In der Mengenlehre, einem Feld der Mathematik, demonstriert das Paradox von Burali-Forti, dass naiv das Konstruieren "des Satzes aller Ordinalzahlen" zu einem Widerspruch führt und deshalb eine Antinomie in einem System zeigt, das seinen Aufbau erlaubt. Es wird nach Cesare Burali-Forti genannt, der es 1897 entdeckt hat.

Festgesetzt in Bezug auf Ordnungszahlen von von Neumann

Der Grund besteht darin, dass der Satz aller Ordinalzahlen alle Eigenschaften einer Ordinalzahl trägt und als eine Ordinalzahl selbst würde betrachtet werden müssen. Dann können wir seinen Nachfolger bauen, der ausschließlich größer ist als. Jedoch muss diese Ordinalzahl ein Element dessen sein, da alle Ordinalzahlen enthält, und wir erreichen:

Festgesetzt mehr allgemein

Die Version des Paradoxes ist oben anachronistisch, weil es die Definition der Ordnungszahlen wegen John von Neumanns voraussetzt, unter dem jede Ordnungszahl der Satz aller vorhergehenden Ordnungszahlen ist, der zurzeit nicht bekannt war, wurde das Paradox durch Burali-Forti eingerahmt.

Hier ist eine Rechnung mit weniger Voraussetzungen: Nehmen Sie an, dass wir mit jedem gut bestellenden verkehren

ein Gegenstand hat seinen "Ordnungstyp" auf eine unangegebene Weise genannt (die Ordnungstypen sind die Ordinalzahlen). Die "Ordnungstypen" (Ordinalzahlen) selbst werden auf eine natürliche Weise, gut bestellt

und das gut bestellend muss einen Ordnungstyp haben. Es wird in leicht gezeigt

naive Mengenlehre (und bleibt wahr in ZFC, aber nicht in Neuen Fundamenten), dass die Ordnung

der Typ aller Ordinalzahlen weniger als ein fester ist selbst.

So die Ordnung

der Typ aller Ordinalzahlen weniger als ist selbst. Aber

das bedeutet, dass, der Ordnungstyp eines richtigen anfänglichen Segmentes der Ordnungszahlen seiend, ausschließlich weniger ist als der Ordnungstyp aller Ordnungszahlen,

aber der Letztere ist selbst definitionsgemäß. Das ist ein Widerspruch.

Wenn wir die Definition von von Neumann verwenden, laut deren jede Ordnungszahl als der Satz aller vorhergehenden Ordnungszahlen identifiziert wird, ist das Paradox unvermeidlich: Der verstoßende Vorschlag, dass der Ordnungstyp aller Ordinalzahlen weniger als ein fester selbst ist, muss wahr sein. Die Sammlung von Ordnungszahlen von von Neumann, wie die Sammlung im Paradox von Russell, kann kein Satz in keiner Mengenlehre mit der klassischen Logik sein. Aber die Sammlung von Ordnungstypen in Neuen Fundamenten (definiert als Gleichwertigkeitsklassen der Gut-Einrichtung unter der Ähnlichkeit) ist wirklich ein Satz, und das Paradox wird weil der Ordnungstyp der Ordnungszahlen weniger vermieden als

erweist sich nicht zu sein.

Entschlossenheit des Paradoxes

Moderne axiomatische Mengenlehre wie ZF und ZFC überlistet diese Antinomie das einfach sie hat Aufbau von Sätzen mit uneingeschränkten Verständnis-Begriffen wie "alle Sätze mit dem Eigentum" nicht erlaubt, weil es zum Beispiel im Axiom-System von Gottlob Frege möglich war. Neue Fundamente verwenden eine verschiedene Lösung.

Links

• Enzyklopädie von Stanford der Philosophie: "Paradoxe und zeitgenössische Logik" - durch Andrea Cantini.