In der Mathematik hat sich der affinely ausgestreckt System der reellen Zahl wird beim System der reellen Zahl R durch das Hinzufügen von zwei Elementen erhalten: +  und  (gelesen als positive Unendlichkeit und negative Unendlichkeit beziehungsweise). Das projektive verlängerte System der reellen Zahl fügt einen einzelnen Gegenstand,  (Unendlichkeit) hinzu und macht keine Unterscheidung zwischen "der positiven" oder "negativen" Unendlichkeit. Diese neuen Elemente sind nicht reelle Zahlen. Es ist im Beschreiben verschiedener Begrenzungshandlungsweisen in der Rechnung und mathematischen Analyse, besonders in der Theorie des Maßes und der Integration nützlich. Der affinely hat sich ausgestreckt System der reellen Zahl wird angezeigt oder [, + ].

Wenn die Bedeutung vom Zusammenhang klar ist, wird das Symbol +  häufig einfach als  geschrieben.

Motivation

Grenzen

Wir möchten häufig das Verhalten einer Funktion f (x) beschreiben, weil entweder das Argument x oder die Funktion f (x) schätzen, wird "sehr groß" in einem Sinn. Denken Sie zum Beispiel die Funktion

:

Der Graph dieser Funktion hat eine horizontale Asymptote an f (x) = 0. Geometrisch, da wir uns weiter und weiter nach rechts entlang der X-Achse bewegen, nähert sich der Wert von 1/x 0. Dieses Begrenzungsverhalten ist der Grenze einer Funktion an einer reellen Zahl ähnlich, außer dass es keine reelle Zahl gibt, der sich x nähert.

Indem

wir an die Elemente +  und  zu R angrenzen, erlauben wir eine Formulierung einer "Grenze an der Unendlichkeit" mit topologischen Eigenschaften, die denjenigen für R ähnlich sind.

Um Dinge völlig formell zu machen, erlaubt die Cauchyfolge-Definition von R uns, +  als der Satz aller Folgen von rationals zu definieren, die, für jeden K> 0, von einem Punkt darauf K überschreiten. Wir können  ähnlich definieren.

Maß und Integration

In der Maß-Theorie ist es häufig nützlich, Sätze zu erlauben, die unendliches Maß und Integrale haben, deren Wert unendlich sein kann.

Solche Maßnahmen entstehen natürlich aus der Rechnung. Zum Beispiel im Zuweisen eines Maßes zu R, der mit der üblichen Länge von Zwischenräumen übereinstimmt, muss dieses Maß größer sein als jede begrenzte reelle Zahl. Außerdem, wenn man unendliche Integrale wie denkt

:

der Wert "Unendlichkeit" entsteht. Schließlich ist es häufig nützlich, die Grenze einer Folge von Funktionen wie zu denken

:

Ohne Funktionen zu erlauben, unendliche Werte solche wesentlichen Ergebnisse weil zu übernehmen, würden der Eintönigkeitskonvergenz-Lehrsatz und der beherrschte Konvergenz-Lehrsatz Sinn nicht haben.

Ordnung und topologische Eigenschaften

Der affinely hat sich ausgestreckt System der reellen Zahl verwandelt sich in einen völlig bestellten Satz durch das Definieren   ein  +  für den ganzen a. Diese Ordnung hat das wünschenswerte Eigentum, dass jede Teilmenge ein Supremum und einen infimum hat: Es ist ein ganzes Gitter.

Das veranlasst die Ordnungstopologie darauf. In dieser Topologie ist ein Satz U eine Nachbarschaft + , wenn, und nur wenn es einen Satz {x enthält: x> a\für eine reelle Zahl a, und analog für die Nachbarschaft von . ist ein Kompaktraum von Hausdorff homeomorphic zum Einheitszwischenraum [0, 1]. So ist die Topologie metrizable, entsprechend (für einen gegebenen homeomorphism) zum auf diesem Zwischenraum metrischen Üblichen. Dort ist nicht metrisch, der eine Erweiterung des auf R metrischen Üblichen ist.

Mit dieser Topologie die besonders definierten Grenzen für x nimmt das Neigen zu +  und , und die besonders definierten Konzepte von Grenzen, die +  und  gleich sind, zu den allgemeinen topologischen Definitionen von Grenzen ab.

Arithmetische Operationen

Die arithmetischen Operationen von R können zu wie folgt teilweise erweitert werden:

:\begin {richten }\aus

+ \infty = + \infty + a & = + \infty, & a & \neq-\infty \\

a - \infty =-\infty + a & =-\infty, & a & \neq + \infty \\

ein \cdot (\pm\infty) = \pm\infty \cdot a & = \pm\infty, & a & \in (0, + \infty] \\

ein \cdot (\pm\infty) = \pm\infty \cdot a & = \mp\infty, & a & \in [-\infty, 0) \\

\frac {ein} {\\pm\infty} & = 0, & a & \in \mathbb {R} \\

\frac {\\pm\infty} & = \pm\infty, & a & \in \mathbb {R} ^ + \\

\frac {\\pm\infty} & = \mp\infty, & a & \in \mathbb {R} ^ -

\end {richten }\aus</Mathematik>

Hier, "+ " bedeutet, dass beide "+ (+ )" und "ein  ()", und "ein  " beide "ein  (+ )" und "+ ()" vorhaben.

Die Ausdrücke   , 0 × (± ) und ±  / ±  (hat unbestimmte Formen genannt), werden gewöhnlich unbestimmt verlassen. Diese Regeln werden auf den Gesetzen für unendliche Grenzen modelliert. Jedoch, im Zusammenhang der Wahrscheinlichkeit oder Maß-Theorie, wird 0 × (± ) häufig als 0 definiert.

Der Ausdruck 1/0 wird entweder als +  oder  nicht definiert, weil, obwohl es wahr ist, dass, wann auch immer f (x)  0 für eine dauernde Funktion f (x) es der Fall sein muss, dass 1/f (x) schließlich in jeder Nachbarschaft des Satzes {, + } enthalten wird, es nicht wahr ist, dass 1/f (x) zu einem dieser Punkte neigen muss. Ein Beispiel ist f (x) = 1 / (Sünde (1/x)). (Sein Modul 1/| f (x)  | nähert sich wirklich dennoch + .)

Algebraische Eigenschaften

Mit diesen Definitionen ist nicht ein Feld und nicht sogar ein Ring. Jedoch hat es noch mehrere günstige Eigenschaften:

• + (b + c) und (+ b) + sind c entweder gleich oder beide unbestimmt.
• + b und b + entweder gleich oder beide unbestimmt zu sein.
• ein × (b × c) und (ein × b) × c ist entweder gleich oder beide unbestimmt.
• ein × b und b × entweder gleich oder beide unbestimmten zu sein
• ein × (b + c) und (ein × b) + (ein × c) ist gleich, wenn beide definiert werden.
• wenn ein  b, und wenn sowohl + c als auch b + c, dann + c  b + c definiert werden.
• wenn ein  b und c> 0 und sowohl ein × c als auch b × c, dann ein × c  b × c definiert werden.

Im Allgemeinen sind alle Gesetze der Arithmetik in gültig, so lange alle vorkommenden Ausdrücke definiert werden.

Verschieden

Mehrere Funktionen können unaufhörlich zu durch die Einnahme von Grenzen erweitert werden. Zum Beispiel definiert man exp () = 0, exp (+ ) = + , ln (0) = , ln (+ ) = +  usw.

Einige Diskontinuitäten können zusätzlich entfernt werden. Zum Beispiel kann die Funktion 1/x dauernd (laut einiger Definitionen der Kontinuität) durch das Setzen des Werts auf +  für x = 0, und 0 für x = +  und x =  gemacht werden. Die Funktion 1/x kann dauernd nicht gemacht werden, weil sich die Funktion  nähert, wie sich x 0 von unten, und +  nähert, wie sich x 0 von oben nähert.

Vergleichen Sie die echte projektive Linie, die zwischen +  und  nicht unterscheidet. Infolgedessen einerseits kann eine Funktion Grenze  auf der echten projektiven Linie haben, während im affinely System der reellen Zahl erweitert hat, hat nur der absolute Wert der Funktion eine Grenze, z.B im Fall von der Funktion 1/x an x = 0. Andererseits

: und

entsprechen Sie auf der echten projektiven Linie zu nur einer Grenze vom Recht und ein vom links beziehungsweise mit der vollen nur vorhandenen Grenze, wenn die zwei gleich sind. So kann e und arctan (x) nicht dauernd an x =  auf der echten projektiven Linie gemacht werden.

Siehe auch

• Abteilung durch die Null
• Verlängertes kompliziertes Flugzeug
• Unpassender integrierter
• Reihe (Mathematik)