Details). Als in den 1800er Jahren die Rechnung auf einen festen Stand durch die Entwicklung gestellt wurde (ε, δ)-Definition der Grenze durch Bolzano, Cauchy, Weierstrass, und andere, infinitesimals größtenteils aufgegeben wurden, obwohl die Forschung in non-Archimedean Feldern (Ehrlich 2006) weitergegangen hat.

Jedoch in den 1960er Jahren hat Abraham Robinson gezeigt, wie ungeheuer große und unendlich kleine Zahlen streng definiert und verwendet werden können, um das Feld der Sonderanalyse zu entwickeln. Robinson hat seine Theorie nichtkonstruktiv mit der Mustertheorie entwickelt; jedoch ist es möglich, mit nur die Algebra und Topologie weiterzugehen, und den Übertragungsgrundsatz demzufolge der Definitionen beweisend. Mit anderen Worten haben hyperreelle Zahlen per se, beiseite von ihrem Gebrauch in der Sonderanalyse, keine notwendige Beziehung zur Mustertheorie oder bestellen zuerst Logik, obwohl sie durch die Anwendung theoretischer Mustertechniken von der Logik entdeckt wurden. Hyperechte Felder wurden tatsächlich von Hewitt (1948) durch rein algebraische Techniken mit einem Ultramacht-Aufbau ursprünglich eingeführt.

Der Ultramacht-Aufbau

Wir sind dabei, ein hyperechtes Feld über Folgen von reals zu bauen. Tatsächlich können wir hinzufügen und Folgen componentwise multiplizieren; zum Beispiel:

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und analog für die Multiplikation.

Das verwandelt den Satz solcher Folgen in einen Ersatzring, der tatsächlich eine echte Algebra A ist. Wir haben ein natürliches Einbetten von R in, indem wir die reelle Zahl r mit der Folge (r, r, r...) identifizieren und diese Identifizierung bewahrt die entsprechenden algebraischen Operationen des reals. Die intuitive Motivation soll zum Beispiel eine unendlich kleine Zahl mit einer Folge vertreten, die sich Null nähert. Das Gegenteil solch einer Folge würde eine unendliche Zahl vertreten. Wie wir unten sehen werden, entstehen die Schwierigkeiten wegen des Bedürfnisses, Regeln zu definieren, um solche Folgen gewissermaßen zu vergleichen, die, obwohl unvermeidlich etwas willkürlich, konsequent und gut definiert sein müssen. Zum Beispiel können wir zwei Folgen haben, die sich in ihren ersten n Mitgliedern unterscheiden, aber danach gleich sind; solche Folgen sollten klar als das Darstellen derselben hyperreellen Zahl betrachtet werden. Ähnlich schwingen die meisten Folgen zufällig für immer, und wir müssen eine Weise finden, solch eine Folge zu nehmen und es als, sagen wir, zu interpretieren, wo eine bestimmte unendlich kleine Zahl ist.

Das Vergleichen von Folgen ist so eine feine Sache. Wir konnten zum Beispiel versuchen, eine Beziehung zwischen Folgen auf eine componentwise Mode zu definieren:

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aber hier geraten wir in Schwierigkeiten, da einige Einträge der ersten Folge größer sein können als die entsprechenden Einträge der zweiten Folge, und einige andere kleiner sein können. Hieraus folgt dass die Beziehung definiert auf diese Weise nur eine teilweise Ordnung ist. Um darum herumzukommen, müssen wir der Positionssache angeben. Da es ungeheuer viele Indizes gibt, wollen wir nicht, dass begrenzte Sätze von Indizes von Bedeutung sind. Eine konsequente Wahl von Index-Sätzen, die Sache durch jeden freien Ultrafilter U auf den natürlichen Zahlen gegeben wird; diese können als Ultrafilter charakterisiert werden, die keine begrenzten Sätze enthalten. (Die guten Nachrichten sind, dass das Lemma von Zorn die Existenz von vielen solchen U versichert; die schlechten Nachrichten sind, dass sie nicht ausführlich gebaut werden können.) Wir denken an U als aussuchend jene Sätze von Indizes dass "Sache": Wir schreiben (a, a, a...)  (b, b, b...) wenn und nur wenn der Satz von natürlichen Zahlen {n: Ein  ist b\in U.

Das ist eine Gesamtvorordnung, und sie verwandelt sich in einen Gesamtbezug, wenn wir bereit sind, zwischen zwei Folgen a und b wenn ab und ba nicht zu unterscheiden. Mit dieser Identifizierung wird das bestellte Feld *R hyperreals gebaut. Aus einem algebraischen Gesichtspunkt erlaubt U uns, ein entsprechendes maximales Ideal I im Ersatzring zu definieren (nämlich, der Satz der Folgen, die in einem Element von U verschwinden), und dann *R als A/I zu definieren; als der Quotient eines Ersatzrings durch ein maximales Ideal ist *R ein Feld. Das wird auch A/U, direkt in Bezug auf den freien Ultrafilter U in Notenschrift geschrieben; die zwei sind gleichwertig. Der maximality von folge mir aus der Möglichkeit, in Anbetracht einer Folge a, bauen Sie eine Folge b das Umkehren seiner nichtungültigen Elemente und nicht Ändern seiner ungültigen Einträge. Das Produkt ab wird in diesem Fall mit der Nummer 1 identifiziert, und jedes Ideal, das 1 enthält, muss A sein. Im resultierenden Feld sind diese a und b Gegenteile.

Feld A/U ist eine Ultramacht von R.

Da dieses Feld R enthält, hat es cardinality mindestens das Kontinuum. Da A cardinality hat

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es ist auch nicht größer als, und hat folglich denselben cardinality wie R.

Eine Frage, die wir stellen könnten, besteht darin, ob, wenn wir einen verschiedenen freien Ultrafilter V, der Quotient gewählt hatten, Feld A/U als ein bestelltes Feld zu A/V isomorph sein würde. Diese Frage erweist sich, zur Kontinuum-Hypothese gleichwertig zu sein; in ZFC mit der Kontinuum-Hypothese können wir beweisen, dass dieses Feld bis zum Ordnungsisomorphismus einzigartig ist, und in ZFC mit der Ablehnung der Kontinuum-Hypothese wir beweisen können, dass es nicht gibt, bestellen isomorphen Paaren von Feldern, die beide zählbar mit einem Inhaltsverzeichnis versehene Ultramächte des reals sind.

Für mehr Information über diese Methode des Aufbaus, sieh Ultraprodukt.

Eine intuitive Annäherung an den Ultramacht-Aufbau

Der folgende ist eine intuitive Weise, die hyperreellen Zahlen zu verstehen. Die Annäherung genommen hier ist sehr demjenigen im Buch durch Goldblatt nah. Rufen Sie zurück, dass die Folgen, die zur Null zusammenlaufen, manchmal ungeheuer klein genannt werden. Das ist fast der infinitesimals gewissermaßen; die wahren infinitesimals schließen die Klassen von Folgen ein, die eine Folge enthalten, die zur Null zusammenläuft. Jedoch kann es durch ungültige Folgen nicht vertretenen infinitesimals geben; sieh P-Punkt.

Lassen Sie uns sehen, wo diese Klassen herkommen. Denken Sie zuerst die Folgen von reellen Zahlen. Sie bilden einen Ring, d. h. man kann multiplizieren fügen hinzu und ziehen sie ab, aber teilen sich nicht immer durch die Nichtnull. Die reellen Zahlen werden als die unveränderlichen Folgen betrachtet, die Folge ist Null, wenn es identisch Null, d. h. = 0 für den ganzen n ist.

In unserem Ring von Folgen kann man ab = 0 weder mit = 0 noch mit b = 0 bekommen. So, wenn für zwei Folgen man ab = 0 hat, sollten mindestens ein von ihnen Null erklärt werden. Überraschend genug gibt es eine konsequente Weise, es zu tun. Infolgedessen haben die Klassen von Folgen, die sich durch eine Folge unterscheiden, erklärt, dass Null ein Feld bilden wird, das ein hyperechtes Feld genannt wird. Es wird den infinitesimals zusätzlich zu den gewöhnlichen reellen Zahlen, sowie die ungeheuer große Anzahl (die Gegenstücke von infinitesimals, einschließlich derjenigen enthalten, die durch Folgen vertreten sind, die zur Unendlichkeit abweichen). Auch jeder hyperechte, der ziemlich begrenzt groß ist, wird ungeheuer einem Üblichen echt mit anderen Worten nah sein, es wird die Summe eines Üblichen echt und ein unendlich kleiner sein.

Dieser Aufbau ist zum Aufbau des reals vom vom Kantoren gegebenen rationals parallel. Er hat mit dem Ring der Cauchyfolgen von rationals angefangen und hat alle Folgen erklärt, die zur Null zusammenlaufen, um Null zu sein. Das Ergebnis ist der reals. Um den Aufbau von hyperreals fortzusetzen, lassen Sie uns denken, dass die Nullsätze unserer Folgen, d. h. d. h. der Satz von Indizes für der sind. Es ist das klar, wenn, dann ist die Vereinigung dessen und N (der Satz aller natürlichen Zahlen), so:

1. Eine der Folgen, die auf 2 Ergänzungssätzen verschwinden, sollte Null erklärt werden
2. Wenn Null erklärt wird, sollte Null auch erklärt werden, egal was ist.
3. Wenn beide und Null erklärt werden, auch dann Null erklärt werden sollten.

Jetzt ist die Idee, ein Bündel U von Teilmengen X von N auszusuchen und das zu erklären, wenn, und nur wenn U gehört. Von den obengenannten Bedingungen kann man dass sehen:

1. Von 2 Ergänzungssätzen gehört man U
2. Jeder Satz, der einen Satz enthält, der U, gehört, gehört auch U.
3. Eine Kreuzung irgendwelcher 2 Sätze, die U gehören, gehört U.
4. Schließlich wollen wir nicht, dass ein leerer Satz U gehört, weil dann alles Null wird, weil jeder Satz einen leeren Satz enthält.

Jede Familie von Sätzen, die (2) - (4) befriedigt, wird einen Filter genannt (ein Beispiel: Die Ergänzungen zu den begrenzten Sätzen, es wird den Filter von Fréchet genannt, und es wird in der üblichen Grenze-Theorie verwendet). Wenn (1) auch hält, wird U einen Ultrafilter genannt (weil Sie keine Sätze mehr dazu hinzufügen können, ohne ihn zu brechen). Das einzige ausführlich bekannte Beispiel eines Ultrafilters ist die Familie von Sätzen, die ein gegebenes Element (in unserem Fall, sagen wir, die Nummer 10) enthalten. Solche Ultrafilter werden trivial genannt, und wenn wir es in unserem Aufbau verwenden, kommen wir zu den gewöhnlichen reellen Zahlen zurück. Jeder Ultrafilter, der einen begrenzten Satz enthält, ist trivial. Es ist bekannt, dass jeder Filter zu einem Ultrafilter erweitert werden kann, aber der Beweis verwendet das Axiom der Wahl. Die Existenz eines nichttrivialen Ultrafilters (das Ultrafilterlemma) kann als ein Extraaxiom hinzugefügt werden, weil es schwächer ist als das Axiom der Wahl.

Jetzt, wenn wir einen nichttrivialen Ultrafilter nehmen (der eine Erweiterung des Filters von Fréchet ist) und tun Sie unseren Aufbau, bekommen wir die hyperreellen Zahlen infolgedessen.

Wenn eine echte Funktion einer echten Variable ist, dann natürlich streckt sich bis zu eine hyperechte Funktion einer hyperechten Variable durch die Zusammensetzung aus:

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wo "die Gleichwertigkeitsklasse der Folge hinsichtlich unseres Ultrafilters bedeutet,", zwei Folgen, die in derselben Klasse wenn, und nur sind wenn der Nullsatz ihres Unterschieds unserem Ultrafilter gehört.

Alle arithmetischen Ausdrücke und Formeln haben Sinn für hyperreals und halten für wahr, wenn sie für den gewöhnlichen reals wahr sind. Man kann dass irgendwelcher begrenzt beweisen (d. h. solch dass

Jetzt kann man sehen, dass das dauerndes Mittel ist, das ungeheuer klein ist, wann auch immer ist, und Differentiable-Mittel das ist

:ist

ungeheuer klein, wann auch immer ist. Bemerkenswert, wenn man erlaubt, hyperecht zu sein, wird die Ableitung automatisch dauernd sein (weil, differentiable an, seiend

:ist

ungeheuer klein, wenn ist, deshalb ist auch ungeheuer klein, wenn ist).

Eigenschaften von unendlich kleinen und unendlichen Zahlen

Die begrenzten Elemente F *R bilden einen lokalen Ring, und tatsächlich einen Schätzungsring, mit dem einzigartigen maximalen Ideal S der infinitesimals zu sein; der Quotient F/S ist zum reals isomorph. Folglich haben wir einen homomorphic kartografisch darstellend, der St. (x), von F bis R, dessen Kern aus dem infinitesimals besteht, und der jedes Element x F zu einer einzigartigen reellen Zahl sendet, deren Unterschied zu x in S ist; der sagen soll, ist unendlich klein. Stellen Sie einen anderen Weg, jede begrenzte umgangssprachliche reelle Zahl ist an einer einzigartigen reellen Zahl, im Sinn dass "sehr nah", wenn x ein begrenzter Sonderechter ist, dann dort besteht eine und nur eine reelle Zahl der St. (x) solch, dass x - der St. (x) unendlich klein ist. Diese Zahl der St. (x) wird den Standardteil von x, begrifflich dasselbe als x zur nächsten reellen Zahl genannt. Diese Operation ist ein Ordnung bewahrender Homomorphismus und ist folglich sowohl algebraisch als auch Ordnung theoretisch wohl erzogen. Es ist Ordnungsbewahrung, obwohl nicht isotonic, d. h. einbezieht, aber

• Wir haben, wenn sowohl x als auch y, begrenzt

sind::

::

• Wenn x begrenzt und nicht unendlich klein ist.

::

• x ist wenn und nur wenn echt

::

Die Karte der St. ist in Bezug auf die Ordnungstopologie auf dem begrenzten hyperreals dauernd; tatsächlich ist es lokal unveränderlich.

Hyperechte Felder

Denken Sie X ist ein Raum von Tychonoff, auch genannt einen T Raum, und C (X) ist die Algebra von dauernden reellwertigen Funktionen auf X. Nehmen Sie an, dass M ein maximales Ideal in C (X). Then die Faktor-Algebra = C (X) ist, ist/M ein völlig bestelltes Feld F, das den reals enthält. Wenn F ausschließlich R dann enthält, wird M ein hyperechtes Ideal (Fachsprache wegen Hewitts (1948)) und F ein hyperechtes Feld genannt. Bemerken Sie, dass keine Annahme gemacht wird, dass der cardinality von F größer ist als R; es kann tatsächlich denselben cardinality haben.

Ein wichtiger spezieller Fall ist, wo die Topologie auf X die getrennte Topologie ist; in diesem Fall X kann mit einer Grundzahl κ und C (X) mit der echten Algebra von Funktionen von κ bis R identifiziert werden. Die hyperechten Felder, die wir in diesem Fall erhalten, werden Ultramächte von R genannt und sind zu den Ultramächten identisch, die über freie Ultrafilter in der Mustertheorie gebaut sind.

Siehe auch

• Hyperganze Zahl
• Echte geschlossene Felder
• Sonderrechnung
• Konstruktive Sonderanalyse
• Einfluss der Sonderanalyse

Weiterführende Literatur

• Hatcher, William S. (1982) "Rechnung ist Algebra", amerikanische Mathematische Monatliche 89: 362-370.
• Hewitt, Edwin (1948) Ringe von reellwertigen dauernden Funktionen. Ich. Trans. Amer. Mathematik. Soc. 64, 45 — 99.
• Keisler, H. Jerome (1994) Die hyperechte Linie. Reelle Zahlen, Generalisationen des reals und Theorien von Kontinua, 207 — 237, Synthese Befreiungskampf. 242, Kluwer Acad. Publ. Dordrecht.

Links

• Crowell, Rechnung. Ein Text mit infinitesimals.
• Hermoso, Sonderanalyse und Hyperreals. Eine sanfte Einführung.
• Keisler, Elementare Rechnung: Eine Annäherung mit Infinitesimals. Schließt eine axiomatische Behandlung des hyperreals ein, und ist unter frei verfügbar Kreatives Unterhaus lizenziert
• Stroyan, eine kurze Einführung in die unendlich kleine Rechnung